Introduction to Berkovich analytic spaces
Michael Temkin
本文介绍了一个扩展版本的讲座笔记的介绍性课程的Berkovich解析空间，我在2010年在暑期学校“Berkovich空间”在数学研究所德Jussieu。
This paper presents an extended version of lecture notes for an introductory course on Berkovich analytic spaces that I gave in 2010 at Summer School "Berkovich spaces" at Institut de Mathmatiques de Jussieu.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Metrization of differential pluriforms on Berkovich analytic spaces
我们引入了环或模层上的层的一般概念，并给Berkovich k-解析空间上的相对微分多形的每一层提供了一个自然的层，称为Kahler层.若剩余域的特征为零，X是拟光滑k-解析空间，则X的任何整体多重标准型的极大轨迹都是包含在X的任何半稳定形式模型骨架中的PL子空间.这扩展了Mustata和Nicaise的一个结果，因为当k是离散值且剩余特征为零时，Kahler范数在复正则形式上与Mustata和Nicaise定义的权范数一致。
The Berkovich realization for rigid analytic motives
证明了对应于刚性解析簇的基本Berkovich拓扑空间的奇异复形的函子是motivic的，并定义了motivic的最大Artin商.我们用它来推广Berkovich的结果的重量零部分的平展上同调的各种定义在一个非阿基米德值字段。
Wild coverings of Berkovich curves
本文是作者在2015年8月在帕皮提举行的“非阿基米德解析几何：理论与实践”会议上的演讲的扩展版本。它给出了一个简要的概述最近的结果的结构的野生覆盖的Berkovich曲线和它的关系，不同的和更高的分歧理论。
Countability properties of some Berkovich spaces
证明了任意域上的洛朗级数域上的紧Berkovich空间都是天使空间。特别是，它是顺序紧凑的。
Lehto--Virtanen-type and big Picard-type theorems for Berkovich analytic spaces
在非阿基米德条件下，我们建立了一个Lehto-Virtanen型定理，证明了从Berkovich仿射直线上的穿孔Berkovich闭单位圆$\overline{\mathsf{D}}\setminus\{0\}$到原点具有孤立本质奇点的Berkovich射影线$\mathsf{P}^1$的态射，然后建立一个大皮卡德-在任意维数$N$的Berkovich射影空间$\mathsf{P}^N$中，对于这样一个开子集$Ω$，证明了一个型定理，即所有态射的族从$\overline{\mathsf{D}}\setminus\{0\}$到$Ω$在非阿基米德Montel意义上是正常的。作为后一个定理的应用，我们看到一个大的Brody型双曲的Berkovich调和法图集的自同态的$\mathsf{P}^N$的程度$>1$。
Dévisser, découper, éclater et aplatir les espaces de Berkovich
我们在这篇文章中开发的平整技术相干层领域的Berkovich空间，我们的灵感来自一般的战略，雷诺和Gruson已用于处理类似的问题，在计划理论。作为应用，我们给出了紧致解析空间之间任意态射的象的一般描述。
A Poincaré lemma for real-valued differential forms on Berkovich spaces
Berkovich解析空间上的实值微分形式由Chambert-Loir和Ducros在“Formes différentielles réelles et courants sur les espaces de Berkovich”中使用多面体复形上的超形引入。我们证明了一个庞加莱引理，这些superfect和使用它也证明了庞加莱引理的实值微分形式的Berkovich空间。对于superforms，我们进一步显示有限维的相关的德拉姆上同调多面体复杂的所有（双）度。我们还显示了有限维的实值德拉姆上同调的分析代数簇在一些bidegrees。
Altered local uniformization of Berkovich spaces
本文证明了对任何紧拟光滑严格$k$ -解析空间$X$，存在有限扩张$l/k$和拟tale覆盖$X'\to X\otimes_kl$，使得$X'$具有严格半稳定形式模型.这推广了U. Hartl到具有非离散赋值的基域的情况。
Continuous functions on Berkovich spaces
本文在非阿基米德分析框架下，针对约化正规k-解析空间证明了结构层的有界截面层可表示为模ω^n商层的反向极限，推进了Berkovich空间上的函数层理论研究。
Utilisation de l'aplatissement en géométrie de Berkovich
本文利用先前发展出的平坦化技术，对紧解析空间间的映射进行美化，描述其像的结构，从而在非阿基米德环境下替代Chevalley定理，并证明在G拓扑下，Berkovich空间中的平坦性等同于朴素的平坦性。
Continuity of the radius of convergence of p-adic differential equations on Berkovich analytic spaces
本文考虑解析域U上的光滑形式p-adic格式\cX的一般纤维\cX_η中的具有可积联络的向量丛（\cE，\na）.定义了U在点\in U处的\emph{diameter} δ_{ \cX }（R，U），点\in \cX_η处的\emph{radius} ρ_{ \cX }（R），R（R）= R_{\cX}（R，U，（\cE，\na））的解的\emph{radius of convergence}.我们讨论了这些函数关于Berkovich拓扑的（半）连续性。特别地，在一定的假设下，证明了δ_{ \cX }（-，U），ρ_{ \cX }（-，U）和R_（U，\cE，\na）是上连续函数;对于仿射空间中的Laurent域，δ_{ \cX }（-，U）是连续的.在解析仿射线的仿射域U的经典情况下，R是连续函数。
Classically psh and pluriharmonic functions on Berkovich spaces
本文将光滑严格$k$-解析曲线上的次调和函数理论推广至非阿基米德域上可能奇异的解析曲线，定义了经典psh函数并给出局部与全局最大值原理，进而证明拟紧Berkovich空间上的多重调和函数空间是有限维的。
A comparison of adic spaces and Berkovich spaces
本文讨论了局部有限型紧adic空间范畴与严格解析Berkovich空间范畴的等价性。这个函子的一个明确的结构是通过使用赋值空间的术语来提供的。
Tropical cohomology with integral coefficients for analytic spaces
本文研究了Chambert-Loir和Ducros定义的Berkovich解析空间的热带Dolbeault上同调。我们提供了一个建设，让我们拉回类热带上同调类热带Dolbeault上同调，以及检查这些类是否是非平凡的。我们进一步定义了Berkovich空间上具有整系数的热带上同调，并给出了一些计算。我们的主要工具是由Kajiwara和Payne介绍的Toric品种的扩展热带化。
Uniform structures and Berkovich spaces
一致空间是一个拓扑空间加上一些额外的结构，使人们能够理解一致的性质，如完备性或一致收敛性。受J. Rivera-Letelier以前工作的启发，我们给出了与仿射代数相关联的Berkovich解析空间的一个新的构造，作为其刚性解析空间上的一个标准一致结构的完备化.
Berkovich curves and Schottky uniformization
本文从布氏几何的角度论述了非阿基米德曲线和肖特基均匀化。它由两部分组成，第一部分是介绍性的，第二部分是更高级的。第一部分是对Berkovich空间理论的介绍，重点是仿射直线的情况。我们定义的Berkovich仿射直线，并提出了它的主要性质，有许多细节：分类点，路径连通性，度量结构，变化的有理函数，等等相反，许多其他的介绍性文本，我们不假设，基地领域是代数封闭的。第二部分介绍了芒福德曲线和肖特基均匀化理论。我们首先简要回顾了布氏曲线的理论，然后介绍了芒福德曲线在一个纯粹的分析方式（不使用正式的几何）。我们定义肖特基群作用于伯科维奇投影线，突出几何和群论如何走到一起来证明，由肖特基群的行动商是一个分析芒福德曲线。最后，我们提出了一个分析证明肖特基均匀化，表明任何解析芒福德曲线可以描述为这种商。我们论述的指导原则是强调概念和充分证明结果的理论，非阿基米德曲线，据我们所知，没有充分处理在其他文本。
About Hrushovski and Loeser's work on the homotopy type of Berkovich spaces
这些是我在2013年4月在圣约翰（美属维尔京群岛）举行的关于非阿基米德和热带几何的西蒙斯研讨会上的两次演讲的笔记。他们基本上包括一个调查的Hrushovski和Loeser的工作同伦型的Berkovich空间;最后一节解释了作者如何使用他们的工作研究前图像的Adrieta。
Motivic integration on Berkovich spaces
本文在平凡赋值域上代数簇的Berkovich解析化上定义动机测度与动机积分，提出几何构造的函子性理论，并讨论与非平凡赋值域及Hrushovski-Kazhdan积分的关系。
La droite de Berkovich sur Z
本文研究数域的整数环上的Berkovich线。它是一个自然的对象，包含复杂的和非阿基米德的解析空间与每个地方。我们证明了这条直线具有良好的拓扑和代数性质，并给出了几个Stein空间的例子，同时给出了它在研究收敛算术幂级数中的应用：零点和极点的选择，整体环的noetherianity和逆Galois问题.这种幂级数的典型例子是开复单位圆盘上的解析函数，其泰勒展开式在0中具有整数系数。
Convergence of p-adic pluricanonical measures to Lebesgue measures on skeleta in Berkovich spaces
设$K$是一个非阿基米德局部域，$X$是一个光滑的真$K$ -概型，并在$X$上固定一个复正则型.对于$K$的每一个有限扩张$K'$，其复正则形式在$K'$ -解析流形$X(K')$上导出一个测度.我们证明了，当$K'$运行通过所有有限驯服扩展的$K$，适当的规范化这些措施的前推的Berkovich分析$X$收敛到Lebesgue型措施的温带部分的Kontsevich-Soibelman骨架，假设存在一个严格的正规交叉模型$X$。我们还证明了一个类似的结果，所有有限扩张$K'$的假设下，$X$有一个对数光滑模型。这是一个非阿基米德对应的类似结果体积形式退化复杂卡拉比-丘流形的Boucksom和第一命名的作者。一路上，我们发展了一个一般的理论勒贝格测度上的Berkovich的Ekueta离散值的字段。
Families of Berkovich spaces
本文致力于系统地研究有关性质的背景下，伯科维奇解析空间。我们首先发展了一个理论的平坦度在这种情况下。通过反例表明，天真的平坦性不能是正确的概念，因为它是不稳定的基础变化，我们定义平坦性由{ \em要求}不变性基础变化下，我们研究了第一类重要的平坦态射，准光滑的。然后，我们表明存在的地方{ \em devissages}（在雷诺和Gruson的精神）相干层，我们使用，连同研究的“通用纤维”的态射的局部环，以证明一个{ \em boundaryless}，天真平坦的态射是平坦的。然后证明了紧致解析空间在平坦态射下的像可以被紧致的、相对Cohen-Macaulay的零维多剖复盖，并且证明了后者的像是目标的紧致解析域;从而恢复了Raynaud关于紧致解析空间在平坦态射下的像是目标的紧致解析域的结果.在本文的最后一部分，我们研究了一些效度位点。我们首先证明了解析空间的一个给定态射的平坦轨迹是源的一个Zurkki-开子集。然后，我们看看在{ \em纤维}的有效性轨迹通常的交换代数的属性。我们证明了我们所期望的结果实际上是成立的：这样一个属性的纤维有效性轨迹是Zerkiki-可构造的，并且在适当的额外假设（平坦性，有时也是等维性）下是Zerkiki-开放的。
Bruhat-Tits Theory from Berkovich's Point of View. I - Realizations and Compactifications of Buildings
该研究利用Berkovich解析几何研究Bruhat-Tits建筑的紧化，构造了从建筑到对应解析空间的映射并得到紧化族，推广了分裂群情形的结果，还刻画了紧化边界层并证明边界点稳定子群的混合Bruhat分解定理。
Polynomial approximation of Berkovich spaces and definable types
本文研究了极大完全域上的仿射Berkovich空间，证明了当我们需要计算的唯一函数是有界次数的多项式时，它们可以用更简单的空间来近似。我们导出了它在半代数集上的应用，并恢复了E. Hrushovski和F. Loeser，他声称Berkovich空间的点产生了可定义的类型（一种模型论的驯服概念）。
Dynamics on Berkovich spaces in low dimensions
这些是2010年在巴黎Jussieu数学研究所举行的关于Berkovich空间的暑期学校的扩展讲义。它们用于说明低维Berkovich空间动力学的一些技巧和结果，并展示这些空间的结构。
Berkovich Spaces and Tubular Descent
我们考虑一个代数簇X和一个子簇Z的选择。我们证明了X上的任何凝聚层都可以由Z的形式邻域上的凝聚层、Z的补上的凝聚层以及这两个层在我们定义的Berkovich解析空间W上的凝聚层范畴中的某些代表像之间的同构构成。
Reconstruction anabélienne du squelette des courbes analytiques
在这项工作中，我们带来了光的一些Anabelian行为的解析曲线的设置的Berkovich几何。我们更精确地表明，知识的回火基本群的一些曲线，我们称之为分析的Anabelian确定其分析骨架的图形。回火基本群的一个Berkovich空间，介绍了安德烈，使望月证明了第一个结果的anabelian几何在Berkovich几何有关analytifications代数双曲曲线超过$\overline{\mathbb{Q}}_p$。为此，望月发展了anabelioïds和temperoïds的半图的范畴语言。我们的工作包括在关联图的anabelioïds的Berkovich曲线配备了一个最小的三角剖分，并在适应望月的结果，以恢复分析骨架的曲线。这个Anabelian结果在Berkovich几何中的新颖之处在于，我们感兴趣的曲线不再具有代数性质。例如，我们证明了著名的德林费尔德半平面是一个解析的Anabel曲线。
Towards tempered anabelian behaviour of Berkovich annuli
本文揭示了在布氏几何背景下解析环的某些部分\emph{anabelian behaviours}。更具体地说，如果$k$是一个代数闭的混合特征的赋值非阿基米德完全域，并且$\mathcal{C}_1$，$\mathcal{C}_2$是两个具有同构的调和基本群的$k$ -解析环，我们证明了$\mathcal{C}_1$和$\mathcal{C}_2$的长度不能相距太远.当他们是有限的，我们表明，他们的差异的绝对值是有界的上界仅取决于残留的特点$p$。
Normalized Berkovich spaces and surface singularities
我们定义规范化版本的Berkovich空间上的平凡值域$k$，获得的行为的$\mathbb R_{>0}$通过重新标度半赋值定义的一致性。我们将这样一个规范化的空间，任何特殊的正式$k$ -计划，并证明了类似的雷诺定理，特征明确的空间，以这种方式获得。这种结构产生了一个局部环$G$ -拓扑空间，我们证明了$G$ -局部同构于域$k((t))$上的Berkovich空间，具有$t$ -adic赋值。这些空间可以被解释为非阿基米德模型的链接的奇点的$k$ -品种，并允许研究双有理几何的$k$ -品种使用技术的非阿基米德几何可用时，只有在一个领域的工作与非平凡赋值。特别是，我们证明了在一个代数闭域$k$上的表面奇点的正规化非阿基米德链接的结构类似于在$k((t))$上的非阿基米德解析曲线的结构，并推导出本质和对数本质赋值的特征，即这些赋值的中心在给定表面的每个分辨率（分别为对数分辨率）是一个因子。
Analytification and Tropicalization over non-archimedean fields
本文综述了热带几何与非阿基米德解析几何在Berkovich意义下相互作用的最新进展。在简要讨论结果贝克，佩恩和拉宾诺夫的情况下，曲线，我们解释了结果奎托，哈比希和作者比较热带格拉斯曼飞机的分析格拉斯曼。我们也给出了一个概述的一般高维理论开发的Gubler，Rabinoff和作者。特别是，我们解释了建设的广义Atrieta中的多面体子结构的Berkovich空间借给自己的比较与tropicalizations。讨论了有理函数的斜率公式，并解释了Berkovich空间的多面体子结构与热带化比较的两个结果。
Rational Connectivity and Analytic Contractibility
设k是特征为0的代数闭域，f是形式洛朗级数的环k（（t））上X到Y的光滑投射簇的态射.证明了如果f的一般几何纤维是有理连通的，则X和Y的Berkovich分析是同伦等价的.这一结果的两个重要结果是：k（（t））上任意光滑投射簇X的Berkovich分析的同伦型是X的双有理不变量，以及k（（t））上有理连通光滑投射簇的Berkovich分析是可收缩的。
Degenerations of amoebae and Berkovich spaces
证明了复代数簇的Berkovich分析的纤维关于阿基米德范数和平凡范数的最大值的连续性结果。因此，我们得到了Mikhalkin和Rullgard关于变形虫退化到热带变种的结果的推广。
Patching over Berkovich Curves and Quadratic Forms
本文将场修补推广到Berkovich解析几何的背景下，证明了解析曲线函数域上的一个局部-整体原理。我们将这一结果应用到二次型，并将其与局部各向同性的充分条件在Berkovich曲线上得到应用的u-不变。我们采用的修补方法由Harbater和Hartmann介绍，并由这两位作者和Krashen进一步发展。本文推广了他们关于局部-整体原理和二次型的结果。
Analysis and dynamics on the Berkovich projective line
这是2004年春季在乔治亚大学举行的伯科维奇空间研讨会的一套扩大的课堂讲稿。这些笔记的目的是提供对伯科维奇空间的非技术性介绍，并为分析伯科维奇投影线奠定基础，以期在动力学中应用。在描述了基本的拓扑空间和Berkovich线上的函数层之后，我们引入了Hsia核，它是位势论的基本核。我们发展了一个容量理论，定义了一个拉普拉斯算子，并构造了一个调和函数理论。然后，我们开发的理论下调和函数，并给予应用动态，包括建设的Lyubich措施附加到一个有理函数。
A Berkovich Approach to Perfectoid Spaces
本文从Berkovich空间视角重建完美oid空间基础，利用arc_pi下降技术使仿射完美oid空间的底层拓扑空间成为紧Hausdorff空间，并建立了arc_pi层的基础结果。
Definable sets of Berkovich curves
本文为一大类Berkovich曲线建立可定义集与可定义映射的函子性关联，刻画其可定义子集与径向子集的双射关系，并推广Temkin关于重数径向性的结果，同时提供Hrushovski-Loeser定理的显式版本。
The Valuative Section Conjecture, Étale Homotopy, and Berkovich Spaces
本文通过Berkovich空间重新解释了Pop和Stix关于p进截面猜想的结果，并推广到更广泛的字段和代数簇类。
Continuité des racines d'après Rabinoff et Berkovich
本文推广了 Rabinoff 的定理，证明了在完备非阿基米德域上的连通正则解析空间中，满足特定条件的拟有限态射具有平坦性与有限性，且其有限纤维基数相同。
Espaces de Berkovich sur Z : étude locale
研究了Z上Berkovich空间的局部性质。利用Weierstrass定理，证明了这些空间的局部环是Noether环，在仿射空间的情况下是正则环，是优良环.我们还证明了结构层是相干的。我们的方法也适用于其他基环（值域、离散赋值环、数域的整数环等）。并提供了复数和p-adic空间的统一处理。
Patching over Analytic Fibers and the Local-Global Principle
作为一个起点，高维修补在Berkovich设置，我们表明，这种技术是适用于周围的相对Berkovich分析曲线的某些纤维。作为结果，我们证明了一个局部-整体原理在该纤维上的过收敛亚纯函数域上。通过证明这些亚纯函数的芽是代数的，我们还得到了定义在一类（不一定是完备的）超度量域上的代数曲线的函数域上的局部-整体原理.
Berkovich spaces embed in Euclidean spaces
设K是关于非阿基米德绝对值完备的域，使得K有可数稠密子集。本文证明了K上任意d维拟射影概形V的Berkovich分析V ^an嵌入R ^{2d +1}.此外，如果K的值群在R_{>0}中是稠密的，并且V是曲线，则我们利用局部枝晶理论描述V ^an的同胚型。
A Criterion for Weak Convergence on Berkovich Projective Space
给出了完备非阿基米德域上N维Berkovich射影空间上单位Borel测度弱收敛的一个判别准则。作为应用，我们给出了剩余域上的概型论射影空间上的等分布的一个充分条件.作为第二个应用，在剩余特征为零的情况下，我们给出了N维单位环面上一点的幂的遍历等分布结果。这是一个非阿基米德模拟的一个著名的复杂equidistribution结果外尔，其证明基本上利用定理的莫德尔朗型由于洛朗。
Notes sur la droite projective de Berkovich
这些注记的目的是初等地描述一个最简单的Berkovich空间：与完备代数闭超度量场的投影线相联系的空间。这些注释的目的是对伯科维奇的超简单空间进行描述：它与理想的射影、超几何基础假设和代数相关联。
Berkovich Motives
本文提出了一种统一处理 archimedean 和 nonarchimedean 设定的 Berkovich 动机理论，通过自包含的方法，实现了与 Voevodsky 理论的关联，并在基假设下保证了稳定 ∞-范畴的 rigid dualizable 性质。
Raccord sur les espaces de Berkovich
设$X$是值域上的Berkovich空间.证明了有限群是$\Ms(B)(T)$上的Galois群，其中$\Ms(B)$是满足一定条件的$X$的部分$B$上的亚纯函数域.给出了有限群是$K(T)$上的Galois群的一个新的几何证明，其中$K$是具有非平凡赋值的完备值域.然后，我们转向${\bf Z}$上的Berkovich空间，并使用类似的策略给出了D. Harbater：每个有限群是收敛算术幂级数域上的Galois群。我们相信我们的证明比原来的证明更加几何化和初等化。我们已经包括了${\bf Z}$上的Berkovich空间的必要背景知识。
Forms on Berkovich spaces based on harmonic tropicalizations
本文引入了 Berkovich 空间的热带骨架，提出通过更一般的调和热带化拉回方法构建更大的微分形式层，在保持原有性质的同时改善了上同调行为。
Les espaces de Berkovich sont modérés, d'après E. Hrushovski et F. Loeser
这是布尔巴基研讨会第1056号演讲（2012年6月）的（修订）印刷版，将以Astérisque卷出版。这是对Hrushovski和Loeser（/arxiv：1009.0252）论文的报道。在本文中，他们建立，使用在一个关键的方式模型理论的工具，特别是概念的稳定主导型，各种驯服性质的拓扑代数伯科维奇空间（例如，他们证明，这样的空间有同伦型的一个紧凑的多面体）。
Espaces de Berkovich, polytopes, squelettes et théorie des modèles
设$X$是非阿基米德完备域$k$上的解析空间，$(f_1,..., f_n)$是$X$上的可逆函数族.令$ϕ$是由$f_i$ 's诱导的态射$X\to G_m^n$，令$t$是由$f_i$ 's的范数诱导的映射$X\to (R^*_+)^n$。让我们回顾两个结果。1)紧集$t(X)$是一个多面体的$R$ -向量空间$(R^*_+)^n$（我们使用乘法符号）;这是由于伯科维奇在局部代数的情况下，并已扩大到一般情况下的作者。2)此外，如果$X$是Hausdorff和$n$维的，则$G_m^n$的骨架$S_n$在$ϕ$下的原像具有分段线性结构，使得$ϕ^{-1}(S_n)\to S_n$分段浸入;这是由于作者。本文改进了1）和2），并给出了它们的新证明。我们的证明是基于模型理论的代数封闭，非平凡值字段。让我们快速解释一下改进1）和2）的意思。- 对于1），我们还证明了若$x\in X$，则存在$x$的紧解析邻域$U$，使得对于$X$中$x$的每个紧解析邻域$V$，多面体$(t(U),t(x))$和$(t(V),t(x))$的芽重合. - 关于2），我们证明了$ϕ^{-1}(S_n)$上的分段线性结构是规范的，也就是说，不依赖于我们选择的地图，将其作为骨架的原像;因此，我们回答了Temkin向我们提出的一个问题。此外，我们证明了骨架的原像“稳定后，有限的，可分离的地面字段扩展”，如果$ϕ_…
Bruhat-Tits buildings and analytic geometry
本文概述了布鲁哈特-山雀建筑理论。此外，我们解释了如何布鲁哈特-山茨建筑可以实现内的伯科维奇空间。这样，伯科维奇解析几何就可以用来紧致化建筑物。我们详细讨论了特殊线性群的例子。此外，我们给出了一个内在的描述Bruhat-Tits建筑的非阿基米德解析几何的框架。
Overconvergent subanalytic subsets in the framework of Berkovich spaces
研究了当$k$是非阿基米德域时，$k$ -仿射空间$X$的过收敛次解析子集类.这些是沿着子集的投影$X \times B^n \to X$的图像，所述子集由$X\times B^n$的函数之间的不等式定义，所述函数在$B^n$的变量中过收敛。特别是，我们研究了局部性质，相对于$X$，过收敛子分析子集。我们表明，他们表现良好的Berkovich拓扑，但不是$G$ -拓扑。这给出了反例，以前的结果就这个问题，并纠正他们的方法。此外，我们研究的情况下暗淡$(X)=2$，其中一个更简单的过收敛的子解析子集的特征证明。
Topology of nonarchimedean analytic spaces and relations to complex algebraic geometry
本说明调查的基本拓扑性质nonarchimedean解析空间，在这个意义上的Berkovich，包括最近驯服的结果Hrushovski和Loeser。我们还讨论了非阿基米德解析空间的拓扑与经典代数几何之间的相互作用。
On the structure of nonarchimedean analytic curves
设K是代数闭的完备非阿基米德域，X是光滑的K-曲线。本文详细讨论了Berkovich解析空间X^an的结构的几个方面。我们定义了X^an的半稳定顶点集和它们的相关顶点集，它们本质上是嵌入在X^an中的有限度量图。我们证明了一个民间传说定理，该定理指出，半稳定顶点集的X是在自然的双射对应与半稳定模型的X，从而表明，我们的骨架的概念符合标准定义的Berkovich。利用骨架理论定义了H（X^an）上的一个正则度量：= X^an - X（K），并利用Bosch和Lütkebohmert的结果给出了Thuillier的非阿基米德Poincaré-Lelong公式的证明.
Berkovich $2$-motives and normed ring stacks
本文提出并证明了动机同调理论核范畴与同调平凡的光滑缝合环堆栈的关系，并探讨了其在分析几何中的应用。
Descent for non-archimedean analytic spaces
本文研究了Berkovich解析空间范畴中的两类下降：平坦下降和关于基域扩张的下降。非常令人惊讶的是，在这个方向上最深刻的结果似乎是第二种类型，包括作为良好的解析空间和作为无边界态射的性质的下降。
The moduli space of stable coherent sheaves via non-archimedean geometry
我们提供了一个结构的模空间的稳定相干层在世界上的非阿基米德几何，在那里我们使用的概念，Berkovich非阿基米德解析空间。本文的理论基础是余悦（Tony Yue Yu）提出的Gromov-Witten理论中的非阿基米德计数几何。用伯科维奇解析空间构造稳定层的模空间将产生非阿基米德形式的唐纳森-托马斯不变量。本文给出了非阿基米德域$\kk$上模的构造。利用形式方案的机制，定义并构造了离散赋值环$R$上（半）稳定相干层的形式模栈，并利用一般纤维得到了分数非阿基米德域$\kk$上半稳定相干层的非阿基米德解析模.对于代数闭域$κ$上的代数簇$X$的稳定层的模空间，这种模空间的解析给出了非阿基米德模空间的一个例子。我们推广乔伊斯的$d$ -临界计划结构在\cite{Joyce}或Kiem-Li的虚拟临界流形在\cite{KL}的正式计划的世界，和Berkovich非阿基米德解析空间。作为应用，我们在有向形式$d$ -临界格式上，利用消失圈的整体动机和动机积分，证明了$d$ -临界非阿基米德$\kk$ -解析空间的动机局部化公式.这推广了Maulik的motivic Donaldson-Thomas不变量的motivic定位公式。
Espaces de Berkovich globaux : catégorie, topologie, cohomologie
本文研究整体Berkovich空间的基础理论，定义了性质良好的态射并建立相关构造，证明其局部道路连通性，还证明任意维开/闭圆盘无高阶凝聚上同调，将算术幂级数环的Noether性定理推广到多变量情形。
Formes différentielles réelles et courants sur les espaces de Berkovich
本文在 Berkovich 空间上建立实 (p,q)-形式与流理论，推广积分、Stokes、Poincaré-Lelong、Bedford-Taylor 及 Chern 相交工具，并以热带空间框架重释热带相交理论。
Finitude cohomologique des morphismes propres en géométrie algébrique : une preuve transcendante sans techniques projectives
本文利用代数簇的一个真态射，不使用Chow引理，也不使用任何射影方法，给出了相干层的高阶直象的相干性的一个超越证明.主要工具是与平凡值域上的（Berkovich）解析空间的相干上同调的比较，以及Kiehls关于刚性-解析空间之间的真态射定理。
On the structure of the complement of skeleton
该研究以相对维数1的虚拟开圆盘为工具研究Berkovich空间高维几何，提出Berkovich骨架是所有虚拟开圆盘并集补集的猜想，且在特定半稳定模型条件下完成证明。
On Liu morphisms in non-Archimedean geometry
本文定义了Berkovich分析空间间的Liu态射与准Liu态射，并证明其行为与概形中的仿射态射和准仿射态射一致。
Convergence of Bergman measures towards the Zhang measure
我们证明了一个民间传说的猜想，沿全纯曲线族的Bergman措施参数的穿孔单位盘收敛到张措施在相关的Berkovich空间。收敛发生在一个Berkovich混合空间。我们还研究了Bergman测度在Amini和Baker意义下收敛到度量化曲线复形上的测度。
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