On the probability of satisfying a word in nilpotent groups of class 2
Matthew Levy
设G是幂零类为2的有限群，w是群字.在这篇短文中，我们证明了来自G的随机n元元组满足w的概率至少是G的阶上的1。这回答了阿隆阿米特猜想的一个特殊情况。
Let G be a finite group of nilpotency class 2 and w a group word. In this short paper we show that the probability that a random n-tuple of elements from G satisfies w is at least one over the order of G. This answers a special case of a conjecture of Alon Amit.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Word Images and Their Impostors in Finite Nilpotent Groups
Lubotzky在2014年证明了包含单位元的有限单群的自同构不变子集总是词像。本文研究了有限幂零群幂群上的词映射，证明了对于任意有限群，包含单位元的非词映射的自同构不变子集的数目可以任意大于实际词映射的数目，称为词映射冒名顶替者.在此过程中，我们构造了$2$类的幂零群上的词映射的$2$ -穷举集，并证明了它在某些情况下的极小性。
Compact groups with a set of positive Haar measure satisfying a nilpotent law
在[4，Question 1.20]中提出了如下问题：设$G$是紧群，且假设$$\mathcal{N}_k(G) = \{(x1,\dots,x_{k+1}) \in G^{k+1} \;\|; [x_1,\dots, x_{k+1}] = 1\}$$在$G^{k+1}$中有正Haar测度. $G$是否有开$k$ -步幂零子群？病例$k = 1$已知。我们对$k = 2$的回答是肯定的。
On the geometry of free nilpotent groups
本文研究了幂零群幂零群的几何性质。我们找到了一个几何判据，用于判定n-生成的自由幂零群的字问题。所谓几何判别法，是指通过分析两个字在秩为$r$和类为$k-1$的自由幂零群的Cayley图上的行为，来判定两个字是否表示秩为$r$和类为$k$的自由幂零群中的同一个元素.
Logspace and compressed-word computations in nilpotent groups
对于非线性生成的幂零群，我们利用Mal'cev坐标有效地解决了几个经典的算法问题.计算的正规形式，成员资格问题，共轭问题，并计算介绍子群解决只用对数空间和拟线性时间。对数空间表示，这些算法的统一版本。压缩字版本的相同的问题，其中每个输入的字是作为一个直线程序提供的，在多项式时间内解决。
The word problem for polycyclic groups and nilpotent associative algebras
字问题是计算群论中一个古老而核心的问题。众所周知，字问题一般是不可判定的，但对于特定类型的呈现是可判定的。一致多环表示是一类重要的具有可解字问题的群体表示。这些介绍发挥了根本作用的算法理论的多环组。当用其他代数结构进行计算时，会出现类似于字问题的问题。这一主题的各个方面被认为是在文献中。本文的目的是提供一个一般的方法，包括多环群和幂零结合代数的例子。
Word problems for finite nilpotent groups
让$w$是$k$变量中的一个单词。对于有限幂零群$G$，Amit的一个猜想指出，$N_w(1) \ge |G|^{k-1}$，其中$N_w(1)$是$k$ -元组的个数$(g_1,...,g_k)\in G^{(k)}$使得$w(g_1,...,g_k)=1$ .目前，这个猜想已知对于幂零类2的群是正确的。本文考虑Amit猜想的一个推广，证明了对于幂零类2的奇数阶有限群$G$，有$N_w(g) \ge |G|^{k-2}$，其中$g$是$G$中的$w$ -值.如果$w$是一个字在两个变量，我们进一步表明，$N_w(g) \ge |G|$，其中$g$是$w$ -值在$G$有限群$G$的幂零类2。此外，对于$p$一个素数，我们表明，有限$p$ -组$G$，有两个不同的不可约复杂的字符度，满足广义阿米特猜想的话$w_k =[x_1,y_1]...[x_k,y_k]$与$k$一个自然数，也就是说，对于$g$一个$w_k$ -值在$G$，我们有$N_{w_k}(g) \ge |G|^{2k-1}$。最后，我们讨论了群的有理性和手征性的相关性质，证明了幂零类2的有限群都是有理群。
Coarse length can be unbounded in 3-step nilpotent Lie groups
本文针对3步幂零单连通李群，给出了一个例子证明给定生成元中的“$\mathbb{R}$-字”无法被等长且方向改变次数有界的$\mathbb{R}$-字替代，表明其粗长度可以无界。
The Probability Distribution of Word Maps on Finite Groups
词图提供了大量关于有限群的信息。我们研究了由词图引起的概率分布与有限群的基本结构之间的联系。我们证明了一个有限群是幂零群当且仅当每个满射词映射都有均匀大小的纤维。此外，我们表明，概率分布本身就足以确定幂零群，这些相同的分布可以用来确定阿贝尔群同构。此外，我们回答了一个问题的阿米特和Vishne。
Simple closed curves, word length, and nilpotent quotients of free groups
本文考虑有限型曲面的基本群$π$，该曲面具有由所有简单闭曲线组成的无限生成集。我们证明了$π$的每一个幂零商关于这个集合给出的字度量具有有限直径。这与Danny Calegari的结果形成对比，Danny Calegari的结果表明$π$相对于该集合具有无穷大的直径。进而给出了一个具有生成集的有限生成群具有此性质的一般判据。
Finite groups with simple or $p$-nilpotent maximal subgroups
研究《库罗夫卡笔记本》中关于极大子群的问题，对于奇数\(p\)，证明满足特定条件的非单非可解群是\(p\)-幂零群和\(p\)-可分解群，\(p = 2\)时改进相关结果，给出特定非可解群的完整分类。
Probabilistically nilpotent groups
我们证明了，对于一个非线性生成的剩余有限群$Γ$，字$[x_1, \ldots, x_k]$是$Γ$的概率恒等式当且仅当$Γ$是小于$k$的类的虚幂零.文中还讨论了有关结果、推广和问题。
Automorphic word maps and Amit--Ashurst conjecture
本文通过构造与给定词同分布的自守词映射，改进并部分解决了有限幂零群上的Amit--Ashurst猜想，同时推广了Camina等人及Iniguez和Sangroniz的相关结果。
Metric properties and distortion in some nilpotent groups of matrices
度量估计是近似于一个非线性呈现群的词度量直到乘法常数的量。本文对某些幂零群幂群计算了它们，并利用它们计算了它们之间几种嵌入的偏差函数。
Full residual finiteness growths of nilpotent groups
完全剩余有限性增长的有限生成群$G$衡量如何有效地字度量$n$ -球的$G$注入到有限元的$G$。我们在幂零群类上开始了这种增长的研究。当$G$的下中心序列的最后一项在$G$的中心有有限指数时，我们证明了增长的精确性是$n^b$，其中$b$是$G$的幂零类和维数的乘积.在一般情况下，我们给出了一种方法，找到一个上界的形式$n^b$，其中$b$是一个自然数，我们称之为阶梯过滤$G$。最后，我们刻画了字增长与全剩余有限性增长一致的幂零群。
On groups admitting a word whose values are Engel
设m，n是正整数，v是多线性换位子字，w = v^m.证明了：如果G是剩余有限群，且其中所有w-值都是n-Engel，则动词子群w（G）是局部幂零的.我们还研究的问题，这是否是真的情况下，G是局部分级，而不是剩余有限的。在m = 1的情况下，我们肯定地回答这个问题。进一步证明了如果u是非换位子字，G是局部分次群且u-值都是n-Engel，则动词子群u（G）是局部幂零的.
Random Nilpotent Groups of Maximal Step
设$G$是由$U_n(\mathbb{Z})$中长度为$\ell$的两个随机字生成的随机无挠幂零群.让$\ell$作为$n$的函数增长，我们分析了由$U_n(\mathbb{Z})$的步长限制的$G$的步长。本文证明了Delp，Dymarz和Schafer-Cohen的一个猜想，即全阶跃的门限函数是$\ell = n^2$ .
A finiteness condition on centralizers in locally nilpotent groups
我们给出了无限局部幂零群群G的一个详细的刻画，使得G的指数|C_G（x）：<x>|是有限的，对于G的每个非正规循环子群<x>。我们也能够扩展我们的分析，所有非周期群满足我们的条件的变化，有限性的要求被替换为一个绑定。
On residually finite groups satisfying an Engel type identity
设$ n, q $为正整数。证明了若$ G $是一个满足恒等式$ [x,_ny^q]\equiv 1, $的非生成剩余有限群，则存在一个函数$ f(n) $使得$ G $有一个至多为$ f(n) $类的有限指数幂零子群.我们也将这个结果推广到局部分次群。
Low-complexity computations for nilpotent subgroup problems
我们利用TC 0回路，或在对数空间和拟线性时间中，在具有有界幂零类和秩的幂零群类中一致地解决了以下算法问题：子群共轭，计算子群的正规化子和隔离子，陪集交，以及计算扭子群.此外，如果任何输入单词以压缩形式作为直线程序或以Mal'cev坐标提供，则算法以四次时间运行。
Solvable groups satisfying the two-prime hypothesis II
本文考虑满足双素假设的可解群。证明了如果$G$是这样的群且$G$没有非交换幂零元，则$|\cd G| \le 462,515$ .将这个结果与第一部分的结果结合起来，我们推出，如果$G$是任何这样的群，那么相同的界成立。
Finite Class 2 Nilpotent and Heisenberg Groups
本文利用指定数量的2生成群的次直积与中心积，给出了类至多为2的有限幂零群的结构描述，并证明其同构于海森堡群的子群，为拓扑学中的幂零若尔当性质提供下界。
Random nilpotent groups I
我们研究了随机幂零群的良好建立的风格的随机群，通过选择一致的关系自由约化字（几乎）相等的长度，并让长度趋于无穷大。随机群是自由群通过这样一随机集关系子的子群，而随机幂零群群则是自由幂零群群的相应子群。这个模型揭示了新的现象，因为幂零群在随机群的标准模型中是不可见的（由于从无限双曲群到平凡群的急剧相变）。
On the probability of satisfying a word in a group
证明了对任意有限群$G$和任意$d$，存在字$w\in F_{d}$使得$G$中的$d$ -元组满足$w$当且仅当它生成可解子群.特别地，如果$G$本身是不可解的，则它不能作为一个关系子组$F_{d}/<w>$的商来获得。作为一个推论，一个词在一个固定的非可解群中满足的概率可以任意小，回答了阿隆·阿米特的一个问题。
Some Baer Invariants of Free Nilpotent Groups
给出了自由$n$次幂零群（无限循环群的$n$次幂零积，$\textbf{Z}\st{n}* \textbf{Z}\st{n}*...\st{n}*\textbf{Z}$）关于具有字集$V=\{[\ga_{c_1+1},\ga_{c_2+1}]\}$的簇${\cal V}$的Baer不变量的显式结构，对所有的$c_1\geq c_2$和$2c_2-c_1>2n-2$ .对于任意类行$(c_1,c_2,...,c_t)$，给出了自由$n$次幂零群的幂零乘子的显式表达式，其中$c_1\geq n$ .
Effective Subgroup Separability of Finitely Generated Nilpotent Groups
研究了广义生成幂零群的子群的有效可分性和广义生成幂零群的子群的有效可分性。本文给出了幂零群的无穷指数子群的关于字长对数的多项式上、下界。在正规子群的情形下，我们给出了一个精确的计算，推广了第二作者的工作。我们引入了一个函数，量化子群可分性，我们提供多项式的上限和下界。最后，我们证明了我们的结果推广到几乎幂零群群。
An Engel condition for orderable groups
设m，n是正整数，v是多线性换位子字，w=v^m.证明了：如果G是一个可序群，且其中所有w-值都是n-Engel，则动词子群v（G）是局部幂零的.我们还证明了在v=x的特殊情况下，群G是幂零的（而不仅仅是局部幂零的）。
On locally graded groups with a word whose values are Engel
设m，n是正整数，v是多线性换位子字，w = v^m.证明了：若G是局部分次群，且其中所有w-值都是n-Engel，则动词子群w（G）是局部幂零的.
Bounding the Exponent of a Verbal Subgroup
我们处理下面的猜想。如果w是群字，G是有限群，其中任意由w-值生成的幂零子群的指数都能除e，则动词子群w（G）的指数仅关于e和w有界.我们证明了在w是第n个恩格尔词或[x ^n，y_1，y_2，.，y_k]（定理A）。进一步，我们证明了对任意正整数e，存在一个数k=k（e），使得如果w是一个字，G是一个有限群，其中由字w的k个值的乘积生成的任意幂零子群都有指数整除e，则动词子群w（G）的指数仅关于e和w有界（定理B）.
Classification of nilpotent Lie algebras of nilpotency class 3 having a derived subalgebra of dimension three
本文对 nilpotency class 3 的 nilpotent Lie algebras 进行分类，特别研究了导子子代数维数为 3 的情况，并在 dim L = 7 时明确了其结构。
Classification of $p$-groups via their $2$-nilpotent multipliers
本文通过$2$-幂零乘子的阶公式，完整分类了满足$s_2(G)$为1、2或3的非交换$p$-群。
A matrix model for random nilpotent groups
研究了由长度为$\ell$的随机字对在$U_n(\mathbb{Z})$的标准生成集中生成的随机无挠幂零群.特别地，当生成字的长度是$n$的函数时，我们给出了群的阶跃性质的渐近结果。我们证明了渐近阿贝尔性的门限函数是$\ell = c \sqrt{n}$，其概率接近$e^{-2c^2}$，并且具有与$U_n(\mathbb{Z})$相同的全步的门限函数介于$c n^2$和$c n^3$之间。
Finite groups with a certain number of elements pairwise generating a non-nilpotent subgroup
设$n>0$是一个整数，$\mathcal{X}$是一类群。我们说一个群$G$满足条件$(\mathcal{X},n)$，只要在$G$的每个具有$n+1$元素的子集中存在不同的元素$x,y$，使得$<x,y>$在$\mathcal{X}$中。设$\mathcal{N}$和$ \mathcal{A}$分别是幂零群和阿贝尔群的类。在这里，我们证明：（1）若$G$是满足条件$(\mathcal{N},n)$的有限半单群，则对某个常数$c$，有$|G|<c^{2[\log_{21}n]n^2} [\log_{21}n]!$. (2)有限不可解群$G$满足条件$(\mathcal{N},21)$当且仅当$\frac{G}{Z^*(G)}\cong A_5$是5次交错群，其中$Z^*(G)$是$G$的超中心。(3)有限非幂零群$G$满足条件$(\mathcal{N}, 4)$当且仅当$\frac{G}{Z^*(G)}\cong S_3$是3次对称群. (4)不溶性基团$G$满足条件$(\mathcal{A},21)$当且仅当$G\cong Z(G)\times A_5$，其中$Z(G)$是$G$的中心。(5)如果$d$是满足条件$(\mathcal{A},n)$的可解群的导出长度，则$d=1$是$n\in \{1,2\}$，$d\leq 2n-3$是$n\geq 2$。
On finite-by-nilpotent groups
令$γ_n=[x_1,\dots,x_n]$为第$n$个较低中心字。用$X_n$表示一组$G$中的$γ_n$ -值的集合，并假设有一个数$m$，使得对于每个$g\in G$，有$|g^{X_n}|\leq m$。证明了$γ_{n+1}(G)$具有有限的$(m,n)$ -有界阶.这推广了著名的B. H.诺依曼说，交换子的BFC群是有限的。
Groups whose word problems are not semilinear
设G是一个有限生成群，W是定义G中单位元的词的形式语言.证明了如果G是幂零群、有限体积双曲三流形的基本群或图位于某个无限类中的直角Artin群，则W不是多重上下文自由语言.
On asymptotic approximate groups in nilpotent groups
研究了nilpotent群中渐近近似群的性质，证明了有限集的幂包含对称词球时为渐近近似群，并讨论了非阿贝尔半线性集的类似结果。
The word problem in verbal products of groups
本文研究群的言语乘积的字问题，证明幂零与亚交换乘积保持可判定性，并构造可解乘积不可判定的反例，同时给出导出子群成员问题不可判定的双曲群。
The nilpotency of finite groups with a fix-point-free automorphism satisfying an identity
通过研究群的结构，我们推广了Frobenius猜想的正解及其改进，这些群允许一个无不动点的自同构满足一个恒等式。我们表明，特别是，对于每一个多项式$r(t) = a_0 + a_1 \cdot t + \cdots + a_d \cdot t^d \in \mathbb{Z}[t]$是不可约的$\mathbb{Q}$，存在（显式）不变量$a,b,c \in \mathbb{N}$以下属性。考虑一个具有不动点自由自同构$α:{G}\longrightarrow{G}$的有限群，并假设对所有的$x \in G$，我们都有等式$x^{a_0} \cdot α(x^{a_1}) \cdot α^2(x^{a_2})\cdots α^d(x^{a_d}) = 1_G.$，那么$G$是可解的，并具有$A \cdot (B \rtimes (C \times D))$的形式，其中$A$是$a$-群，$B$是$b$ -群，$C$是幂零的$c$ -群，$D$是至多$d^{2^d}$类的幂零群。这里，组$H$被称为$a$ -组（相应地，$b$ -群或$c$ -群），如果每个$h \in H$的阶除$a$的某个自然幂（分别为$b$或$c$）。
Almost overlap-free words and the word problem for the free Burnside semigroup satisfying x^2=x^3
本文研究了满足x^2=x^3且有两个生成元的自由Burnside半群的字问题.这个半群的元素是等价词的类。解决单词问题的一个自然方法是为每个等价类选择一个唯一的“规范”代表。我们证明了无干扰词和所谓的几乎无干扰词（这个概念是无干扰词的概念的一些推广）可以作为相应的等价类的典型代表。我们证明了在给定的类中，如果有这样的字，可以有效地找到。因此，我们构造了一个线性时间算法，部分地解决了所考虑的半群的字问题。
The Amit-Ashurst conjecture for finite metacyclic p-groups
本研究将广义Amit猜想命名为Amit-Ashurst猜想，并证明该猜想对具有循环极大子群的有限p群成立，推进了有限幂零群字映射概率性质的相关研究。
Which Nilpotent Groups are Self-Similar?
设$Γ$是一个无挠生成的幂零群，$A^ω$是有限字母表$A$上的无限字空间.研究了$Γ$在$A^ω$上的两种自相似作用，即轨道稠密的忠实作用和自由作用.每种类型的自相似作用的存在性的标准建立。得到了关于零流形的两个推论。第一个涉及的nilmanifold赋予了Anosov同构，第二个关于仿射结构的存在。然后研究了$Γ$的虚作用，即有限指数子群$Γ'$的作用.一个公式，具有一定的数论内容，被发现的最小基数的字母表$A$赋予一个虚拟的自相似作用的$A^ω$的每一种类型。
Groupes satisfaisant une condition nilpotence
本文研究了满足条件$(\mathcal{N},n)$的群$G$，即$G$的每一个含有$n+1$元素的子集都包含一对$\{x,y\}$，使得子群$<x,y>$是幂零的.
Equidistribution of Dense Subgroups on Nilpotent Lie Groups
设$Γ$是由有限对称集$S$生成的单连通幂零李群$G$的稠密子群.我们考虑由$S$在$Γ$上诱导的词度量的$n$ -球$S_n$.我们表明，$S_n$（均匀措施）成为均匀分布在$G$关于Haar措施，n趋于无穷大。给出了随机游动平均的速率，并证明了类似的结果（即局部极限定理）。
Engel groups with an identity
对满足恒等式的剩余有限恩格尔群是否局部幂零的问题给出了肯定的回答。更一般地，对于具有单位元的剩余有限群G，我们证明了G的右Engel元的集合包含在G的Hirsch-Plotkin根中.给定任意一个字w，我们还证明了所有群G的类是一个簇，其中w-值是右n-Engel且w（G）是局部幂零的。
On the Symmetry of Images of Word Maps in Groups
群中的词映射是群中多项式的一种类似物，通过形式词的替换来定义。Lubotzky给出了字映射在有限单群中的象的一个刻画，其刻画的一个结果是存在一个群G使得G上某个字映射的象在反演下不闭。我们探讨了一个群上的充分条件，确保所有字映射在G上的图像是封闭的反演。然后，我们表明，只有两个组的顺序小于108的性质，有一个字的地图与图像不关闭下反转。我们还研究了幂零群中的这种行为。
Residual Finiteness Growth in Virtually Nilpotent Groups
研究虚-nilpotent群的残余有限性增长函数，证明其为对数形式，且通过李代数给出指数的显式公式，揭示其作为复Mal'cev完备化的不变量。
On the triple product property for subgroups of finite groups of nilpotency class $2$
本文研究了有限Nilpotent群类2的子群的三乘积性质，证明了不同条件下该性质的上界。
On finitely generated Engel branch groups
本文构造了有限生成的Engel分支群，回答了相关存在性问题，并提供了继Golod之后第二类有限生成非幂零Engel群的例子，方法基于根树作用与词长快速收缩。
On Chernikov-by-nilpotent groups
本文研究了在特定条件下下中央系列的第k+1项为Chernikov群的群结构及其大小有界性。
The asymptotic density of finite-order elements in virtually nilpotent groups
设G是具有给定词度量的有限生成群。G中具有特定性质P的元素的渐近密度被定义为当r趋于无穷大时，半径为r的球中具有性质P的元素的比例的极限。我们得到了计算任意虚幂零群中有穷级元素的渐近密度的公式。进一步，我们证明了出现这种渐近密度的数的谱恰好由[0，1）中的有理数组成。
Finitely and non-finitely related words
本文利用链字、冠字词和漩涡字构造非有限相关幂零幺半群，揭示有限相关与非有限相关半群及簇之间的多种反例现象。
On some of the residual properties of finitely generated nilpotent groups
近年来，RFRS条件已被用于分析三维流形拓扑中的虚拓扑。Agol的工作表明，任何在其基本群上满足RFRS条件的欧拉示性数为零的3-流形都在圆上虚纤维化。在本文中，我们将证明一个生成的幂零群幂群要么是虚交换群，要么不是虚RFRS群，这个结果虽然不能直接应用于3-流形拓扑，但可能是独立有趣的。作为推论，我们推出任何RFRS群不能包含非交换无挠幂零群。这个结果也说明了剩余无挠零极点和RFRS条件之间的一些相互作用。
Strong conciseness of Engel words in profinite groups
在投射有限群的类$\mathscr C$中，一个群词$w$被称为强简洁的，如果对于$\mathscr C$中的任何群$G$，或者$w$至少取$G$中的连续统值，或者动词子群$w(G)$是有限的。证明了在所有的投射有限群类中所有的字都是强简洁的。早些时候，Detomi，Klopsch和Shumyatsky证明了这个猜想的多线性换向器的话，以及其他一些特殊的话。证明了在幂零投射有限群类中，每个群字都是强简洁的。本文证明了对任何$n$，$n$-Engel字$[...[x,y],y],\dots y]$（其中$y$重复$n$次）在可生成的投射有限群类中是强简洁的.
Subsets of Virtually Nilpotent Groups with the SBM Property
本文将Leth关于满足标准区间测度（SIM）性质的整数子集的概念推广到虚幂零群幂群类，并将相应的性质称为标准球测度（SBM）性质.为了做到这一点，我们定义了一个自然的措施，封闭的球在渐近锥面等群体，并表明，这种措施满足勒贝格密度定理。然后，我们证明类似物的各种属性，已知持有SIM集在这个更广泛的背景下，偶尔假设额外的属性组，如小球属性和小间隙属性。
Nilpotent Residual of a Finite Group
本文研究有限群在自同构群作用下幂零剩余的阶与秩的界，针对 Frobenius 群、Frobenius-like 群及二面体群情形给出由中心化子与作用群的阶和秩界定的结果。
The Congruence Subgroup Problem for finitely generated Nilpotent Groups
对于一个生成的群$Γ$和$G\leq Aut(Γ)$的同余子群问题，要问的是映射$\hat{G}\to Aut(\hatΓ)$是否是内射的，或者更一般地说，它的核$C\left(G,Γ\right)$是什么？这里$\hat{X}$表示$X$的profinite完成。在$G=Aut(Γ)$的情况下，我们表示为$C\left(Γ\right)=C\left(Aut(Γ),Γ\right)$。令$Γ$是一个随机生成的组，$\barΓ=Γ/[Γ,Γ]$和$Γ^{*}=\barΓ/tor(\barΓ)\cong\mathbb{Z}^{(d)}$。表示为$Aut^{*}(Γ)=\textrm{Im}(Aut(Γ)\to Aut(Γ^{*}))\leq GL_{d}(\mathbb{Z})$。本文证明了当$Γ$为幂零时，存在一个正则同构$C\left(Γ\right)\simeq C(Aut^{*}(Γ),Γ^{*})$ .换句话说，$C\left(Γ\right)$完全由算术群$Aut^{*}(Γ)$的经典同余子群问题的解决定。特别地，当$Γ=Ψ_{n,c}$是$c$类在$n$元素上的自由生成的幂零群时，只要$n\geq3$，并且$C(Ψ_{2,c})=C(\mathbb{Z}^{(2)})=\hat{F}_ω$ =可数生成元上的自由profinite群，我们就得到$C(Ψ_{n,c})=C(…
Word automatic groups of nilpotency class 2
我们考虑了类$2$的幂零群的词自动性，并且其指数为素数$p$。我们证明了在这个簇中无限生成的自由群不是词自动群。相反，无限的额外特殊$p$ -群$E_p$是词自动的，以及具有无限中心的中间群$H_p$。在最后一节中，我们介绍了一种通过余圈证明阿贝尔群的中心扩张的自动性的方法。
Entropy of automorphisms, homology and the intrinsic polynomial structure of nilpotent groups
研究了剩余幂零群自同构的字长熵，以及这类群自同构的熵与各种幂零群上诱导自同构的熵之间的关系。我们证明了，就像幂零群群的结构在很大程度上取决于它的阿贝尔化一样，幂零群群的自同构的熵也取决于它在阿贝尔化上的熵。我们给出了曲面的伪Anosov同胚的一些应用。特别地，我们证明了如果$ψ$是一个非同调的伪Anosov同胚的表面$Σ$与膨胀$K$和$N$是任何幂零商的任何有限指数特征子群的$π_1(Σ)$的$ψ$下降，熵的$ψ$被视为一个自同构的$N$是有界远离$K$ .这回答了D的一个问题。苏利文
On the rate of convergence to the asymptotic cone for nilpotent groups and subFinsler geometry
针对Gromov的一个问题，我们给出了Pansu定理中的一个速率，该速率是关于一个由左不变字度量按因子1/n向其渐近锥面缩放的生成幂零群在Gromov-Hausdorff度量中的收敛性.我们证明了由于渐近锥面中可能存在反常测地线，对于一般的非交换幂零群，这个速率不可能优于n^{1/2}。作为推论，我们还得到了幂零类为r的幂零群幂零群的Cayley球体积的误差项vol（B（n））=cn^d + O（n^{d-2/（3r）}）.我们还提出了一些相关的学术声明。
On groups with BFC-covered word values
本文研究群的(n,s)-覆盖条件，证明满足该条件的群存在指数和导出长度(或幂零类)均有界的可解(或幂零)子群。
Approximating a group by its solvable quotients
一个群的可解Farb增长量化了这个群被它的有限可解子近似的程度。本文给出了实幂零多环群的一个新刻画。也就是说，我们表明，一个组有可解的Farb增长，这是在$\log(n)$多项式当且仅当该集团是多环和几乎幂零的。我们还给出了关于幂零元逼近定向曲面群的新结果。因此，我们证明了一个自然数$C$的存在，使任何非平凡元素的$Ck$长期的下中心序列的一个非平凡生成的定向表面群必须有字长至少$k$。这里，$C$仅取决于发电机组的选择。最后，我们给出了一些结果，给出了某些亚阿贝尔群（包括Lighter群）的可解Farb增长的新的下界。
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