Upper semi-continuity of the Hilbert-Kunz multiplicity
Ilya Smirnov
本文证明了在优良局部环上的本质有限型代数和F-有限环中，Hilbert-Kunz重数是上半连续的.
We prove that the Hilbert-Kunz multiplicity is upper semi-continuous in F-finite rings and algebras of essentially finite type over an excellent local ring.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Notes on Hilbert-Kunz multiplicity of Rees algebras
本文利用基环的一些不变量估计了（扩张）Rees代数的Hilbert-Kunz重数。同时，我们给出了Veronese子环上Rees代数的Hilbert-Kunz重数的一个显式公式。
Unmixed local rings with minimal Hilbert-Kunz multiplicity are regular
给出了Hilbert-Kunz重数为1的非混合局部环必正则的一个新的简单证明.
Interpolating Between Hilbert-Samuel and Hilbert-Kunz Multiplicity
我们定义了一个函数，称为s-多重性，插值之间的希尔伯特-塞缪尔多重性和希尔伯特-昆兹多重性比较权力的理想的Frobenius权力的理想。该函数在s中是连续的，其值对于s的小值等于希尔伯特-塞缪尔重数，对于s的大值等于希尔伯特-昆兹重数。我们证明了它有一个结合性公式，推广了Hilbert-Samuel和Hilbert-Kunz多重性的结合性公式。我们还定义了一个家庭的封闭，使如果两个理想有相同的s-封闭，那么他们有相同的s-多重性，并在温和的条件下，反之亦然。我们将复曲面环中单项理想的s-重数描述为实空间中的一定体积
Generalized Hilbert-Kunz Multiplicity for Families of Ideals
本文系统研究正特征Noetherian局部环中理想族的广义Hilbert-Kunz重数，引入Amao型重数这一新渐近不变量，证明p-理想族的广义Hilbert-Kunz重数是Amao型重数的极限。
On the upper semi-continuity of the Hilbert-Kunz multiplicity
我们证明了$d$维非正则完全交在$F_p$的代数闭包上的Hilbert-Kunz重数是由超曲面$\sum _{i=0}^{d} x_i^2=0$的Hilbert-Kunz重数下有界的，在完全交的情况下，肯定地回答了Watanabe和Yoshida的一个猜想。
Hilbert-Kunz multiplicity of powers of ideals in dimension two
本文研究二维局部环中理想幂的Hilbert-Kunz重数，解答了Smirnov的问题，并利用Ratliff-Rush版本给出判定准则。
Some computations of generalized Hilbert-Kunz function and multiplicity
设$R$是特征$p>0$的局部环，它是$F$ -有限的且有完美剩余域.我们计算了几类环上某些模的广义Hilbert-Kunz不变量：有限表示型超曲面，环面环，$F$ -正则环。
Bounds on the Hilbert-Kunz Multiplicity
本文给出了非混合非正则局部环的Hilbert-Kunz重数的一个新的下界，使它们一致地远离1.我们的结果改进了Aberbach和Enescu以前的工作。
Hilbert-Kunz Multiplicity of Fiber Product Rings and Nagata Idealizations
本文为纤维积环和Nagata理想化推导出Hilbert-Kunz重数的显式公式，并给出新界与结构结果。
Continuity of Hilbert-Kunz multiplicity and F-signature
我们建立了Hilbert-Kunz重数和F-签名作为从素特征的Cohen-Macaulay局部环$(R,\m,k)$到关于$\m$ -adic拓扑的约化参数元素处的实数的函数的连续性.
Hilbert-Kunz multiplicity of products of ideals
我们给出了两个理想的乘积的Hilbert-Kunz多重性的界，并且我们用理想的紧闭包来刻画等式。连接使用$*$展开和普通长度计算绘制。
We prove that the Hilbert-Kunz function of the ideal $(I,It)$ of the Rees algebra $\mathcal{R}(I)$, where $I$ is an $\mathfrak{m}$-primary ideal of a $1$-dimensional local ring $(R,\mathfrak{m})$, is a quasi-polynomial in $e$, for large $e.$ For $s \in \mathbb{N}$, we calculate the Hilbert-Samuel function of the $R$-module $I^{[s]}$ and obtain an explicit description of the generalized Hilbert-Kunz function of the ideal $(I,It)\mathcal{R}(I)$ when $I$ is a parameter ideal in a Cohen-Macaulay local ring of dimension $d \geq 2$, proving that the generalized Hilbert-Kunz function is a piecewise p…
New estimates of Hilbert-Kunz multiplicities for local rings of fixed dimension
给出了正特征局部环的Hilbert-Kunz重数的Watanabe-Yoshida猜想的结果.通过改进给出Hilbert-Kunz重数下界的“体积估计”，得到了当环的Hilbert-Samuel重数小于或等于5，或维数小于或等于6时的猜想.对于固定维数的非正则环，得到了Hilbert-Kunz重数的一个新的下界.
Minimal Hilbert-Kunz multiplicity
在本文中，我们问以下问题：什么是理想$I' \supseteq I$与$l_A(I'/I) =1$的差$e_{HK}(I) - e_{HK}(I')$的极小值？为了回答这个问题，我们定义了强F-正则环的极小Hilbert-Kunz重数的概念。此外，我们计算这个不变量的商奇点和Segre嵌入的坐标环：$P^{r-1} \times P^{s-1} \hookrightarrow P^{rs-1}$，分别。
Hilbert-Kunz theory for binoids
我们发展希尔伯特-昆兹理论的组合设置，即双星。我们证明了可交换、有限生成、半正、可消和约化的双子群的Hilbert-Kunz重数存在并且是一个有理数。这意味着Binoid代数的相应的Hilbert-Kunz重数不依赖于特征。
We study Hilbert-Kunz multiplicity of the powers of an ideal and establish existence of the second coefficient at the full level of generality, thus extending a recent result of Trivedi. We describe the second coefficient as the limit of the Hilbert coefficients of Frobenius powers and show that it is additive in short exact sequences and satisfies a Northcott-type inequality.
A note on Hilbert-Kunz multiplicity
本文利用Noether界给出了不变环的Hilbert-Kunz重数$e_{HK}(\sim)$的一个新的界。然后，我们对L.史密斯他证明了公式多项式环和他的结果是紧在以下意义上：在完整的交叉环孤立奇点，我们表明，互惠公式“$e_{HK}(R/I)+ e_{HK}(R/J) = e_{HK}(R/\underline{f})$“是等价的$\pd(I)<\infty$时，$I$是一个$\fm$ -主要的未混合理想联系到$J$随着一个正则序列$\underline{f}$。
Hilbert-Kunz multiplicity of three-dimensional local rings
本文研究了具有特征$p>0$的克鲁尔维数非正则非混合局部环的Hilbert-Kunz重数的一个下界（即$s_{HK}(p,d)$）.特别地，我们关注三维局部环。实际上，作为主要结果，我们将证明在较弱的条件下，$s_{HK}(p,3) = 4/3$和Hilbert-Kunz重数为4/3的三维完全局部环同构于非退化二次超平面$k[[X,Y,Z,W]]/(X^2+Y^2+Z^2+W^2)$.此外，我们提出了一个推广的主要定理的情况下，$\dim A \ge 4$作为一个猜想，并表明这也是真实的情况下，$\dim A = 4$使用类似的方法，在证明的主要定理。
Hilbert-Kunz multiplicity of quadrics decreases
通过证明Z/p^eZ的Green环与Z/pZ的Green环的e重张量积同构，并利用p-adic展开，计算Fermat二次曲面的Hilbert-Kunz函数和重数，证明其随特征递减，肯定Yoshida猜想。
Some extensions of Hilbert-Kunz multiplicity
设$R$是素特征的优良诺特环.考虑一个任意的嵌套理想对（或者更一般地，一个固定有限模的嵌套子模对）。我们做\emph{not}假设他们的商有有限的长度。在本文中，我们开发了各种充分的数值准则时，这些理想（或子模）的紧闭包匹配。对于一些标准，我们只证明了充分性，而有些是等价的紧闭包匹配。我们比较各种数值措施（在某些情况下，不同的措施，真正不同的数值结果），并探讨特殊情况下，可以显示与匹配紧封闭的等价性。我们所有的措施最终来自希尔伯特-昆兹多重性。
Hilbert-Kunz multiplicity of binoids
我们证明了在一个广泛的组合设置，即对于生成的半正cancellative约化binoids，希尔伯特-昆兹多重性是一个独立的有理数的特点。
On rings with small Hilbert-Kunz multiplicity
Watanabe和Yoshida的一个结果是：正特征的非混合局部环是正则的当且仅当它的Hilbert-Kunz重数为1.我们证明了，对于固定的$p$（特征）和$d$（维数），存在一个数$ε(d,p) > 0$使得任何非正则非混合环$R$至少有$1+ε(d,p)$的Hilbert-Kunz重数.我们还证明了具有足够小的Hilbert-Kunz重数的局部环是Cohen-Macaulay和$F$ -有理数的.
Hilbert-Kunz multiplicity and reduction mod p
我们证明了特征为0的不可约射影曲线的正特征约化的Hilbert-Kunz重数在特征趋于无穷大时有一个明确的极限。
We show that Bertini theorems hold for $F$-signature and Hilbert--Kunz multiplicity. In particular, if $X \subseteq \mathbb{P}^n$ is normal and quasi-projective with $F$-signature greater than $λ$ (respectively the Hilbert--Kunz multiplicity is less than $λ$) at all points $x \in X$, then for a general hyperplane $H \subseteq \mathbb{P}^n$ the $F$-signature (respectively Hilbert--Kunz multiplicity) of $X \cap H$ is greater than $λ$ (respectively less than $λ$) at all points $x \in X \cap H$.
The rationality of the Hilbert-Kunz multiplicity in graded dimension two
证明了对于R_+-准素齐次理想I=（f_1，. f_n）在正特征的代数闭域上的有限型二维分次域R中的.此外，我们还给出了合冲丛Syz（f_1，.）的强Harder-Narasimhan滤的某些有理数的Hilbert-Kunz重数公式。. ., f_n）在射影曲线Y = Proj R上的投影。
For a standard graded ring $R$ of dimension $\geq 2$ over a perfect field of characteristic $p>0$ and a homogeneous ideal $I$ of finite colength, the HK density function of $R$ with respect to $I$ is a compactly supported continuous function $f_{R, I}:[0, \infty)\longto [0, \infty)$, whose integration yields the \mbox{HK} multiplicity $e_{HK}(R, I)$. Here we answer a question of V. Trivedi about the Hilbert-Kunz density function of the tensor product of standard graded rings and show that it is the convolution of the Hilbert-Kunz density function of the factor rings. Using Fourier transform, a…
Lower bounds for Hilbert-Kunz multiplicities in local rings of fixed dimension
设$(R,\m)$是具有正素特征和维数$d$的形式非混合局部环.我们研究了具有小希尔伯特-昆兹多重性的含义（即，接近1）。特别是，我们表明，如果$R$是不规则的，存在一个下界，严格大于1，仅取决于$d$，其希尔伯特-昆兹多重性。
Bounds for the Hilbert-Kunz Multiplicity of Singular Rings
本文通过引入插值函数$\varphi_J$并证明其凹性，结合已知技术得到改进下界，从而证明了Watanabe-Yoshida猜想在维数至多$7$时成立。
Hilbert-Kunz multiplicities and the F-signature
这是一篇关于希尔伯特-昆兹多重性和F-签名的综述文章。
The limit as p -> infinity of the Hilbert-Kunz multiplicity of sum(x_i^(d_i))
设p为素数。本文讨论了（Z/p）[x_1，.的元素sum（x_i^（d_i））的Hilbert-Kunz重数μx_s]以一种复杂的方式依赖于p。我们计算μ的极限为p ->无穷大。特别地，当d_i为2时，我们证明了极限为1 + sec z + tan z的幂级数展开式中z^（s-1）的系数。
Hilbert-Kunz Multiplicity of Fibers and Bertini Theorems
设$k$是特征$p > 0$的代数闭域.证明了如果$X\subseteq\mathbb{P}^n_k$是一个等维子概型，且在所有点$x\in X$上的Hilbert-Kunz重数都小于$λ$，则对于一般超平面$H\subseteq\mathbb{P}^n_k$，$X\cap H$的Hilbert-Kunz重数在所有点$x\in X\cap H$上都小于$λ$.这回答了一个猜想，推广了Carvajal-Rojas，Schwede和Tucker的一个结果，当$X\subseteq\mathbb{P}^n_k$正规时，他们的结论与我们的结论相同.在这个过程中，我们基本上推广了由上述作者获得的关于映射纤维的Hilbert-Kunz重数的某些一致估计，这些估计应该是独立感兴趣的。
Generalized Hilbert-Kunz function in graded dimension two
本文证明了具有素特征$p$的代数闭域$K$上的二维标准分次正规$K$ -Domain上的分次模$M$的广义Hilbert-Kunz函数具有$gHK(M,q)=e_{gHK}(M)q^{2}+γ(q)$的形式，具有有理广义Hilbert-Kunz重数$e_{gHK}(M)$和有界函数$γ(q)$ .证明了若$R$是$\mathbb{Z}$ -代数，则纤维$R_p$上的广义Hilbert-Kunz重数$e_{gHK}^{R_p}(M_p)$的$p\rightarrow+\infty$的极限存在且为有理数.
This paper develops a theory of equimultiplicity for Hilbert-Kunz multiplicity and uses it to study the behavior of Hilbert-Kunz multiplicity on the Brenner-Monsky hypersurface. A number of applications follows, in particular we show that Hilbert-Kunz multiplicity attains infinitely many values and that equimultiple strata may not be locally closed.
Hilbert-Kunz multiplicity of quadrics via Ehrhart theory
本文通过Ehrhart多项式研究二次曲面的Hilbert-Kunz乘数，证明其为特征p的有理函数，并揭示其随维度变化的性质。
A Direct Limit for Limit Hilbert-Kunz Multiplicity for Smooth Projective Curves
本文关注的问题是，是否可以使用一个更直接的限制，以获得极限希尔伯特-昆兹多重数，一个可能的候选人的特征零希尔伯特-昆兹多重数。的主要目标是建立一个肯定的答案的主要情况下，其中的极限希尔伯特-昆兹多重性甚至已知存在，即分次理想的齐次坐标环光滑射影曲线。证明涉及更仔细的估计边界独立发现布伦纳和Trivedi的维度上的上同调扭曲的syzygy束的特征p去无穷大，并使用渐近结果Trivedi的斜坡上的Harder-Narasimham过滤的Frobenius拉回束。鉴于Gessel和Monsky的未发表的结果，对对角超曲面中的极大理想的情形也进行了深入的讨论。
Uniform Bounds in F-Finite Rings and Lower Semi-Continuity of the F-Signature
本文建立了优良局部环上的特征$p$环（F-有限或本质为有限型）的一致界.这些统一的界限，然后使用到显示的Hilbert-Kunz长度函数和规范化Frobenius分裂数定义在一个环的谱一致收敛到它们的极限，即Hilbert-Kunz重函数和F-签名功能。由此，我们确定F-签名函数是下半连续的。我们还给出了Hilbert-Kunz重数的上半连续性的一个新的证明，这个证明最初是由Ilya Smirnov证明的。
Automating the Calculation of Hilbert-Kunz Multiplicities and F-Signatures
Hilbert-Kunz重数和$F$ -签名是交换代数和代数几何中重要的不变量。我们提供了软件，并描述了自动化的计算，为两个不变量的情况下，交叉代数在多项式环。
Irrational Hilbert-Kunz multiplicities
本文利用射影簇上向量丛的上同调的Frobenius渐近性来解释正特征分次环的Hilbert-Kunz理论。利用这种方法，我们证明了对于几乎所有的素数，都存在具有无理Hilbert-Kunz重数的三维四次超曲面域和有限长模.由此我们推出局部诺特整环的Hilbert-Kunz重数也可能是一个无理数。
Hilbert-Kunz density function and Hilbert-Kunz multiplicity
对于$(M, I)$对，其中$M$是维度为$d$的标准分次环$R$上的有限生成分次模，$I$是$\ell(R/I) < \infty$的分次理想，我们引入了一个新的不变量$HKd(M, I)$，称为{ \em Hilbert-Kunz密度函数}。在定理1.1中，我们通过一个积分公式将其与希尔伯特-昆兹多重数$e_{HK}(M,I)$联系起来。我们证明了Hilbert-Kunz密度函数是可加的。此外，它还满足环的Segre积的乘法公式。这给出了一个公式$e_{HK}$的Segre产品的环在所涉及的环的HKd。作为推论，任意有限条射影曲线的Segre积的$e_{HK}$是有理数.作为另一个应用，我们看到$e_{HK}(R, {\bf m}^k) - e(R, {\bf m}^k)/d!$至少以$k^{d-1}$的固定正倍数作为$k\to \infty$增长。
Hilbert-Kunz multiplicity and F-signature are numerical invariants of commutative rings in positive characteristic that measure severity of singularities: for a regular ring both invariants are equal to one and the converse holds under mild assumptions. A natural question is for what singular rings these invariants are closest to one. For Hilbert--Kunz multiplicity this question was first considered by the last two authors and attracted significant attention. In this paper, we study this question, i.e., an upper bound, for F-signature and revisit lower bounds on Hilbert--Kunz multiplicity.
Globalizing F-invariants
本文定义并研究了不一定是局部的素特征环的整体Hilbert-Kunz重数和整体F-签名。我们的技术是有意义的，通过推广许多已知的定理Hilbert-Kunz多重性和F-签名的非局部情况。
The Hilbert-Kunz function for Binomial Hypersurfaces
本文给出了任意正特征域上一般二项式超曲面的Hilbert-Kunz函数的一个迭代封闭形式公式。证明了任意正特征域上的任意二项超曲面所对应的Hilbert-Kunz重数是有理的。作为一个例子，证明了一维二项式超曲面的Hilbert-Kunz重数是一个正整数，并给出了这个整数的精确表达式.
A Hilbert-Kunz criterion for solid closure in dimension two (characteristic zero)
设I表示特征为零的代数闭域上二维正规标准分次域中的齐次R_+准素理想。证明了齐次元f属于实闭包I^* 当且仅当e_{HK}（I）= e_{HK}（（I，f）），其中e_{HK}表示理想的（特征零）Hilbert-Kunz重数.这提供了一个版本的特征零的著名的希尔伯特-昆兹准则紧封闭的积极的特点。
In this paper, we work with certain families of ideals called $p$-families in rings of prime characteristic. This family of ideals is present in the theories of tight closure, Hilbert-Kunz multiplicity, and $F$-signature. For each $p$-family of ideals, we attach a Euclidean object called $p$-body, which is analogous to the Newton Okounkov body associated with a graded family of ideals. Using the combinatorial properties of $p$-bodies and algebraic properties of the Hilbert-Kunz multiplicity, we establish in this paper a Volume = Multiplicity formula for $p$-families of $\mathfrak{m}_{R}$-prima…
F-signature and Hilbert-Kunz Multipicity: a combined approach and comparison
给出了正特征交换代数中由Frobenius和Cartier线性作用决定的Hilbert-Kunz重数、F-签名和相关极限的统一研究方法.我们介绍的一般技术，大大简化了存在性，连续性和积极性的证明。此外，我们还对Watanabe和Yoshida提出的允许F-签名作为局部环上有限理想的Hilbert-Kunz重数的相对差的下确界的问题给出了肯定的回答.
Semistability and Hilbert-Kunz multiplicities for curves
研究了正特征非奇异曲线的Hilbert-Kunz重数。我们分析了曲线及其丰富线丛的核层的Frobenius半稳定性与HK重数之间的关系。这将导致一个下界，实现当且仅当核心层是Frobenius半稳定的，否则公式的HK多重性的参数测量失败的Frobenius半稳定。作为副产品，给出曲线上的向量丛的显式示例，其$n$次迭代Frobenius拉回不是半稳定的，而其$(n-1)$次这样的拉回是半稳定的，其中$n>0$是任意的。
A computation concerning relative Hilbert-Kunz multiplicities
在准备论文“希尔伯特-昆兹多重性的一些扩展”时，我们有机会执行一组复杂的计算，这些计算与一个示例有关。最后，我们决定不将计算结果包含在主要论文中，而是将其发布在这里以供以后参考。特别是，当前的预印本给出了一个例子，其中我们的一个主要定理的逆命题成立，即使它不适合任何先前已知的逆命题成立的情况。
Perfectoid signature, perfectoid Hilbert-Kunz multiplicity, and an application to local fundamental groups
本文利用完美oid化函子定义了混合特征下的完美oid签名与Hilbert-Kunz重数，证明其与等特征经典理论一致，并用于刻画正则性、BCM闭包及BCM-正则性，进而证明BCM-正则环具有有限局部平展基本群。
Given a commutative local ring $(R,\mathfrak m)$ and an ideal $I$ of $R$, a family of quotients of the Rees algebra $R[It]$ has been recently studied as a unified approach to the Nagata's idealization and the amalgamated duplication and as a way to construct interesting examples, especially integral domains. When $R$ is noetherian of prime characteristic, we compute the Hilbert-Kunz function of the members of this family and, provided that either $I$ is $\mathfrak{m}$-primary or $R$ is regular and F-finite, we also find their Hilbert-Kunz multiplicity. Some consequences and examples are explor…
We provide suitable conditions under which the asymptotic limit of the Hilbert-Samuel coefficients of the Frobenius powers of an $\mathfrak{m}$-primary ideal exists in a Noetherian local ring $(R,\mathfrak{m})$ with prime characteristic $p>0.$ This, in turn, gives an expression of the Hilbert-Kunz multiplicity of powers of the ideal. We also prove that for a face ring $R$ of a simplicial complex and an ideal $J$ generated by pure powers of the variables, the generalized Hilbert-Kunz function $\ell(R/(J^{[q]})^k)$ is a polynomial for all $q,k$ and also give an expression of the generalized Hilb…
The Hilbert-Kunz function in graded dimension two
设R表示特征为p的有限域的代数闭包K上的二维正规标准分次整环，I表示齐次准素理想.证明了I的Hilbert-Kunz函数的形式为= e_{HK}（I）q^{2} + g（q），其有理Hilbert-Kunz重数为e_{HK}（I），g（q）是最终的周期函数.
On semicontinuity of multiplicities in families
本文研究了理想族中Hilbert-Samuel重数和Hilbert-Kunz重数的性质。证明了Hilbert-Samuel重数几乎一般是上连续的，并且在有限型族中Hilbert-Kunz重数也是上连续的.令人惊讶的是，我们的机器可以应用于家庭在Z和产生的问题的部分解决方案的特征零希尔伯特-昆兹多重性所提出的布伦纳，李，米勒。另一个应用是，对于仿射环的F-有理数签名的定义中的下确界，由Hochster和Yao定义的不变量，得到。
Derivation module and the Hilbert-Kunz multiplicity of the co-ordinate ring of a projective monomial curve
针对参数对应等差数列的射影单项式曲线坐标环，本文显式构造其导子模的极小生成元，并给出 Hilbert–Kunz 重数公式。
On generalized Hilbert-Kunz function and multiplicity
设$(R,\mathfrak m)$是特征$p>0$的局部环，$M$是特征生成的$R$ -模.在本文中，我们考虑极限：$\lim_{n\to \infty} \frac{\ell(H^0_{\mathfrak m}(F^n(M)))}{p^{n\dim R}} $其中$F(-)$是Peskine-Szpiro函子。主要结果的一个推论表明，当$R$是优良的且具有孤立奇点时，极限总是存在的.此外，如果$R$是完全相交，则极限为0当且仅当$M$的投射维数小于$R$的克鲁尔维数。我们利用这一事实给出了一个快速的证明，如果$R$是一个完全的交叉维度$3$，那么皮卡德群的打孔频谱$R$是无挠。我们的结果工作相当普遍的其他同调函子，并可用于证明，最近研究的布伦纳某些限制存在于投射品种。
Hilbert-Kunz multiplicity and $F$-signature can disagree
本文通过计算素特征域上直纹面丰富锥的 F-签名函数，构造出强 F-正则环，证明 Hilbert-Kunz 重数与 F-签名可在同一环的不同极大理想处对奇点给出相反排序，并纠正了 Hirzebruch 曲面 F-签名计算的既有错误。
Hilbert-Kunz density function and asymptotic Hilbert-Kunz multiplicity for projective toric varieties
对于一个复曲面对$(X, D)$，其中$X$是一个投影复曲面各种尺寸$d-1\geq 1$和$D$是一个非常充分的$T$ -卡地亚除数，我们表明，希尔伯特-昆茨密度函数$HKd(X, D)(λ)$是$d-1$维体积的${\overline {\mathcal P}}_D \cap \{z= λ\}$，其中${\overline {\mathcal P}}_D\subset {\mathbb R}^d$是一个紧凑的$d$维集（这是一个有限的凸多面体）。我们还表明，对于$k\geq 1$，功能$HKd(X, kD)$可以被替换为另一个compounds支持的连续功能$φ_{kD}$是“线性的$k$”。这给出了关联坐标环$(R, {\bf m})$的公式：$$\lim_{k\to \infty}\frac{e_{HK}(R, {\bf m}^k) - e_0(R, {\bf m}^k)/d!}{k^{d-1}} = \frac{e_0(R, {\bf m})}{(d-1)!}\int_0^\inftyφ_D(λ)dλ, $$其中$φ_D$（见命题1.2）仅由与复曲面对$(X, D)$关联的多面体$P_D$的形状确定。此外，$φ_D$是Segre乘积的乘法函数。这产生明确的计算$φ_D$（因此限制），光滑的Fano复曲面相对于anticanonical除数。一般来说，由于这个公式的多面体$…
The Hilbert-Kunz density functions of quadric hypersurfaces
本文研究了二次超曲面的 Hilbert-Kunz 密度函数，证明其为分段多项式，并借此证实了 Watanabe-Yoshida 和 Yoshida 关于 Hilbert-Kunz 重数下界与特征递减性的猜想。
Transcendental Hilbert-Kunz Multiplicities
该研究证明普通希尔伯特-孔兹重数可呈超越性，在特征p>2的不可数代数闭域上构造出满足对应超越性条件的正规分次整环及相关理想。
Hilbert-Kunz functions of cubic curves and surfaces
本文确定了奇特征平面椭圆曲线的Hilbert-Kunz函数，以及任意域上节三次曲线的广义Hilbert-Kunz函数。结合K. Pardue和P. Monsky，这完成了平面三次函数的Hilbert-Kunz函数列表。将这些结果与Cayley三次曲面的（广义）Hilbert-Kunz函数的计算相结合，得出了在每一次上，在任何正特征域上，分别存在曲线.表面采取最小可能的希尔伯特-昆兹多重性。
Uniform bounds in excellent $\mathbf{F}_p$-algebras and applications to semi-continuity
针对未必F-有限的诺特Fₚ-代数R，研究其谱上的Hilbert-Kunz重数与F-签名，证明优环时定义这两个不变量的极限一致，进而推出F-签名下半连续、局部等维时Hilbert-Kunz重数上半连续，且结果可在比优性更弱条件下成立。
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