关于Cayley树上的量子马尔可夫链II：三阶Cayley树上XY模型的相伴链的相变

Cayley树上细胞自动机的熵和可逆性

The entropy and reversibility of cellular automata on Cayley tree

本文研究域$\mathbb F_p$（素数模$p$的集合）上二阶Cayley树上的线性细胞自动机.在Cayley树上构造了有限元胞自动机的规则矩阵。进一步，我们分析了这种元胞自动机对于给定的$a,b,c,d\in \mathbb{F}_{p}\setminus \{0\}$值和Cayley树的层$n$的可逆性问题.我们计算的测度理论熵的细胞自动机，我们定义在凯莱树。我们证明了Cayley树上的CA关于一致Bernoulli测度的测度熵是无穷大的。

Cayley树上Rozikov模型的基态

On Ground States of Rozikov Model on the Cayley Tree

在本文中，我们考虑一个模型的凯莱树具有有限半径的相互作用，该模型首先被认为是由Rozikov。我们描述了一组周期性的基态的模型。

Cayley树上伊辛模型的纯Gibbs态流形

A manifold of pure Gibbs states of the Ising model on a Cayley tree

研究了Cayley树上的伊辛模型。一个广泛的类新的吉布斯状态展出。

五阶和六阶Cayley树上伊辛模型的弱周期Gibbs测度

Weakly periodic Gibbs measures of the Ising model on the Cayley tree of order five and six

对于五阶和六阶Cayley树上的伊辛模型，给出了Cayley树群表示中指数为2的正规子群对应的新的弱周期（非周期）Gibbs测度.

Cayley树上具有不可数自旋值集模型的Gibbs测度的非唯一性

Non-uniqueness of Gibbs Measure for Models With Uncountable Set of Spin Values on a Cayley Tree

本文在$k\geq 2$阶Cayley树上构造了几个具有最近邻相互作用和自旋值集合$[0,1]$的模型。我们证明了每个模型至少有两个对称不变的吉布斯测度。

Cayley树上SOS模型的$p$ -adic Gibbs测度

On $p$-adic Gibbs measures for the SOS model on a Cayley tree

本文考虑了$k$阶Cayley树上的$m+1$ -状态$p$ -adic SOS模型.

Cayley树上竞争相互作用伊辛模型弱周期基态的描述

Description of Weak Periodic Ground States of Ising Model with Competing Interactions on Cayley Tree

最近Rozikov提出了一个具有竞争相互作用和自旋值$k\geq 1$的伊辛模型，并讨论了该模型的基态.本文描述了该模型的一些弱周期基态。

Cayley树上的量子Markov态

Quantum Markov States on Cayley trees

众所周知，在一维情形下，任何局部忠实的量子马尔可夫态（QMS）都可以被看作是一个吉布斯态，它与具有对易最近邻相互作用的哈密顿量有关。在我们以前的研究中，我们研究了与具有竞争相互作用的Ising型模型相关的量子马尔可夫态（QMS），这些量子马尔可夫态被认为是QMS，但到目前为止，还没有任何关于树上QMS的刻画。我们注意到，这些QMS没有一维类似物，因此与一维QMS相关的结果不适用。因此，本文的主要目的是描述Cayley树上的QMS。也就是说，我们证明，任何QMS（与本地化的条件期望）可以实现为产品状态w.t.r.的积分。吉布斯测度此外，它是建立任何本地忠实的QMS与本地化的条件期望可以被认为是一个吉布斯状态对应的哈密尔顿（在凯莱树）与交换竞争的相互作用。

Cayley树上最近邻模型对应量子Markov态的因子

On factors associated with quantum Markov states corresponding to nearest neighbor models on a Cayley tree

在本文中，我们考虑最近邻模型中的自旋值在集合$Φ=\{\z_1,\z_2,...,\z_q\}$和被分配到顶点的凯莱树${\G}^k$。哈密顿量由给定的$λ$ -函数定义。我们找到了函数$λ$的一个条件，以确定由与$λ$ -模型的无序相对应的量子马尔可夫态相关联的GNS -构造所生成的von Neumann代数的类型.并给出了所得结果的一些物理应用。

Cayley树上Potts-SOS模型的周期Gibbs测度

Periodic Gibbs measures for the Potts-SOS model on a Cayley tree

本文证明了Cayley树上的Potts-SOS模型在一定条件下至少存在一个周期（非周期不变）Gibbs测度。

Cayley树上竞争相互作用Potts模型的基态

Ground States for Potts Model with Competing Interactions on Cayley Tree

考虑Cayley树上自旋为1，2，3，4的两步相互作用Potts模型.我们描述了周期性的基态，并验证了模型的Peierls条件。

Cayley树上的一种轮廓法

A Contour Method on Cayley tree

考虑Cayley树上的有限值域格点模型，该模型具有两个基本性质：仅存在有限个基态和具有Peierls型条件.我们定义的概念的轮廓的模型上的凯莱树。通过一个轮廓参数，我们表明存在$s$不同的（其中$s$是基态的数量）吉布斯措施。

Cayley树上具有可数自旋集Potts模型的基态

Ground states for Potts model with a countable set of spin values on a Cayley tree

本文研究了三阶Cayley树上具有竞争相互作用和可数自旋值$Φ=\{0,1,\dots \}$的Potts模型.我们研究了该模型的周期性基态。

Cayley树上Potts-SOS模型的周期Gibbs测度

On periodic Gibbs measures for Potts-SOS model on the Cayley tree

本文给出了$k\geq 1$阶Cayley树上Potts-SOS模型的周期Gibbs测度的刻画，即关于Cayley树群表示的任意有限指数正规子群的周期Gibbs测度的刻画.

Cayley树上HC-模型的不变Gibbs测度的极值

An extremality of the translation-invariant Gibbs measure for the HC-model on a Cayley tree

本文研究了Cayley树上HC-模型的不变Gibbs测度的极值性。我们知道，对于这个模型，不变测度是唯一的。我们给出了这一说法的一个新的证明，并发现该措施的极值区域的Cayley树的顺序k。

The Potts model on a Cayley tree: the new class of Gibbs measures

For the Potts model on Cayley trees, a very wide class of new Gibbs measures is given. We give a review of all known Gibbs measures of the Potts model on trees and compare them with our new measures.

Cayley树上Hard-Core四态模型的不变Gibbs测度的唯一性

Uniqueness of the translation-invariant Gibbs measure for Hard-Core models with four-states on the Cayley tree

本文考虑Cayley树上的四态可育HC-模型及其参数活性。已知存在三种类型的这种模型。对于这些模型中的每一个，我们证明的唯一性的Cayley树的顺序二的convention-invarinat吉布斯措施。

关于Cayley树上具有竞争作用的伊辛模型的几点注记

On some remarks on the Ising model with competing interactions on a Cayley tree

本文考虑Cayley树上具有自旋值为$\pm 1$的竞争二元$J$和$J_1$相互作用的伊辛模型.我们研究了守恒吉布斯测度和相应的自由能测度。

Cayley树上三态Potts模型：周期测度

On three-state Potts model on a Cayley tree: periodic measures

本文证明了在$k>2$阶Cayley树上具有零外场的三态Potts模型的参数满足一定条件时，恰好存在两个周期（非周期不变）Gibbs测度.

Cayley树上$λ$ -模型的周期和弱周期基态

Periodic and Weakly Periodic Ground States for the $λ$-Model on Cayley Tree

本文考虑二阶Cayley树上的$λ$ -模型。我们描述了所考虑的模型的周期和弱周期基态。

Cayley树上Ising型量子马尔可夫链的相变

Phase transitions for Quantum Markov Chains associated with Ising type models on a Cayley tree

本文的主要目的是证明Cayley树上Ising型模型的量子马尔可夫链（QMC）方案中相变的存在性。请注意，这种模型没有一维的类似，即所考虑的模型只在树上持久。在本文中，我们提供了一个更一般的前向QMC的结构。在该构造中，QMC被定义为具有边界条件的有限体积状态的弱极限，即QMC取决于边界条件。我们的主要结果表明，存在一个相变的伊辛模型与竞争相互作用的Cayley树的顺序二。相变是指存在两个不同的QMC，它们不是准等价的，并且它们的支集不重叠。我们还研究了该模型的无序相的一些代数性质，这在经典环境中也是一种新的现象。

关于任意阶Cayley树上Anderson模型的绝对连续谱的注记

Note on the Absolutely Continuous Spectrum for the Anderson Model on Cayley Trees of Arbitrary Degree

本文给出了Froese，Hasler和Spitzer给出的几何方法的一个简化形式，并用它证明了任意k次Cayley树的绝对连续谱的存在性.

Cayley树上HC-模型的平移不变弱周期Gibbs测度

Translation-invariant and weakly periodic Gibbs measures for HC-models on a Cayley tree

本文研究Cayley树上的HC-模型。Cayley树上的两态HC模型，在对两态HC模型的参数的一定条件下，证明了两个弱周期（非周期）Gibbs测度的存在性.此外，考虑了可育四态HC-模型的保偏不变Gibbs测度，并证明了其中一个保偏不变Gibbs测度的非唯一性。

Mirror symmetry of height-periodic gradient Gibbs measures of a SOS model on Cayley trees

For the solid-on-solid (SOS) model with spin values from the set of all integers on a Cayley tree we give gradient Gibbs measures (GGMs). Such a measure corresponds to a boundary law (which is an infinite-dimensional vector-valued function defined on vertices of the Cayley tree) satisfying an infinite system of functional equations. We give several concrete GGMs of boundary laws which are independent from vertices of the Cayley tree and (as an infinite-dimensional vector) have periodic, (non-)mirror symmetric coordinates.

Periodic Gibbs measures for the two states HC model on a Cayley tree

A complete description of two-periodic Gibbs measures on the Cayley tree of orders two and three for HC model with two states is obtained and using the reconstruction method, the extremality of these measures in the area of their existence is proved.

Cayley树上Potts模型的平移不变周期Gibbs测度

Translation-invariant and periodic Gibbs measures for Potts model on a Cayley tree

本文研究了三阶Cayley树上的铁磁三态Potts模型，给出了双折射不变Gibbs测度的显式表达式。进一步证明了在$k>2$阶Cayley树上具有零外场q态反铁磁Potts模型的参数满足一定条件时，恰好存在2（2^q-1）个周期（非周期不变）Gibbs测度.

Cayley树上Potts模型的自由能

On free energies of the Potts model on the Cayley tree

对于Cayley树上的Potts模型，给出了自由能和熵的显式表达式（根据向量值边界条件）。它们包括不变性，周期性，Dobrushin样的BC，以及对应于弱周期吉布斯措施。

Cayley树上Potts模型的所有平移不变$p$ -adic Gibbs测度的描述

Description of all translation-invariant $p$-adic Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree

最近证明了Cayley树上通常的（实）Potts模型具有最多$2^q-1$的不变性Gibbs测度.本文研究了$p$-adic Potts模型的平移不变$p$-adic Gibbs测度（TIpGM）.特别地，对于二阶Cayley树，我们给出了这种测度的确切个数。同时给出了TIpGM有界性的判据。

Gradient Gibbs measures for the SOS model with integer spin values on a Cayley tree

In the present paper we continue the investigation from [1] and consider the SOS (solid-on-solid) model on the Cayley tree of order $k \geq 2$. In the ferromagnetic SOS case on the Cayley tree, we find three solutions to a class of period-4 height-periodic boundary law equations and these boundary laws define up to three periodic gradient Gibbs measures.

Gradient Gibbs measures of a SOS model on Cayley trees: 4-periodic boundary laws

For SOS (solid-on-solid) model with external field and with spin values from the set of all integers, on a Cayley tree we give gradient Gibbs measures (GGMs). Such a measure corresponds to a boundary law (a function defined on vertices of Cayley tree) satisfying an infinite system of functional equations. We give several concrete GGMs which correspond to periodic boundary laws.

Cayley树上的伊辛模型：一类新的Gibbs测度及其与已知测度的比较

Ising model on Cayley trees: a new class of Gibbs measures and their comparison with known ones

对于Cayley树上的伊辛模型，我们给出了一类新的Gibbs测度.我们表明，这些新的措施是极端的，在某些条件下的温度。本文综述了树上伊辛模型的Gibbs测度，并与我们的新测度进行了比较。

Cayley树上可数态Potts模型的$P$ -adic拟Gibbs测度的存在性

Existence of $P$-adic quasi Gibbs measure for countable state Potts model on the Cayley tree

本文对Cayley树上$p$ -adic Potts模型的可数态给出了一种新的测度构造，称为$p$ -adic拟Gibbs测度.这种构造取决于参数$\frak{p}$和权重。在特定情况下，即，如果是$\frak{p}=\exp_p$，则所定义的度量与$p$ -adic Gibbs度量一致。本文在一定的权条件下，证明了与该模型相联系的$p$ -adic拟Gibbs测度的存在性.请注意，此条件不依赖于质数$p$的值。当自旋数是有限的时，类似的事实是无效的。

Cayley树上具有不可数自旋值集模型的Gibbs测度的唯一性

Uniqueness of Gibbs Measure for Models With Uncountable Set of Spin Values on a Cayley Tree

我们考虑具有最近邻相互作用和自旋值集$[0,1]$的模型，在$k\geq 1$阶Cayley树上。已知模型的“分裂吉布斯测度”可以用一个非线性积分方程的解来描述。对于任意的$k\geq 2$，我们找到了一个充分条件，在这个条件下，积分方程有唯一解，从而相应的模型有唯一的分裂Gibbs测度.

三阶半无限Cayley树上Vannimenus模型的相变和Gibbs测度

Phase transition and Gibbs Measures of Vannimenus model on semi-infinite Cayley tree of order three

Cayley树上最近邻竞争与次最近邻延长相互作用的Ising模型的研究由来已久，但仍有许多问题没有得到解决。本文研究了三阶Cayley树（或Bethe格）上具有竞争近邻和延长次近邻相互作用的Ising-Vannimenus模型的新Gibbs测度.通过使用一种新的方法，我们描述了该模型的保留不变吉布斯测度。我们表明，一些措施是极端吉布斯分布。在本文中，我们试图确定相变何时发生。

Cayley树上q态Potts模型的新周期Gibbs测度

New periodic Gibbs measures for Potts model with q-states on a Cayley tree

本文在k阶Cayley树上q态Potts模型的参数满足一定条件的情况下，证明了周期（非周期不变）Gibbs测度的存在性。同时给出了关于这类测度个数的一个定理。

Extremality of the unique translation-invariant Gibbs measure for HC models on the Cayley tree of order three

We consider fertile three-state hard core models with the activity parameter on an order-three Cayley tree. It is known that there exist four types of such models: in two of them the regions of extremality of the unique translation-invariant Gibbs measure were found.

Cayley树上伊辛模型的$p$ -Adic广义Gibbs测度

On a $p$-Adic Generalized Gibbs Measure for Ising Model on a Cayley Tree

本文考虑了$k\geq 2$阶Cayley树上的$p$-adic伊辛模型.给出了$k=3$的所有$p$ -adic不变广义Gibbs测度的完整刻画.此外，我们还证明了当$p$ -adic伊辛模型对任何$k\geq3$都存在相变.

关于任意阶Cayley树上的$P$ -adic Ising-Vannimenus模型

On $P$-adic Ising-Vannimenus model on an arbitrary order Cayley tree

本文继续研究任意阶的Cayley树上的$p$ -adic Ising-Vannimenus模型（$k$）.通过分析多维$p$-adic方程组的不动点，证明了$p$-adic拟Gibbs测度的存在性.我们也能够证明的唯一性的平移不变$p$ -adic吉布斯测度。最后，证明了Ising-Vannimenus模型相变的存在性依赖于Cayley树的阶$k$和素$p$ .请注意，本文中使用的方法在实际环境中是无效的，因为它们都是基于$p$ -adic分析和$p$ -adic概率测度。

Cayley树上的可育三态硬核模型

Fertile Three State Hard-Core Models on a Cayley Tree

我们考虑最近邻肥沃的硬核模型，有三个国家，在一个同质凯莱树。已知有四种类型的这种模型。我们调查所有这些，并描述了不变性和周期性的硬核吉布斯措施。我们还构造了一个非周期Gibbs测度的连续集。

Almost Gibbsian Measures on a Cayley Tree

We consider the ferromagnetic n.n Ising model on Cayley trees in absence of external fields submitted to a modified majority rule transformation with overlapping cells already known to lead to non-Gibbsian measures. We describe the renormalized measures within the Generalized Gibbs framework and prove that they are Almost Gibbs at any temperature.

关于Cayley树上伊辛模型的自由能

On free energies of the Ising model on the Cayley tree

对于Cayley树上的伊辛模型，我们给出了自由能（和熵）在边界条件（b.c.）下的显式表达式。它们包括不变性的，周期性的，多布鲁申式的公元前，以及对应于（最近发现的）弱周期吉布斯态的那些。后者是通过划分的树，诱导4-边着色定义。我们计算每种颜色的密度。

Cayley树上具有竞争相互作用和外场的Ising模型的基态与Gibbs测度

Ground states and Gibbs measures of Ising model with competing interactions and an external field on a Cayley tree

针对二阶Cayley树上带竞争相互作用与非零外场的Ising模型，研究其基态并验证Peierls条件，进而通过围道论证证明存在两种不同Gibbs测度。

Cayley树上伊辛模型的新相变

New Phase transitions of the Ising model on Cayley trees

我们发现Cayley树上的最近邻伊辛模型具有新的温度驱动的相变。这些转变保持在不同的反温度从临界之一。它们被描述为吉布斯状态数的变化以及在这些新的转变点处自由能行为的急剧变化。

Gibbs measures of Potts model on Cayley trees: a survey and applications

In this paper we give a systematic review of the theory of Gibbs measures of Potts model on Cayley trees (developed since 2013) and discuss many applications of the Potts model to real world situations: mainly biology, physics, and some examples of alloy behavior, cell sorting, financial engineering, flocking birds, flowing foams, image segmentation, medicine, sociology etc.

关于Cayley树上的$q$ -构件模型：一般情况

On $q$- Component Models on Cayley Tree: The General Case

本文推广了文献[12]关于$k\geq 2$阶Cayley树上的$q$ -分量模型的结果.我们从两个方向推广它们：（1）从$k=2$到任何$k\geq 2;$;（2）从$q-$组件模型的具体例子（Potts和SOS模型）到任何$q$ -组件模型（具有最近邻交互）。我们给出了该模型的一组周期性基态。利用[12]中提出的轮廓论证，我们证明了$k\geq 2$阶Cayley树上$q$分量模型的$q$不同Gibbs测度的存在性.

三阶Cayley树上伊辛模型顺磁和铁磁相的精确描述

Exact description of paramagnetic and ferromagnetic phases of an Ising model on a third-order Cayley tree

本文研究了三阶Cayley树上具有三个竞争相互作用的伊辛模型的递推方程。我们精确地描述了伊辛模型的顺磁相和铁磁相。我们得到了一些严格的结果：临界温度和曲线，相数，配分函数。Ganikhodjaev等人[J. Concrete and Applied Mathematics，9（1），26-34（2011）]数值研究了二阶凯莱树上的伊辛模型。我们将数值结果与上述模型的精确解进行了比较。

Extremality of translation-invariant Gibbs measures for the Potts-SOS model on the Cayley tree

In this paper, we consider the Potts-SOS model where the spin takes values in the set $\{0, 1, 2\}$ on the Cayley tree of order two. We describe all the translation-invariant splitting Gibbs measures for this model in some conditions. Moreover, we investigate whether these Gibbs measures are extremal or non-extremal in the set of all Gibbs measures.

Cayley树上具有外场的SOS模型的基态

Ground states for the SOS model with an external field on the Cayley tree

考虑了$k$阶Cayley树上具有多个自旋值$0,1,2,...,m, m\geq2$和非零外场的最近邻固-固（SOS）模型.在$k=2, m=2$的情况下，我们描述了具有双折射不变外场的SOS模型的双折射不变基态。描述了周期外场作用下SOS模型的周期基态。

Cayley树上二态和三态HC模型的弱周期Gibbs测度

Weakly periodic Gibbs measures for two and three state HC models on a Cayley tree

本文研究了Cayley树上的二状态和三状态HC-模型。在HC-模型的参数满足一定条件的情况下，在指数为4的正态因子的情况下，证明了弱周期（非周期）Gibbs测度的存在性，它不同于已知的弱周期测度.此外，我们找到了一些区域的$λ$参数，确保一个极端的措施是不唯一的。

非均匀外场下Cayley树上临界场伊辛模型的相变稳定性

Stability of the Phase Transition of Critical-Field Ising Model on Cayley trees under Inhomogeneous External Fields

考虑Cayley树上具有空间依赖外场的铁磁伊辛模型，研究了一类外场的相变存在的条件，渐近地逼近均匀临界外场.我们的结果扩展了Rozikov和Ganikhodjaev早期的结果。

Cayley树上$λ$ -模型的基态和相变

On Ground States and Phase Transitions of $λ$-Model on the Cayley Tree

本文考虑二阶Cayley树上自旋值为$\{1, 2, 3\}$的$λ$ -模型.我们首先描述了该模型的基态。此外，我们还证明了$λ$ -模型的扰动不变Gibb测度的存在性，从而得到了相变的存在性.最后，我们建立了该模型的2-周期Gibbs测度的存在性。

Cayley树上广义薛定谔方程的周期解

Periodic Solutions of Generalized Schrödinger Equations on Cayley Trees

本文在Cayley树上定义了一个具有任意实幂的离散广义Laplacian。这个拉普拉斯算子用于定义树上的离散广义薛定谔算子。详细研究了指数为$0 < α< 2$的离散分数阶Schr dinger算子的情形，并给出了相应分数阶薛定谔方程的周期解.这种周期性取决于凯莱树的群表示的子群。对于任意有限指数子群，我们给出了薛定谔算子存在周期解的特征值的一个判据。对于指数为无穷大的正规子群，我们描述了一类广泛的周期解。

扰动Cayley树的调和分析

Harmonic analysis on perturbed Cayley Trees

本文研究了非均匀网络上约瑟夫森结阵列的纯跳跃模型的玻色爱因斯坦凝聚的数学问题。所研究的图是通过在齐次凯莱树上添加密度为零的扰动而得到的。生成的拓扑模型由图上的邻接运算符（与之相反）描述。本文研究了扰动网络邻接的一些相关谱性质，如低于范数的隐谱的出现、瞬时性和Perron Frobenius分布。所有提到的性质本身都有数学意义，并且在研究所考虑的网络上的巴伯-库珀玻色子的BEC时有自然的应用。

Cayley树上稀释伊辛模型的两点函数和有效磁场

The Two-Point Function and the Effective Magnetic Field in Diluted Ising Models on the Cayley Tree

本文给出了Cayley树上一类稀磁伊辛模型的两点函数和原点有效逸度动量的解析结构。