Resolution of Unmixed Bipartite Graphs
Fatemeh Mohammadi, Somayeh Moradi
对于非混合二部图$G$，我们考虑了点覆盖格$\mathcal{L}_G$，并计算了$R/I(G)$在这个格上的深度、投射维数和极值Betti数.
For an unmixed bipartite graph $G$ we consider the lattice of vertex covers $\mathcal{L}_G$ and compute depth, projective dimension and extremal Betti-numbers of $R/I(G)$ in terms of this lattice.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Unmixed bipartite graphs
本文给出了所有非混合二部图的组合刻画。
Unmixed bipartite graphs and sublattices of the Boolean lattices
本文讨论了非混合二部图与欧比格的子格之间的对应关系。利用这一对应关系，我们证明了由非混合二部图的极小点覆盖所产生的环面理想的无平方二次初始理想的存在性。
On the Hilbert series of vertex cover algebras of unmixed bipartite graphs
我们计算了环面理想关于一个适当的单项式阶的约化Gröbner基，并研究了顶点覆盖代数$A(G)$的Hilbert级数，其中$G$是一个没有孤立点的非混合二部图.
On the dimension of the minimal vertex covers semigroup ring of an unmixed bipartite graph
在2008年的一篇论文中，Herzog，Hibi和Ohsugi引入并研究了与非混合二部图的最小顶点覆盖集相关联的半群环。本文将这个半群环的维数与它所对应的布尔格的秩联系起来。
Unmixed r-partite graphs
非混合二部图已经被Ravadra和Villarreal独立地刻画。本文的目的是在一定条件下刻画非混合r-部图，它是Villarreal关于二部图的定理的推广。并给出了与此相关的一些例子和反例.
Cohen-Macaulay-ness in codimension for bipartite graphs
设$G$是维数为$d-1$的纯二部图.设具有$n\ge 2$的$K_{n,n}$是$G$的最小维数的极大完全二部子图.则$G$是余维$d-n+1$中的Cohen-Macaulay。这推广了Herzog和Hibi关于Cohen-Macaulay二部图的一个刻画以及Cook和Nagel关于非混合Buchsbaum图的一个结果.进一步证明了任何在余维$t$上为Cohen-Macaulay的非混合二部图$G$都是由Cohen-Macaulay图通过用完全二部图替换$G$的某些边而得到的.我们提供一些例子。
Freiman cover ideals of unmixed bipartite graphs
多项式环$R=k[z_1,\ldots, z_n]$中的一个等元生成单式理想$I$是Freiman理想，如果$μ(I^2)=\ell(I)μ(I)-{\ell(I)\choose 2}$，其中$\ell(I)$是$I$的解析展度，$μ(I)$是$I$的极小生成元的个数。本文对复盖理想为Freiman理想的单连通非混合二部图进行了分类。
Regularity, Depth and Arithmetic Rank of Bipartite Edge Ideals
研究了二部图的边理想的极小自由分解。将有向图与边理想为纯的二部图联系起来，利用有向图的不变量给出了边理想的正则性和深度的表达式.对于某些类的非混合边理想，我们证明了理想的算术秩等于其商的投射维数。
Binomial edge ideals of bipartite graphs
对二项式边理想$J_G$为Cohen-Macaulay的二部图$G$进行了分类.这类图的连通分支可以通过用两个操作粘合有限个基本块来获得。在这种情况下，我们证明了一个众所周知的结果，由于Hartshorne的逆，表明这些理想的科恩-麦考利性是等价于其对偶图的连通性。我们还研究了非二部图的有趣性质，并在未混合的情况下，构建类的二部图与$J_G$未混合，而不是科恩-麦考利。
Unmixed Graphs that are Domains
给定任意图G，研究其基本覆盖代数，即G的边理想的Alexander对偶的符号纤维锥。推广了Villarreal和Benedetti-Constantinescu-Varbaro的结果，该结果仅在G是二分的情况下有效，我们用组合的方式刻画了以下情形：1）基本覆盖代数是整环; 2）它是整环且G（的边理想）是非混合的.最后一个结果给出了边理想的任何符号幂都由同度单项式生成的图的一个完全刻画。
Non-vanishing of Betti numbers of edge ideals and complete bipartite subgraphs
给定一个有限的单图，我们可以把边理想联系起来。本文证明了在一定条件下，若原图含有一组完全二部子图，则边理想的分次贝蒂数不为零。并给出了非混合二部图的边理想的投射维数的组合刻画。
Almost Cohen-Macaulay bipartite graphs and connected in codimension two
本文研究几乎Cohen-Macaulay二部图。进一步证明了若$G$是几乎Cohen-Macaulay二部图且至少有一个顶点为正度，则存在$°(v) \leq 2$的顶点.特别地，若$G$是几乎Cohen-Macaulay二部图，且$u$是$G$的一个度顶点，$v$是它的邻点，则$G\setminus\{v\}$是几乎Cohen-Macaulay二部图.证明了非混合Ferrers图是几乎Cohen-Macaulay图的充要条件是它在余维2上连通。此外，我们给出了一些例子。
Gorenstein homogeneous subrings of graphs
设$G=(V,E)$是一个连通单图，其顶点数为$n$，使得$S$是它的齐次单项式子环.证明了若$S$是正规的且Gorenstein，则$G$与覆盖数$\lceil\frac{n}{2}\rceil$是非混合的，且$G$有强的$\lceil\frac{n}{2}\rceil$ - $τ$ -约化.此外，如果$n$是偶数，则证明了$G$是二分的.最后，如果$S$是正规的，且$G$是非混合的，其覆盖数为$\lceil\frac{n}{2}\rceil$，我们给出了$S$是Gorenstein的充分条件.
Cohen-Macaulay, Shellable and unmixed clutters with a perfect matching of König type
设$\mathcal{C}$是一个具有König型完美匹配$e_1,...,e_g$的杂波，$Δ_\mathcal{C}$是$\mathcal{C}$的边理想的Stanley-Reisner复形.如果$\mathcal{C}$的所有c-子式都有一个自由顶点，并且$\mathcal{C}$是非混合的，我们证明了$Δ_\mathcal{C}$是纯可壳的.当$Δ_\mathcal{C}$是纯的时，我们能够用组合和代数术语来描述。如果$\mathcal{C}$没有长度为3或4的圈，则证明$Δ_\mathcal{C}$是纯的当且仅当$Δ_\mathcal{C}$是纯可壳的（在这种情况下$e_i$对所有$i$都有自由顶点），并且$Δ_\mathcal{C}$是纯的当且仅当对于$\mathcal{C}$的任意两条边$f_1,f_2$和对于任意$e_i$，都有那个$f_1\cap e_i\subset f_2\cap e_i$或$f_2\cap e_i\subset f_1\cap e_i$。它还表明，这个顺序条件意味着$Δ_\mathcal{C}$是纯壳，没有任何假设的周期$\mathcal{C}$。然后证明了完全可容许一致杂波及其亚历山大群是不可混的。另外，完全容许均匀杂波的边理想是可壳单纯复形的刻面理想，它们是Cohen-Macaulay的，并且具有线性分解.此外，如果$ \mathcal{…
Edge ideals of Erdös-Rényi random graphs : Linear resolution, unmixedness and regularity
研究了Erdös-Rényi随机图的边理想的同调代数.这些随机图通过以概率$1-p$彼此独立地删除$n$顶点上的完全图的边来生成。我们专注于这些随机边缘理想的一些方面-线性分辨率，unmixedness和代数不变式一样的Castelnuovo芒福德正则性，投射维数和深度。我们首先证明了线性表示和分辨率存在的双相变，并确定了临界窗口。因此，我们得到，除了非常具体的参数选择（即，$n,p := p(n)$），随机边理想具有线性表示当且仅当它具有线性分辨.这表明，某些假设对于大的随机图具有高概率，即使这些假设对于确定性图是失败的。接下来，我们研究了稀疏区域中随机边理想的一些代数不变式-Castelnuovo-Mumford正则性、投射维数和深度-的渐近行为（即，$p = \fracλ{n}, λ\in (0,\infty)$）。这些不变量研究使用局部弱收敛（或Benjamini-Schramm收敛），并将它们与Galton-Watson树上的不变量联系起来。我们还表明，当$p \to 0$或$p \to 1$足够快，那么以高概率的边缘理想是unmixed和大多数其他选择的$p$，这些理想不unmixed高概率。这是对猜想的进一步进展，即在变量数趋于无穷大但次数固定的情况下，随机单项式理想不太可能具有Cohen-Macaulay性质（参见De Loera et al. 2019 a，201…
Monomial ideals of weighted oriented graphs
设I=I（D）是加权定向图D的边理想.我们确定了I的不可冗余不可约分解。此外，我们还刻画了I的相伴素数和非混合性质。此外，当D是二部的、D是须状的或D是圈的时，我们给出了I的非混合性的一个组合刻画。最后，我们研究了I.
Regularity of symbolic powers of cover ideals of graphs
设$G$是一个图，它属于下列任一类：（i）二部图，（ii）纯图，或（iii）无爪图.假设$J(G)$是覆盖理想$G$，而$J(G)^{(k)}$是它的$k$次符号幂。我们证明了$$k{\rm deg}(J(G))\leq {\rm reg}(J(G)^{(k)})\leq (k-1){\rm deg}(J(G))+|V(G)|-1.$$。我们还确定了图族的上述不等式是平等的。
The toric ring of one dimensional simplicial complexes
本文研究一维单纯复形（即有限简单图）的环面环，分类正规情形并刻画其 Gorenstein 与伪 Gorenstein 性质。
Vertex decomposability and regularity of very well-covered graphs
一个图$G$是好覆盖的，如果它没有孤立点，并且所有的极大独立集具有相同的基数。如果这个基数的另外两倍等于$|V(G)|$，则图$G$被称为非常好覆盖的。非常好覆盖图类包含二部好覆盖图。最近在\cite{CRT}中证明了一个非常好覆盖的图$G$是Cohen-Macaulay当且仅当它是纯可壳的。本文改进了这一结果，证明了$G$是Cohen-Macaulay的当且仅当它是纯顶点可分解的.另外，如果$I(G)$表示$G$的边理想，我们证明了$R/I(G)$的Castelnuovo-Mumford正则性等于$G$的最大3-不相交边数.这改进了Kummini关于非混合二部图的结果。
On the minimal free resolution of symbolic powers of cover ideals of graphs
对于任何图$G$，假设$J(G)$是$G$的覆盖理想。令$J(G)^{(k)}$表示$J(G)$的$k$次符号幂。我们刻画了所有图$G$的性质，即$J(G)^{(k)}$对某些（等价地，对所有）整数$k\geq 2$具有线性分解.此外，它表明，对于任何图$G$，序列$\big({\rm reg}(J(G)^{(k)})\big)_{k=1}^{\infty}$是非减的。此外，当$G$是纯图或无爪图时，我们计算了$J(G)^{(k)}$的最小生成元的最大度.
Edge rings of bipartite graphs with linear resolutions
Ohsugi和Hibi刻画了具有$2$ -线性分解的有限连通单图的边环.另一方面，Hibi，Matsuda和作者证明了具有$q$ -线性分解的有限连通单图的边环是超曲面，其中$q \geq 3$是超曲面，并证明了$q=3$的情形.本文在有限连通简单二部图的情况下解决了这个猜想。
Bounds on the regularity and projective dimension of ideals associated to graphs
在本文中，我们给出了新的上界的正则性的边缘理想的决议是k-步骤的线性，令人惊讶的是，界的对数的变量的数量。我们也给出了各种界限的投射维数这样的理想，推广了其他最近的结果。通过Alexander对偶，我们的结果也适用于余维为2的非混合无平方项理想。我们也讨论和连接这些结果在交换代数更经典的主题。
Multiplicity Bounds for Quadratic Monomial Ideals
本文证明了Herzog-Huneke-Srinivasan和Herzog-Srinivasan关于二部图的边理想的强猜想和关于二次单项理想的弱Taylor界猜想。我们附加一个有向图的二部图与完美匹配，并描述操作的有向图，将减少问题的科恩-麦考利二部图。我们确定了在二部图的边理想的限制界中等式成立的条件，并证明了当等式成立时，分解是纯的。刻画了具有Cohen-Macaulay边理想和拟纯分解的二部图.
Distributive Lattices, Bipartite Graphs and Alexander Duality
从交换代数和组合数学的角度研究了由有限偏序集$P$产生的某个无平方根的单项理想$H_P$.首先证明了$H_P$的Rees代数的定义理想具有二次Gröbner基。因此，特别地，$H_P$的所有幂都具有线性分辨率。其次，明确构造了$H_P$的最小自由分次分解，并给出了计算$H_P$的贝蒂数的组合公式.第三，利用其Stanley-Reisner理想与$H_P$重合的单纯复形$Δ$的Alexander对偶是Cohen-Macaulay这一事实，对所有的Cohen-Macaulay二部图进行分类.
Minimal Free Resolutions of Edge Ideals of Edge-Weighted Complete Bipartite Graphs
本文基于Visscher构造，刻画了可由其极小预解的边加权完全二部图，并证明该构造能极小预解所有无向顶点加权完全二部图的边理想。
Symbolic powers of cover ideal of very well-covered and bipartite graphs
设$G$是一个具有$n$顶点的图，$S=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$是域$\mathbb{K}$上$n$变量的多项式环.假设$J(G)$是$G$的覆盖理想，$J(G)^{(k)}$是它的$k$次符号幂。我们证明了如果$G$是一个非常好的覆盖图，使得$J(G)$具有线性分辨率，那么对于每个整数$k\geq 1$，$J(G)^{(k)}$具有线性分辨率。我们还证明了对于每一个非常好覆盖的图$G$，$J(G)$的符号幂的深度形成一个非增序列。最后给出了二部图覆盖理想幂正则性的一个线性上界。
Very well-covered graphs by Betti splittings
一个非常好覆盖图是一个没有孤立点的纯混合图，使得它的边理想的高度是顶点数的一半。我们利用Betti分裂和映射锥的构造来研究这些图.证明了Cohen-Macaulay非常好覆盖图的覆盖理想是可裂的。作为结果，我们明确地计算了这类图的覆盖理想的最小分次自由分解，并证明了这类图具有同调线性同调。最后，我们猜想对于Cohen-Macaulay非常好覆盖图的覆盖理想的每个幂也是如此，并在二分图的情况下解决了这个问题。
Regularity 3 in edge ideals associated to bipartite graphs
本文主要研究与二部图相关的边理想，并给出正则度为3的边理想的组合刻画。当正则性严格大于3时，我们确定了最小分次自由分解的第一步$i$，其中存在一个度为$>i+3$的最小生成元，证明了在这一步最小生成元的最高度为$i+4$，并根据相应的二部图的组合学确定了相应的分次贝蒂数$β_{i,i+4}$的值.结果可以很容易地通过极化推广到非平方自由的情况。我们还研究了一类正则4的理想族，这类理想在我们的主要结果中起着重要作用，并且其分次贝蒂数可以完全通过封闭的组合公式来描述。
Monomial and toric ideals associated to Ferrers graphs
每个划分$λ= (λ_1, λ_2, ..., λ_n)$确定所谓的费勒斯表，或者等价地，确定费勒斯二部图。它的边理想，称为费勒斯理想，是由二次曲面生成的无平方单项式理想。我们证明了这样的理想有一个2-线性极小自由分解，即它定义了一个小子概型。事实上，我们证明了这一性质的特点费勒斯图之间的二部图。此外，使用拜耳和Sturmfels的方法，我们提供了一个明确的描述的地图在其最小的自由分解：这是通过关联一个合适的多面体胞腔复形的理想/图形。在此过程中，我们还确定了任何费勒斯理想的无冗余准素分解。我们通过研究Ferrers图的环面环的几个特征来总结我们的分析。特别是我们恢复/建立公式的希尔伯特级数，Castelnuovo-Mumford正则性，以及这些环的多重性。虽然大多数以前的作品在这个高度调查的研究领域涉及路径计数参数，我们在这里提供了一个新的和独立的方法的基础上，从Gorenstein联络理论的结果。
Parity Binomial Edge Ideals with Pure Resolutions
我们提供了所有图的奇偶二项式边理想有纯决议的一个特征。特别地，我们证明了奇偶二项式边理想的最小自由分解是纯的当且仅当对应的图是完全二部图，或路与奇圈的不交并。
Barile-Macchia Resolutions and the closed neighborhood ideal
本文研究了图的闭邻域理想在BM resolutions框架下的极小自由分辨率，并证明了树的闭邻域理想具有桥友性，从而得到其射影维数等于独立数的结论。
Algebraic properties of the binomial edge ideal of complete bipartite graph
设$J_G$表示连通无向图在$n$顶点上的二项式边理想.这是由多项式环$S= K[x_1,...,x_n,y_1,...,y_n]$中的二项式$x_iy_j - x_jy_i, 1\leq i < j \leq n,$生成的理想，其中$\{i,j\}$是$G$的边。研究了完全二部图$G$的$S/J_G$的算术性质。特别是，我们计算尺寸，深度，Castelnuovo-Mumford插值，希尔伯特函数和它们的多重性。作为主要结果，我们给出了亏模、局部上同调模的定义，并证明了$S/J_G$的最小自由归结的纯性。
The Scarf complex of squarefree powers, symbolic powers of edge ideals, and cover ideals of graphs
本文研究了图的边理想平方自由幂、符号幂以及覆盖理想的Scarf复形性质，给出了相应条件下的完全刻画和显式描述。
A Complete Classification of 2-Linear Neighborhood Complexes
本文刻画了图G的Stanley-Reisner环k[N(G)]何时具有2-线性分解，等价于G是邻域共形且其公共邻域图是弦图，即G是仅含4-圈作为诱导圈的二分图，并由此得到Katzman下界等号成立条件及Cohen-Macaulay支配复形的分类。
On the Betti numbers and gracefulness of some planar graphs
本文研究二部平面图 St_r 的代数与标号性质，建立了区域数 r 与边理想投射分解中分次 Betti 数、投射维数等代数不变量的关系，并证明该类图具有边优美标号。
On the homological shifts of cover ideals of Cohen-Macaulay graphs
本文研究 Cohen-Macaulay 图顶点覆盖理想的同调移位，构造反例反驳了其必具线性分解的猜想，并证明弦图、Cameron-Walker 图及团冠图等特定图类的同调移位理想具有线性商。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。