Squared polynomial approximation kernels for the hypercube: improved error bounds and implications for Lasserre hierarchies
Tilburg University（蒂尔堡大学）
本文提出一类新的多项式逼近核，用于逼近超立方体上的非负多项式，将系数ℓ1范数的误差界从已知的O(1/r)改进为O(log^3 r/r^2)，并由此改进了超立方体上多项式优化的Lasserre层级的收敛速率。
2026-05-29 math.OC
Convergence rates of S.O.S hierarchies for polynomial semidefinite programs
本文提出一种 S.o.S 层级下界方法，通过惩罚函数处理矩阵半定约束，并基于 Jackson 定理和 Łojasiewicz 不等式推导出离散与连续多项式优化问题的收敛速率及正性认证所需多项式次数的新界限。
2025-10-17 math.OC
Convergence rates of moment-sum-of-squares hierarchies for optimal control problems
研究了多项式数据下半定规划最优控制问题的矩平方和族的收敛速度。众所周知，这些层次结构生成对最优控制问题的值函数的多项式下近似，并且这些下近似在L1范数下收敛于值函数，因为它们的次数d趋于无穷大。我们证明了这种收敛的速度是O（1/ log log d）。我们将详细处理连续时间无限时域贴现问题，并简要描述如何获得相同的利率为有限时域连续时间问题和离散时间对应的两个问题。
2016-09-09 math.OC
New Dependencies of Hierarchies in Polynomial Optimization
我们比较了求解约束多项式优化问题（CPOP）的四个关键层次：平方和（SOS），对角占优多项式和（SDSOS），非负回路和（SONC）和Sherali Adams（SA）层次。我们证明了这些层次结构之间的依赖关系的集合一般CPOP和布尔超立方体上的优化问题。主要结果包括一般情况下，SONC和SOS层次是多项式不可比的，而SDSOS包含在SONC。一个直接的后果是不存在一个类似普京的积极的SDSOS。在布尔超立方体上，我们的主要结果是Schmüdgen的版本的层次SDSOS*，SONC*，SA* 是多项式等价的。此外，我们证明了SA* 包含在任何Schmüdgen类层次结构中，提供了O（n）度界。
2019-03-12 cs.CC cs.DS math.AG
Moment-SOS hierarchies for arrow-type polynomial matrix inequalities with applications to structural optimization
本研究将箭型分解（AD）技术拓展至结合矩-平方和（mSOS）分层的大规模多项式矩阵不等式优化问题，弱化了AD定理适用条件，提出两种结合方案并证明收敛性，在结构优化中展现出显著计算优势。
2025-09-02 math.OC
Upper bound hierarchies for noncommutative polynomial optimization
本文针对非交换多项式优化问题，基于Helton-McCullough正性定理，提出了收敛的上界层级，每个上界通过求解广义特征值问题获得。
2025-09-08 math.FA math.OC quant-ph
Sum-of-squares hierarchies for binary polynomial optimization
我们考虑了布尔超立方体$\mathbb{B}^{n}=\{0,1\}^n$上多项式$f$最小化问题的平方和近似层次。该层次结构为每个整数$r \in \mathbb{N}$提供$f$的最小$f_{\min}$上的下界$f_{(r)}$，该下界由最大标量$λ$给出，对于该最大标量$λ$，多项式$f - λ$是次数至多为$2r$的$\mathbb{B}^{n}$上的平方和。我们通过估计Krawtchouk多项式的最小根的最坏情况下的误差$f_{\min} - f_{(r)}$来分析这些边界的质量。因此，对于固定的$t \in [0, 1/2]$，我们可以证明，在$r \approx t \cdot n$状态下的最差情况误差为$1/2 - \sqrt{t(1-t)}$，因为$n$倾向于$\infty$。我们的证明结合了经典的傅立叶分析$\mathbb{B}^{n}$与多项式核技术和Krawtchouk多项式的极值根的现有结果。这种与正交多项式根的联系依赖于下界$f_{(r)}$的层次结构和另一个上界$f^{(r)}$的层次结构之间的联系，对此我们也能够建立相同的误差分析。我们的分析扩展到$q$元立方体$(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{n}$上的多项式的最小化。
2022-01-19 math.OC
Approximation Hierarchies for Copositive Tensor Cone
本文讨论了余正张量，它是余正矩阵的自然推广。本文分析了余正张量的一些基本性质，以及余正张量类与半正定张量类重合的条件。此外，我们描述了几个层次，近似的锥的共正张量。层次结构主要是基于不同的制度，如单纯分割，合理的网格和多项式条件。该层次结构从内部（内部近似）或外部（外部近似）近似共正锥。我们还将讨论不同层次之间的关系。
2018-06-04 math.OC
Lower bounds on matrix factorization ranks via noncommutative polynomial optimization
我们使用的技术（跟踪非交换）多项式优化，制定层次的半定规划下界矩阵分解秩。特别地，我们考虑非负秩，半正定秩，以及它们的对称类似物：完全正秩和完全半正定秩。我们研究了层次结构的收敛性，将它们与已知的下界进行了广泛的比较，并提供了一些（数值）示例。
2018-11-05 math.OC
On the hardness of deciding the finite convergence of Lasserre hierarchies
本文证明除非P=NP，否则不存在多项式时间算法能判定Lasserre层级是否有限收敛，并基于Motzkin-Straus公式对图稳定数的刻画完成证明。
2024-01-23 math.OC
Moment-sos and spectral hierarchies for polynomial optimization on the sphere and quantum de Finetti theorems
University of Copenhagen（哥本哈根大学）；Centrum Wiskunde & Informatica (CWI)（荷兰数学与计算机科学研究中心）；Tilburg University（蒂尔堡大学）
本文研究了球面上多项式优化的动量-sos和谱层次方法，证明了谱界收敛速度无法优于O(1/r²)，并提出新的实德芬尼定理以改进相关结果。
2025-09-29 math.OC
Improved convergence rates for Lasserre-type hierarchies of upper bounds for box-constrained polynomial optimization
考虑超立方体$[-1,1]^n$上的给定$n$ -变量多项式$f$的极小化问题. Lasserre提出的一个想法是找到$[-1,1]^n$上的概率分布，其中多项式密度函数$h$（给定次数$r$）使期望值$\int_{[-1,1]^n} f(x)h(x)dμ(x)$最小化，其中$dμ(x)$是$[-1,1]^n$上支持的固定有限Borel测度。已知对于勒贝格测度$dμ(x) = dx$，如果$h$是平方和密度，则可以示出误差界$O(1/\sqrt{r})$，并且如果$h$是β分布的密度，则可以示出$O(1/r)$误差界。在本文中，我们证明了$O(1/r^2)$的一个误差界，如果$dμ(x) = \left(\prod_{i=1}^n \sqrt{1-x_i^2} \right)^{-1}dx$（正交多项式研究中的著名测度），并且$h$关于$[-1,1]^n$具有Schmüdgen型表示，这是一个比平方和更一般的条件.收敛速度分析依赖于多项式核理论，特别是杰克逊核。我们还表明，由此产生的上界可以计算为广义本征值问题，也是平方和密度的情况。
2017-06-30 math.OC
Convergence of SDP hierarchies for polynomial optimization on the hypersphere
我们展示了如何约束的超球面上的多项式优化问题的半定规划松弛族的精度。我们的方法的灵感来自于量子信息的一组结果，称为量子de Finetti定理。特别地，我们证明了一类特殊的实对称矩阵的de Finetti定理，建立矩矩阵松弛的近似表示措施的存在性。
2013-06-22 cs.DS math-ph math.MP
On the construction of converging hierarchies for polynomial optimization based on certificates of global positivity
Princeton（普林斯顿大学）
本文提出基于早期20世纪的正性证书构建多项式优化收敛层级的方法，利用Artin解和Polyá结果，实现无需优化的收敛层级，生成新的线性规划和二次锥规划层级。
2018-08-27 cs.CC cs.DS cs.SY
Convergence rates of Sum-of-Hermitian-Squares Hierarchies for the Pauli algebra
Télécom Paris, Inria, LTCI, Institut Polytechnique de Paris（巴黎电信学院，法国国家信息与自动化研究所，通信与图像处理实验室，巴黎理工学院）
本文针对泡利代数生成的非交换多项式优化问题，利用Krawtchouk正交多项式的最小根给出了其松弛的显式收敛速度，首次定量分析了非交换多项式优化松弛的收敛速率。
2026-06-03 math.OC quant-ph
Relaxations for binary polynomial optimization via signed certificates
Zuse Institute Berlin（柏林祖斯研究所）；LIX CNRS（法国国家科学研究中心计算几何实验室）
本文通过符号证书将二元多项式分解为可多项式时间检验的非负项之和，构建了稀疏保持的线性规划松弛层次。
2026-06-02 math.OC
On the convergence rates of moment-SOS hierarchies approximation of truncated moment sequences
本文通过估计截断伪矩序列与截断矩序列集合间的Hausdorff距离，在紧致性假设下建立了moment-SOS层级收敛速率与Lojasiewicz指数L的联系，并针对多面体、满足PL条件集合及球体等不同域得出了相应的收敛速率。
2025-07-01 math.OC
Convergence rates for polynomial optimization on set products
LAAS-CNRS（法国国家科学研究中心实验室）；Institute of Mathematics from Toulouse（图卢兹数学研究所）
本文研究了在基本紧半代数集的笛卡尔积上多项式优化问题的收敛速度，通过半定规划松弛层次和Putinar和Schmüdgen的平方和证书，证明了在双球面（即两个单位球的笛卡尔积）上，基于Schmüdgen型证书的层次在目标多项式全局最小值处以O(1/t²)的速度收敛，并扩展到任意球积和不同集合的积。
2026-06-03 math.OC
Composition and tensor train structure in polynomial optimization
LAAS - CNRS, Université de Toulouse（图卢兹大学 LAAS-CNRS）；Faculty of Electrical Engineering, Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学电气工程学院）
本文研究具有组合或张量列车结构的目标多项式优化问题，提出两种利用该结构的矩-SOS方法，通过数值实验展示其在处理数百甚至千变量问题中的有效性，并应用于马尔可夫链优化、量子最优控制和神经网络等领域。
2026-04-19 math.OC
Convergence rates for sums-of-squares hierarchies with correlative sparsity
本文导出了紧致基本半代数集上多项式全局极小化的相关稀疏矩平方和族的收敛速度的上界。主要结论是，这两个稀疏层次的基础上的Schmüdgen和Putinar Positivstellensätze享受多项式的收敛速率，取决于最大的集团在稀疏图的大小，但不是在周围的尺寸。有趣的是，当最大团的大小是足够小的环境尺寸和性能是衡量的运行时间所需的内点方法，以获得一个给定精度的全局极小值上的边界时，稀疏边界优于目前可用的最佳边界的密集层次结构。
2023-03-26 cs.NA math.NA math.OC
Strengthening SONC Relaxations with Constraints Derived from Variable Bounds
本文提出利用变量界导出约束来强化 SONC 松弛，确保有限变量域下产生有限对偶界，并在 SCIP 空间分支定界中将有效实例从 9 个提升至 330 个。
2023-04-24 math.OC
Polynomial Matrix Inequalities within Tame Geometry
多项式矩阵不等式可以使用Henrion和Lassere开创的凸松弛层次来解决。在某些情况下，这可能是不切实际的，人们可能需要求助于具有局部收敛保证的方法，迄今为止，这种方法的发展是相当临时的。在本文中，我们探讨了几种替代方法的问题，与非平凡的保证可使用驯服几何的结果。
2022-06-08 math.OC
Degree Bounds for Positivstellensätze of general semialgebraic sets
Econometric Institute, Erasmus University Rotterdam（伊拉斯谟斯鹿特丹大学计量经济研究所）；Tilburg School of Economics and Management, Tilburg University（蒂尔堡大学经济与管理学院）；Department of Industrial and Systems Engineering, Lehigh University（利哈伊大学工业与系统工程系）
本文改进了Putinar和Schmüdgen的SOS正定定理的次数界，并为Krivine-Stengle和扩展Handelman的R_+正定定理提供了新的次数界，通过引入新的变量和Lojasiewicz不等式，统一了多种正定定理基于层次方法的次数界计算。
2026-05-20 math.OC
A Lagrangian relaxation view of linear and semidefinite hierarchies
考虑一般多项式最优化问题$P: f^*=\min \{f(x)\,:\,x\in K\}$，其中$K$是一个紧的基本半代数集.我们首先表明，标准的拉格朗日松弛产生一个下界，如所需的全局最优值$f^*$，只要它被施加到一个问题$\tilde{P}$相当于$P$，其中足够多的冗余约束（产品的初始）被添加到初始描述的$P$。接下来，我们证明了$P$的LP松弛的标准层次（在Sherali-Adams的RLT的精神中）可以被解释为上述拉格朗日松弛的强力简化，其中非负多项式（系数待定）被替换为等于零的常数多项式。受这种解释的启发，我们提供了一个系统的LP-层次结构的改进，做了一个不那么残酷的简化，结果成一个参数化的层次结构的半定程序（而不是线性程序）。对于每个半定程序的参数化层次结构中，半定约束有一个固定的大小$O(n^k)$，独立的等级在层次结构中，与标准层次的半定松弛。参数$k$由用户决定。当应用到一个非平凡的一类凸问题，参数化的层次的第一松弛是准确的，在LP-层次的收敛不能是有限的。当应用于0/1程序时，它至少和半定松弛层次中的第一个一样好。然而，准确性的障碍仍然存在，并简要分析。最后，标准的半定层次也可以被看作是一个扩展的拉格朗日松弛的简化，但不同的精神，因为平方和（而不是标量）乘数是允许的。
2012-10-17 math.OC
Tractable hierarchies of convex relaxations for polynomial optimization on the nonnegative orthant
Institute of Mathematics, Vietnam Academy of Science and Technology（越南科技科学院数学研究所）；CNRS（法国国家科学研究中心（CNRS）、劳伦斯·亚当斯研究所（LAAS））；LAAS（图卢兹大学；劳伦斯·亚当斯研究所）；Université de Toulouse（新加坡国立大学数学系）；LAAS；Department of Mathematics, National University of Singapore
针对非负卦限半代数集上的多项式优化问题，提出基于Pólya正性定理扩展的可调节矩阵尺寸的半定松弛层级，证明其收敛速率，且在两类应用中效果与速度均优于标准Moment-SOS层级。
2025-06-11 cs.LG math.AG math.OC
Sparse Polynomial Optimization: Theory and Practice
多项式不等式组上的多项式极小化问题是一个NP难的非凸问题。由于强大的结果，从真正的代数几何，人们可以将这个问题转化为嵌套序列的有限维凸问题。在相关层次的每一步，需要解决一个固定大小的半定程序，这可以反过来解决有效的数值工具。然而，在实践方面，没有免费的午餐，这样的最优化方法通常包含严重的可伸缩性问题。幸运的是，对于许多应用程序，我们可以用眼睛来看待问题，并利用描述问题的成本和约束（例如稀疏性或对称性）所产生的固有数据结构。这本书提出了几个研究工作，以解决这一科学挑战与重要的计算影响，并提供了替代的优化方案，规模以及在计算复杂性方面的发展，至少在一些确定类的问题。本书中提出的算法框架主要利用输入数据的稀疏结构来解决大规模多项式最优化问题。我们提出了稀疏开发层次的松弛，无论是无约束或约束的问题。与稠密层次结构相比，它们在实践中提供了更快的近似解，但也具有相同的理论收敛保证。我们的框架不限于静态多项式优化，我们暴露层次的近似值所产生的利益分析的动力系统。我们还提出了各种扩展的问题，涉及非交换变量，例如，任意大小的矩阵或量子算符。
2022-08-25 cs.LG math.AG math.OA
Semidefinite Approximations of Invariant Measures for Polynomial Systems
我们考虑的问题，数值近似的时刻和支持的措施是不变的连续和离散时间多项式系统的动态，半代数集约束下。首先，我们解决的问题，近似的密度，因此支持的不变测度是绝对连续的勒贝格测度。然后，我们重点讨论了关于勒贝格测度奇异的不变测度的支撑的逼近。每一个问题都是通过一个适当的重新制定成一个线性最优化问题的措施，解决了在实践中的两个层次的有限维半定矩平方和松弛，也被称为Lasserre层次。在特定的假设下，第一个拉塞尔层次允许近似的时刻，一个绝对连续的不变测度接近所需的，并提取一个序列的多项式收敛弱密度的这种措施。第二Lasserre层次结构允许近似接近所需的Hausdorff度量的支持奇异不变测度与水平集的Christoffel多项式相关联的矩矩阵的这一措施。我们还提出了一些应用的例子，以及几个动力系统的数值结果承认无论是绝对连续或奇异的不变测度。
2018-07-02 math.DS math.OC
Exact Moment Representation in Polynomial Optimization
针对多项式优化中实半代数集上多项式下确界问题，研究矩矩阵（MoM）层次结构的精确性，揭示其与扩展实根的平方和（SoS）层次结构的对偶性，证明平坦截断与支撑集零维的等价性，并通过边界黑塞条件等验证精确性。
2024-12-02 math.AC math.AG math.OC
Complete hierarchies of efficient approximations to problems in entanglement theory
本文从凸优化的角度研究了纠缠理论中的几个问题。这一系列问题包括：（A）判定一个状态是否是多方纠缠的，（B）纠缠见证者相对于纯乘积态的期望值的最小化，（C）量化纯多方纠缠的纠缠几何度量的密切相关的评估，（D）基于二阶矩和线性熵准则的证据检验状态是否多方纠缠，以及（E）评估量子信道的最大输出纯度的实例。我们证明这些问题可以被表述为某些优化问题：采用三次或更少次多项式的多项式约束问题。然后，我们将最近建立的半定松弛理论中的已知方法应用于所表述的优化问题。通过这种结构，我们到达一个层次的有效可解的近似的解决方案，近似的精确解，如所需的，在一种方式，是渐近完成。例如，这导致了一个新的层次结构，有效地判定多粒子纠缠的充分标准，使得每个纠缠态都必须在层次结构的某个步骤中被检测到。最后，我们提出了数值例子来证明这种方法的实际可达性。
2004-12-21 cond-mat.other math.OC quant-ph
Optimization over Nonnegative and Convex Polynomials With and Without Semidefinite Programming
非负多项式锥上的优化问题是计算数学中的一个基本问题，其应用于多项式优化、控制、机器学习、对策论和组合学等。21世纪初的一些突破性论文表明，这个长期被认为遥不可及的问题可以通过使用平方和编程来解决。然而，这种技术已被证明是昂贵的大型问题，因为它涉及解决大型半定规划（SDP）。在本论文的第一部分中，我们提出了两种近似求解大规模平方和规划的方法，这些方法完全免除了半定规划，只涉及求解一系列线性或二阶锥规划。然后，我们专注于找到多项式最优化问题（POP）的紧下界的问题，这是该领域中最常见的一项基本任务，通过使用基于SDP的平方和层次结构（例如，由于Lasserre和Parrilo）。与以前的方法相比，我们提供了第一个理论框架，用于构建收敛层次的下界POP的计算只需要一定的固定多项式相乘的能力，并检查其产品的系数的非负性。在本文的第二部分中，我们着重研究了凸多项式优化问题的理论和应用，它是非负多项式优化问题的一个子问题。(See（其余部分为摘要）。
2018-06-19 cs.CC cs.DS math.OC
