Cone-Copositive Lyapunov Functions for Complementarity Systems: Converse Result and Polynomial Approximation
本文建立了一类状态约束系统稳定性分析的李雅普诺夫函数的存在性，并给出了其数值计算的算法。该系统模型由一个微分方程与一个集值关系耦合组成，该集值关系在约束集的边界处引入了向量场的不连续性。特别地，用闭凸锥的指示函数的次微分来描述集值关系，从而得到锥补系统。通过构造锥共正的李雅普诺夫函数来分析这类系统的稳定性问题。作为第一个分析结果，我们证明了指数稳定的互补系统总是允许一个连续可微的锥共正的李雅普诺夫函数。在系统向量场上增加一些结构，如齐次性，我们可以证明上述函数可以用锥共正的齐次多项式的有理函数来近似。这后一类函数被认为是特别适合于数值计算，因为我们提供了两种类型的算法，正是出于这一目的。这些算法包括一个层次的线性或半定最优化问题计算所需的锥共正李雅普诺夫函数。最后给出了一些例子来说明我们的方法。
2021-04-13 math.OC
On the longest chain of faces of the completely positive and copositive cones
本文研究对称矩阵空间中闭凸锥的面链结构，证明完全正锥与余正锥等锥的最长面链长度为 n(n+1)/2+1，并由此给出夹在完全正锥与双非负锥之间的锥及其对偶到多面体性距离的下界 n(n+1)/2-2。
2024-06-07 math.OC
Extremal copositive matrices with minimal zero supports of cardinality two
设$A \in {\cal C}^n$是具有单位对角线的极值余正矩阵.则$A$的极小零点都有基数2的支集当且仅当$A$的元素都来自集合$\{-1,0,1\}$。因此，基数为2的具有最小零支撑的极值余正矩阵正是Hoffman和Pereira在1973年刻画的极值$\{-1,0,1\}$单位对角矩阵通过对角标度得到的矩阵.
2017-07-27 math.OC
Properties of the complementarity set for the cone of copositive matrices
本文研究余正定矩阵锥和完全正定矩阵锥的对偶锥的互补集性质，旨在为非对称锥寻找类似对称锥中至少n个线性无关双线性恒等式的关系，以服务于优化应用。
2024-04-26 math.OC
Almost Bijective Parametrization of $3 \times 3$ Copositive Matrices
本文研究 $3 \ imes 3$ 余正矩阵锥，通过几何观察、奇点消解和方法调整，提出一种满射且几乎单射的新型几乎双射参数化。
2024-05-09 math.OC
Copositive and completely positive cones over symmetric cones of rank at least 5
Keio University（庆应义塾大学）
研究秩至少为5的对称锥上的协正锥和完全正锥，证明它们不是谱面阴影，引入Horn变换生成暴露射线，并揭示平方和内部逼近层次在正半定锥上不是渐近精确的。
2026-07-21 math.AG math.OC
On the Exactness of Sum-of-Squares Approximations for the Cone of $5\times 5$ Copositive Matrices
我们研究了Parrilo（Structured Semifinite Programs and Semi-algebraic Geometry Methods in Robustness and Optimization，PhD Thesis，California Institute of Technology，2001）提出的共正锥$\text{COP}_n$的锥内近似$\mathcal{K}^{(r)}_n$（$r\in \mathbb{N}$）的层次结构。已知$\text{COP}_4=\mathcal{K}^{(0)}_4$，并且当圆锥体的并集$\mathcal{K}^{(r)}_n$覆盖$\text{COP}_n$的内部时，如果$n\geq 6$，则其不覆盖整个圆锥体$\text{COP}_n$。在这里，我们调查剩下的情况下$n=5$，其中所有极端射线已充分特征化的希尔德布兰德（极端射线的5 $\times$ 5共正锥。Linear Algebra and its Applications，437（7）：1538- 1547，2012）。我们表明，霍恩矩阵$H$和它的正对角标度发挥了特殊的作用之间的极端射线的$\text{COP}_5$。证明了等式$\text{COP}_5=\bigcup_{r\geq 0} \mathcal{K}^{(r)}_5$成立当且仅当$H$的任…
2022-05-11 math.OC
Copositive matrices, sums of squares and the stability number of a graph
本章研究了复正矩阵的锥，重点是设计和分析其锥内逼近，这些逼近基于矩阵复正性的各种充分条件，依赖于多项式平方和的正性证明。并讨论了它们在求图的最大独立集的离散最优化问题中的应用。本章的一个中心主题是理解何时锥逼近足以描述完全的共正锥，以及何时对应的独立集问题的界限允许有限收敛。
2023-03-20 math.OC
A Complete Semidefinite Algorithm for Detecting Copositive Matrices and Tensors
实对称矩阵（分别为，张量）被称为是共正的，如果相关的二次（分别，齐次）形式在非负正交元上的值大于或等于零。检测它们的共正性问题是NP难的。本文提出了一种完全半定松弛算法，用于检测矩阵或张量的共正性。如果它是共正的，则算法可以获得共正性的证书。如果不是，算法可以得到一个反驳共正性的点。我们表明，检测可以通过解决有限数量的半定松弛，所有的矩阵和张量。
2017-11-10 math.OC
Copositive Matrices with Ordered Off-Diagonal Entries
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；H. Milton Stewart School of Industrial and Systems Engineering, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院 H.米尔顿·斯图尔特工业与系统工程学院）；Sabancı University（萨贝里大学）
研究具有非对角线条目按行和列非递减的半正定矩阵的分解方法，应用于二次形式在标准单纯形上的优化，解决了一个开放性问题。
2026-05-15 math.OC
The maximal angle between $3 \times 3$ copositive matrices
本文解决 Hiriart-Urruty 与 Seeger 提出的共正矩阵最大夹角问题，证明 3 阶情形下 $θ_3=\ rac{3}{4}π$，并刻画全部达到最大夹角的矩阵对。
2025-01-07 math.OC
Minimal zeros of copositive matrices
设$A$是共正锥${\cal C}_n$的一个元素。$A$的零$u$是一个非零非负向量，使得$u^TAu = 0$。$u$的支持是对应于$u$的正条目的索引集$\mbox{supp}u \subset \{1,\dots,n\}$。如果不存在$A$的另一个零$v$使得它的支集$\mbox{supp}v$是$\mbox{supp}u$的严格子集，则称$A$的零$u$是极小的。研究了余正矩阵的极小零点的性质及其支撑。特别注意的是，对于半正定矩阵的锥$S_+(n)$是不可约的余正矩阵，即，矩阵不能写为一个正和一个非零半正定矩阵的和。给出了矩阵$A$关于$S_+(n)$按其极小零点不可约的一个充要条件。对于不可约矩阵关于按项非负矩阵的锥${\cal N}_n$给出了一个类似的条件。对于$n = 5$矩阵，关于$S_+(5)$和${\cal N}_5$都不可约的矩阵是极值的。对于$n = 6$，提供了例外极值矩阵可以具有的最小零点的支持的候选组合的列表。
2014-06-08 math.OC
Integer matrices that are not copositive have certificates of less than quadratic complexity
实对称n次n矩阵称为余正矩阵，如果其对应的二次型在闭第一正交点上非负。如果矩阵不是上正的，则存在某个非负证明，其二次型是负的。由于标度性质，我们可以在原点的每个邻域中找到这样的证书，但它们的性质当然取决于矩阵，并且很难描述。然而，如果它是一个整数矩阵，我们保证证书的复杂性最多是一个常数乘以矩阵的二进制编码长度的3/2次方。
2013-06-17 math.OC
Representation of Zeros of a Copositive Matrix via Maximal Cliques of a Graph
本文研究了共正矩阵与图论的新联系，证明了共正矩阵的归一化零点集合可表示为极小零点子集凸包的并集，这些子集与基于极小零点构建的特殊图的最大团相关，并开发了构建归一化极小零点和所有归一化零点集合的算法。
2024-10-10 math.OC
Approximation hierarchies for copositive cone over symmetric cone and their comparison
本文为对称锥上的余正锥提出基于平方和约束的内近似层级，并借助通常余正锥刻画及已有内外近似层级构造新的半定近似层级，通过理论比较与数值实验表明其能更准确高效地求解余正规划问题。
2023-08-14 math.OC
Sum-of-Squares Certificates for Copositive Matrices via Recursive Identities: The de Klerk-Pasechnik Conjecture and Hoffman-Pereira Matrices
Korea Institute for Advanced Study（韩国高等研究院）；Université de Toulouse（图卢兹大学；法国国家科学研究中心自动研究所）；LAAS-CNRS
本文构造显式平方和证书证明de Klerk-Pasechnik猜想，恢复Motzkin-Straus公式极小元的已知刻画，还为满足Hoffman-Pereira符号条件的矩阵给出平方和共正性证书。
2026-10-20 math.OC
Almost Bijective Parametrization of Copositive Univariate Polynomials
针对任意次数余正一元多项式锥的参数化问题，提出一种递归方法，实现满射、几乎单射且定义域为$(\mathbb{R}_{\geq 0})^d$的简洁构造。
2024-05-09 math.OC
A copositive formulation for the stability number of infinite graphs
在过去的十年中，共正公式已被提出用于各种组合最优化问题，例如稳定数（独立数）。在本文中，我们推广这种方法到无限图，并证明了一个无限图的稳定数是一些无限维的共正规划的最优解。为此，我们发展了一个对偶理论之间的原始凸锥的共正核和对偶凸锥的完全正措施。我们确定的极端射线后锥，我们说明了这个理论的帮助下接吻数的问题。
2015-10-05 math.FA math.OC
Sparse Conic Reformulation of Structured QCQPs based on Copositive Optimization with Applications in Stochastic Optimization
在努力开发一种替代方法，传统的稀疏重新，我们将提供一个新的类型的凸重新一类随机二次约束二次最优化问题，类似于Burer的重新制定，但升降机的变量到一个相对较低的维空间。重新制定依赖于一个推广的集完全正矩阵锥。然后，这个锥可以通过内部和外部近似近似，以获得上限和下界，这可能关闭的最优性差距，因此可以给这些稀疏的重新配方的传统，已知的充分条件之外的精确性证书。最后，我们提供了一些数值实验，在那里我们评估的内部和外部近似的质量，从而表明，近似可能确实关闭在有趣的情况下的最优性差距。
2023-01-28 math.OC
Copositive geometry of Feynman integrals
本文连接优化中的协正几何与Feynman积分，证明运动学参数在协正锥内时积分收敛，并用Pólya方法及Landau判别式刻画任意Feynman图的协正锥。
2025-06-22 hep-th math-ph math.CO
Perfect Copositive Matrices
University of Rostock（罗斯托克大学）
本文首次研究了完美半正定n×n矩阵，探讨其与经典完美正定矩阵的异同，发现n≥3时存在低秩和不定完美矩阵，并提出完全正矩阵锥的新刻画。
2023-07-17 math.MG math.NT math.OC
Copositive matrices with circulant zero support set
令$n \geq 5$和$u^1,\dots,u^n$是非负实$n$ -向量，使得它们的正元素的索引分别形成集合$\{1,2,\dots,n-2\},\{2,3,\dots,n-1\},\dots,\{n,1,\dots,n-3\}$。这里，每个索引集都是通过循环移位从前一个索引集获得的。在向量$u^1,\dots,u^n$上为零的共正形式的集合是共正锥${\cal C}^n$的一个面。我们给出了一个明确的半定描述，这个面和它的子面组成的半正定形式，并研究它们的性质。如果向量$u^1,\dots,u^n$和它们的正倍数耗尽了属于这个面的例外的共正形式的零集，则我们说它具有最小循环零支撑集，否则具有非最小循环零支撑集。我们证明了具有非最小循环零支撑集的形式总是极值的，而具有最小循环零支撑集的形式只有当$n$是奇数时才能是极值的。我们构造了任意阶$n \geq 5$具有非最小循环零支撑集的极值形式的显式例子，以及任意奇数阶$n \geq 5$具有最小循环零支撑集的极值形式的例子.具有非最小循环零支撑集的所有形式的集合，即，由不同的零集合$u^1,\dots,u^n$定义，是余维$2n$的子流形，具有最小循环零支撑集的所有形式的集合是余维$n$的子流形。
2016-11-08 math.OC
Stability Analysis of Recurrent Neural Networks by IQC with Copositive Mutipliers
Kyushu University（九州大学）；LAAS-CNRS（法国国家科学研究中心图卢兹自动化与系统分析实验室）；Université de Toulouse（图卢兹大学）
利用积分二次约束（IQC）框架对循环神经网络（RNNs）进行稳定性分析。整流线性单元（ReLU）通常用作RNN的激活函数，并且ReLU具有关于其输入和输出信号的特定非负属性。因此，如果我们能够推导出基于IQC的稳定性条件，并使用乘子来照顾这种非负性质，则是有效的。然而，这样的非负性（线性）性质很难捕获的现有的乘数上定义的半正定锥。为了克服这个困难，我们将标准的半正定锥放松为余正锥，并使用余正乘子来捕获非负性。我们表明，在IQC的框架内，我们可以采用共正乘数（或其内部近似）连同现有的乘数，如Zames-Falb乘数和多面体边界乘数，这直接使我们能够确保引入共正乘数导致更好的（没有更多的保守）结果。最后，我们通过数值例子说明了基于IQC的稳定性条件的有效性与同正乘子。
2022-02-09 cs.LG math.OC
A random copositive matrix is completely positive with positive probability
本文证明随维度增大，随机共正矩阵属于完全正矩阵锥的概率具有正下界，并推广到夹在两锥间的各类矩阵锥。
2024-02-14 math.FA math.OC quant-ph
Exploiting cone approximations in an augmented Lagrangian method for conic optimization
提出一种利用锥近似求解非线性锥规划的增广拉格朗日算法，证明其强全局收敛性，并在余正锥约束下通过迭代细化多面体近似，数值实验表明优于标准方法。
2025-04-18 math.OC
Error analysis of approximation algorithm for standard bi-quadratic programming
考虑了NP-困难的标准双二次规划（StBQP）的近似求解问题。在将原问题转化为等价的共正张量规划后，我们展示了如何通过一系列的多面体锥来近似共正张量的锥来近似最优解。所建立的逼近质量表明，存在求解StBQP的多项式时间逼近方案（PTAS），并可推广到求解标准的多重二次规划.一些数值例子来说明我们的方法。
2015-01-13 math.OC
Improved Decision Rule Approximations for Multi-Stage Robust Optimization via Copositive Programming
本文研究一般多阶段鲁棒线性最优化问题的决策规则近似。我们考虑线性决策规则的情况下，目标系数，追索矩阵，和右手边是不确定的，并考虑二次决策规则的情况下，只有右手边是不确定的。由此产生的最优化问题是NP-难的，但服从共正规划重新制定，产生严格的保守近似。我们进一步提高这些近似通过新的分段决策规则计划。最后，我们证明了我们提出的近似比国家的最先进的计划，并通过数值实验证明其优越性。
2021-05-01 math.OC
New results on the cp rank and related properties of co(mpletely)positive matrices
在应用数学中，余正矩阵和完全正矩阵扮演着越来越重要的角色，即作为逼近NP难最优化问题的一个关键概念。在对称矩阵空间上，给定阶的余正矩阵的锥与同阶的完全正矩阵的锥关于标准标积是对偶的.本文建立了这类矩阵的两个正交对之间的一些新的关系。因此，我们可以建立一般阶完全正矩阵的cp-秩的上界的一个改进，并进一步改进了六阶完全正矩阵的cp-秩的一个上界.
2013-11-23 math.OC
Exactness of Parrilo's conic approximations for copositive matrices and associated low order bounds for the stability number of a graph
De Klerk和Pasechnik（2002）引入了图$G$的稳定数$α(G)$的界$\vartheta^{(r)}(G)$（$r\in \mathbb{N}$），并证明了在$α(G)-1$阶上的正合性：$\vartheta^{(α(G)-1)}(G)=α(G)$ .这些界限依赖于Parrilo（2000）对共正锥$\text{COP}_n$的圆锥近似$\mathcal{K}_n^{(r)}$。在$\vartheta^{(r)}$的收敛性分析中的一个困难是在添加零行/列的情况下锥$\mathcal{K}_n^{(r)}$的不良行为：当应用于不在$\mathcal{K}^{(0)}_n$中的矩阵时，这给出了不在任何${\mathcal{K}}^{(r)}_{n+1}$中的矩阵，从而显示了对$n\ge 6$的严格包含$\bigcup_{r\ge 0}{\mathcal{K}}^{(r)}_n\subset \text{COP}_n$。我们研究了具有$\vartheta^{(r)}(G)=α(G)$的$r=0,1$的图：我们在算法上将$\vartheta^{(0)}$的测试精确度降低到临界图，我们用$\vartheta^{(0)}$精确度刻画了临界图，并且我们展示了在添加孤立节点的情况下$\vartheta^{(1)}$的精确度不保持的图.这否定了Gvozdenović和Laurent…
2021-09-27 math.CO math.OC
Higher-Order Cone Programming
我们引入了一个圆锥嵌入条件，给出了一个层次的锥和锥程序。这个条件被大量的凸锥所满足，包括共正矩阵锥、完全正矩阵锥和所有对称锥。讨论了中间锥和锥规划的性质。特别是，我们演示了如何嵌入条件产生一个家庭的锥方案，LP，SOCP和SDP之间的插值。这个$k$阶锥族可以被实现为$n$乘$n$对称矩阵的锥或者被实现为$n$变量偶次多项式的锥。情况$k = 1, 2, n$则对应于LP、SOCP、SDP;或者，用多项式优化的语言，对应于DSOS、SDSOS、SOS。
2018-11-13 math.OC
The S-Procedure via Dual Cone Calculus
给定一个满足斯莱特条件的二次函数$h$，Yakubovich的S-过程（或S-引理）给出了所有其他与$h$共正的二次函数的特征，其形式适合于数值计算。本文给出了S-过程与对偶锥演算公式$(K_1\cap K_2)^*= K_1^*+K_2^*$之间的一个深层次的联系，该公式对$\R^2$中的闭凸锥成立.为了建立与S-过程的联系，我们推广了对偶锥演算公式的情况下，$K_1$是非封闭的，非凸和非圆锥，但表现出足够的数学相似性的一个封闭的凸锥。由此得到了S-引理的一个新的证明和对希尔伯特空间核的一个推广。
2013-05-10 math.OC
Refined Estimates on the Dimensions of Maximal Faces of Completely Positive Cones
Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Belarus（白俄罗斯国家科学院数学研究所）；University of Aveiro（阿威罗大学）
本文通过建立更精确的界限，改进了完全正矩阵锥最大面维度的已知界限，揭示了奇数和偶数维度下的具体结果。
2026-03-10 math.OC
Variational Analysis of the Orthogonally Invariant Norm Cone of Symmetric Matrices
大量的矩阵最优化问题都是用正交不变范数来描述的。本文研究了对称矩阵正交不变模锥的变分分析。对于一般正交不变的对称矩阵模锥，给出了其切锥、法锥和二阶切集的计算公式。给出了投影算子在正交不变模锥上的可微性，包括方向导数和B-次微分的计算公式.重要的是，方向导数由相应对称函数的二阶导数表征，这便于计算。这些结果都是Schatten $p$ -范数锥，特别是对称矩阵的二阶锥的特例.
2023-02-11 math.OC
Linear complementarity on simplicial cones and the congruence orbit of matrices
矩阵的同余轨道与单纯锥上的线性互补性问题有着天然的联系。根据同余轨道和单纯锥族这两种方法，从补理论的观点给出了矩阵的等价分类。
2016-10-27 math.OC
Spectrahedral cones generated by rank 1 matrices
设${\cal S}_+^n \subset {\cal S}^n$是实对称$n \times n$矩阵的向量空间的子集的半正定矩阵的锥。${\cal S}_+^n$与${\cal S}^n$的线性子空间的交称为谱面体锥。考虑谱面体锥$K$，使得$K$的每个元素都可以表示为$K$中秩为1的矩阵之和.我们称这种谱面体锥为秩一生成锥（ROG）。我们证明了线性同构于凸锥的ROG锥也同构于半正定矩阵锥的线性截面，这与一般的谱面体锥不同。我们给出了许多ROG锥的例子，并展示了如何通过不同的程序从给定的ROG锥构造新的ROG锥。我们提供了ROG锥的一些子类的分类，特别是，我们分类矩阵大小不超过4的所有ROG锥。进一步证明了关于ROG锥结构的一些结果。我们也简要地考虑复杂的情况下或四元数矩阵。ROG锥与二次约束二次最优化问题的半定松弛的精确性或平方泛函系统中非负函数锥的松弛的精确性密切相关。
2015-04-07 math.OC
Optimization over Structured Subsets of Positive Semidefinite Matrices via Column Generation
IBM Research（IBM 研究部）
本文提出通过线性规划和二次锥规划近似正定矩阵锥的方法，利用列生成思想改进初始近似，并应用于非凸多项式优化和离散优化问题。
2016-03-11 cs.DM cs.SY eess.SY
Inner approximating the completely positive cone via the cone of scaled diagonally dominant matrices
由于完全正规划在编码困难最优化问题方面的表现力，许多完全正锥的近似方案被提出并成功应用。大多数方案都是基于外部近似，只有内部近似是基于线性规划的方法，由Bundfuss和Dür以及Yıldırım提出，以及Lasserre提出的基于半定规划的方法。在本文中，我们提出了使用的锥的非负规模对角占优矩阵作为一个自然的内部逼近的完全正锥。利用这个锥的投影，我们得到新的基于图的二阶锥逼近计划完全正规划，导致统一和问题相关的层次结构。这提供了半定规划的表达能力和基于线性规划的方法的速度之间的折衷。随机问题，标准二次规划和独立集问题的数值结果表明，我们的方法的有效性。
2019-10-04 math.OC
Isotone projection cones and Q-matrices
具有在其上的投影相对于其诱导的阶是保序的性质的真锥称为保序投影锥。保序投影锥及其扩张已被用于求解互补性问题和变分不等式。Q-矩阵是一类矩阵，它所定义的线性互补性问题都是可解的。本文将利用保序投影锥生成一类Q-矩阵。更具体地，将示出具有正对角元素的非负矩阵与Stieltjes矩阵之间的乘积是Q矩阵。
2016-10-07 math.OC
Simplicial Regularizability of the Pseudo-Moment Cone and Carathéodory-Type Atomic Decomposition of Moment Matrices
School of Engineering and Applied Sciences, Harvard University（哈佛大学本科工程学院与应用科学学院）
研究伪矩锥的面几何及其对矩矩阵原子分解的影响，证明在特定条件下矩矩阵的最小面是单纯生成的，并开发了一种Carathéodory型极射分解算法，适用于谱锥和伪矩锥。
2026-05-07 math.OC
Applications of the Lorentz positive cone in nonconvex quadratic optimization
University of Iowa（爱荷华大学）
本文研究Lorentz正锥及其对偶锥，用于求解椭球约束下的双线性目标最小化问题，提供多项式时间算法，并增强非凸二次优化问题的SDP松弛。
2026-09-29 math.OC
Polyhedral approximations of the semidefinite cone and their application
我们开发的技术来构建一系列的稀疏多面体近似的半定锥。受Tanaka和Yoshise（2018）提出的半定（SD）基的启发，我们提出了SD基的一个简单扩展，以保持组成它的矩阵的稀疏性。我们证明了使用我们扩展的SD基的多面体逼近包含所有对角占优矩阵的集合，并且包含在所有缩放对角占优矩阵的集合中。我们还证明了所有的缩放对角占优矩阵的集合可以表示使用无限数量的扩展SD基地。我们使用我们的近似作为初始近似的割平面法解决半定松弛的最大独立集问题。结果发现，所提出的方法与扩展SD基是显着更有效的方法，使用其他现有的近似或直接解决半定松弛问题。
2020-12-09 math.OC
A note on diffusive solutions of the Lyapunov and Riccati inequalities for quasi-monotone (QM) mappings on cones
Department of Mathematics & Statistics, Maynooth University（梅努斯大学数学与统计系）
本文研究了准单调映射在锥上的扩散解，扩展了Lyapunov和Riccati不等式的稳定性概念，并探讨了与对称锥相关的结果。
2026-02-19 math.OC
A Cone-preserving Solution to a Nonsymmetric Riccati Equation
本文研究了非对称代数Riccati方程的保锥解问题，证明了系数矩阵稳定性是存在稳定保锥解的等价条件，并揭示了保锥矩阵单调递增序列收敛的充分条件。
2024-12-20 math.OC
On Covering Euclidean Space with Q-arrangements of Cones
INRIA（法国国家数字科学研究所）
本文通过几何方法研究Q矩阵的可解性，提出了一种基于半代数集的代数表征，并生成具有特定性质的Q矩阵。
2025-07-06 math.OC
On Approximations of the PSD Cone by a Polynomial Number of Smaller-sized PSD Cones
我们研究了半正定（PSD）矩阵的锥，可以描述由较小尺寸的PSD约束的近似问题。具体地说，我们问的问题：“我们如何接近一组单位迹$n \times n$ PSD矩阵，表示为$D$，使用最多$N$数量的$k \times k$ PSD约束？在本文中，我们证明了$N$的下界，通过考虑近似集的两种构造来实现$D$的良好近似。首先，我们考虑单位迹$n \times n$对称矩阵，当限制到一个固定的集合的$k$ -维子空间在$\mathbb{RR}^n$ PSD。我们证明，如果这一组是一个很好的近似$D$，那么在$n$的任何$k = o(n)$的子空间的数量必须至少是指数大。%第二，我们表明，任何一组$S$，近似$D$在一个恒定的近似比必须有超多项式$\mathbf{S}_+^k$扩展复杂性。更精确地说，如果$S$是$D$的常数因子近似，则$S$必须具有至少为$\exp( C \cdot \min \{ \sqrt{n}, n/k \})$的$\mathbf{S}_+^k$ -扩展复杂度，其中$C$是某个绝对常数。此外，我们表明，任何一组$S$，使$D \subseteq S$和高斯宽度的$D$是最多一个常数倍大于高斯宽度的$D$必须有$\mathbf{S}_+^k$ -扩展复杂性至少$\exp( C \cdot \min \{ n^{1/3}, \sqrt{n/k} \})$。这些结果意味着…
2021-05-05 math.OC
Evaluating approximations of the semidefinite cone with trace normalized distance
我们评估对角占优矩阵集合的对偶锥（分别为，缩放的对角占优矩阵），即${\cal DD}_n^*$（分别，${\cal SDD}_n^*$）作为半定锥的近似。我们证明了Blekherman等人（2022）提出的集${\cal S}$与半定锥之间的范数归一化距离在${\cal SDD}_n^* \subseteq {\cal S} \subseteq {\cal DD}_n^*$时具有相同的值。这意味着范数归一化距离不是评估这些近似的充分度量。作为一个新的措施，以弥补该距离的弱点，我们提出了一个新的距离，称为跟踪归一化距离。我们证明了${\cal DD}_n^*$和${\cal S}^n_+$之间的迹归一化距离与${\cal SDD}_n^*$和${\cal S}^n_+$之间的迹归一化距离具有不同的值，并给出了这些距离的精确值.
2022-07-17 math.OC
Which Nonnegative Matrices Are Slack Matrices?
本文在所有非负矩阵中刻画了锥和多面体的松弛矩阵。这导致了一个算法来决定是否一个给定的矩阵是一个松弛矩阵。底层的判定问题等价于复杂度未知的多面体验证问题。
2013-03-22 math.OC
Hyperbolic Relaxation of $k$-Locally Positive Semidefinite Matrices
求解大规模半正定（PSD）规划的一个成功的计算方法是只在一组子矩阵上强制PSD性。对于我们的研究，我们让$\mathcal{S}^{n,k}$是$n\times n$对称矩阵的凸锥，其中所有的$k\times k$主子矩阵是PSD。我们将此$k$中的矩阵称为- \emph{locally PSD}。为了比较$S^{n,k}$和PSD矩阵的性质，我们研究了$k$ -{局部PSD}矩阵的特征值.本文的主要观点是存在一个凸锥$H(e_k^n)$，如果$X \in \mathcal{S}^{n,k}$，则$X$的特征值向量包含在$H(e_k^n)$中。锥$H(e_k^n)$是初等对称多项式$e^k_n$（其中$e_k^n(x) = \sum_{S \subseteq [n] : |S| = k} \prod_{i \in S} x_i$）关于全一向量的双曲锥。使用这种见解，我们能够提高以前已知的上界的Frobenius距离矩阵之间的$\mathcal{S}^{n,k}$和PSD矩阵。我们还研究了凸松弛$H(e^n_k)$的质量。我们首先表明，这种松弛是紧的情况下，$k = n -1$，也就是说，对于每一个矢量在$H(e^n_{n -1})$存在一个矩阵在$\mathcal{S}^{n, n -1}$的特征值等于该向量的分量。然后证明了$\mathcal{S}^{n,k}$中非奇异矩阵的一个…
2021-07-20 math.OC
On asymptotic properties of matrix semigroups with an invariant cone
最近，一些研究工作表明，当这些矩阵共享一个不变锥时，矩阵集合的联合谱特征的分析大大简化。在这篇短文中，我们证明了这方面的两个新结果。我们证明了联合谱子半径是连续的邻域内的矩阵集，离开一个嵌入对锥不变。证明了当矩阵共享不变锥且其中一个矩阵是本原矩阵时，长度为t的乘积的（平均）最大谱半径和最大迹都向联合谱半径收敛.
2012-01-16 math.DS math.OC
On generators of $k$-PSD closures of the positive semidefinite cone
本文研究半正定锥的 $k$-PSD 闭包近似，针对其几何理论讨论不足的问题，刻画了该类锥近似的一族生成元。
2024-05-02 math.OC
Coordinate shadows of semi-definite and Euclidean distance matrices
我们考虑投影半定和欧氏距离锥到一个子集的矩阵元素。这两个集合正是定义可行半定和欧几里得距离完备化问题的输入数据。我们分类时，这些集是封闭的，并使用这两个集的边界结构来阐明Krislock-Wolkowicz面部约简算法。特别是，我们表明，弦假设下，这些问题的“最小锥”承认组合特征。作为一个副产品，我们记录了一个显着的关系之间的复杂性的一般面部减少算法（奇异度）和面部暴露的圆锥图像下的线性映射。
2015-01-08 math.OC
Rank Restricted Semidefinite Matrices and Image Closedness
研究秩限制正半定矩阵的（非凸）锥在其元素子集上投影的闭包。这定义了可行集的半定完成问题的限制的行列。应用程序包括使用核范数启发式低秩完成的条件。
2016-10-31 math.OC
On the quality of the $k-$PSD closure approximation
半正定（PSD）锥是正半定矩阵的锥，是半定规划（SDP）的研究对象。PSD锥的计算有效近似是$k$闭包，$1 \leq k < n$，$n\times n$实对称矩阵的锥，使得它们的所有$k\times k$主子矩阵是半正定的。对于$k=1$，得到多面体近似，而$k=2$得到PSD锥的二阶圆锥（SOC）近似。PSD锥的这些近似已被广泛用于诸如AC最优潮流（ACOPF）的现实世界应用中，以解决其中SDP松弛用于凸化非凸性的计算效率低下。在最近的一系列文章中，Blekharman等人提供了这些近似的质量界限。在这项工作中，我们重新审视他们的一些结果，并提出了一个新的主导界的质量的$k$ PSD封闭近似的PSD锥。此外，我们还对$2$ -PSD闭包的极值射线进行了表征。
2021-06-04 math.OC
Sparse PSD approximation of the PSD cone
虽然半定规划（SDP）问题在理论上是多项式可解的，但在实践中通常很难解决大型SDP实例。解决这个问题的一种方法是放松全局半正定性（PSD）约束，只对较小的$k\times k$主子矩阵强制PSD性--我们称之为稀疏SDP松弛。令人惊讶的是，根据经验观察到，在某些情况下，这种方法似乎产生接近原始SDP的最佳目标函数值的边界。在本文中，我们正式尝试从理论角度比较稀疏SDP松弛与原始SDP的强度。为了简化这个问题，我们得到了一个数据独立的版本，其中我们比较了SDP锥和$k$ -PSD闭包的大小，$k$ -PSD闭包是在所有$k\times k$主子矩阵上强制PSD性的矩阵锥。特别是，我们调查的问题有多远的单位Frobenius范数矩阵的$k$ -PSD封闭可以从SDP锥。我们提供了两个无与伦比的上界这个最远的距离作为$k$和$n$的函数。我们还提供了匹配的下界，这表明，上界是紧在一个常数在不同的制度的$k$和$n$。除了线性代数技术，我们广泛使用概率方法来达到这些界限。其中一个下界是通过观察$k$ -PSD闭包中的矩阵与满足限制等距性质（RIP）的矩阵之间的连接而获得的。
2020-02-07 math.OC
