Cone-Copositive Lyapunov Functions for Complementarity Systems: Converse Result and Polynomial Approximation
本文建立了一类状态约束系统稳定性分析的李雅普诺夫函数的存在性，并给出了其数值计算的算法。该系统模型由一个微分方程与一个集值关系耦合组成，该集值关系在约束集的边界处引入了向量场的不连续性。特别地，用闭凸锥的指示函数的次微分来描述集值关系，从而得到锥补系统。通过构造锥共正的李雅普诺夫函数来分析这类系统的稳定性问题。作为第一个分析结果，我们证明了指数稳定的互补系统总是允许一个连续可微的锥共正的李雅普诺夫函数。在系统向量场上增加一些结构，如齐次性，我们可以证明上述函数可以用锥共正的齐次多项式的有理函数来近似。这后一类函数被认为是特别适合于数值计算，因为我们提供了两种类型的算法，正是出于这一目的。这些算法包括一个层次的线性或半定最优化问题计算所需的锥共正李雅普诺夫函数。最后给出了一些例子来说明我们的方法。
2021-04-13 math.OC
On the longest chain of faces of the completely positive and copositive cones
本文研究对称矩阵空间中闭凸锥的面链结构，证明完全正锥与余正锥等锥的最长面链长度为 n(n+1)/2+1，并由此给出夹在完全正锥与双非负锥之间的锥及其对偶到多面体性距离的下界 n(n+1)/2-2。
2024-06-07 math.OC
Properties of the complementarity set for the cone of copositive matrices
本文研究余正定矩阵锥和完全正定矩阵锥的对偶锥的互补集性质，旨在为非对称锥寻找类似对称锥中至少n个线性无关双线性恒等式的关系，以服务于优化应用。
2024-04-26 math.OC
Almost Bijective Parametrization of $3 \times 3$ Copositive Matrices
本文研究 $3 \ imes 3$ 余正矩阵锥，通过几何观察、奇点消解和方法调整，提出一种满射且几乎单射的新型几乎双射参数化。
2024-05-09 math.OC
Copositive and completely positive cones over symmetric cones of rank at least 5
Keio University（庆应义塾大学）
研究秩至少为5的对称锥上的协正锥和完全正锥，证明它们不是谱面阴影，引入Horn变换生成暴露射线，并揭示平方和内部逼近层次在正半定锥上不是渐近精确的。
2026-07-21 math.AG math.OC
On the Exactness of Sum-of-Squares Approximations for the Cone of $5\times 5$ Copositive Matrices
我们研究了Parrilo（Structured Semifinite Programs and Semi-algebraic Geometry Methods in Robustness and Optimization，PhD Thesis，California Institute of Technology，2001）提出的共正锥$\text{COP}_n$的锥内近似$\mathcal{K}^{(r)}_n$（$r\in \mathbb{N}$）的层次结构。已知$\text{COP}_4=\mathcal{K}^{(0)}_4$，并且当圆锥体的并集$\mathcal{K}^{(r)}_n$覆盖$\text{COP}_n$的内部时，如果$n\geq 6$，则其不覆盖整个圆锥体$\text{COP}_n$。在这里，我们调查剩下的情况下$n=5$，其中所有极端射线已充分特征化的希尔德布兰德（极端射线的5 $\times$ 5共正锥。Linear Algebra and its Applications，437（7）：1538- 1547，2012）。我们表明，霍恩矩阵$H$和它的正对角标度发挥了特殊的作用之间的极端射线的$\text{COP}_5$。证明了等式$\text{COP}_5=\bigcup_{r\geq 0} \mathcal{K}^{(r)}_5$成立当且仅当$H$的任…
2022-05-11 math.OC
Copositive matrices, sums of squares and the stability number of a graph
本章研究了复正矩阵的锥，重点是设计和分析其锥内逼近，这些逼近基于矩阵复正性的各种充分条件，依赖于多项式平方和的正性证明。并讨论了它们在求图的最大独立集的离散最优化问题中的应用。本章的一个中心主题是理解何时锥逼近足以描述完全的共正锥，以及何时对应的独立集问题的界限允许有限收敛。
2023-03-20 math.OC
Approximation hierarchies for copositive cone over symmetric cone and their comparison
本文为对称锥上的余正锥提出基于平方和约束的内近似层级，并借助通常余正锥刻画及已有内外近似层级构造新的半定近似层级，通过理论比较与数值实验表明其能更准确高效地求解余正规划问题。
2023-08-14 math.OC
Minimal zeros of copositive matrices
设$A$是共正锥${\cal C}_n$的一个元素。$A$的零$u$是一个非零非负向量，使得$u^TAu = 0$。$u$的支持是对应于$u$的正条目的索引集$\mbox{supp}u \subset \{1,\dots,n\}$。如果不存在$A$的另一个零$v$使得它的支集$\mbox{supp}v$是$\mbox{supp}u$的严格子集，则称$A$的零$u$是极小的。研究了余正矩阵的极小零点的性质及其支撑。特别注意的是，对于半正定矩阵的锥$S_+(n)$是不可约的余正矩阵，即，矩阵不能写为一个正和一个非零半正定矩阵的和。给出了矩阵$A$关于$S_+(n)$按其极小零点不可约的一个充要条件。对于不可约矩阵关于按项非负矩阵的锥${\cal N}_n$给出了一个类似的条件。对于$n = 5$矩阵，关于$S_+(5)$和${\cal N}_5$都不可约的矩阵是极值的。对于$n = 6$，提供了例外极值矩阵可以具有的最小零点的支持的候选组合的列表。
2014-06-08 math.OC
Almost Bijective Parametrization of Copositive Univariate Polynomials
针对任意次数余正一元多项式锥的参数化问题，提出一种递归方法，实现满射、几乎单射且定义域为$(\mathbb{R}_{\geq 0})^d$的简洁构造。
2024-05-09 math.OC
A copositive formulation for the stability number of infinite graphs
在过去的十年中，共正公式已被提出用于各种组合最优化问题，例如稳定数（独立数）。在本文中，我们推广这种方法到无限图，并证明了一个无限图的稳定数是一些无限维的共正规划的最优解。为此，我们发展了一个对偶理论之间的原始凸锥的共正核和对偶凸锥的完全正措施。我们确定的极端射线后锥，我们说明了这个理论的帮助下接吻数的问题。
2015-10-05 math.FA math.OC
Sparse Conic Reformulation of Structured QCQPs based on Copositive Optimization with Applications in Stochastic Optimization
在努力开发一种替代方法，传统的稀疏重新，我们将提供一个新的类型的凸重新一类随机二次约束二次最优化问题，类似于Burer的重新制定，但升降机的变量到一个相对较低的维空间。重新制定依赖于一个推广的集完全正矩阵锥。然后，这个锥可以通过内部和外部近似近似，以获得上限和下界，这可能关闭的最优性差距，因此可以给这些稀疏的重新配方的传统，已知的充分条件之外的精确性证书。最后，我们提供了一些数值实验，在那里我们评估的内部和外部近似的质量，从而表明，近似可能确实关闭在有趣的情况下的最优性差距。
2023-01-28 math.OC
Copositive geometry of Feynman integrals
本文连接优化中的协正几何与Feynman积分，证明运动学参数在协正锥内时积分收敛，并用Pólya方法及Landau判别式刻画任意Feynman图的协正锥。
2025-06-22 hep-th math-ph math.CO
Stability Analysis of Recurrent Neural Networks by IQC with Copositive Mutipliers
Kyushu University（九州大学）；LAAS-CNRS（法国国家科学研究中心图卢兹自动化与系统分析实验室）；Université de Toulouse（图卢兹大学）
利用积分二次约束（IQC）框架对循环神经网络（RNNs）进行稳定性分析。整流线性单元（ReLU）通常用作RNN的激活函数，并且ReLU具有关于其输入和输出信号的特定非负属性。因此，如果我们能够推导出基于IQC的稳定性条件，并使用乘子来照顾这种非负性质，则是有效的。然而，这样的非负性（线性）性质很难捕获的现有的乘数上定义的半正定锥。为了克服这个困难，我们将标准的半正定锥放松为余正锥，并使用余正乘子来捕获非负性。我们表明，在IQC的框架内，我们可以采用共正乘数（或其内部近似）连同现有的乘数，如Zames-Falb乘数和多面体边界乘数，这直接使我们能够确保引入共正乘数导致更好的（没有更多的保守）结果。最后，我们通过数值例子说明了基于IQC的稳定性条件的有效性与同正乘子。
2022-02-09 cs.LG math.OC
A random copositive matrix is completely positive with positive probability
本文证明随维度增大，随机共正矩阵属于完全正矩阵锥的概率具有正下界，并推广到夹在两锥间的各类矩阵锥。
2024-02-14 math.FA math.OC quant-ph
New results on the cp rank and related properties of co(mpletely)positive matrices
在应用数学中，余正矩阵和完全正矩阵扮演着越来越重要的角色，即作为逼近NP难最优化问题的一个关键概念。在对称矩阵空间上，给定阶的余正矩阵的锥与同阶的完全正矩阵的锥关于标准标积是对偶的.本文建立了这类矩阵的两个正交对之间的一些新的关系。因此，我们可以建立一般阶完全正矩阵的cp-秩的上界的一个改进，并进一步改进了六阶完全正矩阵的cp-秩的一个上界.
2013-11-23 math.OC
Copositive matrices with circulant zero support set
令$n \geq 5$和$u^1,\dots,u^n$是非负实$n$ -向量，使得它们的正元素的索引分别形成集合$\{1,2,\dots,n-2\},\{2,3,\dots,n-1\},\dots,\{n,1,\dots,n-3\}$。这里，每个索引集都是通过循环移位从前一个索引集获得的。在向量$u^1,\dots,u^n$上为零的共正形式的集合是共正锥${\cal C}^n$的一个面。我们给出了一个明确的半定描述，这个面和它的子面组成的半正定形式，并研究它们的性质。如果向量$u^1,\dots,u^n$和它们的正倍数耗尽了属于这个面的例外的共正形式的零集，则我们说它具有最小循环零支撑集，否则具有非最小循环零支撑集。我们证明了具有非最小循环零支撑集的形式总是极值的，而具有最小循环零支撑集的形式只有当$n$是奇数时才能是极值的。我们构造了任意阶$n \geq 5$具有非最小循环零支撑集的极值形式的显式例子，以及任意奇数阶$n \geq 5$具有最小循环零支撑集的极值形式的例子.具有非最小循环零支撑集的所有形式的集合，即，由不同的零集合$u^1,\dots,u^n$定义，是余维$2n$的子流形，具有最小循环零支撑集的所有形式的集合是余维$n$的子流形。
2016-11-08 math.OC
Non-Attainment of Minima in Non-Polyhedral Conic Optimization: A Robust SOCP Example
Michigan State University（密歇根州立大学）
本文研究了二次锥规划中极小值未达成的现象，通过构造反例揭示非多面体几何导致可行集像非闭合的问题，并提出多面体近似和正则化作为缓解策略。
2025-12-30 math.OC
Low degree sum-of-squares bounds for the stability number: a copositive approach
本文提出一种基于协正规划和结构化SOS表示的SDP层级，用于逼近图的稳定数，该层级保留结构性质、有限收敛，并在特定图族上单步达到最优，验证了de Klerk-Pasechnik猜想的紧致性。
2025-09-10 math.CO math.OC
On Almost-Type Special Structured Tensor Classes Associated with Semi-Positive Tensors
该研究提出几乎（严格）半正张量与几乎（严格）共正张量，给出判定条件、特征值性质及其与对角占优张量和 $\mathcal{M}$-张量的关系。
2024-05-10 math.OC
Infinite-dimensional Convex Cones: Internal Geometric Structure and Analytical Representation
本文通过引入开分量概念刻画无限维凸锥的内部几何结构，并利用阶跃线性函数族建立任意非对称凸锥的解析表示。
2024-11-25 math.OC
Mixed lattice structures and cone projections
闭凸锥上的投影问题是最优化理论及相关领域中经常遇到的问题。为了研究这些问题，人们引入了各种统一的思想，包括非对称向量值范数和某些广义的类格运算。我们提出了一个新的视角，这些研究通过描述如何锥投影的问题，可以制定使用本文开发的秩序理论的形式主义。基本的数学结构是一个偏序向量空间，它通过使用两个偏序并具有关于这些序的某些格型属性来推广向量格的概念。在这篇文章中，我们介绍了这些所谓的混合格空间的推广，我们展示了这样的结构是如何在上面提到的一些应用中很自然地出现的。
2022-04-08 math.FA math.OC
Normal cones corresponding to credal sets of lower probabilities
信用集是描述概率不确定性的重要模型之一。它们通常作为概率模型的凸集出现，与根据相干较低预测或更具体的模型（如相干较低概率或概率区间）提供的判断兼容。在有限空间中，信任集通常采用凸多胞体的形式。凸多胞体的许多性质都可以从它们的法锥导出，法锥形成多面体复形，称为法扇。我们分析了对应于相干下概率置信集的正规锥的性质。对于两类重要的相干下概率，2-单调下概率和概率区间，我们给出了正规扇形结构的详细描述。这些结构与置信集的极值点的结构有关。为了得到我们的主要结果，我们给出了关于凸多面体的三角剖分法扇及其邻接结构的一些一般性结果。
2022-08-18 math.OC math.PR
