Expected degree of weights in Demazure modules of $\hat{sl}_2$
Thomas Bliem, Stavros Kousidis
我们在$\hat{sl}_2$的Demazure模块$V_w(Λ)$中的权向量的基础上计算随机选择的元素的期望度。我们得到了这些Demazure模的Sanderson维数公式的一个新的证明。
We compute the expected degree of a randomly chosen element in a basis of weight vectors in the Demazure module $V_w(Λ)$ of $\hat{sl}_2$. We obtain en passant a new proof of Sanderson's dimension formula for these Demazure modules.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Demazure and local Weyl modules for twisted hyper current algebras
本文研究了扭超流代数的局部分次Weyl模和Demazure模。证明了扭超流代数的局部分次Weyl模同构于相应的一级Demazure模，并且证明了它们是无扭超流代数的局部分次Weyl模的限制.
A weight multiplicity formula for Demazure modules
我们根据复连通代数群的朗兰兹对偶的几何形状建立了复连通代数群的Demazure模（特别是最高权表示）的权重数公式。
On the law of large numbers for Demazure modules of sl2hat
我们确定sl2hat的1级Demazure模块中的权重分布的协方差。这使我们能够证明这些权重分布的一个弱大数定律，并导致一个猜想的渐近集中的重量任意Demazure模块。
Twisted Demazure modules, fusion product decomposition and twisted Q--systems
本文引入了扭流代数的一类不可分解有限维分次分次模。这些模块由满足自然兼容性条件的分区$\bxi=(ξ^α)_{α\in R^+}$的$|R^+|$元组索引。我们给出了这些模块的三个等价表示，并表明，对于一个特定的选择$\bxi$这些模块成为同构的Demazure模块在各个级别的扭曲仿射代数。因此，我们看到扭曲Demazure模块的定义关系可以大大简化。此外，我们调查的概念，扭曲的模块，首先定义在\cite{FL99}为untwisted模块的融合产品，并使用简化的表示证明了扭曲Demazure模块的融合产品分解。因此，我们证明了扭曲的Demazure模可以得到由采取相关的分次模的（untwisted）Demazure模的简单花边仿射代数。进而给出了扭仿射代数的不可约表示的半无限融合积的构造。最后，我们证明了在\cite{HKOTT02}中定义的扭曲$Q$ -系统可推广到扭曲Demazure模的融合积的非正则短正合列。
Modules with Demazure Flags and Character Formulae
本文研究了$\mathfrak{sl}_2$的当前代数的一族有限维分次表示，它们是以分块为索引的。我们表明，这些表示承认一个标志，连续的concurents是Demazure模块发生在一个水平$\ell$ -可积模块$A_1^1$，只要$\ell$是大的。我们关联到每个分区和每个$\ell$的边标记的有向图，使我们能够描述在一个组合的方式分级多重性的一个给定的水平$\ell$ -Demazure模块的过滤。在划分$1^s$和$\ell=2$的特殊情况下，我们给出了一级Demazure模中二级Demazure模的分次重数的一个闭公式.作为一个应用，我们使用我们的结果连同Naoi和Lenart等人的结果，以给出与$B_n^1$相关联的$\mathfrak{g}$稳定级别一的Demazure模块的特征，作为适当专门化的Macdonald多项式的显式组合。在$\mathfrak{sl}_2$的情形下，我们还研究了第二级Demazure模被第三级Demazure模过滤的问题，并计算了过滤重数，证明了分次重数与部分θ级数（的变体）有关.
Pieri formulas, higher level Demazure crystals and numerical multiplicities of excellent filtrations
经典的Pieri公式给出了复一般线性群的不可约模与基本不可约模的多重自由展开式。本文用融合积代替张量积，证明了仿射李代数$\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1}$的高阶Demazure模的一个类似Pieri公式.更精确地说，我们证明了任意稳定的Demazure模与基本模的融合产物允许多重性自由的优良滤子，并且明确地描述了连续滤子。因此，我们推导出递归关系的生成系列编码的数字多重性的Demazure标志的一级Demazure模块。
Demazure Modules, Chari-Venkatesh Modules and Fusion Products
设$\mathfrak{g}$是有限维复单李代数，其最高根为$θ$ .给定两个非负整数$m$，$n$，证明了一级Demazure模$D(1,θ)$的$m$拷贝与伴随表示${\rm ev}_0 V(θ)$的$n$拷贝的融合积与参数无关，并给出了明确的定义关系.因此，对于简单的花边的$\mathfrak{g}$，我们证明了一个特殊的家庭的Chari-Venkatesh模的融合产品再次是Chari-Venkatesh模。我们还得到了与$θ$的倍数相关联的截断Weyl模的描述。
Simplified presentations and embeddings of Demazure modules
该研究针对非扭仿射李代数，通过简化Demazure模的表现，证明了高阶Demazure模到低阶模张量积的嵌入，并提出晶体论方法求解其关于极大半单李子代数的经典分解。
On Demazure and local Weyl modules for affine hyperalgebras
证明了正特征超流代数分次局部Weyl模的Demazure标志的存在性。如果基础的简单李代数是简单的花边，则标志的长度为1，即，分次局部Weyl模同构于Demazure模。这扩展到目前的代数特征零的正特征设置结果的傅立叶-利特尔曼和Naoi。利用这个结果，我们证明了超loop代数的局部Weyl模的特征只依赖于最高权，而不依赖于（代数闭）基域，并导出了它们的一个张量积因子分解.
Homogeneous Bases for Demazure Modules
我们研究了与$A_n$型正根、$C_n$型长根、$B_n$型短根以及$D_n$型不涉及单根$α_{n-1}$的正根反射$r_γ$相关的Demazure模块$V_{r_γ}(λ)$上的PBW过滤。在每一种类型中，我们构造了一个正规多面体，它标记了相应分次空间$\operatorname{gr} V_{r_γ}(λ)$的基，并证明了$\operatorname{gr} V_{r_γ}(λ)$的零化理想是一个单项理想.
A twining character formula for Demazure modules (abstract)
给出了Demazure模的缠绕特征公式。
Fusion Product Structure of Demazure Modules
设g是有限维复单李代数。给定一个非负整数l，我们考虑g的支配权集λ，使得lΛ_0+λ是相应的无扭仿射Kac-Moody代数的支配权.对于这些特殊的支配权族，我们证明了不可约g-模V（λ）和有限个特殊的l级g-稳定Demazure模族（在[15]和[16]中考虑）的融合积，对于与g相关联的当前代数g[t]，再次证明是Demazure模。这一事实与几个重要的理论密切相关。我们利用这个结果构造了不可约模V（l ~ Λ_0 + λ）的g[t]-模结构，它是有限维g[t]-模的半无限融合积，如[16]中所述。作为第二个应用，我们进一步证明了Schur正性的推广猜想（见[7]）。
Cyclic Demazure modules and positroid varieties
一个正簇是循环旋转的格拉斯曼舒伯特簇的交集。正拟簇的齐次坐标环的每个分次段都是循环旋转（矩形）的Demazure模的交集，我们称之为循环Demazure模。本文证明了循环Demazure模具有正则基，并定义了循环Demazure晶体。
Demazure modules, Fusion products and Q--systems
本文对单李代数的当前代数引入一族不可分解的有限维分次分次模。这些模由一个划分元组索引，每个划分元组对应于简单李代数的每个正根。我们假设分区满足自然相容性条件。例如，在分区都是矩形的情况下，我们证明了这些正是在简单李代数作用下稳定的Demazure模。因此，我们看到这些Demazure模块的定义关系可以大大简化。我们使用这个简化的演示文稿，我们的结果与融合产品（定义的Feigin和Loktev）的当前代数的表示。我们证明，Q-系统实际上可以被认为是一个典型的短精确的融合产品的表示与某些特殊的分区。最后，在最后一节中，我们讨论了sl（2）的情形，证明了我们定义的模是相关流代数的不可约表示的融合积。我们还给出了这些模的单项基。
Generalized Demazure modules and fusion products
设$\mathfrak{g}$是具有最高根$θ$的有限维复单李代数，$\mathfrak{g}[t]$是相应的流代数.本文考虑仿射李代数$\widehat{\mathfrak{g}}$的可积最高权表示所对应的$\mathfrak{g}[t]$稳定Demazure模.证明了给定层的Demazure模与不同层的单个Demazure模的最高权为$θ$的倍数的融合积是广义Demazure模，并给出了定义关系.这也表明这种Demazure模块的融合产物与所选参数无关。作为结果，我们获得了某些类型的广义Demazure模块的生成元和关系。我们还建立了一个连接的模块定义的Chari和Venkatesh。
Weyl modules, Demazure modules and finite crystals for non-simply laced type
我们表明，每一个Weyl模块的当前代数有一个过滤，其连续的子同构的Demazure模块，和一个张量积的零级基本表示的路径模型是同构的Demazure晶体的不相交的工会。此外，我们表明，Demazure模块出现在这两个对象完全一致。虽然这些结果以前在简单花边的情况下是已知的，他们在非简单花边的情况下是新的。
A Steinberg type decomposition theorem for higher level Demazure modules
研究了仿射李代数的水平$\ell$不可约可积表示中的Demazure模.我们还假设它们在仿射李代数的标准极大抛物子代数的作用下是稳定的。我们证明了这样一个模块是同构的融合产品的“素”\ Demazure模块，其中的素因子的指数占主导地位的整数权重是$\ell$的倍数或采取值小于$\ell$的所有简单的coroot。我们的证明依赖于一个技术结果，我们证明在所有的经典情况下和$G_2$。用Aristotica进行的计算表明，这个结果对于小的能级值是正确的。使用我们的结果，我们表明，存在的推广的$Q$ -系统对的权重，其中一个权重不一定是矩形的，是一个不同的水平。我们的结果还允许我们比较出现在某些不可约表示对的张量积中的不可约表示的重数，即，我们建立了简单李代数的不可约模对的Schur正性的一个版本。
Weyl modules, Demazure modules, KR-modules, crystals, fusion products and limit constructions
我们研究了流代数、圈代数及其量子化形式的有限维表示。对于{ \tt ADE}型单李代数的当前代数，我们证明了Kirillov-Reshetikhin模和Weyl模实际上都是Demazure模.因此，人们得到了一个初等证明的维数公式的Weyl模的电流和循环代数。此外，我们表明，晶体的外尔和Demazure模块是相同的一些额外的标签零箭头外尔模块。对于任意单李代数的当前代数$\Lgc$，同一层的Demazure模的融合积又是一个Demazure模.作为应用，我们构造了Kac-Moody代数$\Lhg$ -模的$\Lgc$ -模结构，即有限维$\Lgc$ -模的半无限融合积$V(\ell\Lam_0)$.
Demazure slices of type $A_{2l}^{(2)}$
我们考虑一个类型为$A_{2l}^{(2)}$的Demazure切片，这是一个无限维版本的Demazure模块的相关分级片段。证明了$A_{2l}^{(2)}$型超特殊流代数的整体Weyl模被Demazure切片过滤.我们计算了Demazure片和通常的Demazure模之间的扩张，证明了Demazure片的分次特征标等于非对称Macdonald-Koornwinder多项式除以其范数.最后证明了$A_{2l}^{(2)}$型特殊流代数的整体Weyl模是作为其自同态环生成的多项式环上的自由模。
Generalized Weyl modules and Demazure submodules of level-zero extremal weight modules
研究了仿射李代数正部分上的广义Weyl模$W_{w λ}$，$w \in W$与量子仿射代数上的极权模$V(λ)$的Demazure子模$V_{w}^- (λ)$的特定子模$V_{w}^- (λ) / X_{w}^- (λ)$，$w \in W$的分次特征标之间的关系，其中$W$是有限外尔群，$λ$是支配权.更确切地说，我们证明了一个特定的商的Demazure子模是一个广义Weyl模的量子模拟。
Beilinson-Drinfeld Schubert varieties and global Demazure modules
本文计算了Beilinson-Drinfeld仿射格拉斯曼算子的球面Schubert子簇上行列式线丛的幂截空间。答案是在当前李代数的整体Demazure模块。
Demazure modules and graded limits of minimal affinizations
对于BC型量子圈代数上的极小仿射化，我们给出了一个用Demazure算子表示的特征公式和用晶基表示的重数。我们还提供了一个简单的公式的限制字符。这些都是通过验证它的分次极限（一个经典极限的变体）同构于一个Demazure模的一些多重推广，并通过确定分次极限的定义关系来实现的。
Reduction rules for Demazure modules
本文提出了一种方法，通过将Demazure模的权空间维数计算问题约简到Levi子群的相应问题，从而简化了复可约群中权乘数的计算。
Nonsymmetric Rogers-Ramanujan sums and thick Demazure modules
我们考虑与任意根系相关的θ-函数的乘积在$t=\infty$上的非对称Macdonald多项式除以其范数的展开式。后者与Demazure切片的分级特征相一致，这些切片是厚（上）层一级Demazure模块的一些典型等价物，与最近的广义（非对称）全局Weyl模块理论直接相关。切雷德尼克-费金所考虑的对称罗杰斯-拉马努金型级数被期望具有这种解释;非对称设置似乎是实现这一点所必需的。作为应用，非对称Rogers-Ramanujan级数的系数给出了一级Kac-Moody表示的张量积展开式在Demazure切片上的重数公式.
Demazure crystals of generalized Verma modules and a flagged RSK correspondence
我们证明了Robinson-Schensted-Knuth对应是广义韦尔马模的晶体图关于$\gl_{\infty}$的极大抛物子代数的两个实现之间的$\gl_{\infty}$ -晶体同构.这推广了先前已知的结果，即RSK对应是双晶或双晶的同构。通过计算广义韦尔马模的Demazure晶体图，以自然的方式导出RSK对应的标记版本。作为应用，我们讨论了Demazure晶体与具有有界条件的平面剖分之间的关系。
Polytopes for Crystallized Demazure Modules and Exremal Vectors
给出了Demazure模的晶基作为凸多胞体中的格点集的参数化，并将其极值向量明确地描述为某些线性方程组的解.
On the support varieties of Demazure modules
我们考虑Demazure模的支集簇，某些$B$ -模在约化群的表示论中是重要的。在许多情况下，我们能够计算这些支持品种超过$B_1$，第一Frobenius内核的博雷尔子群，并将它们与轨道品种。当基本代数群为$A_1$或$A_2$型时，我们给出了支撑簇的完整计算.我们还考虑了Demazure模的饱和（$G$轨道）$B_1$支撑簇，并证明了这些簇之间的包含关系与Bruhat序相容.
Nonsymmetric Macdonald polynomials, Demazure modules and PBW filtration
Cherednik-Orr猜想用仿射一级Demazure模的PBW扭曲特征标表示了非对称Macdonald多项式的$t\to\infty$极限.我们证明了这个猜想在几个特殊的情况下。
Affine Demazure crystals for specialized nonsymmetric Macdonald polynomials
我们给出了一个晶体理论的证明，专门为$t=0$的非对称Macdonald多项式是仿射Demazure字符。我们明确地构建了一个仿射Demazure晶体半标准的关键小报，使删除仿射边缘恢复有限Demazure晶体构建较早的作者。我们还实现了最高权模块的Demazure模块的过滤定义明确的嵌入操作，在字符的水平上，平行的递归操作的Knop和Sahi的专门的非对称Macdonald多项式。因此，我们在类型A中组合地证明了每个仿射Demazure模允许有限Demazure标志。
Demazure Filtrations of Tensor Product Modules and Character Formula
本文研究 $\mathfrak{sl}_2[t]$ 中特殊 Demazure 模张量积的结构，证明其存在 Demazure 旗标，给出 2 级分次重数闭式公式及分次特征表达式，并支持 m+n 级滤过猜想。
Graded characters, demazure multiplicities, and chebyshev polynomials
本文研究了sl₂[t]模V(ξ)的优秀过滤中Demazure模的数值多重性，通过切比雪夫多项式商表达生成函数，推广了肥钩分区的先前结果。并提供了一个自包含的证明，描述了V(ξ)中不可约sl₂模的分级多重性。
Generalized Demazure Modules and Prime Representations in Type $D_n$
本文的目的是了解与简单李代数$\mathfrak{g}$相关联的量子仿射代数的一族不可约素表示的分次极限。这个族是由David Hernandez和Bernard Leclerc在簇代数的monoidal范畴化的背景下引入的。这个族的一个成员的分次极限是当前代数$\mathfrak{g}[t]$的不可分解分次模;或者等价地是仿射李代数$\widehat{\mathfrak{g}}$的极大标准抛物子代数的模。本文研究了$\mathfrak{g}$为$D_n$类型的情形。我们表明，在某些情况下，极限是一个广义Demazure模块，即，它是一级Demazure模的一个张量积的子模。我们给出了这些模块的介绍，并计算其分级字符（因此也是总理表示的字符）的Demazure模块的水平2。
A note on the fusion product decomposition of Demazure modules
我们解决了$E^{(1)}_{6, 7, 8}, F^{(1)}_4$和$E^{(2)}_{6}$情况下高阶仿射Demazure模的融合积分解定理，从而完成了Chari等人（J. Algebra，2016）和Kus等人（Represent. Theory，2016）.我们得到了一个新的组合证明的关键事实，这是在Chari等人。（同上），来证明这个分解定理我们对这个关键事实给出了一个无案例的统一证明。
Quiver varieties and Demazure modules
利用Nakajima的Demazure簇的子簇，我们称之为Demazure模簇，给出了对称Cartan数据的Kac-Moody代数的Demazure模的一个几何实现.我们给出了一个自然的几何表征的极值权重的表示，并表明，Lusztig的半规范的基础是兼容的过滤表示Demazure模块。对于仿射sl_2的情形，我们给出了Demazure簇的一个刻画，即在Demazure表示上的幂零性条件，以及Demazure晶体的一个明确的组合描述，即Young金字塔。
Weyl, Fusion and Demazure modules for the current algebra of sl_{r+1}
我们构造了$sl_{r+1}$的当前代数的Weyl模的Poincare-Birkhoff-Witt型基.作为推论，我们证明了一个猜想所提出的Chari和Pressley的维的Weyl模在这种情况下。此外，我们将Weyl模与Feigin和Loktev定义的当前代数的融合模以及相应仿射代数的一级表示中的Demazure模相关联。特别是，这使我们能够建立大量的情况下，austratures的Feigin和Loktev的结构和分级字符的融合模块。
Newton-Okounkov bodies for Bott-Samelson varieties and string polytopes for generalized Demazure modules
牛顿-奥昆科夫凸体是一个由一个射影簇构造的凸体，其赋值在其齐次坐标环上;这推广了复曲面簇的牛顿多面体。这个凸体具有关于原始投射簇的各种信息;例如，卡维证明了来自表示论的弦多面体是舒伯特簇的牛顿-奥昆科夫体的例子。本文将Demazure模的弦多面体的概念推广到广义Demazure模，并证明了广义弦多面体与Bott-Samelson簇的Newton-Okounkov体关于一个特定的赋值是相同的.作为这一结果的应用，我们证明了这些确实是多面体。
Demazure modules and Weyl modules: The twisted current case
研究了扭流代数的有限维表示，证明了扭仿射Kac-Moody代数的任意阶化扭Weyl模同构于一级Demazure模.利用Demazure模的张量积性质，通过对基本Weyl模的分析，得到了其维数和特征标公式.证明了分次扭Weyl模可以通过取Weyl模的相伴分次模分次模作为loop代数得到，这意味着它的维数和经典特征与支集无关，只依赖于它的经典最高权.这些结果是已知的untwisted电流代数之前，是新的所有扭曲类型。
Demazure modules of level two and prime representations of quantum affine $\mathfrak{sl}_{n+1}$
研究了与$\mathfrak{sl}_{n+1}$相关的量子仿射代数的一族不可约表示的经典极限。在适当的扭转之后，极限是$\mathfrak{sl}_{n+1}[t]$的模，即，对于仿射李代数的极大标准抛物子代数.我们的第一个结果是关于家庭的素表示的背景下，一个monoidal分类的集群代数。我们表明，这些表示专门（扭曲后），$\mathfrak{sl}_{n+1}[t]$-稳定，素Demazure模块在两级可积最高权表示的经典仿射李代数。更一般地，我们证明了任何二级Demazure模是量子仿射$\mathfrak{sl}_{n+1}$的不可约素表示的张量积的极限。
PBW filtration and monomial bases for Demazure modules in types A and C
我们构造了辛外尔群元，使得FFLV基与辛Demazure模上的PBW滤子相容，推广了第二作者的A型结果.令人惊讶的是，这样的元素的数量并不取决于李代数的类型A或C，而只取决于秩。
Tensor product structure of affine Demazure modules and limit constructions
设$\Lg$是一个单复李代数，我们用$\Lhg$表示相应的仿射Kac-Moody代数.令$Λ_0$为$\Lhg$的附加基本权重。对于主积分$\Lg$--余权$\lam^\vee$，Demazure子模块$V_{-\lam^\vee}(m\Lam_0)$是$\Lg$--模块。对于$\lam^\vee=\sum_j \lam_j^\vee$的任何划分作为支配积分$\Lg$-余权之和，Demazure模（作为$\Lg$-模）同构于$\bigotimes_j V_{-\lam^\vee_j}(m\Lam_0)$。对于"最小"的情况，$\lam^\vee=\om^\vee$一个基本余权，我们为经典类型的$\Lg$提供了一个将$V_{-\om^\vee}(m\Lam_0)$分解为不可约$\Lg$--模的分解，因此这可以被看作是\cite{KMOTU}和\cite{Magyar}中分解公式的自然推广。与某些有限维$U_q'(\Lhg)$-模（Kirillov-Reshetikhin-模）的$U_q(\Lg)$-特征的比较进一步表明，所有量化的Demazure模$V_{-\lam^\vee,q}(m\Lam_0)$都可以自然地被赋予$U_q'(\Lhg)$-模的结构.这样的结构也表明了Demazure模块的LS-路径模型和\cite{NaitoSagaki}中某些$U_q'(\Lhg)$-模块的L…
Demazure flags, $q$--Fibonacci polynomials and hypergeometric series
研究了$\tt A_2^{(2)}$型扭仿射李代数的超特殊抛物子代数的一族有限维表示。我们证明了这些模允许一个降滤子，其截面同构于充分大水平的可积最高权模中的稳定Demazure模。特别是，我们表明，任何稳定的水平$m'$ Demazure模块承认过滤的水平$m$ Demazure模块的所有$m\ge m'$。定义了描述Demazure模重数的分次和加权生成函数，并建立了一个递归公式。在$m'=1,2$和$m=2,3$的情况下，我们完全确定了这些生成函数，并证明了它们定义了超几何级数，而且它们与Carlitz定义的$q$ -Fibonacci多项式有关。
Distributions defined by q-supernomials, fusion products, and Demazure modules
我们证明了q-超项定义的分布的渐近正态性，这意味着中心弦函数给出的分布的渐近正态性和sl 2的当前代数的融合模的基本特化.该极限是在固定集合的不可约表示的线性标度融合功率上取得的。这包括所有与sl 2相关的仿射Kac-Moody代数的Demazure模。随着一个可用的补充结果的基本专业化的分次张量的A型标准表示的渐近正态性，我们的结果是一个严重的一类分次张量的中心极限定理。因此，它可以作为一种普适行为的指示：中心弦函数和融合的基本特化，特别是Demazure模块的行为是渐近正常的，因为融合的数量在渐近参数N中线性缩放。
Minuscule Schubert varieties: Poset polytopes, PBW-degenerated Demazure modules, and Kogan faces
本文研究了偏序集族及其相关的链多面体和序多面体。我们确定的顺序多面体作为一个最大的Kogan面对Gelfand-Tsetlin多面体的倍数的基本重量。我们证明了这样的Kogan面的特征标等于出现在具有基本权的最高权倍数的$\mathfrak{sl}_n$的不可约表示中的Demazure模的特征标，并且对于任何这样的Demazure模都存在相应的偏序集和相应的极大Kogan面.我们证明了链多面体parametrizes一个单项基础的相关PBW分次Demazure模块，并进一步，Demazure模块是一个有利的模块，例如有趣的几何性质是由组合学的凸多胞体。因此，我们得到了任何极小的舒伯特簇平坦退化到一个环面投射簇，这是投射正常的和算术Cohen-Macaulay。给出了外尔群元上的一个充要条件，使得链多胞形的复曲面簇与序多胞形的复曲面簇同构.
Reduced arc schemes for Veronese embeddings and global Demazure modules
我们考虑ADE型单李群的旗簇的Pluecker嵌入和Veronese嵌入的合成的弧空间。弧空间没有约化，我们考虑相应的约化概形的齐次坐标环。我们证明了齐次坐标环的每个分次分量是当前代数上的余循环模，并由对称多项式代数作用。我们证明了多项式代数的作用是自由的，并且分次分量的特殊点处的纤维同构于仿射Demazure模，其水平是Veronese嵌入的程度。在类型A $_1$（对应于Veronese曲线）中，我们给出了约化弧空间的生成元的精确列表。在一般类型中，我们引入了整体高阶Demazure模的概念，推广了整体Weyl模的标准概念，并利用这些模确定了齐次坐标环的分次分支.
PBW-degenerated Demazure modules and Schubert varieties for triangular elements
研究了Feigin，Littelmann和作者引入的正规多面体的某些面，其格点参数化了$\mathfrak{sl}_{n+1}$的PBW-退化单模的单式基.我们表明，格点在这些面参数化单式基地PBW退化Demazure模块相关的外尔群元素满足一定的封闭性，例如Kempf元素。这些面又是正规多面体，它们的Minkowski和与张量积相容，这意味着我们得到了相应的Schubert簇到PBW退化簇和环面簇的平坦退化。
Affine Demazure modules and $T$-fixed point subschemes in the affine Grassmannian
设$G$是定义在$\C$上的$A$或$D$型单代数群，$T$是$G$的极大环面.对于$G$的支配余权$λ$，仿射格拉斯曼$Gr_G$中舒伯特簇$\bar{Gr}_G^λ$的$T$ -不动点子格式$(\bar{Gr}_G^λ)^T$是有限格式.证明了$λ$的一级仿射Demazure模的对偶与$(\bar{Gr}_G^λ)^T$的函数环（由$Gr_G$上的某个线丛扭曲）之间存在自然同构.利用这一事实给出了$A,D,E$型仿射代数的基本表示与格顶点代数之间的Frenkel-Kac-Segal同构的几何证明。
Trails, $S$-graphs and Identities in Demazure Modules
Kashiwara晶体$B(\infty)$参数化Kac-Moody代数的Verma模的基。它有一个深刻的组合结构，人们试图理解。对于Weyl群$W$的元素的简化分解的每个序列$J$，它具有作为晶体$B_J$的子集$B_J(\infty)$的实现，晶体作为集合只是自然数的$J$拷贝。目标是确定$B_J(\infty)$，特别是要表明它是$B_J$的多面体子集。在早期的工作中，这导致了与给定的简单根$α$相关联的$S$ -图的概念。本文引入了依赖于固定单根的巨型$S$ -图的概念。它本质上是一个$S$ -图的并集，每个单根有一个区别的顶点依赖于$α$。它的顶点，形成一个巨大的$S$ -集，确定一组对偶Kashiwara函数。这些是$B_J$上的线性函数，其公共最大值确定了关于$α$的对偶Kashiwara参数。根据这些参数，可以将$B_J(\infty)$计算为$B_J$的显式多面体子集。对于$W$有限，Berenstein和Zelevinsky研究了这个问题，通过引入的概念，一个线索的基本模块。它们定义的函数也可以被看作是一组对偶柏原函数。我们的目标是将这两种方法联系起来，而不限制$W$。它示出的假设下，没有“假”的痕迹存在，该设置的痕迹确定的“$Z$凸信封”的一个巨大的$S$ -集。证明涉及Demazure模块中的身份的研究。
Specialization of nonsymmetric Macdonald polynomials at $t=\infty$ and Demazure submodules of level-zero extremal weight modules
本文利用任意无扭型量子仿射代数上的零级极权模$V(λ)$的Demazure子模$V_{w_\circ}^{-} (λ)$，给出了非对称Macdonald多项式$E_{w_{\circ} λ}(q,t)$在$t=\infty$上的特化$E_{w_{\circ} λ} (q,\infty)$的表示论解释，其中$λ$是控制整权，$w_{\circ}$表示有限Weyl群$W$中的最长元.对于每个$x \in W$，我们得到了非对称Macdonald多项式$E_{x λ} (q,t)$在$t=\infty$处的特化$E_{x λ} (q, \infty)$的组合公式，以及$V(λ)$的Demazure子模$V_{x}^- (λ)$的分次特征$\mathrm{gch} V_{x}^- (λ)$的组合公式，这两个公式都是用$λ$形的量子Lakshmibai-Seshadri路径描述的.
Demazure Character Formulas for Generalized Kac--Moody Algebras
对于占优整权$lambda $，我们引入了广义Kac-Moody代数$mathfrak{g}$的不可约最高权$U_q (mathfrak{g})$的$U_q ^+ (mathfrak{g})$-子模$V_w (lambda)$-最高权$lambda $的模$V(lambda)$.证明了模$V_w (lambda)$被它的整体基张成，并给出了$V_w (lambda)$的一个特征标公式，推广了一般Kac-Moody代数的Demazure特征标公式.
Macdonald Polynomials and level two Demazure modules for affine $\mathfrak{sl}_{n+1}$
我们定义了一族对称多项式$G_{ν,λ}(z_1,\cdots, z_{n+1},q)$，它由一对主导的积分权重索引。多项式$G_{ν,0}(z,q)$是Macdonald多项式的特殊化，证明了$G_{0,λ}(z,q)$是仿射李代数$\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1}$的二级Demazure模的分次特征标.在$(ν,λ)$（包括$ν=0$或$λ=0$）上的适当条件下，证明了$G_{ν,λ}(z,q)$是Schur正的，并给出了它们用Macdonald多项式表示的显式表达式.
Demazure character formula for semi-infinite flag varieties
证明了半无限旗簇的每个Schubert簇都是射影正规的。这给了我们一个解释的Demazure模的整体Weyl模的当前李代数的（对偶）空间的空间的整体瓣的半无限舒伯特品种。此外，我们给出了Feigin-Makedonskyi广义Weyl模的几何实现，以及非对称Macdonald多项式的$t = \infty$特殊化.
Beilinson-Drinfeld Schubert varieties of parahoric group schemes and twisted global Demazure modules
本文研究parahoric群概形的Beilinson-Drinfeld Schubert簇，证明其平坦性并确定Picard群，建立整体Demazure模理论，推广了非扭曲情形下的对偶结果。
Demazure Flags, Chebyshev polynomials, Partial and Mock theta functions
我们研究了$\frak{sl}_2[t]$的一个级别$\ell$ --Demazure模块的级别$m$--Demazure标志。我们定义了生成序列$A_n^{\ell \rightarrow m}(x,q)$，它编码$q$ --权$n$的水平$m$ Demazure模块的多重性。我们建立了这些函数的两个递归公式。我们证明了$q=1$的特殊化是一个包含切比雪夫多项式的有理函数。我们给出了$A_n^{\ell \rightarrow \ell+1}(x,q)$的一个封闭形式，并证明了它是由一个有理函数给出的。在$m=\ell+1$和$\ell=1,2$的情况下，我们将生成级数与部分θ级数联系起来。我们还研究了$A_n^{1\rightarrow 3}(q^k,q)$的专门化，并将它们与Ramanujan的五阶模拟θ函数联系起来。
Extremal subsets and atom-positivity
本文研究了Demazure crystals的极小性和原子正性，推广了Lascoux-Schützenberger的递归公式，并探讨了极小子集结构与Polo猜想中张量积的联系。
Makhlin polytopes are Demazure string polytopes
该研究证明了B_n型Makhlin多面体与B_{2n-1}型德马祖尔模的字符串多面体幺模等价，通过结合辛FFLV多面体等完成证明。
The PBW Filtration, Demazure Modules and Toroidal Current Algebras
设$L$是仿射Kac-Moody李代数$\hat{\mathfrak g}$的基本（一级真空）表示. $L$上的PBW过滤的第$m$个空间$F_m$是$x_1... x_lv_0$形式的向量的线性跨度，其中$l\le m$、$x_i\in \hat{\mathfrak g}$和$v_0$是$L$的最高权重向量。本文给出了相伴分次空间$L^{\rm gr}$关于PBW滤子的两种刻划。“自上而下”的描述处理的结构$L^{\rm gr}$作为一个表示的阿贝尔代数生成运营商。我们证明了关系的理想是由平方域$e_θ(z)^2$的系数生成的，它对应于最长根$θ$。“自下而上”描述将$L^{\rm gr}$的结构作为当前代数${\mathfrak g}\otimes {\mathbb C}[t]$的表示。我们证明，每个商$F_m/F_{m-1}$可以过滤的梯度变形的$m$副本${\mathfrak g}$的张量产品。
A Local Characterization of Unions of Demazure Crystals
本文研究了戴姆齐晶体联合的局部特征，并证明了其可分解为戴姆齐原子，同时给出了子集为戴姆齐晶体的新的刻画及波洛模块的相对施图姆特滤的晶体理论证明。
Weight polytopes and saturation of Demazure characters
对于$G$是一个约化群，$T\subset B$是极大环面和博雷尔子群，Demazure模是$G$的有限不可约表示的某些$B$ -子模，由Weyl群的元素索引。为了描述Demazure模中的$T$ -权空间，我们研究了这些权的凸包-Demazure多面体.我们用顶点和不等式刻画了这些多面体，并利用这些结果证明了在$G$是经典Lie型单多面体的情况下，Demazure特征标是饱和的.专门针对$G=GL_n$，我们恢复Fink，Mészáros和St. Dizier的结果，并分别Fan和Guo，关于关键多项式，最初由Monical，Tokcan和Yong提出。
Smooth locus of twisted affine Schubert varieties and twisted affine Demazure modules
本文对一般扭曲型特殊仿射群概形证明 level one 扭曲仿射 Demazure 模与环面不动点子概形函数环之间的对偶定理，并由此确定任意仿射 Schubert 簇的光滑轨迹，证实 Haines-Richarz 猜想。
Higher level BGG reciprocity for current algebras
本文建立了扭曲当前代数任意正整数水平的高层BGG互反律，形成层级结构，涵盖厚Demazure模，并应用于广义Kostka多项式及解决非单laced型猜想。
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