Cone-Copositive Lyapunov Functions for Complementarity Systems: Converse Result and Polynomial Approximation
本文建立了一类状态约束系统稳定性分析的李雅普诺夫函数的存在性，并给出了其数值计算的算法。该系统模型由一个微分方程与一个集值关系耦合组成，该集值关系在约束集的边界处引入了向量场的不连续性。特别地，用闭凸锥的指示函数的次微分来描述集值关系，从而得到锥补系统。通过构造锥共正的李雅普诺夫函数来分析这类系统的稳定性问题。作为第一个分析结果，我们证明了指数稳定的互补系统总是允许一个连续可微的锥共正的李雅普诺夫函数。在系统向量场上增加一些结构，如齐次性，我们可以证明上述函数可以用锥共正的齐次多项式的有理函数来近似。这后一类函数被认为是特别适合于数值计算，因为我们提供了两种类型的算法，正是出于这一目的。这些算法包括一个层次的线性或半定最优化问题计算所需的锥共正李雅普诺夫函数。最后给出了一些例子来说明我们的方法。
2021-04-13 math.OC
Approximation hierarchies for copositive cone over symmetric cone and their comparison
本文为对称锥上的余正锥提出基于平方和约束的内近似层级，并借助通常余正锥刻画及已有内外近似层级构造新的半定近似层级，通过理论比较与数值实验表明其能更准确高效地求解余正规划问题。
2023-08-14 math.OC
On the longest chain of faces of the completely positive and copositive cones
本文研究对称矩阵空间中闭凸锥的面链结构，证明完全正锥与余正锥等锥的最长面链长度为 n(n+1)/2+1，并由此给出夹在完全正锥与双非负锥之间的锥及其对偶到多面体性距离的下界 n(n+1)/2-2。
2024-06-07 math.OC
Properties of the complementarity set for the cone of copositive matrices
本文研究余正定矩阵锥和完全正定矩阵锥的对偶锥的互补集性质，旨在为非对称锥寻找类似对称锥中至少n个线性无关双线性恒等式的关系，以服务于优化应用。
2024-04-26 math.OC
Almost Bijective Parametrization of $3 \times 3$ Copositive Matrices
本文研究 $3 \ imes 3$ 余正矩阵锥，通过几何观察、奇点消解和方法调整，提出一种满射且几乎单射的新型几乎双射参数化。
2024-05-09 math.OC
Copositive and completely positive cones over symmetric cones of rank at least 5
Keio University（庆应义塾大学）
研究秩至少为5的对称锥上的协正锥和完全正锥，证明它们不是谱面阴影，引入Horn变换生成暴露射线，并揭示平方和内部逼近层次在正半定锥上不是渐近精确的。
2026-07-21 math.AG math.OC
On the Exactness of Sum-of-Squares Approximations for the Cone of $5\times 5$ Copositive Matrices
我们研究了Parrilo（Structured Semifinite Programs and Semi-algebraic Geometry Methods in Robustness and Optimization，PhD Thesis，California Institute of Technology，2001）提出的共正锥$\text{COP}_n$的锥内近似$\mathcal{K}^{(r)}_n$（$r\in \mathbb{N}$）的层次结构。已知$\text{COP}_4=\mathcal{K}^{(0)}_4$，并且当圆锥体的并集$\mathcal{K}^{(r)}_n$覆盖$\text{COP}_n$的内部时，如果$n\geq 6$，则其不覆盖整个圆锥体$\text{COP}_n$。在这里，我们调查剩下的情况下$n=5$，其中所有极端射线已充分特征化的希尔德布兰德（极端射线的5 $\times$ 5共正锥。Linear Algebra and its Applications，437（7）：1538- 1547，2012）。我们表明，霍恩矩阵$H$和它的正对角标度发挥了特殊的作用之间的极端射线的$\text{COP}_5$。证明了等式$\text{COP}_5=\bigcup_{r\geq 0} \mathcal{K}^{(r)}_5$成立当且仅当$H$的任…
2022-05-11 math.OC
Copositive matrices, sums of squares and the stability number of a graph
本章研究了复正矩阵的锥，重点是设计和分析其锥内逼近，这些逼近基于矩阵复正性的各种充分条件，依赖于多项式平方和的正性证明。并讨论了它们在求图的最大独立集的离散最优化问题中的应用。本章的一个中心主题是理解何时锥逼近足以描述完全的共正锥，以及何时对应的独立集问题的界限允许有限收敛。
2023-03-20 math.OC
Minimal zeros of copositive matrices
设$A$是共正锥${\cal C}_n$的一个元素。$A$的零$u$是一个非零非负向量，使得$u^TAu = 0$。$u$的支持是对应于$u$的正条目的索引集$\mbox{supp}u \subset \{1,\dots,n\}$。如果不存在$A$的另一个零$v$使得它的支集$\mbox{supp}v$是$\mbox{supp}u$的严格子集，则称$A$的零$u$是极小的。研究了余正矩阵的极小零点的性质及其支撑。特别注意的是，对于半正定矩阵的锥$S_+(n)$是不可约的余正矩阵，即，矩阵不能写为一个正和一个非零半正定矩阵的和。给出了矩阵$A$关于$S_+(n)$按其极小零点不可约的一个充要条件。对于不可约矩阵关于按项非负矩阵的锥${\cal N}_n$给出了一个类似的条件。对于$n = 5$矩阵，关于$S_+(5)$和${\cal N}_5$都不可约的矩阵是极值的。对于$n = 6$，提供了例外极值矩阵可以具有的最小零点的支持的候选组合的列表。
2014-06-08 math.OC
Almost Bijective Parametrization of Copositive Univariate Polynomials
针对任意次数余正一元多项式锥的参数化问题，提出一种递归方法，实现满射、几乎单射且定义域为$(\mathbb{R}_{\geq 0})^d$的简洁构造。
2024-05-09 math.OC
A copositive formulation for the stability number of infinite graphs
在过去的十年中，共正公式已被提出用于各种组合最优化问题，例如稳定数（独立数）。在本文中，我们推广这种方法到无限图，并证明了一个无限图的稳定数是一些无限维的共正规划的最优解。为此，我们发展了一个对偶理论之间的原始凸锥的共正核和对偶凸锥的完全正措施。我们确定的极端射线后锥，我们说明了这个理论的帮助下接吻数的问题。
2015-10-05 math.FA math.OC
Sparse Conic Reformulation of Structured QCQPs based on Copositive Optimization with Applications in Stochastic Optimization
在努力开发一种替代方法，传统的稀疏重新，我们将提供一个新的类型的凸重新一类随机二次约束二次最优化问题，类似于Burer的重新制定，但升降机的变量到一个相对较低的维空间。重新制定依赖于一个推广的集完全正矩阵锥。然后，这个锥可以通过内部和外部近似近似，以获得上限和下界，这可能关闭的最优性差距，因此可以给这些稀疏的重新配方的传统，已知的充分条件之外的精确性证书。最后，我们提供了一些数值实验，在那里我们评估的内部和外部近似的质量，从而表明，近似可能确实关闭在有趣的情况下的最优性差距。
2023-01-28 math.OC
Copositive geometry of Feynman integrals
本文连接优化中的协正几何与Feynman积分，证明运动学参数在协正锥内时积分收敛，并用Pólya方法及Landau判别式刻画任意Feynman图的协正锥。
2025-06-22 hep-th math-ph math.CO
Stability Analysis of Recurrent Neural Networks by IQC with Copositive Mutipliers
Kyushu University（九州大学）；LAAS-CNRS（法国国家科学研究中心图卢兹自动化与系统分析实验室）；Université de Toulouse（图卢兹大学）
利用积分二次约束（IQC）框架对循环神经网络（RNNs）进行稳定性分析。整流线性单元（ReLU）通常用作RNN的激活函数，并且ReLU具有关于其输入和输出信号的特定非负属性。因此，如果我们能够推导出基于IQC的稳定性条件，并使用乘子来照顾这种非负性质，则是有效的。然而，这样的非负性（线性）性质很难捕获的现有的乘数上定义的半正定锥。为了克服这个困难，我们将标准的半正定锥放松为余正锥，并使用余正乘子来捕获非负性。我们表明，在IQC的框架内，我们可以采用共正乘数（或其内部近似）连同现有的乘数，如Zames-Falb乘数和多面体边界乘数，这直接使我们能够确保引入共正乘数导致更好的（没有更多的保守）结果。最后，我们通过数值例子说明了基于IQC的稳定性条件的有效性与同正乘子。
2022-02-09 cs.LG math.OC
Low degree sum-of-squares bounds for the stability number: a copositive approach
本文提出一种基于协正规划和结构化SOS表示的SDP层级，用于逼近图的稳定数，该层级保留结构性质、有限收敛，并在特定图族上单步达到最优，验证了de Klerk-Pasechnik猜想的紧致性。
2025-09-10 math.CO math.OC
A random copositive matrix is completely positive with positive probability
本文证明随维度增大，随机共正矩阵属于完全正矩阵锥的概率具有正下界，并推广到夹在两锥间的各类矩阵锥。
2024-02-14 math.FA math.OC quant-ph
Exploiting cone approximations in an augmented Lagrangian method for conic optimization
提出一种利用锥近似求解非线性锥规划的增广拉格朗日算法，证明其强全局收敛性，并在余正锥约束下通过迭代细化多面体近似，数值实验表明优于标准方法。
2025-04-18 math.OC
Error analysis of approximation algorithm for standard bi-quadratic programming
考虑了NP-困难的标准双二次规划（StBQP）的近似求解问题。在将原问题转化为等价的共正张量规划后，我们展示了如何通过一系列的多面体锥来近似共正张量的锥来近似最优解。所建立的逼近质量表明，存在求解StBQP的多项式时间逼近方案（PTAS），并可推广到求解标准的多重二次规划.一些数值例子来说明我们的方法。
2015-01-13 math.OC
New results on the cp rank and related properties of co(mpletely)positive matrices
在应用数学中，余正矩阵和完全正矩阵扮演着越来越重要的角色，即作为逼近NP难最优化问题的一个关键概念。在对称矩阵空间上，给定阶的余正矩阵的锥与同阶的完全正矩阵的锥关于标准标积是对偶的.本文建立了这类矩阵的两个正交对之间的一些新的关系。因此，我们可以建立一般阶完全正矩阵的cp-秩的上界的一个改进，并进一步改进了六阶完全正矩阵的cp-秩的一个上界.
2013-11-23 math.OC
Computational complexity of sum-of-squares bounds for copositive programs
本文研究协正规划 SOS 松弛的计算复杂性，给出其固定精度下多项式时间可计算的充分条件，并证明图稳定数界可高效计算。
2025-01-07 cs.CC math.OC
Higher-Order Cone Programming
我们引入了一个圆锥嵌入条件，给出了一个层次的锥和锥程序。这个条件被大量的凸锥所满足，包括共正矩阵锥、完全正矩阵锥和所有对称锥。讨论了中间锥和锥规划的性质。特别是，我们演示了如何嵌入条件产生一个家庭的锥方案，LP，SOCP和SDP之间的插值。这个$k$阶锥族可以被实现为$n$乘$n$对称矩阵的锥或者被实现为$n$变量偶次多项式的锥。情况$k = 1, 2, n$则对应于LP、SOCP、SDP;或者，用多项式优化的语言，对应于DSOS、SDSOS、SOS。
2018-11-13 math.OC
Exactness of Parrilo's conic approximations for copositive matrices and associated low order bounds for the stability number of a graph
De Klerk和Pasechnik（2002）引入了图$G$的稳定数$α(G)$的界$\vartheta^{(r)}(G)$（$r\in \mathbb{N}$），并证明了在$α(G)-1$阶上的正合性：$\vartheta^{(α(G)-1)}(G)=α(G)$ .这些界限依赖于Parrilo（2000）对共正锥$\text{COP}_n$的圆锥近似$\mathcal{K}_n^{(r)}$。在$\vartheta^{(r)}$的收敛性分析中的一个困难是在添加零行/列的情况下锥$\mathcal{K}_n^{(r)}$的不良行为：当应用于不在$\mathcal{K}^{(0)}_n$中的矩阵时，这给出了不在任何${\mathcal{K}}^{(r)}_{n+1}$中的矩阵，从而显示了对$n\ge 6$的严格包含$\bigcup_{r\ge 0}{\mathcal{K}}^{(r)}_n\subset \text{COP}_n$。我们研究了具有$\vartheta^{(r)}(G)=α(G)$的$r=0,1$的图：我们在算法上将$\vartheta^{(0)}$的测试精确度降低到临界图，我们用$\vartheta^{(0)}$精确度刻画了临界图，并且我们展示了在添加孤立节点的情况下$\vartheta^{(1)}$的精确度不保持的图.这否定了Gvozdenović和Laurent…
2021-09-27 math.CO math.OC
Harmonic Hierarchies for Polynomial Optimization
Universidad de los Andes（安第斯大学）
本文提出了一种用于多项式优化的调和层次结构，通过多面体近似和无需优化的算法，提高了非负形式和矩锥体的收敛速度和计算效率。
2022-02-25 math.OC
Common Optimal Supports and Bottleneck Hierarchies in Truncated Cones
Télécom SudParis, Institut Polytechnique de Paris（巴黎综合理工学院电信南方学院）
研究截锥中线性规划所有最优解支撑集的公共交集，证明其为自然簇的横截，引入至多|E|-1层稳定的瓶颈层级，并给出精确上界及多种应用。
2026-09-30 math.OC
Optimization over Structured Subsets of Positive Semidefinite Matrices via Column Generation
IBM Research（IBM 研究部）
本文提出通过线性规划和二次锥规划近似正定矩阵锥的方法，利用列生成思想改进初始近似，并应用于非凸多项式优化和离散优化问题。
2016-03-11 cs.DM cs.SY eess.SY
Alternative SDP and SOCP Approximations for Polynomial Optimization
在理论上，基于平方和（SOS）多项式的半定规划（SDP）松弛的层次已被证明可以为一般多项式最优化问题（POP）提供任意接近的近似。然而，由于求解SDP的计算挑战，它变得难以使用SDP层次的大规模问题。为了解决这一问题，层次结构的二阶锥规划（SOCP）松弛所产生的SOS多项式条件的限制，最近提出了近似持久性有机污染物。在这里，我们考虑使用SOS条件的SOCP限制的替代方法。特别是，我们表明，SOCP层次结构可以有效地用于加强层次结构的线性规划（LP）放宽持久性有机污染物。具体而言，我们表明，这种解决方案的方法是更有效地找到解决方案的某些持久性有机污染物，更常见的层次结构的SDP弛豫是已知的表现不佳。当POP的可行集是紧集时，这些SOCP层次收敛到POP的最优值。
2017-04-10 math.OC
Inner approximating the completely positive cone via the cone of scaled diagonally dominant matrices
由于完全正规划在编码困难最优化问题方面的表现力，许多完全正锥的近似方案被提出并成功应用。大多数方案都是基于外部近似，只有内部近似是基于线性规划的方法，由Bundfuss和Dür以及Yıldırım提出，以及Lasserre提出的基于半定规划的方法。在本文中，我们提出了使用的锥的非负规模对角占优矩阵作为一个自然的内部逼近的完全正锥。利用这个锥的投影，我们得到新的基于图的二阶锥逼近计划完全正规划，导致统一和问题相关的层次结构。这提供了半定规划的表达能力和基于线性规划的方法的速度之间的折衷。随机问题，标准二次规划和独立集问题的数值结果表明，我们的方法的有效性。
2019-10-04 math.OC
Max-Min Bilinear Completely Positive Programs: A Semidefinite Relaxation with Tightness Guarantees
Lee Kong Chian School of Business, Singapore Management University（新加坡管理大学李光前商学院）；Department of Mathematics, Hong Kong Baptist University（香港浸会大学数学系）；Institute for Research and Continuing Education, Hong Kong Baptist University（香港浸会大学持续教育学院）；Department of Applied Mathematics, The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学应用数学系）
本文提出了一种针对最大-最小双线性完全正规划问题的半定松弛方法，通过紧性保证解决混合二进制二次最大-最小问题，并应用于循环Colonel Blotto游戏。
2026-02-16 math.OC
Semidefinite hierarchies for diagonal unitary invariant bipartite quantum states
Centrum Wiskunde & Informatica (CWI)（数学与计算机科学中心）；LAAS-CNRS（法国国家科学研究中心实验室分析与系统研究所）；Tilburg University（蒂尔堡大学）
针对具有对角酉不变性或玻色对称性的二分量子态，利用块对角化技术或对偶层次表征，通过半定规划层次（DPS）有效检测纠缠，并揭示与完全正锥及其平方和近似的关系。
2026-05-24 math.OC
Computation of Lyapunov Functions under State Constraints using Semidefinite Programming Hierarchies *
我们提供了算法计算一类系统的状态轨迹被限制在一个封闭的凸集内演变的李雅普诺夫函数。我们考虑的动力系统包括一个微分方程，它确保了域内的连续演化，以及一个正常的锥包含，它确保了状态轨迹始终保持在一个预先指定的集合内。找到这样一个系统的李雅普诺夫函数归结为找到一个函数，满足某些不等式的容许集的状态约束。众所周知，这个问题尽管是凸的，但在计算上是困难的。对于圆锥约束，我们提出了一种基于单纯形划分的离散化算法，通过构造线性规划的层次结构（与划分单元的直径相关）来搜索所需函数.我们的第二个算法是量身定制的半代数集，其中的层次结构的半定程序被构造为计算李雅普诺夫函数的平方和多项式。
2020-10-08 math.OC
Hierarchies for Semidefinite Optimization in $\mathcal{C}^\star$-Algebras
本文从$\mathcal{C}^\star$-代数的一般视角统一了NPA、Lasserre层级及SDP对称性约化等有限维松弛方法，将正性作为优化核心。
2023-09-25 math-ph math.MP math.OC
Structured Symmetric Tensors
The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）；Beihang University（北京航空航天大学）；Southeast University（东南大学）
本文引入CD、SSOS、SOS⁎等新结构化对称张量类，研究其与CP、SOS、PSD、COP锥的关系，推广Schur定理并给出PSD非SOS汉克尔张量实例，解决了相关开放问题。
2025-11-19 math.OC math.RA
A survey of semidefinite programming approaches to the generalized problem of moments and their error analysis
广义矩问题是正Borel测度的凸锥上的锥线性最优化问题。它有着广泛的应用，包括多项式和有理函数的全局优化、金融期权定价、构造数值积分的求积格式以及分布鲁棒优化。一种常见的解决方案，由于J. B. Lasserre的方法是用有限维外锥和内锥逼近正Borel测度的凸锥。我们将审查这些近似的一些结果，特别关注的收敛速度的层次的上限和下界的一般问题的时刻，从这些内部和外部近似。
2018-11-13 math.OC
$\ell_p$-sphere covering and approximating nuclear $p$-norm
该研究提出$\u2113_p$-球面覆盖的击中集工具包，得到矩阵核$p$-范数的首个$\Omega(1)$近似多项式算法，并进一步构建张量核$p$-范数的近似算法，匹配其对偶范数的最优近似界。
2024-07-11 math.OC
