Copositive Matrices with Ordered Off-Diagonal Entries
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；H. Milton Stewart School of Industrial and Systems Engineering, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院 H.米尔顿·斯图尔特工业与系统工程学院）；Sabancı University（萨贝里大学）
研究具有非对角线条目按行和列非递减的半正定矩阵的分解方法，应用于二次形式在标准单纯形上的优化，解决了一个开放性问题。
2026-05-15 math.OC
Error analysis of approximation algorithm for standard bi-quadratic programming
考虑了NP-困难的标准双二次规划（StBQP）的近似求解问题。在将原问题转化为等价的共正张量规划后，我们展示了如何通过一系列的多面体锥来近似共正张量的锥来近似最优解。所建立的逼近质量表明，存在求解StBQP的多项式时间逼近方案（PTAS），并可推广到求解标准的多重二次规划.一些数值例子来说明我们的方法。
2015-01-13 math.OC
Improving SDP bounds for minimizing quadratic functions over the l1-ball
本文证明了l1-球上极小化二次型的二次问题的所谓共正界优于Nesterov提出的一个界.我们通过仿真结果说明了改进。共正界有一个额外的优点，它可以很容易地扩展到非齐次的情况下，二次目标，包括一个线性项。我们还指出了lp-球上二次优化的特征值界的一些改进，其中1<p<2，至少当p接近1时。
2005-03-22 math.OC
Inexact subgradient algorithm with a non-asymptotic convergence guarantee for copositive programming problems
Keio University（庆应义塾大学）；RIKEN（理化学研究所）；The University of Tokyo（东京大学）
本文提出一种近似子梯度算法，用于求解copositive规划问题，通过非渐近收敛保证在O(ε^{-2})次迭代内得到近似解，且讨论了标准二次规划问题的精确与近似解法，并通过实验验证了算法在检测完全非负矩阵不完全正性方面的有效性。
2026-04-29 math.OC
Perfect Copositive Matrices
University of Rostock（罗斯托克大学）
本文首次研究了完美半正定n×n矩阵，探讨其与经典完美正定矩阵的异同，发现n≥3时存在低秩和不定完美矩阵，并提出完全正矩阵锥的新刻画。
2023-07-17 math.MG math.NT math.OC
Positive polynomials on unbounded domains
Putinar的Positivstellenetrance等非负性证书已被用于获得强大的数值技术来解决多项式优化（PO）问题。Putinar的证书使用平方和（sos）多项式来证明给定多项式在多项式不等式定义的域上的非负性。这个证明假定了相关二次模的阿基米德性质，这特别意味着域的紧性。在本文中，我们的特点是存在一个证书的非负多项式在一个可能的无界域，而不使用相关的二次模。接下来，我们证明了该证书可以用来收敛线性矩阵不等式（LMI）的PO问题的可行集无界的层次。此外，通过使用共正多项式来证明非负性，而不是sos多项式，该证书允许使用非常丰富的收敛LMI层次来近似一般PO问题的解决方案。在整个文章中，我们说明了我们的结果与各种例子证明非负的多项式可能无界集定义的多项式等式或不等式。
2017-09-11 math.OC
On Computing the Copositive Minimum and its Representatives
本文研究严格余正二次型的余正最小值计算问题，证明其为 NP 完全，并提出基于 LDLT 分解的最短向量实用算法，实验显示性能显著提升。
2025-09-28 math.MG math.NT math.OC
Computational complexity of sum-of-squares bounds for copositive programs
本文研究协正规划 SOS 松弛的计算复杂性，给出其固定精度下多项式时间可计算的充分条件，并证明图稳定数界可高效计算。
2025-01-07 cs.CC math.OC
A random copositive matrix is completely positive with positive probability
本文证明随维度增大，随机共正矩阵属于完全正矩阵锥的概率具有正下界，并推广到夹在两锥间的各类矩阵锥。
2024-02-14 math.FA math.OC quant-ph
Robust Quadratic Programming with Mixed-Integer Uncertainty
研究了鲁棒凸二次规划问题，其中不确定性问题的参数可以包含连续和整数分量。在不确定性集的自然有界性假设下，我们证明了一般性问题是适合于多项式大小的确切的共正规划重构。这些凸优化问题是NP难的，但承认保守的半定规划（SDP）的近似，可以有效地解决。我们证明了流行的近似S-引理方法-这是有效的，只有在连续的不确定性的情况下-是弱于我们的近似。我们还表明，所有的结果可以推广到两阶段的鲁棒二次优化设置，如果问题有完全追索权。我们评估了我们提出的SDP重新制定的有效性，并证明了它们的优越性，在最小二乘法，项目管理和多项报童问题的情况下，国家的最先进的解决方案。
2018-12-18 math.OC
An exact duality theory for semidefinite programming based on sums of squares
Farkas引理是线性规划的一个基本结果，为线性不等式系统的不可行性提供了线性证明。在半定规划中，这种线性证明只存在于强不可行的线性矩阵不等式中。我们提供了非线性代数证明所有不可行的线性矩阵不等式的精神，真正的代数几何：一个线性矩阵不等式是不可行的，当且仅当-1在于与它相关联的二次模。我们还提出了一个新的精确对偶理论的半定规划，激发实根和平方和证书从真正的代数几何。
2012-11-11 math.OC
Nonnegative Quadratics over a Quadrant with a Bilinear Constraint
Clemson University（克莱姆森大学）
本文刻画带双线性约束的象限上非负二次多项式锥的极射线，得到其提升凸包的半定表示，还构造了平方和锥的六维线性截面并给出两类多项式的有界次非负性证书。
2026-08-18 math.OC
On the Pervasiveness of Difference-Convexity in Optimization and Statistics
With the increasing interest in applying the methodology of difference-of-convex (dc) optimization to diverse problems in engineering and statistics, this paper establishes the dc property of many well-known functions not previously known to be of this class. Motivated by a quadratic programming based recourse function in two-stage stochastic programming , we show that the (optimal) value function of a copositive (thus not necessarily convex) quadratic program is dc on the domain of finiteness of the program when the matrix in the objective function's quadratic term and the constraint matrix a…
2019-02-19 math.OC
An FPTAS for Minimizing Indefinite Quadratic Forms over Integers in Polyhedra
我们提出了一个通用的方法，使我们能够开发一个完全多项式时间近似方案（FTPAS），最小化非线性函数的整数点在一个有理多面体在固定的尺寸。该方法结合了Papadimitriou和Yannakakis（2000）的细分策略，与通常用于推导多项式正性的实代数证书的想法类似。我们的一般方法是广泛适用的。我们应用它，例如，Motzkin多项式和不定二次型$x^T Q x$在一个固定的变量数，其中$Q$有最多一个积极的，或最多一个负的特征值。在三维中，这导致了一般$Q$的FPTAS。
2015-10-14 math.OC
A Semidefinite Relaxation for Sums of Heterogeneous Quadratic Forms on the Stiefel Manifold
本文针对 Stiefel 流形上异构二次型之和最大化这一非凸问题，提出一种新的半定规划松弛，通过对偶证书给出全局最优性认证，并证明该松弛对可联合对角化及接近可联合对角化问题（如 HPPCA）是紧的。
2025-04-08 eess.SP math.OC
Infeasibility certificates for linear matrix inequalities
Farkas引理是线性规划的一个基本结果，为线性不等式系统的不可行性提供了线性证明。在半定规划中，这种线性证明只存在于强不可行的线性矩阵不等式中。我们提供非线性代数证书的精神，真正的代数几何的所有不可行的线性矩阵不等式。更精确地说，我们证明了一个线性矩阵不等式是不可行的当且仅当-1位于与之相关的二次模中，我们证明了相应的代数证书的指数度界。为了得到一个多项式大小的证书，我们使用了一个更复杂的代数证书的动机，真正的根和普雷斯特尔的半序理论。利用完全不同的方法，即算子代数的完全正性来研究线性矩阵不等式的控制问题。
2011-08-30 math.AG math.OA math.OC
The linearization problem of a binary quadratic problem and its applications
我们提供了几个应用程序的线性化问题的二元二次问题。我们提出了一个新的下界策略，称为线性化为基础的计划，这是基于一个简单的证书的二次函数是非负的可行集。每个基于线性化的界限需要一组可线性化的矩阵作为输入。我们证明了广义Gilmore-Lawler定界方案的二元二次问题提供了线性化为基础的界限。此外，我们表明，从第一级重构线性化技术得到的界也是一种基于线性化的界，这使我们能够提供上述界之间的比较。然而，最强的基于线性化的界限是使用可线性化矩阵集的完整特征的界限。最后，对有向无圈图上的二次最短路问题的线性化问题给出了一个多项式时间算法。我们的算法给出了二次最短路问题的可线性化矩阵集的完整刻画。
2020-03-07 math.OC
Sharp Quadratic Majorants of Weighted Power Means of Quadratic Forms
University of Sheffield（谢菲尔德大学）
本文研究半正定二次型凹加权幂平均的锐二次上界，提出下包络凸性条件保证锐性，并给出线性矩阵不等式验证及变分公式，涵盖元引理等特例。
2026-10-01 math.OC
Matroid-Aware Spectral Certificates for Multiplicative Coverage Approximation
UC Irvine（加州大学尔湾分校）
该研究针对拟阵约束下的边覆盖最大化问题，提出拟阵感知的谱方法，得到乘法近似保证，可返回整数最优值的有理上界，且对局部边添加具有鲁棒性。
2026-10-14 math.OC
Optimizing Lyapunov Certificates via Stability-Preserving Quadratization for Polynomial Systems
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文提出最优耗散二次化（ODQ）方法，联合优化稳定器增益和表示规范，为多项式系统生成谱范数最优的二次Lyapunov证书，显著扩大认证吸引域。
2026-09-17 cs.SC cs.SY eess.SY
Exactness Certificates for Closed-Form CBF Safety-Filter Projections
University of Maryland, Baltimore County（马里兰大学巴尔的摩县分校）
针对控制仿射系统，研究在无需求解二次规划的情况下，如何通过最小范数校正精确计算控制障碍函数条件的欧几里得投影，并给出该校正与精确投影一致的结构条件及在线验证方法。
2026-06-26 cs.SY eess.SY math.OC
Detecting Destabilizing Nonlinearities in Absolute Stability Analysis of Discrete-Time Feedback Systems
本文针对离散时间反馈系统绝对稳定性分析中 LMI 充分条件不可行时无法下结论的问题，利用对偶 LMI 的秩条件检测失稳非线性与非零平衡点，从而证明系统不绝对稳定。
2025-02-02 math.OC
Integral quadratic constraints for asynchronous sample-and-hold links
提出了一类异步采样保持算子的模型，该算子在嵌入式和网络化系统的分析中是相关的。该模型是由相应的时变输入输出延迟的特性参数化。输出端零阶保持更新事件的时序与输入端可能的非周期性采样事件之间关系的不确定性意味着延迟并不总是重置为固定值。这与在输出更新时延迟间歇性地重置为零的研究充分的同步情况不同。主要结果提供了一个家庭的积分二次约束，涵盖了所提出的模型。为了证明这一结果的应用，强大的$\mathbf{L}_2$稳定性和性能证书设计的异步采样数据实现的反馈环周围给定的线性时不变的连续时间开环动态。最后给出了数值算例。
2020-01-01 cs.SY eess.SY math.OC
An efficient sum of squares nonnegativity certificate for quaternary quartic
Northwestern University（西北大学）
研究四元四次非负多项式通过二次形式分解为平方和，利用Hilbert定理并探讨单个二次形式是否足够分解的问题，发现非负多项式分解可能需更优方法。
2026-03-18 math.AG math.CA math.OC
Finite-time boundary collision in planar linear quadratic regulator gradient flows
School of Future Technology, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学未来技术学院）
本文研究平面线性二次调节器策略梯度流能否在有限时间内到达稳定边界，给出充要条件及三角族的显式参数区域，并证明碰撞时稳定裕度和最小特征值线性消失。
2026-10-02 cs.SY eess.SY math.DS
On sums of squares of $k$-nomials
2005年，Boman等人引入了实对称正半定矩阵的因子宽度的概念。这是最小的正整数$k$，对于该正整数，矩阵$A$可以被写为$A=VV^T$，其中$V$的每一列最多包含$k$非零。有界因子宽度矩阵的锥给出了PSD锥的内部近似的层次结构。在多项式优化上下文中，具有因子宽度$k$的多项式的格拉姆矩阵对应于作为支持至多$k$的多项式的平方和的多项式。最近，Ahmadi和Majumdar在$k=2$的情况下探索了这种联系，并提出将半定编程中对平方和多项式的依赖放宽到二项平方和多项式（sobs;他们称之为sdsos），半定编程可以减少到二阶编程以获得可扩展性，代价是一些可容忍的精度损失。有了这一点，他们进入研究哭泣，可以追溯到雷兹尼克和赫维茨。本文证明了因子宽度有界的矩阵的锥的几何性质和锥的几何性质的一些结果，并利用这些结果导出了用标准乘子和$k$ -范数平方和证明二次型非负性的限制的新结果。特别是，我们将证明，他们从来没有帮助对称二次，任何二次如果$k=2$，和任何四次二次如果$k=3$。此外，我们给出了一些证据，证明这些是此类案件的完整列表。
2021-01-12 math.AC math.OC
Adaptive Linear Quadratic Control of Unknown Linear Time-Varying Systems via Policy Gradient Methods
Department of Information Technology；Electrical Engineering, ETH Z \"u rich, 8092 Z \"u rich, Switzerland.
针对未知线性时变系统控制，提出策略梯度自适应控制方法，通过在线策略优化融入反馈，用归一化滑动窗口最小二乘法估计局部模型，给出两类系统稳定性等证明及数值验证。
2026-07-07 cs.SY eess.SY math.OC
A Quadratic Programming Algorithm with $O(n^3)$ Time Complexity
本文提出一种求解盒约束二次规划的可行内点法，通过近似牛顿步和秩1更新实现O(n^3)数据无关时间复杂度，并证明其迭代次数为O(√n)。
2025-07-06 cs.SY eess.SY math.OC
A Parallel Vector-form $LDL^\top$ Decomposition for Accelerating Execution-time-certified $\ell_1$-penalty Soft-constrained MPC
本文提出ℓ1惩罚软约束MPC并将其等价转化为Box-QP，首次设计并行向量形式LDL^T分解加速牛顿步计算，在保证执行时间证书的同时实现高达1000倍加速，达到与IPOPT和OSQP相当的性能。
2024-08-09 cs.SY eess.SY math.OC
Exact PID and PI Gain Regions for Uncertain Non-Affine MIMO Systems
State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院数学科学重点实验室）
本文针对两类非仿射MIMO系统，通过公共二次内区域与线性子类外区域重合及边界族无损约简，精确刻画了PID和PI增益区域，并严格扩大了现有充分区域。
2026-09-11 cs.SY eess.SY math.OC
State-Dependent Lyapunov Analysis of Rank-1 Matrix Factorization
Industrial & Enterprise Systems Engineering University of Illinois at Urbana-Champaign（工业与企业系统工程伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文通过状态依赖Lyapunov视角研究梯度下降在秩1矩阵分解中的收敛性，提出参数化二次证书I(δ;·)，证明在临界步长以下收敛到全局极小值，临界步长以上则进入平衡终端状态并表现出周期2行为。
2026-09-09 cs.LG cs.NA math.DS
