Bounds on the Hilbert-Kunz Multiplicity
Olgur Celikbas, Hailong Dao, Craig Huneke, Yi Zhang
本文给出了非混合非正则局部环的Hilbert-Kunz重数的一个新的下界，使它们一致地远离1.我们的结果改进了Aberbach和Enescu以前的工作。
In this paper we give new lower bounds on the Hilbert-Kunz multiplicity of unmixed non-regular local rings, bounding them uniformly away from one. Our results improve previous work of Aberbach and Enescu.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Notes on Hilbert-Kunz multiplicity of Rees algebras
本文利用基环的一些不变量估计了（扩张）Rees代数的Hilbert-Kunz重数。同时，我们给出了Veronese子环上Rees代数的Hilbert-Kunz重数的一个显式公式。
Upper semi-continuity of the Hilbert-Kunz multiplicity
本文证明了在优良局部环上的本质有限型代数和F-有限环中，Hilbert-Kunz重数是上半连续的.
Unmixed local rings with minimal Hilbert-Kunz multiplicity are regular
给出了Hilbert-Kunz重数为1的非混合局部环必正则的一个新的简单证明.
Interpolating Between Hilbert-Samuel and Hilbert-Kunz Multiplicity
我们定义了一个函数，称为s-多重性，插值之间的希尔伯特-塞缪尔多重性和希尔伯特-昆兹多重性比较权力的理想的Frobenius权力的理想。该函数在s中是连续的，其值对于s的小值等于希尔伯特-塞缪尔重数，对于s的大值等于希尔伯特-昆兹重数。我们证明了它有一个结合性公式，推广了Hilbert-Samuel和Hilbert-Kunz多重性的结合性公式。我们还定义了一个家庭的封闭，使如果两个理想有相同的s-封闭，那么他们有相同的s-多重性，并在温和的条件下，反之亦然。我们将复曲面环中单项理想的s-重数描述为实空间中的一定体积
Generalized Hilbert-Kunz Multiplicity for Families of Ideals
本文系统研究正特征Noetherian局部环中理想族的广义Hilbert-Kunz重数，引入Amao型重数这一新渐近不变量，证明p-理想族的广义Hilbert-Kunz重数是Amao型重数的极限。
On the upper semi-continuity of the Hilbert-Kunz multiplicity
我们证明了$d$维非正则完全交在$F_p$的代数闭包上的Hilbert-Kunz重数是由超曲面$\sum _{i=0}^{d} x_i^2=0$的Hilbert-Kunz重数下有界的，在完全交的情况下，肯定地回答了Watanabe和Yoshida的一个猜想。
Hilbert-Kunz multiplicity of powers of ideals in dimension two
本文研究二维局部环中理想幂的Hilbert-Kunz重数，解答了Smirnov的问题，并利用Ratliff-Rush版本给出判定准则。
Some computations of generalized Hilbert-Kunz function and multiplicity
设$R$是特征$p>0$的局部环，它是$F$ -有限的且有完美剩余域.我们计算了几类环上某些模的广义Hilbert-Kunz不变量：有限表示型超曲面，环面环，$F$ -正则环。
Hilbert-Kunz Multiplicity of Fiber Product Rings and Nagata Idealizations
本文为纤维积环和Nagata理想化推导出Hilbert-Kunz重数的显式公式，并给出新界与结构结果。
Continuity of Hilbert-Kunz multiplicity and F-signature
我们建立了Hilbert-Kunz重数和F-签名作为从素特征的Cohen-Macaulay局部环$(R,\m,k)$到关于$\m$ -adic拓扑的约化参数元素处的实数的函数的连续性.
Hilbert-Kunz multiplicity of products of ideals
我们给出了两个理想的乘积的Hilbert-Kunz多重性的界，并且我们用理想的紧闭包来刻画等式。连接使用$*$展开和普通长度计算绘制。
Hilbert-Kunz function and Hilbert-Kunz multiplicity of some ideals of the Rees algebra
本文证明了Rees代数$\mathcal{R}(I)$的理想$(I,It)$的Hilbert-Kunz函数是$e$中的拟多项式，其中$I$是$1$维局部环$(R,\mathfrak{m})$的$\mathfrak{m}$ -准素理想，对于大$e.$对于$s \in \mathbb{N}$，我们计算了$R$ -模$I^{[s]}$的Hilbert-Samuel函数，得到了广义Hilbert-模的一个显式描述，当$I$是$d \geq 2$维Cohen-Macaulay局部环中的参数理想时，给出了理想$(I,It)\mathcal{R}(I)$的广义Hilbert-Kunz函数，证明了在这种情况下广义Hilbert-Kunz函数是分段多项式.
New estimates of Hilbert-Kunz multiplicities for local rings of fixed dimension
给出了正特征局部环的Hilbert-Kunz重数的Watanabe-Yoshida猜想的结果.通过改进给出Hilbert-Kunz重数下界的“体积估计”，得到了当环的Hilbert-Samuel重数小于或等于5，或维数小于或等于6时的猜想.对于固定维数的非正则环，得到了Hilbert-Kunz重数的一个新的下界.
Minimal Hilbert-Kunz multiplicity
在本文中，我们问以下问题：什么是理想$I' \supseteq I$与$l_A(I'/I) =1$的差$e_{HK}(I) - e_{HK}(I')$的极小值？为了回答这个问题，我们定义了强F-正则环的极小Hilbert-Kunz重数的概念。此外，我们计算这个不变量的商奇点和Segre嵌入的坐标环：$P^{r-1} \times P^{s-1} \hookrightarrow P^{rs-1}$，分别。
An observation on generalized Hilbert-Kunz functions
证明了在一定的假设下，广义Hilbert-Kunz重数可以表示为经典Hilbert-Kunz重数的线性组合.
Hilbert-Kunz theory for binoids
我们发展希尔伯特-昆兹理论的组合设置，即双星。我们证明了可交换、有限生成、半正、可消和约化的双子群的Hilbert-Kunz重数存在并且是一个有理数。这意味着Binoid代数的相应的Hilbert-Kunz重数不依赖于特征。
Hilbert-Kunz multiplicity of the powers of an ideal
我们研究了理想的幂的Hilbert-Kunz多重性，并在一般性的充分水平上建立了第二个系数的存在性，从而推广了Trivedi最近的一个结果。我们描述的第二个系数的Frobenius权力的希尔伯特系数的极限，并证明它是添加剂在短的确切序列，并满足Northcott型不等式。
A note on Hilbert-Kunz multiplicity
本文利用Noether界给出了不变环的Hilbert-Kunz重数$e_{HK}(\sim)$的一个新的界。然后，我们对L.史密斯他证明了公式多项式环和他的结果是紧在以下意义上：在完整的交叉环孤立奇点，我们表明，互惠公式“$e_{HK}(R/I)+ e_{HK}(R/J) = e_{HK}(R/\underline{f})$“是等价的$\pd(I)<\infty$时，$I$是一个$\fm$ -主要的未混合理想联系到$J$随着一个正则序列$\underline{f}$。
The Shape of Hilbert-Kunz Functions
讨论了Hilbert-Kunz函数从最初定义到最近的发展。首先叙述了希尔伯特-昆兹理论的简史。然后，我们回顾了几个技术在希尔伯特-昆兹函数的研究中所涉及的，提供了一些说明性的证明，而不进入技术细节。本文的第二部分主要讨论仿射法线半群环的Hilbert-Kunz函数，并将其与Ehrhart拟多项式联系起来。我们特别注意它的周期性行为，并讨论如何构建的细胞分解Bruns和Gubeladze适合的功能的计算。给出了几个例子的Hilbert-Kunz函数的封闭形式。这一部分的讨论突出了Hilbert-Kunz函数与Ehrhart理论的密切关系。
Hilbert-Kunz functions of a Hirzebruch surface
本文计算了${\bf P}^1_k$上任意非平凡直纹曲面关于其上所有丰富线丛的Hilbert-Kunz函数。
Hilbert-Kunz multiplicity of three-dimensional local rings
本文研究了具有特征$p>0$的克鲁尔维数非正则非混合局部环的Hilbert-Kunz重数的一个下界（即$s_{HK}(p,d)$）.特别地，我们关注三维局部环。实际上，作为主要结果，我们将证明在较弱的条件下，$s_{HK}(p,3) = 4/3$和Hilbert-Kunz重数为4/3的三维完全局部环同构于非退化二次超平面$k[[X,Y,Z,W]]/(X^2+Y^2+Z^2+W^2)$.此外，我们提出了一个推广的主要定理的情况下，$\dim A \ge 4$作为一个猜想，并表明这也是真实的情况下，$\dim A = 4$使用类似的方法，在证明的主要定理。
Hilbert-Kunz multiplicity of quadrics decreases
通过证明Z/p^eZ的Green环与Z/pZ的Green环的e重张量积同构，并利用p-adic展开，计算Fermat二次曲面的Hilbert-Kunz函数和重数，证明其随特征递减，肯定Yoshida猜想。
Hilbert-Kunz multiplicities and the F-signature
这是一篇关于希尔伯特-昆兹多重性和F-签名的综述文章。
Some extensions of Hilbert-Kunz multiplicity
设$R$是素特征的优良诺特环.考虑一个任意的嵌套理想对（或者更一般地，一个固定有限模的嵌套子模对）。我们做\emph{not}假设他们的商有有限的长度。在本文中，我们开发了各种充分的数值准则时，这些理想（或子模）的紧闭包匹配。对于一些标准，我们只证明了充分性，而有些是等价的紧闭包匹配。我们比较各种数值措施（在某些情况下，不同的措施，真正不同的数值结果），并探讨特殊情况下，可以显示与匹配紧封闭的等价性。我们所有的措施最终来自希尔伯特-昆兹多重性。
Hilbert-Kunz multiplicity of binoids
我们证明了在一个广泛的组合设置，即对于生成的半正cancellative约化binoids，希尔伯特-昆兹多重性是一个独立的有理数的特点。
Transcendence of some Hilbert-Kunz multiplicities (modulo a conjecture)
假设F[x，y，z]中的h，char F=2，定义了一个节点立方。在以前的论文中，我们提出了一个精确的猜想，以希尔伯特-昆兹函数重视权力的h。假设这个猜想，我们证明了一类特征2超曲面具有代数但不一定是有理的Hilbert-Kunz重数。我们现在证明，如果猜想成立，那么超越重数存在，特别是由Schneider证明超越的数\sum \binom{2n}{n}^{2} /（65，536）^{n}是特征2超曲面的希尔伯特-昆兹重数的Q-线性组合。
On rings with small Hilbert-Kunz multiplicity
Watanabe和Yoshida的一个结果是：正特征的非混合局部环是正则的当且仅当它的Hilbert-Kunz重数为1.我们证明了，对于固定的$p$（特征）和$d$（维数），存在一个数$ε(d,p) > 0$使得任何非正则非混合环$R$至少有$1+ε(d,p)$的Hilbert-Kunz重数.我们还证明了具有足够小的Hilbert-Kunz重数的局部环是Cohen-Macaulay和$F$ -有理数的.
Hilbert-Kunz functions over rings regular in codimension one
本文讨论了余维为1的优良局部环上的Hilbert-Kunz函数。本文研究了模的Hilbert-Kunz函数的形状，并讨论了函数中次高项系数的性质。我们的结果推广了Huneke，McDermott和Monsky的结果（Math. Res. Lett. 11（2004），no. 4，539-546），以及第二作者的定理（J. Algebra 304（2006），no. 1，487-499），用于具有较弱条件的环。本文还对Cohen-Macaulay环给出了一个等价条件，在这个等价条件下，当考虑环的Hilbert-Kunz函数关于极大理想的准素理想和有限投射维数时，第二系数为零.引入了模的Hilbert-Kunz函数在短正合列上的可加误差，并给出了该误差的一个估计.
A Hilbert-Kunz criterion for solid closure in dimension two (characteristic zero)
设I表示特征为零的代数闭域上二维正规标准分次域中的齐次R_+准素理想。证明了齐次元f属于实闭包I^* 当且仅当e_{HK}（I）= e_{HK}（（I，f）），其中e_{HK}表示理想的（特征零）Hilbert-Kunz重数.这提供了一个版本的特征零的著名的希尔伯特-昆兹准则紧封闭的积极的特点。
Hilbert-Kunz multiplicity and reduction mod p
我们证明了特征为0的不可约射影曲线的正特征约化的Hilbert-Kunz重数在特征趋于无穷大时有一个明确的极限。
Automating the Calculation of Hilbert-Kunz Multiplicities and F-Signatures
Hilbert-Kunz重数和$F$ -签名是交换代数和代数几何中重要的不变量。我们提供了软件，并描述了自动化的计算，为两个不变量的情况下，交叉代数在多项式环。
Bertini Theorems for $F$-signature and Hilbert-Kunz multiplicity
证明了Bertini定理对$F$ -签名和Hilbert-Kunz重数成立.特别地，如果$X \subseteq \mathbb{P}^n$是正规的并且是准投射的，其中在所有点$x \in X$处$F$ -签名大于$λ$（相应地，希尔伯特-昆兹多重性小于$λ$），则对于一般超平面$H \subseteq \mathbb{P}^n$，在所有点$x \in X \cap H$处$X \cap H$的$F$ -签名（相应地，希尔伯特-昆兹多重性）大于$λ$（相应地，小于$λ$）。
The rationality of the Hilbert-Kunz multiplicity in graded dimension two
证明了对于R_+-准素齐次理想I=（f_1，. f_n）在正特征的代数闭域上的有限型二维分次域R中的.此外，我们还给出了合冲丛Syz（f_1，.）的强Harder-Narasimhan滤的某些有理数的Hilbert-Kunz重数公式。. ., f_n）在射影曲线Y = Proj R上的投影。
F-signature and Hilbert-Kunz Multipicity: a combined approach and comparison
给出了正特征交换代数中由Frobenius和Cartier线性作用决定的Hilbert-Kunz重数、F-签名和相关极限的统一研究方法.我们介绍的一般技术，大大简化了存在性，连续性和积极性的证明。此外，我们还对Watanabe和Yoshida提出的允许F-签名作为局部环上有限理想的Hilbert-Kunz重数的相对差的下确界的问题给出了肯定的回答.
Generalized Hilbert-Kunz function in graded dimension two
本文证明了具有素特征$p$的代数闭域$K$上的二维标准分次正规$K$ -Domain上的分次模$M$的广义Hilbert-Kunz函数具有$gHK(M,q)=e_{gHK}(M)q^{2}+γ(q)$的形式，具有有理广义Hilbert-Kunz重数$e_{gHK}(M)$和有界函数$γ(q)$ .证明了若$R$是$\mathbb{Z}$ -代数，则纤维$R_p$上的广义Hilbert-Kunz重数$e_{gHK}^{R_p}(M_p)$的$p\rightarrow+\infty$的极限存在且为有理数.
Lower bounds for Hilbert-Kunz multiplicities in local rings of fixed dimension
设$(R,\m)$是具有正素特征和维数$d$的形式非混合局部环.我们研究了具有小希尔伯特-昆兹多重性的含义（即，接近1）。特别是，我们表明，如果$R$是不规则的，存在一个下界，严格大于1，仅取决于$d$，其希尔伯特-昆兹多重性。
A Hilbert-Kunz function with a periodic term that has a given period
Monsky的一个结果指出，一维素特征局部环的希尔伯特-昆兹函数有一个最终周期的项$ϕ$。例如，在素特征域上的一个变量的幂级数环的情况下，$ϕ$是零函数，因此是以周期1直接周期的。在由Kunz和Monsky产生的另外的示例中，$ϕ$是以周期2立即周期性的。证明了对任意正整数$π$，存在一个环使得$ϕ$是以$π$为周期的紧周期环.
Hilbert-Kunz Density function of tensor product and Fourier transformation
对于特征$p>0$的理想域上的维数为$\geq 2$的标准分次环$R$和有限长度的齐次理想$I$，$R$关于$I$的HK密度函数是紧支撑连续函数$f_{R, I}:[0, \infty)\longto [0, \infty)$，其积分产生\mbox{HK}重数$e_{HK}(R, I)$ .本文回答了V. Trivedi关于标准分次环张量积的Hilbert-Kunz密度函数的一个问题，证明了它是因子环的Hilbert-Kunz密度函数的卷积.利用Fourier变换，作为推论，得到了环的张量积的\mbox{HK}重数是因子环的HK重数的乘积。我们计算投影曲线的\mbox{HK}密度函数的傅里叶变换。
p-Fractals and power series--II. Some applications to Hilbert-Kunz theory
我们使用的结果，我们的论文“p-分形和幂级数-I”（代数杂志280，2004年，页。505- 536）证明了一类幂级数的Hilbert-Kunz级数的合理性，其中包括\sum_i f_i（x_i，y_i）形式的级数，其中f_i（x_i，y_i）是系数在有限域中的幂级数.这些方法是有效的，我们用例子说明。在最后一节中，我们得到了关于三元幂级数z^D-h（x，y）的Hilbert-Kunz函数的更精确的结果。
The Hilbert-Kunz function of some quadratic quotients of the Rees algebra
给定交换局部环$(R,\mathfrak m)$和$R$的理想$I$，Rees代数$R[It]$的一个子族最近被研究作为Nagata理想化和合并复制的统一方法，并作为构造有趣例子，特别是整环的一种方法.当$R$是素特征的Noether数时，我们计算了这个族的成员的Hilbert-Kunz函数，并且，如果$I$是$\mathfrak{m}$ -准素的或者$R$是正则的并且是F-有限的，我们还找到了它们的Hilbert-Kunz重数.一些后果和例子进行了探讨。
Bounds for the Hilbert-Kunz Multiplicity of Singular Rings
本文通过引入插值函数$\varphi_J$并证明其凹性，结合已知技术得到改进下界，从而证明了Watanabe-Yoshida猜想在维数至多$7$时成立。
The limit as p -> infinity of the Hilbert-Kunz multiplicity of sum(x_i^(d_i))
设p为素数。本文讨论了（Z/p）[x_1，.的元素sum（x_i^（d_i））的Hilbert-Kunz重数μx_s]以一种复杂的方式依赖于p。我们计算μ的极限为p ->无穷大。特别地，当d_i为2时，我们证明了极限为1 + sec z + tan z的幂级数展开式中z^（s-1）的系数。
Hilbert-Kunz Multiplicity of Fibers and Bertini Theorems
设$k$是特征$p > 0$的代数闭域.证明了如果$X\subseteq\mathbb{P}^n_k$是一个等维子概型，且在所有点$x\in X$上的Hilbert-Kunz重数都小于$λ$，则对于一般超平面$H\subseteq\mathbb{P}^n_k$，$X\cap H$的Hilbert-Kunz重数在所有点$x\in X\cap H$上都小于$λ$.这回答了一个猜想，推广了Carvajal-Rojas，Schwede和Tucker的一个结果，当$X\subseteq\mathbb{P}^n_k$正规时，他们的结论与我们的结论相同.在这个过程中，我们基本上推广了由上述作者获得的关于映射纤维的Hilbert-Kunz重数的某些一致估计，这些估计应该是独立感兴趣的。
A computation concerning relative Hilbert-Kunz multiplicities
在准备论文“希尔伯特-昆兹多重性的一些扩展”时，我们有机会执行一组复杂的计算，这些计算与一个示例有关。最后，我们决定不将计算结果包含在主要论文中，而是将其发布在这里以供以后参考。特别是，当前的预印本给出了一个例子，其中我们的一个主要定理的逆命题成立，即使它不适合任何先前已知的逆命题成立的情况。
Equimultiplicity in Hilbert-Kunz theory
本文发展了Hilbert-Kunz重数的等重数理论，并利用它研究了Brenner-Monsky超曲面上Hilbert-Kunz重数的行为.一些应用如下，特别是我们表明，希尔伯特-昆兹多重性达到无穷多个值，并equimultiple层可能不是局部封闭的。
Hilbert-Kunz multiplicity of quadrics via Ehrhart theory
本文通过Ehrhart多项式研究二次曲面的Hilbert-Kunz乘数，证明其为特征p的有理函数，并揭示其随维度变化的性质。
A Direct Limit for Limit Hilbert-Kunz Multiplicity for Smooth Projective Curves
本文关注的问题是，是否可以使用一个更直接的限制，以获得极限希尔伯特-昆兹多重数，一个可能的候选人的特征零希尔伯特-昆兹多重数。的主要目标是建立一个肯定的答案的主要情况下，其中的极限希尔伯特-昆兹多重性甚至已知存在，即分次理想的齐次坐标环光滑射影曲线。证明涉及更仔细的估计边界独立发现布伦纳和Trivedi的维度上的上同调扭曲的syzygy束的特征p去无穷大，并使用渐近结果Trivedi的斜坡上的Harder-Narasimham过滤的Frobenius拉回束。鉴于Gessel和Monsky的未发表的结果，对对角超曲面中的极大理想的情形也进行了深入的讨论。
Generalized Hilbert-Kunz function of the Rees algebra of the face ring of a simplicial complex
设$R$是维数为$d-1$的单纯复形的面环，${\mathcal R}(\mathfrak{n})$是$R.$的极大齐次理想$\mathfrak{n}$的Rees代数，证明了对所有大$s.$，广义Hilbert-Kunz函数$HK(s)=\ell({\mathcal R}(\mathfrak n)/(\mathfrak n, \mathfrak n t)^{[s]})$都是由多项式给出的，并给出了计算$HK(s).$的Macaulay 2程序
Algebraicity of some Hilbert-Kunz multiplicities (modulo a conjecture)
设F是特征为2的有限域，h是F[[x，y，z]]的元素x^3+y^3+xyz.在较早的文件中，我们提出了一个精确的猜想，以价值的colonies的理想（x^q，y^q，z^q，h^j）为q的幂2。我们还证明，如果猜想成立，那么H=uv+h的Hilbert-Kunz级数是Q（w）上的代数（2次），并且mu（h）是代数的（明确地，（4/3）+（5/14）sqrt（7））。在本文中，假设相同的猜想，我们使用无限矩阵理论重新推导这个结果，并将其推广到更广泛的H类，例如H=g（u，v）+h。在后续的论文中，在同样的假设下，我们将证明超越希尔伯特-昆兹多重性的存在。
Hilbert-Kunz Functions for Normal Rings
设（R，m，k）是特征为p的优良局部正规环，具有完美剩余域，dim R=d.设M是R-生成的R-模。证明了存在实数beta（M）使得lambda（M/I^[q]M）= e_{HK}（M）q^d + beta（M）q^{d-1} + O（q^{d-2}）.
Irrational Hilbert-Kunz multiplicities
本文利用射影簇上向量丛的上同调的Frobenius渐近性来解释正特征分次环的Hilbert-Kunz理论。利用这种方法，我们证明了对于几乎所有的素数，都存在具有无理Hilbert-Kunz重数的三维四次超曲面域和有限长模.由此我们推出局部诺特整环的Hilbert-Kunz重数也可能是一个无理数。
Hilbert-Kunz density function and Hilbert-Kunz multiplicity
对于$(M, I)$对，其中$M$是维度为$d$的标准分次环$R$上的有限生成分次模，$I$是$\ell(R/I) < \infty$的分次理想，我们引入了一个新的不变量$HKd(M, I)$，称为{ \em Hilbert-Kunz密度函数}。在定理1.1中，我们通过一个积分公式将其与希尔伯特-昆兹多重数$e_{HK}(M,I)$联系起来。我们证明了Hilbert-Kunz密度函数是可加的。此外，它还满足环的Segre积的乘法公式。这给出了一个公式$e_{HK}$的Segre产品的环在所涉及的环的HKd。作为推论，任意有限条射影曲线的Segre积的$e_{HK}$是有理数.作为另一个应用，我们看到$e_{HK}(R, {\bf m}^k) - e(R, {\bf m}^k)/d!$至少以$k^{d-1}$的固定正倍数作为$k\to \infty$增长。
Lower bounds on Hilbert--Kunz multiplicities and maximal F-signatures
Hilbert-Kunz重数和F-签名是正特征交换环的数值不变量，它们度量了奇性的严重程度：对于正则环，这两个不变量都等于1，并且在温和的假设下，反之亦然。一个自然的问题是，对于什么样的奇异环，这些不变量最接近于1。对于希尔伯特-昆兹多重性这个问题首先考虑的最后两个作者，并引起了极大的关注。在本文中，我们研究这个问题，即，给出了F-签名的上界和Hilbert-Kunz重数的下界。
The Hilbert-Kunz function for Binomial Hypersurfaces
本文给出了任意正特征域上一般二项式超曲面的Hilbert-Kunz函数的一个迭代封闭形式公式。证明了任意正特征域上的任意二项超曲面所对应的Hilbert-Kunz重数是有理的。作为一个例子，证明了一维二项式超曲面的Hilbert-Kunz重数是一个正整数，并给出了这个整数的精确表达式.
Globalizing F-invariants
本文定义并研究了不一定是局部的素特征环的整体Hilbert-Kunz重数和整体F-签名。我们的技术是有意义的，通过推广许多已知的定理Hilbert-Kunz多重性和F-签名的非局部情况。
The Hilbert-Kunz function in graded dimension two
设R表示特征为p的有限域的代数闭包K上的二维正规标准分次整环，I表示齐次准素理想.证明了I的Hilbert-Kunz函数的形式为= e_{HK}（I）q^{2} + g（q），其有理Hilbert-Kunz重数为e_{HK}（I），g（q）是最终的周期函数.
Hilbert-Kunz functions of cubic curves and surfaces
本文确定了奇特征平面椭圆曲线的Hilbert-Kunz函数，以及任意域上节三次曲线的广义Hilbert-Kunz函数。结合K. Pardue和P. Monsky，这完成了平面三次函数的Hilbert-Kunz函数列表。将这些结果与Cayley三次曲面的（广义）Hilbert-Kunz函数的计算相结合，得出了在每一次上，在任何正特征域上，分别存在曲线.表面采取最小可能的希尔伯特-昆兹多重性。
Explicit Hilbert-Kunz functions of 2 x 2 determinantal rings
设$k[X] = k[x_{i,j}: i = 1,..., m; j = 1,..., n]$是具有任意特征的域$k$上的$m n$变量$x_{i,j}$中的多项式环.用$I_2(X)$表示由通用$m \times n$矩阵$[x_{i,j}]$的$2 \times 2$子式生成的理想。当$q$在所有正整数上变化时，我们给出了$k$ -向量空间$k[X]/(I_2(X) + (x_{1,1}^q,..., x_{m,n}^q))$的维数的封闭公式，即，给出了行列式环$k[X]/I_{2}[X]$的广义Hilbert-Kunz函数的一个封闭形式.我们还给出了$k[X]/I_{2}[X]$的相关子的维数的封闭公式。在这个过程中，我们建立了一个公式的一些组成（有序划分的整数），我们给一个新的二项式恒等式的证明。
A Volume = Multiplicity formula for $p$-families of ideals
本文研究素特征环中的某些理想族，称为$p$ -族。这个理想族存在于紧闭包理论、希尔伯特-昆兹多重性理论和$F$ -签名理论中。对于每个$p$ -理想族，我们附加一个称为$p$ -体的欧几里得对象，它类似于与分次理想族相关联的Newton Okounkov体。本文利用$p$ -体的组合性质和Hilbert-Kunz重数的代数性质，建立了Noether局部环$R$中$\mathfrak{m}_{R}$ -准素理想的$p$ -族的体积=重数公式.
Restriction of the cotangent bundle to elliptic curves and Hilbert-Kunz fnctions
本文讨论余切丛Ω_{ \PP^N }对椭圆曲线C \subset \PP^N的可能限制.本文将这一正特征应用于分次截环R = \bigoplus_{n \in \NN} Γ（C，n）中齐次R_+准素理想\subset R的Hilbert-Kunz函数的计算.
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