Cone-Copositive Lyapunov Functions for Complementarity Systems: Converse Result and Polynomial Approximation
本文建立了一类状态约束系统稳定性分析的李雅普诺夫函数的存在性，并给出了其数值计算的算法。该系统模型由一个微分方程与一个集值关系耦合组成，该集值关系在约束集的边界处引入了向量场的不连续性。特别地，用闭凸锥的指示函数的次微分来描述集值关系，从而得到锥补系统。通过构造锥共正的李雅普诺夫函数来分析这类系统的稳定性问题。作为第一个分析结果，我们证明了指数稳定的互补系统总是允许一个连续可微的锥共正的李雅普诺夫函数。在系统向量场上增加一些结构，如齐次性，我们可以证明上述函数可以用锥共正的齐次多项式的有理函数来近似。这后一类函数被认为是特别适合于数值计算，因为我们提供了两种类型的算法，正是出于这一目的。这些算法包括一个层次的线性或半定最优化问题计算所需的锥共正李雅普诺夫函数。最后给出了一些例子来说明我们的方法。
2021-04-13 math.OC
On the longest chain of faces of the completely positive and copositive cones
本文研究对称矩阵空间中闭凸锥的面链结构，证明完全正锥与余正锥等锥的最长面链长度为 n(n+1)/2+1，并由此给出夹在完全正锥与双非负锥之间的锥及其对偶到多面体性距离的下界 n(n+1)/2-2。
2024-06-07 math.OC
Properties of the complementarity set for the cone of copositive matrices
本文研究余正定矩阵锥和完全正定矩阵锥的对偶锥的互补集性质，旨在为非对称锥寻找类似对称锥中至少n个线性无关双线性恒等式的关系，以服务于优化应用。
2024-04-26 math.OC
Almost Bijective Parametrization of $3 \times 3$ Copositive Matrices
本文研究 $3 \ imes 3$ 余正矩阵锥，通过几何观察、奇点消解和方法调整，提出一种满射且几乎单射的新型几乎双射参数化。
2024-05-09 math.OC
Copositive and completely positive cones over symmetric cones of rank at least 5
Keio University（庆应义塾大学）
研究秩至少为5的对称锥上的协正锥和完全正锥，证明它们不是谱面阴影，引入Horn变换生成暴露射线，并揭示平方和内部逼近层次在正半定锥上不是渐近精确的。
2026-07-21 math.AG math.OC
On the Exactness of Sum-of-Squares Approximations for the Cone of $5\times 5$ Copositive Matrices
我们研究了Parrilo（Structured Semifinite Programs and Semi-algebraic Geometry Methods in Robustness and Optimization，PhD Thesis，California Institute of Technology，2001）提出的共正锥$\text{COP}_n$的锥内近似$\mathcal{K}^{(r)}_n$（$r\in \mathbb{N}$）的层次结构。已知$\text{COP}_4=\mathcal{K}^{(0)}_4$，并且当圆锥体的并集$\mathcal{K}^{(r)}_n$覆盖$\text{COP}_n$的内部时，如果$n\geq 6$，则其不覆盖整个圆锥体$\text{COP}_n$。在这里，我们调查剩下的情况下$n=5$，其中所有极端射线已充分特征化的希尔德布兰德（极端射线的5 $\times$ 5共正锥。Linear Algebra and its Applications，437（7）：1538- 1547，2012）。我们表明，霍恩矩阵$H$和它的正对角标度发挥了特殊的作用之间的极端射线的$\text{COP}_5$。证明了等式$\text{COP}_5=\bigcup_{r\geq 0} \mathcal{K}^{(r)}_5$成立当且仅当$H$的任…
2022-05-11 math.OC
Copositive matrices, sums of squares and the stability number of a graph
本章研究了复正矩阵的锥，重点是设计和分析其锥内逼近，这些逼近基于矩阵复正性的各种充分条件，依赖于多项式平方和的正性证明。并讨论了它们在求图的最大独立集的离散最优化问题中的应用。本章的一个中心主题是理解何时锥逼近足以描述完全的共正锥，以及何时对应的独立集问题的界限允许有限收敛。
2023-03-20 math.OC
Face reduction and the immobile indices approaches to regularization of linear Copositive Programming problems
本文研究了线性余正规划问题的正则化问题，将问题转化为一个等价的形式，其中Slater条件成立，强对偶性成立。我们在这里描述了两个正则化算法的基础上的概念，不动指标和理解的重要作用，这些指标在可行集的表征。这些算法相比，一些正规化程序开发的一个更一般的情况下，凸的问题，并根据面部减少的方法。我们表明，不动的指数为基础的方法结合的具体问题，使我们能够构建更明确和详细的正则化算法的线性Coppositive规划问题比那些已经提供。
2021-08-31 math.OC
Approximation hierarchies for copositive cone over symmetric cone and their comparison
本文为对称锥上的余正锥提出基于平方和约束的内近似层级，并借助通常余正锥刻画及已有内外近似层级构造新的半定近似层级，通过理论比较与数值实验表明其能更准确高效地求解余正规划问题。
2023-08-14 math.OC
Minimal zeros of copositive matrices
设$A$是共正锥${\cal C}_n$的一个元素。$A$的零$u$是一个非零非负向量，使得$u^TAu = 0$。$u$的支持是对应于$u$的正条目的索引集$\mbox{supp}u \subset \{1,\dots,n\}$。如果不存在$A$的另一个零$v$使得它的支集$\mbox{supp}v$是$\mbox{supp}u$的严格子集，则称$A$的零$u$是极小的。研究了余正矩阵的极小零点的性质及其支撑。特别注意的是，对于半正定矩阵的锥$S_+(n)$是不可约的余正矩阵，即，矩阵不能写为一个正和一个非零半正定矩阵的和。给出了矩阵$A$关于$S_+(n)$按其极小零点不可约的一个充要条件。对于不可约矩阵关于按项非负矩阵的锥${\cal N}_n$给出了一个类似的条件。对于$n = 5$矩阵，关于$S_+(5)$和${\cal N}_5$都不可约的矩阵是极值的。对于$n = 6$，提供了例外极值矩阵可以具有的最小零点的支持的候选组合的列表。
2014-06-08 math.OC
Almost Bijective Parametrization of Copositive Univariate Polynomials
针对任意次数余正一元多项式锥的参数化问题，提出一种递归方法，实现满射、几乎单射且定义域为$(\mathbb{R}_{\geq 0})^d$的简洁构造。
2024-05-09 math.OC
A copositive formulation for the stability number of infinite graphs
在过去的十年中，共正公式已被提出用于各种组合最优化问题，例如稳定数（独立数）。在本文中，我们推广这种方法到无限图，并证明了一个无限图的稳定数是一些无限维的共正规划的最优解。为此，我们发展了一个对偶理论之间的原始凸锥的共正核和对偶凸锥的完全正措施。我们确定的极端射线后锥，我们说明了这个理论的帮助下接吻数的问题。
2015-10-05 math.FA math.OC
Sparse Conic Reformulation of Structured QCQPs based on Copositive Optimization with Applications in Stochastic Optimization
在努力开发一种替代方法，传统的稀疏重新，我们将提供一个新的类型的凸重新一类随机二次约束二次最优化问题，类似于Burer的重新制定，但升降机的变量到一个相对较低的维空间。重新制定依赖于一个推广的集完全正矩阵锥。然后，这个锥可以通过内部和外部近似近似，以获得上限和下界，这可能关闭的最优性差距，因此可以给这些稀疏的重新配方的传统，已知的充分条件之外的精确性证书。最后，我们提供了一些数值实验，在那里我们评估的内部和外部近似的质量，从而表明，近似可能确实关闭在有趣的情况下的最优性差距。
2023-01-28 math.OC
Copositive geometry of Feynman integrals
本文连接优化中的协正几何与Feynman积分，证明运动学参数在协正锥内时积分收敛，并用Pólya方法及Landau判别式刻画任意Feynman图的协正锥。
2025-06-22 hep-th math-ph math.CO
Stability Analysis of Recurrent Neural Networks by IQC with Copositive Mutipliers
Kyushu University（九州大学）；LAAS-CNRS（法国国家科学研究中心图卢兹自动化与系统分析实验室）；Université de Toulouse（图卢兹大学）
利用积分二次约束（IQC）框架对循环神经网络（RNNs）进行稳定性分析。整流线性单元（ReLU）通常用作RNN的激活函数，并且ReLU具有关于其输入和输出信号的特定非负属性。因此，如果我们能够推导出基于IQC的稳定性条件，并使用乘子来照顾这种非负性质，则是有效的。然而，这样的非负性（线性）性质很难捕获的现有的乘数上定义的半正定锥。为了克服这个困难，我们将标准的半正定锥放松为余正锥，并使用余正乘子来捕获非负性。我们表明，在IQC的框架内，我们可以采用共正乘数（或其内部近似）连同现有的乘数，如Zames-Falb乘数和多面体边界乘数，这直接使我们能够确保引入共正乘数导致更好的（没有更多的保守）结果。最后，我们通过数值例子说明了基于IQC的稳定性条件的有效性与同正乘子。
2022-02-09 cs.LG math.OC
A random copositive matrix is completely positive with positive probability
本文证明随维度增大，随机共正矩阵属于完全正矩阵锥的概率具有正下界，并推广到夹在两锥间的各类矩阵锥。
2024-02-14 math.FA math.OC quant-ph
Copositive matrices with circulant zero support set
令$n \geq 5$和$u^1,\dots,u^n$是非负实$n$ -向量，使得它们的正元素的索引分别形成集合$\{1,2,\dots,n-2\},\{2,3,\dots,n-1\},\dots,\{n,1,\dots,n-3\}$。这里，每个索引集都是通过循环移位从前一个索引集获得的。在向量$u^1,\dots,u^n$上为零的共正形式的集合是共正锥${\cal C}^n$的一个面。我们给出了一个明确的半定描述，这个面和它的子面组成的半正定形式，并研究它们的性质。如果向量$u^1,\dots,u^n$和它们的正倍数耗尽了属于这个面的例外的共正形式的零集，则我们说它具有最小循环零支撑集，否则具有非最小循环零支撑集。我们证明了具有非最小循环零支撑集的形式总是极值的，而具有最小循环零支撑集的形式只有当$n$是奇数时才能是极值的。我们构造了任意阶$n \geq 5$具有非最小循环零支撑集的极值形式的显式例子，以及任意奇数阶$n \geq 5$具有最小循环零支撑集的极值形式的例子.具有非最小循环零支撑集的所有形式的集合，即，由不同的零集合$u^1,\dots,u^n$定义，是余维$2n$的子流形，具有最小循环零支撑集的所有形式的集合是余维$n$的子流形。
2016-11-08 math.OC
New results on the cp rank and related properties of co(mpletely)positive matrices
在应用数学中，余正矩阵和完全正矩阵扮演着越来越重要的角色，即作为逼近NP难最优化问题的一个关键概念。在对称矩阵空间上，给定阶的余正矩阵的锥与同阶的完全正矩阵的锥关于标准标积是对偶的.本文建立了这类矩阵的两个正交对之间的一些新的关系。因此，我们可以建立一般阶完全正矩阵的cp-秩的上界的一个改进，并进一步改进了六阶完全正矩阵的cp-秩的一个上界.
2013-11-23 math.OC
Higher-Order Cone Programming
我们引入了一个圆锥嵌入条件，给出了一个层次的锥和锥程序。这个条件被大量的凸锥所满足，包括共正矩阵锥、完全正矩阵锥和所有对称锥。讨论了中间锥和锥规划的性质。特别是，我们演示了如何嵌入条件产生一个家庭的锥方案，LP，SOCP和SDP之间的插值。这个$k$阶锥族可以被实现为$n$乘$n$对称矩阵的锥或者被实现为$n$变量偶次多项式的锥。情况$k = 1, 2, n$则对应于LP、SOCP、SDP;或者，用多项式优化的语言，对应于DSOS、SDSOS、SOS。
2018-11-13 math.OC
Exactness of Parrilo's conic approximations for copositive matrices and associated low order bounds for the stability number of a graph
De Klerk和Pasechnik（2002）引入了图$G$的稳定数$α(G)$的界$\vartheta^{(r)}(G)$（$r\in \mathbb{N}$），并证明了在$α(G)-1$阶上的正合性：$\vartheta^{(α(G)-1)}(G)=α(G)$ .这些界限依赖于Parrilo（2000）对共正锥$\text{COP}_n$的圆锥近似$\mathcal{K}_n^{(r)}$。在$\vartheta^{(r)}$的收敛性分析中的一个困难是在添加零行/列的情况下锥$\mathcal{K}_n^{(r)}$的不良行为：当应用于不在$\mathcal{K}^{(0)}_n$中的矩阵时，这给出了不在任何${\mathcal{K}}^{(r)}_{n+1}$中的矩阵，从而显示了对$n\ge 6$的严格包含$\bigcup_{r\ge 0}{\mathcal{K}}^{(r)}_n\subset \text{COP}_n$。我们研究了具有$\vartheta^{(r)}(G)=α(G)$的$r=0,1$的图：我们在算法上将$\vartheta^{(0)}$的测试精确度降低到临界图，我们用$\vartheta^{(0)}$精确度刻画了临界图，并且我们展示了在添加孤立节点的情况下$\vartheta^{(1)}$的精确度不保持的图.这否定了Gvozdenović和Laurent…
2021-09-27 math.CO math.OC
Perfect Copositive Matrices
University of Rostock（罗斯托克大学）
本文首次研究了完美半正定n×n矩阵，探讨其与经典完美正定矩阵的异同，发现n≥3时存在低秩和不定完美矩阵，并提出完全正矩阵锥的新刻画。
2023-07-17 math.MG math.NT math.OC
Refined Estimates on the Dimensions of Maximal Faces of Completely Positive Cones
Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Belarus（白俄罗斯国家科学院数学研究所）；University of Aveiro（阿威罗大学）
本文通过建立更精确的界限，改进了完全正矩阵锥最大面维度的已知界限，揭示了奇数和偶数维度下的具体结果。
2026-03-10 math.OC
Optimization over Structured Subsets of Positive Semidefinite Matrices via Column Generation
IBM Research（IBM 研究部）
本文提出通过线性规划和二次锥规划近似正定矩阵锥的方法，利用列生成思想改进初始近似，并应用于非凸多项式优化和离散优化问题。
2016-03-11 cs.DM cs.SY eess.SY
Limitations on the expressive power of convex cones without long chains of faces
锥形式的凸优化问题涉及在凸锥和仿射子空间的交点上最小化线性泛函。在某些情况下，可以用使用另一个更高维但在某种意义上更简单的圆锥的“提升”圆锥公式来替换使用某个圆锥的圆锥公式。这在计算上是有利的一种情况是当高维锥是许多“低复杂度”锥（例如二阶锥或小的半正定锥）的笛卡儿积时。本文研究了具有这种乘积结构的提升表示的凸锥的障碍。主要结果表明，只要一个凸锥具有一定的邻属性，那么它就不具有使用锥的有限乘积的提升表示，其中每个锥只有短链的面。这是Averkov最近工作的推广（“半定方法中多项式优化的线性矩阵不等式的最佳大小”，SIAM J. Appl. Alg. Geom.，第3卷，第1期，128- 151，2019），只考虑使用有界大小的半正定锥的乘积的提升表示。其中的后果的主要结果是，各种锥相关的非负多项式没有解除表示使用产品的“低复杂性”锥，如光滑锥，指数锥，锥定义的双曲多项式的低程度。
2019-08-05 math.OC
Max-Min Bilinear Completely Positive Programs: A Semidefinite Relaxation with Tightness Guarantees
Lee Kong Chian School of Business, Singapore Management University（新加坡管理大学李光前商学院）；Department of Mathematics, Hong Kong Baptist University（香港浸会大学数学系）；Institute for Research and Continuing Education, Hong Kong Baptist University（香港浸会大学持续教育学院）；Department of Applied Mathematics, The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学应用数学系）
本文提出了一种针对最大-最小双线性完全正规划问题的半定松弛方法，通过紧性保证解决混合二进制二次最大-最小问题，并应用于循环Colonel Blotto游戏。
2026-02-16 math.OC
Singularity degree of non-facially exposed faces
本文研究了圆锥直线像的面结构。我们定义一个圆锥面的奇异度为使用来自对偶锥的暴露向量暴露它所需的最小步骤数。我们证明了圆锥的线性像的奇异度正好是在相应的原锥最优化问题中获得最小面的面缩减步骤的数目。该结果将一般面部缩小算法的复杂度与Drusvyatskiy、Pataki和Wolkowicz线性变换下圆锥图像的面部暴露度之间的关系推广到任意奇异度。我们提出我们的结果在原来的形式，也在其零空间形式。作为一个副产品，我们表明，弦图的基础框架最多有一个层次的应力矩阵。
2022-12-28 math.OC
Inner approximations of convex sets and intersections of projectionally exposed cones
本文构造了五维空间中两个投影暴露锥的交集非投影暴露的例子，并首次给出可容纳锥非投影暴露的实例，同时开发了构造具有期望面结构的紧凸集任意紧密内逼近的新技术。
2025-01-22 math.OC
A minimal face constant rank constraint qualification for reducible conic programming
本文针对 $\mathcal{C}^2$-锥可约约束提出仅依赖一个特定面的最小常秩约束规范，实现非线性锥规划的局部面约简，并证明其一阶与强二阶必要最优性条件。
2024-11-30 math.OC
Polynomial-sized Semidefinite Representations of Derivative Relaxations of Spectrahedral Cones
我们给出了明确的多项式大小（在$n$和$k$）半定表示的双曲锥与$n$变量的初等对称多项式的程度$k$。这些凸锥形成非负正交的非多面体外近似的家庭，保持低维的面，而连续丢弃高维的面。更一般地，我们构造与$p(x) = \det(\sum_{i=1}^{n}A_i x_i)$形式的多项式的$k$次方向导数相关联的双曲性锥的显式半定表示（$k,m$和$n$中的多项式大小），其中$A_i$是$m\times m$对称矩阵。这些凸锥形成了一个类似于任何谱面体锥的外近似族。我们的表示允许我们使用半定规划来解决与这些凸锥以及它们的（不太好理解的）对偶锥相关的线性锥规划。
2014-08-11 math.OC
Faces of homogeneous cones and applications to homogeneous chordality
本文阐明齐次锥的面结构，证明每个面可由自同构映射到主面，并利用广义Cholesky分解算法构造，进而证明齐次锥投影暴露，分析齐次弦性PSD矩阵锥的面结构及其对补全问题的影响。
2025-10-06 math.CO math.OC
A weak constraint qualification for conic programs and a problem on duality gap
讨论了锥线性规划的一个弱约束规格及其在几类锥上的应用。这个约束规格是用来给一个问题的解决方案提出的Shapiro和Zavellinescu，并表明，如果一个封闭的凸锥是这样的，它的所有非平凡的面是多面体和所有的非平凡的暴露面的对偶是多面体，那么对偶间隙为零，只要原始和对偶问题是可行的。此外，至少在一侧必须达到公共最优值。我们还展示了一个例子，锥，满足我们的定理的要求，但这样，以前已知的结果不能用来证明其良好的对偶性。
2015-04-23 math.OC
Convexity from order: a theory of faces and generalized separation
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
本文从序理论视角研究凸集，将面视为强最小值集合，通过定向映射实现广义分离，并定义联合支撑子空间，在仅假设凸性下推广了面运算结果，解决了开放问题。
2026-09-09 math.FA math.MG math.OC
Real Zeros of SONC Polynomials
我们提供了一个完整的和明确的表征非负回路（SONC）多项式的总和，最近的非负多项式的平方和独立的证书的实零点。作为结果，我们得到了一个确切的决定数$B''_{n+1,2d}$的所有$n$和$d$。定义$B''_{n+1,2d}$为SONC锥中所有$2d$次齐次$n+1$ -变量多项式的零点个数的上确界。非负锥和平方和锥的类似定义数$B_{n+1,2d}$和$B'_{n+1,2d}$首先由Choi、Lam和Reznick引入并研究。与我们的情况形成强烈对比的是，对于一般的$n$和$d$，$B_{n+1,2d}$和$B'_{n+1,2d}$的确定仍然是一个悬而未决的问题。此外，我们开始了对SONC锥的暴露面的研究。特别是，我们显式地考虑小尺寸和分析尺寸界限上的暴露面。当将SONC锥的暴露面与非负性锥的暴露面进行比较时，我们观察到它们之间的尺寸差异。
2020-11-07 math.AG math.CO math.OC
