On the Hilbert series of vertex cover algebras of unmixed bipartite graphs
Cristian Ion
我们计算了环面理想关于一个适当的单项式阶的约化Gröbner基，并研究了顶点覆盖代数$A(G)$的Hilbert级数，其中$G$是一个没有孤立点的非混合二部图.
We compute the reduced Gröbner basis of the toric ideal with respect to a suitable monomial order and we study the Hilbert series of the vertex cover algebra $A(G)$, where $G$ is an unmixed bipartite graph without isolated vertices.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Unmixed bipartite graphs
本文给出了所有非混合二部图的组合刻画。
Unmixed bipartite graphs and sublattices of the Boolean lattices
本文讨论了非混合二部图与欧比格的子格之间的对应关系。利用这一对应关系，我们证明了由非混合二部图的极小点覆盖所产生的环面理想的无平方二次初始理想的存在性。
Resolution of Unmixed Bipartite Graphs
对于非混合二部图$G$，我们考虑了点覆盖格$\mathcal{L}_G$，并计算了$R/I(G)$在这个格上的深度、投射维数和极值Betti数.
On the dimension of the minimal vertex covers semigroup ring of an unmixed bipartite graph
在2008年的一篇论文中，Herzog，Hibi和Ohsugi引入并研究了与非混合二部图的最小顶点覆盖集相关联的半群环。本文将这个半群环的维数与它所对应的布尔格的秩联系起来。
Unmixed r-partite graphs
非混合二部图已经被Ravadra和Villarreal独立地刻画。本文的目的是在一定条件下刻画非混合r-部图，它是Villarreal关于二部图的定理的推广。并给出了与此相关的一些例子和反例.
Cohen-Macaulay-ness in codimension for bipartite graphs
设$G$是维数为$d-1$的纯二部图.设具有$n\ge 2$的$K_{n,n}$是$G$的最小维数的极大完全二部子图.则$G$是余维$d-n+1$中的Cohen-Macaulay。这推广了Herzog和Hibi关于Cohen-Macaulay二部图的一个刻画以及Cook和Nagel关于非混合Buchsbaum图的一个结果.进一步证明了任何在余维$t$上为Cohen-Macaulay的非混合二部图$G$都是由Cohen-Macaulay图通过用完全二部图替换$G$的某些边而得到的.我们提供一些例子。
Freiman cover ideals of unmixed bipartite graphs
多项式环$R=k[z_1,\ldots, z_n]$中的一个等元生成单式理想$I$是Freiman理想，如果$μ(I^2)=\ell(I)μ(I)-{\ell(I)\choose 2}$，其中$\ell(I)$是$I$的解析展度，$μ(I)$是$I$的极小生成元的个数。本文对复盖理想为Freiman理想的单连通非混合二部图进行了分类。
Regularity, Depth and Arithmetic Rank of Bipartite Edge Ideals
研究了二部图的边理想的极小自由分解。将有向图与边理想为纯的二部图联系起来，利用有向图的不变量给出了边理想的正则性和深度的表达式.对于某些类的非混合边理想，我们证明了理想的算术秩等于其商的投射维数。
Binomial edge ideals of bipartite graphs
对二项式边理想$J_G$为Cohen-Macaulay的二部图$G$进行了分类.这类图的连通分支可以通过用两个操作粘合有限个基本块来获得。在这种情况下，我们证明了一个众所周知的结果，由于Hartshorne的逆，表明这些理想的科恩-麦考利性是等价于其对偶图的连通性。我们还研究了非二部图的有趣性质，并在未混合的情况下，构建类的二部图与$J_G$未混合，而不是科恩-麦考利。
Unmixed local rings with minimal Hilbert-Kunz multiplicity are regular
给出了Hilbert-Kunz重数为1的非混合局部环必正则的一个新的简单证明.
Unmixed Graphs that are Domains
给定任意图G，研究其基本覆盖代数，即G的边理想的Alexander对偶的符号纤维锥。推广了Villarreal和Benedetti-Constantinescu-Varbaro的结果，该结果仅在G是二分的情况下有效，我们用组合的方式刻画了以下情形：1）基本覆盖代数是整环; 2）它是整环且G（的边理想）是非混合的.最后一个结果给出了边理想的任何符号幂都由同度单项式生成的图的一个完全刻画。
Non-vanishing of Betti numbers of edge ideals and complete bipartite subgraphs
给定一个有限的单图，我们可以把边理想联系起来。本文证明了在一定条件下，若原图含有一组完全二部子图，则边理想的分次贝蒂数不为零。并给出了非混合二部图的边理想的投射维数的组合刻画。
Almost Cohen-Macaulay bipartite graphs and connected in codimension two
本文研究几乎Cohen-Macaulay二部图。进一步证明了若$G$是几乎Cohen-Macaulay二部图且至少有一个顶点为正度，则存在$°(v) \leq 2$的顶点.特别地，若$G$是几乎Cohen-Macaulay二部图，且$u$是$G$的一个度顶点，$v$是它的邻点，则$G\setminus\{v\}$是几乎Cohen-Macaulay二部图.证明了非混合Ferrers图是几乎Cohen-Macaulay图的充要条件是它在余维2上连通。此外，我们给出了一些例子。
On Hilbert coefficients of parameter ideals and Cohen-Macaulayness
设$(R, \mathfrak m)$是非混合Noether局部环，Q是参数理想，$K$是$R$的含$Q$的$\mathfrak m$ -准素理想.给出了$R$是Cohen-Macaulay的一个充要条件，即$Q$关于$K$的Hilbert系数表示为$g_0(Q)$和$g_1(Q)$.由此得到了Ghezzi等人的一个结果，解决了W. V. Vasconcelos [15]在非混合局部环中。
Gorenstein homogeneous subrings of graphs
设$G=(V,E)$是一个连通单图，其顶点数为$n$，使得$S$是它的齐次单项式子环.证明了若$S$是正规的且Gorenstein，则$G$与覆盖数$\lceil\frac{n}{2}\rceil$是非混合的，且$G$有强的$\lceil\frac{n}{2}\rceil$ - $τ$ -约化.此外，如果$n$是偶数，则证明了$G$是二分的.最后，如果$S$是正规的，且$G$是非混合的，其覆盖数为$\lceil\frac{n}{2}\rceil$，我们给出了$S$是Gorenstein的充分条件.
Cohen-Macaulay generalized binomial edge ideals
本文研究了简单图的广义二项式边理想，分类了 Cohen-Macaulay 广义二项式边理想，并进一步探讨与分类了二部图和幂圈的无混合情形。
On rings with small Hilbert-Kunz multiplicity
Watanabe和Yoshida的一个结果是：正特征的非混合局部环是正则的当且仅当它的Hilbert-Kunz重数为1.我们证明了，对于固定的$p$（特征）和$d$（维数），存在一个数$ε(d,p) > 0$使得任何非正则非混合环$R$至少有$1+ε(d,p)$的Hilbert-Kunz重数.我们还证明了具有足够小的Hilbert-Kunz重数的局部环是Cohen-Macaulay和$F$ -有理数的.
On the Hilbert series of vertex cover algebras of Cohen-Macaulay bipartite graphs
研究了点覆盖代数$A(G)$的Hilbert函数和Hilbert级数，其中$G$是Cohen-Macaulay二部图.
Integral closure and Hilbert series of a special monomial ideal
令$R=K[x_1,\ldots, x_n]$是域$K$上的$n$变量的多项式环，令$M_{n,t}=(x^{e_1},\ldots, x^{e_n})$是$R$的单项理想，其中$x^{e_i}=x_1^t\ldots x_{i-1}^tx_{i+1}^t\ldots x_n^t$。研究了它的整闭包的非混合性。此外，我们计算了这个理想的希尔伯特级数，我们表明，这个理想是Freiman。
Monomial ideals of weighted oriented graphs
设I=I（D）是加权定向图D的边理想.我们确定了I的不可冗余不可约分解。此外，我们还刻画了I的相伴素数和非混合性质。此外，当D是二部的、D是须状的或D是圈的时，我们给出了I的非混合性的一个组合刻画。最后，我们研究了I.
Bounds on the Hilbert-Kunz Multiplicity
本文给出了非混合非正则局部环的Hilbert-Kunz重数的一个新的下界，使它们一致地远离1.我们的结果改进了Aberbach和Enescu以前的工作。
Regularity of symbolic powers of cover ideals of graphs
设$G$是一个图，它属于下列任一类：（i）二部图，（ii）纯图，或（iii）无爪图.假设$J(G)$是覆盖理想$G$，而$J(G)^{(k)}$是它的$k$次符号幂。我们证明了$$k{\rm deg}(J(G))\leq {\rm reg}(J(G)^{(k)})\leq (k-1){\rm deg}(J(G))+|V(G)|-1.$$。我们还确定了图族的上述不等式是平等的。
Normal Hilbert Polynomials : A survey
本文综述了理想的正规Hilbert多项式的一些主要结果。讨论了Lipman关于二维正则局部环中完全理想的一个公式，Cohen-Macaulay解析非分歧局部环中的Huneke，Itoh，Huckaba，Marley和Rees定理.我们还讨论了Goto-Hong-Mandal和Mandal-Singh-Verma关于非混合解析非分歧局部环中正规Hilbert多项式的第一系数的正性的最新工作。Moral和Villarreal将单项式理想的正规Hilbert多项式与多面体的Ehrhart多项式联系起来的结果也被给出.
Hilbert-Samuel Multiplicity of a Bipartite Graph
设$G$是一个二部图，$I(G)$是与图$G$相关联的复曲面理想。本文计算了复曲面理想$I(G)$由二次二项式生成且满足一定条件的图$G$的Hilbert-Samuel重数。
Lower bounds for Hilbert-Kunz multiplicities in local rings of fixed dimension
设$(R,\m)$是具有正素特征和维数$d$的形式非混合局部环.我们研究了具有小希尔伯特-昆兹多重性的含义（即，接近1）。特别是，我们表明，如果$R$是不规则的，存在一个下界，严格大于1，仅取决于$d$，其希尔伯特-昆兹多重性。
The toric ring of one dimensional simplicial complexes
本文研究一维单纯复形（即有限简单图）的环面环，分类正规情形并刻画其 Gorenstein 与伪 Gorenstein 性质。
Vertex decomposability and regularity of very well-covered graphs
一个图$G$是好覆盖的，如果它没有孤立点，并且所有的极大独立集具有相同的基数。如果这个基数的另外两倍等于$|V(G)|$，则图$G$被称为非常好覆盖的。非常好覆盖图类包含二部好覆盖图。最近在\cite{CRT}中证明了一个非常好覆盖的图$G$是Cohen-Macaulay当且仅当它是纯可壳的。本文改进了这一结果，证明了$G$是Cohen-Macaulay的当且仅当它是纯顶点可分解的.另外，如果$I(G)$表示$G$的边理想，我们证明了$R/I(G)$的Castelnuovo-Mumford正则性等于$G$的最大3-不相交边数.这改进了Kummini关于非混合二部图的结果。
Bounds for the Hilbert function of polynomial ideals and for the degrees in the Nullstellensatz
我们提出了一个新的有效的零stellenstructures与边界的程度不仅取决于变量的数量和输入多项式的程度，但也对一个额外的参数称为{ \it几何度的方程组}。得到的界是多项式在这些参数。它在一般情况下本质上是最优的，在某些特殊情况下它大大改进了已有的界。这个结果的证明是组合的，它依赖于齐次多项式理想的Hilbert函数的全局估计。在这个方向上，我们得到了一个任意齐次多项式理想的Hilbert函数的下界，和一个非混合根多项式理想的一般超曲面部分的Hilbert函数的上界。
Footprint and minimum distance functions
设$S$是域$K$上的多项式环，具有单项阶$\prec$，$I$是$S$的非混合分次理想.本文研究了与$I$相关的两个函数：最小距离函数$δ_I$和足迹函数${\rm fp}_I$。证明了如果$I$的初始理想是非混合的，则$δ_I$是正的，而${\rm fp}_I$是正的.然后证明了如果$I$是根式且其相关素数由线性形式生成，则$δ_I$是严格递减的，直到它达到渐近值$1$ .若$I$是Cohen-Macaulay二部图的边理想，则证明了$d$的$δ_I(d)=1$大于或等于$S/I$的正则性.对于维数为$\geq 1$的分次理想，当其初始理想为完全交时，我们给出了相应的最小距离函数的精确下界。
On the finiteness of the set of Hilbert coefficients
设$(R,m)$是维数为$d$的Noether局部环，$K,Q$是$R.$中的$m$-准素理想本文研究了集合的有限性，其中$Λ_i^K(R):=\{g_i^K(Q): Q$是$R\},$的参数理想，其中$g_i^K(Q)$表示$Q$关于$K,$的Hilbert系数，对于$1 \leq i \leq d.$，证明了对于所有$1\leq i \leq d$，$Λ_i^K(R)$是有限的当且仅当$R$是广义Cohen-Macaulay.此外，我们表明，如果$R$是unmixed然后有限的集合$Λ_1^K(R)$足以得出结论，$R$是广义Cohen-Macaulay。我们得到了$R$是Buchsbaum在$|Λ_i^K(R)|=1.$方面的部分结果。我们还得到了一个标准的集合$Δ^K(R):=\{g_1^K(I): I$是一个m-准素理想的$R\}$是有限的，推广了以前的结果。
Bipartite Determinantal Ideals and concurrent vertex maps
本文引入并发顶点映射模型，描述 bipartite determinantal ideals 初始理想的 Stanley-Reisner 复形，并研究其顶点可分解性、壳化顺序、Hilbert 级数和 $h$-多项式等性质与应用。
On the Hilbert depth of the quotient ring of the edge ideal of a complete bipartite graph
本文研究了完全二分图边理想商环的Hilbert深度，证明了其下界及特定条件下的等号成立，并给出了相关界和不等式。
Very well-covered graphs by Betti splittings
一个非常好覆盖图是一个没有孤立点的纯混合图，使得它的边理想的高度是顶点数的一半。我们利用Betti分裂和映射锥的构造来研究这些图.证明了Cohen-Macaulay非常好覆盖图的覆盖理想是可裂的。作为结果，我们明确地计算了这类图的覆盖理想的最小分次自由分解，并证明了这类图具有同调线性同调。最后，我们猜想对于Cohen-Macaulay非常好覆盖图的覆盖理想的每个幂也是如此，并在二分图的情况下解决了这个问题。
Pure Differential Modules and a Result of Macaulay on Unmixed Polynomial Ideals
本文的第一个目的是指出一个奇怪的结果宣布麦考利的希尔伯特函数的微分模在他的著名著作代数理论的模块化系统出版于1916年。事实上，在这本书的第78/79页，麦考利是说：“一个多项式理想$\mathfrak{a} \subset k[χ\_1$，.，$χ\_n]=k[χ]$属于{ \it主类}，因此如果它具有秩$r$并且由$r$多项式生成，则属于{ \it unmixed}。记住这个定义，一个准素理想$\mathfrak{q}$与相关联的素理想$\mathfrak{p} = rad(\mathfrak{q})$是这样的：任何主类的理想$\mathfrak{a}$与$\mathfrak{a} \subset \mathfrak{q}$确定一个比$k$具有更大{ \it多重数}的准素理想。特别是，我们有$dim\_k(k[χ]/(χ\_1$，.，$χ\_n)^2)=n+1$，因为，传递到一个未知$y$的PD方程组，参数喷流是\{ ${y,y\_1, ...,y\_n}$ \}，但任何具有$\mathfrak{a}\subset (χ\_1,{â},χ\_n)^2$的主类理想$\mathfrak{a}$包含在一个{ \it简单}理想中，即准素理想$\mathfrak{q}$，使得$rad(\mathfrak{q})=\mathfrak{m}\in max(k[χ])$是一个极大理想，因此至少…
Ideals with componentwise linear powers
本文证明多项式环上定义理想有二次初始理想的分次代数分量线性，据此给出理想分量线性幂的判别准则，并通过图构造生成覆盖理想具分量线性幂的图，包括Cohen-Macaulay Cameron-Walker图等特殊图。
Properties of the Toric Rings of a Chordal Bipartite Family of Graphs
这项工作涉及的研究性质的一组Koszul代数来自环面理想的弦二部无限家庭的图（或者，这些环可以解释为来自某些梯形结构的决定因素）。我们确定了一个线性系的参数为每个环，并明确确定了希尔伯特级数所产生的阿廷减少。作为推论，我们得到了原环的重数和正则性。这项工作扩展结果很容易从格理论的一个子家庭来自一个双边的阶梯，一个家庭，如我们所示，格理论不再适用于任何明显的方式，包括建设性的证明，这可能是有用的，在未来的研究，这些环和其他。
Binomial edge ideals of bipartite complements of even cycles
本文研究偶环二部补的二项式边理想，通过割点性质分类描述极小素理想，并研究维数、Betti数、Hilbert级数、射影维数、深度及正则性等不变量。
Extremal Betti numbers of some Cohen-Macaulay binomial edge ideals
给出了Cohen-Macaulay锥的二项式边理想的正则性和Cohen-Macaulay型，并给出了Cohen-Macaulay二部图和扇形图的极值贝蒂数.此外，我们还计算了某些Cohen-Macaulay二部图的二项式边理想的Hilbert-Poincaré级数.
Algebraic properties of the binomial edge ideal of complete bipartite graph
设$J_G$表示连通无向图在$n$顶点上的二项式边理想.这是由多项式环$S= K[x_1,...,x_n,y_1,...,y_n]$中的二项式$x_iy_j - x_jy_i, 1\leq i < j \leq n,$生成的理想，其中$\{i,j\}$是$G$的边。研究了完全二部图$G$的$S/J_G$的算术性质。特别是，我们计算尺寸，深度，Castelnuovo-Mumford插值，希尔伯特函数和它们的多重性。作为主要结果，我们给出了亏模、局部上同调模的定义，并证明了$S/J_G$的最小自由归结的纯性。
Numerical Macaulification
1983年（或更早）的一个未发表的例子，由Joe Harris给出了两条具有相同希尔伯特函数的光滑空间曲线，但其中一条曲线是算术Cohen-Macaulay（ACM），另一条不是。从任意多个变量的任意齐次理想出发，给出了两种构造方法，每一种构造方法在有限步内构造出一个余维为2的ACM子概型的Hilbert函数理想.我们把与这种理想相联系的子概型称为“数值ACM”。“我们研究了这两种构造之间的联系，特别是表明它们产生具有相同希尔伯特函数的理想。我们称从任一构造得到的理想为原始理想的“数值Macaulification”。专门的情况下，理想是unmixed的余维2，我们表明：（a）每一个甚至联络类，$\mathcal L$，包含数值ACM子计划，（b）的子集，$\mathcal M$，数值ACM子计划在$\mathcal L$有，本身，一个Lazarssyn-Rao结构，和（c）数值Macaulification的最小元素的$\mathcal L$是一个极小元的$\mathcal M$。最后，如果我们进一步限制到$\mathbb P^3$中的曲线，我们证明了对于所有的$n \geq 1$，具有Hartshorne-Rao模的曲线的偶联络类集中在一个度上，并且具有维数$n$，包含光滑的，数值上的ACM曲线。第一个（也是最小的）例子是哈里斯。我们的结果的一个后果是，知识的Hilbert函数…
Three invariants of geometrically vertex decomposable ideals
本文研究几何顶点可分解理想的三个不变量，证明它们可通过几何顶点分解过程递归计算，并应用于证明$a$-不变量非正及二部图toric理想的相关结果。
Betti numbers of toric ideals of graphs: A case study
本文计算了一类图的环面理想的分次贝蒂数，这类图是由一个圈与一个完全二部图相连而成的。关键的观察是，这个家庭承认一个初始理想，其中有线性矩阵。作为推论，我们计算了这个图族中所有环面理想的Hilbert级数和$h$ -向量。
Rees algebra of maximal order Pfaffians and its diagonal subalgebras
本文研究一般反对称矩阵极大阶 Pfaffian 理想的 Rees 代数，给出其显式定义方程并证明对角子代数均为 Koszul，同时分析稀疏三对角情形的线性型理想及其幂的线性商性质。
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