Multi-Priority Graph Sparsification
给定图$G$的\emph{sparsification}是旨在近似或保持$G$的某些性质的稀疏图（通常是子图）。稀疏化的示例包括但不限于生成树、Steiner树、spatial、仿真器和距离转换器。在所有这些问题中，每个顶点都具有相同的优先级。然而，现实世界的图通常为不同的顶点分配不同的“优先级”或“级别”，其中优先级较高的顶点需要它们之间更高质量的连接。在以前的文献中已经研究了Steiner树问题的多优先级变体，但是对于其他稀疏化问题，这种推广的研究要少得多。在本文中，我们定义了一个广义的多优先级问题，并提出了一个四舍五入的方法，可用于各种图稀疏化。我们的分析提供了一个系统的方法来计算近似的解决方案，以获得一个单一的优先级子程序的范围广泛的图形稀疏化问题的多优先级的变种。
2023-01-29 cs.DS
Optimal Vertex-Cut Sparsification of Quasi-Bipartite Graphs
在点割稀疏化中，给定一个图$G=(V,E)$，其终端集为$T\subseteq V$，我们希望构造一个具有$T\subseteq V'$的图$G'=(V',E')$，使得对于每两个终端集$A,B\subseteq T$，$G'$中的最小$(A,B)$ -点割的大小与$G$中的相同.在最基本的设置中，$G$是不加权和无向的，我们希望通过$k=|T|$的函数来限制$G'$的大小。Kratsch和Wahlström [JACM 2020]证明了每个图$G$（可能有向），允许一个顶点切割稀疏化器$G'$，其顶点为$O(k^3)$，实际上可以在随机多项式时间内构造。我们研究（可能有向）图$G$是准二部，即，证明了$T$中的每条边至少有一个端点，并证明了它们允许一个顶点割稀疏算子，该稀疏算子具有$O(k^2)$边和顶点，并且实际上可以在确定性多项式时间内构造.事实上，这个界限自然地扩展到所有具有小分隔符的图，以划分有界大小的集合。最后，我们证明了信息理论上的一个近似匹配的下限，即，$\tildeΩ(k^2)$边是稀疏化拟二部无向图所必需的。
2022-07-04 cs.DS
Simple parallel and distributed algorithms for spectral graph sparsification
我们描述了一个简单的算法的频谱图稀疏化，基于加权spectrum和均匀采样的迭代计算。利用Baswana和Sen的谱稀疏化算法，我们得到了第一个分布式谱稀疏化算法。我们还得到了一个并行算法，改进的工作和时间的保证。将该算法与Peng和Spielman求解对称对角占优线性方程组的并行框架相结合，得到了一个更接近实际的并行求解器，其总工作量明显提高.
2014-04-17 cs.DS
A Unified Approach to Scalable Spectral Sparsification of Directed Graphs
最近的谱图稀疏化研究允许构造近似线性大小的子图，这些子图可以很好地保留原始图的谱（结构）属性，例如图拉普拉斯算子的前几个特征值和特征向量，从而导致各种近似线性时间数值和图形算法的发展。然而，没有一个统一的方法，允许真正可扩展的频谱稀疏的有向和无向图。在这项工作中，我们证明了一般有向图的线性大小的谱稀疏器的存在性，并介绍了一个实际有效的和统一的谱图稀疏化方法，允许稀疏化现实世界中，大规模的有向和无向图，并保证保留原始图谱。通过利用一个高度可扩展的（近线性复杂度）谱矩阵扰动分析框架来构造近线性大小的（有向）子图，它使我们能够很好地保持原始（有向）图拉普拉斯算子的关键特征值和特征向量。所提出的方法已被验证，使用各种公共领域稀疏矩阵集合获得的有向图，解决有向图拉普拉斯算子，谱嵌入，一般有向图的分区，以及近似计算（个性化）PageRank向量显示有前途的结果。
2020-04-30 cs.DS
Dynamic Graph Algorithms and Graph Sparsification: New Techniques and Connections
图自然地出现在几个现实世界的上下文中，包括社交网络、web网络和电信网络。虽然图结构的分析和理解一直是算法设计中的中心研究领域，但在过去几十年中数据集的快速增长对设计处理大规模图的高效算法提出了新的挑战。这些挑战源于经典算法设计中的两个常见假设，即图是静态的，并且它们适合于单个机器。然而，在许多应用领域中，图形会随着时间的推移而频繁变化，并且它们的巨大尺寸使得它们不可能存储在单个机器的内存中。由于需要设计新的工具来克服这些挑战，本论文集中在两个领域的现代算法设计，直接处理大量的图形，即动态图算法和图稀疏化。我们从动态和稀疏化的角度开发了新的算法技术，用于众多基于图的优化问题，这些问题是谱图论，图划分和度量嵌入的核心。我们的算法比以前的任何算法都快，并且设计出具有更好（近似）质量的更小的稀疏器。更重要的是，这项工作引入了新的约简技术，显示了看似不同的领域之间的意想不到的联系，如动态图算法和图稀疏化。
2019-09-13 cs.DS
Sparsification of Directed Graphs via Cut Balance
在本文中，我们考虑的问题，设计切割稀疏和草图的有向图。为了绕过已知的下限，我们允许稀疏器/草图依赖于输入图的平衡，其在无向图和有向图之间平滑地插值。我们给几乎匹配的上限和下限都为所有（参见。Benczúr和Karger，STOC 1996）和for-each（Andoni等人，ITCS 2016）将稀疏化器/草图切割为切割平衡的函数，定义了有向图的两个方向上的切割值的最大比率（Ene等人，STOC 2016）。我们还展示了一个有趣的应用有向图稀疏化通过削减平衡使用它给一个非常简短的证明著名的最大流结果的Karger和Levine（STOC 2002）。
2021-05-11 cs.DS
Graph Sparsification by Universal Greedy Algorithms
图稀疏化是指用一个稀疏图来近似任意的图，在社交网络的简化、最小二乘问题、对称正定线性方程组的数值求解等方面有着广泛的应用。本文受著名的稀疏信号恢复算法正交匹配追踪（OMP）的启发，提出了一种确定性的，贪婪边选择算法称为通用贪婪方法（UGA）的图稀疏化。对于一般的频谱稀疏化问题，例如，正子集选择问题，提出了一种非负的UGA算法，该算法需要$\mathbb{R}^n$时间来找到一个具有正系数的$\frac{1+ε/β}{1-ε/β}$ -谱稀疏子，该稀疏子具有稀疏性$\le\lceil\frac{n}{ε^2}\rceil$，其中$β$是向量的最小长度与最大长度之比.证明了非负UGA算法的收敛性。对于图的稀疏化问题，本文提出了另一种UGA算法，该算法在适当的假设条件下，可以在$O(m+n^2/ε^2)$时间内从一个具有$m$边和$n$顶点的图输出一个具有$\lceil\frac{n}{ε^2}\rceil$边的$\frac{1+O(ε)}{1-O(ε)}$ -谱稀疏因子.这是一个线性时间算法，根据图稀疏化社区正在寻找的边的数量。据作者所知，文献中的最佳结果是存在一个几乎是线性的确定性算法，即对于某些$o(1)=O(\frac{(\log\log(m))^{2/3}}{\log^{1/3}(m)})$的$O(m^{1+o(1)})$。最后，广泛的实验结果，包括应用图聚类和最小二乘回归，表…
2021-02-21 cs.DS
Max-flow vitality in undirected unweighted planar graphs
我们提出了一个快速算法，用于确定一个平面无向无权图，其删除减少了两个固定顶点之间的最大流的边集。这是最大流生命力问题的一个特例，它已经在一般无向图和st-平面图中得到了有效的解决。图的边相对于两个固定顶点s和t之间的最大流的生命力被定义为去除该边所引起的最大流的减少。本文证明了在n阶平面无向无权图中，在O（nlog n）的最坏情况时间和O（n）的空间中，可以找到生命力大于零的边集.
2021-09-13 cs.DS
Graph Sparsification via Refinement Sampling
图G '（V，E'）是G的一个\eps -稀疏化，对于某个\eps >0，如果G'中的每个（加权）割都在G中相应割的（1个\pm \eps）之内. Benczur和Karger的一个著名结果表明，对于任意的无向图G，可以在O（m \log^2 n）时间内构造一个O（nPDMATHABMO n/ \e^2）边的\eps -稀疏化.现代大规模数据集的应用程序通常会限制算法使用限制随机访问输入的计算模型。半流模型，其中的算法被限制使用\tilde O（n）空间，已被证明是一个很好的抽象分析图算法在应用程序中的大型数据集。最近，Anh和Guha提出了一种用于图稀疏化的半流算法;其实现的总运行时间为Ω（mn），对于空间和时间都很重要的应用程序来说太大了。本文介绍了一种新的图稀疏化技术--精细采样，并给出了一种\tilde{O}（m）时间的图稀疏化半流算法.具体来说，我们表明，细化采样可以用来设计一个单程流算法的稀疏化，需要O（\log \log n）的时间每边，使用O（\log^2 n）的空间每个节点，并输出一个\eps稀疏与O（n \log^3 n/ \eps^2）的边缘。在稍微增加空间和时间复杂度的情况下，我们可以将稀疏器的大小减少到O（n \log n/ \e^2）个边缘，以匹配Benczur-Karger结果，同时改进m=ω（n \log^3 n）的Benczur-Karger运行时…
2010-04-27 cs.DS
A Linear Time Algorithm for Computing Max-Flow Vitality in Undirected Unweighted Planar Graphs
图中边相对于两个固定顶点$s$和$t$之间的最大流的活力被定义为由于去除该边而导致的最大流值的减少。最大流生命力问题已经有效地解决了$st$ -平面图，但仍然开放的一般平面图。我们的结果第一次为一般平面图提供了一个最优解，尽管仅限于无权平面图的情况。
2022-04-22 cs.DS
Faster Cut Sparsification of Weighted Graphs
割稀疏器是一个重新加权的子图，它将原始图的割的权重保持到$(1\pmε)$的乘法因子。本文考虑计算大小为$O(n\log (n)/ε^2)$的加权图的割稀疏子。我们的算法计算这样一个稀疏的时间$O(m\cdot\min(α(n)\log(m/n),\log (n)))$，无论是多项式有界和无界整数权重的图形，其中$α(\cdot)$是阿克曼函数的功能逆。这改进了Benczúr和Karger（SICOMP 2015）的最新技术，后者需要$O(m\log^2 (n))$时间。对于无界权重，这直接给出了切割稀疏化的最佳已知结果。再加上Fung等人的算法（SICOMP 2019）的预处理，这也给出了多项式加权图的最佳结果。因此，这意味着最快的近似最小割算法，无论是多项式和无界权重的图。特别是，我们表明，它是可以适应的最先进的算法的冯等。加权图，通过让部分最大生成森林（MSF）包装的地方Nagamochi-Ibaraki（NI）森林包装。MSF填充之前已经由Abraham等人（FOCS 2016）在动态设置中使用，并且定义如下：$M$ -$G$的部分MSF填充是一个集合$\mathcal{F}=\{F_1, \dots, F_M\}$，其中$F_i$是$G\setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}F_j$中的最大生成森林。我们的方法计算（充分估计）的MSF包装是我们的稀疏化算…
2022-04-28 cs.DS
A General Framework for Graph Sparsification
给定一个加权图$G$和一个误差参数$ε> 0$，{ \em图稀疏化}问题要求对$G$中的边进行采样，并赋予采样边适当的权值，以获得一个稀疏图$G_ε$（期望包含O（\log n）条边），该稀疏图具有以下性质：$G_ε$中每个割的权值在$G$中相应割的权值的$(1\pm ε)$的因子之内.我们提供了一个通用的框架，任何特定的采样方案，以产生良好的稀疏的充分条件，并获得一组结果，通过简单的实例化这个框架。（1）对于边权为多项式的图，将图稀疏化的时间复杂度从O（m \log^3 n）提高到O（m + n \log^4 n）。(2)对于具有任意边权值的图，我们将图稀疏化的时间复杂度从O（m \log^3 n）提高到O（m \log^2 n）. (3)如果允许稀疏因子的大小为O（n \log^2 n/ε^2）而不是O（n \log n/ε ^2），则对于具有多项式边权重的图，我们将稀疏化的时间复杂度提高到O（m）。(4)我们表明，使用标准的连通性抽样结果在良好的稀疏，从而解决了一个悬而未决的问题Benczur和Karger。作为一个推论，我们给出了一个简单的证明（一个稍微弱的版本）的结果，由于斯皮尔曼和Srivastava表明，使用有效电阻采样产生良好的稀疏。(5)我们给出了一个简单的证明，表明使用强连通性的采样结果在良好的稀疏，以前获得的结果使用更复杂的证明Benczur和Karger。我…
2010-04-23 cs.DS
Incremental Approximate Maximum Flow via Residual Graph Sparsification
Faculty of Computer Science, University of Vienna（维也纳大学计算机学院）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学与技术研究所）；Technical University Munich（慕尼黑工业大学）；UniVie Doctoral School Computer Science DoCS（维也纳大学计算机科学博士学校）
本文提出了一种算法，在高概率下能够维持无向、无容量限制的n顶点图在经历m次边插入操作后的(1-ε)近似s-t最大流，总更新时间为~O(m + nF*/ε)，其中F*是最终图的最大流。这是首个在密集图（m=Ω(n²)）中实现多项式对数平均更新时间的算法，更一般地适用于F*=~O(m/n)的图。
2026-05-21 cs.DS
Graph Sparsification in the Semi-streaming Model
分析海量数据集一直是研究流媒体算法的主要动机之一。近年来，在分析流环境中的分布方面取得了重大进展，但在图问题上的进展有限。一个主要的原因是存在的线性空间下界，即使是简单的问题，如确定连通图。然而，在社交及其他交互网络产生的许多新场景中，顶点的数量明显少于边的数量。这导致了半流模型的公式化，其中我们假设空间在顶点数（但不一定是边）上是（接近）线性的，并且边以任意（并且可能是对立的）顺序出现。在本文中，我们专注于图稀疏化，这是在各种图形算法的主要组成部分之一。提供稀疏图近似的（非流）采样算法已经有很长的历史，并且很自然地会问，是否可以使用小空间实现稀疏化，并且还使用单次通过数据？这个问题是有趣的，从理论和实践的角度来看，我们回答这个问题是肯定的，通过提供一个通过$\tilde{O}(n/ε^{2})$空间算法，产生一个稀疏化，近似每个削减一个$(1+ε)$因素。我们还表明，$Ω(n \log \frac1ε)$空间是必要的一个通过流算法来近似的最小切割，改善后的$Ω(n)$下界，所产生的下界测试连接。
2009-05-05 cs.DS
Correlation Clustering and (De)Sparsification: Graph Sketches Can Match Classical Algorithms
针对相关性聚类经典算法进展难以移植到亚线性算法的问题，提出图去稀疏化范式，以黑盒方式成功将经典算法的收益移植到亚线性算法中。
2025-04-05 cs.DS
Faster spectral sparsification and numerical algorithms for SDD matrices
我们研究算法的谱图稀疏化。输入是具有$n$顶点和$m$边的图$G$，并且输出是在代数意义上近似$G$的稀疏图$\tilde{G}$。具体地，对于所有向量$x$和任何$ε>0$，$\tilde{G}$满足$$ (1-ε) x^T L_G x \leq x^T L_{\tilde{G}} x \leq (1+ε) x^T L_G x, $$，其中$L_G$和$L_{\tilde{G}}$分别是$G$和$\tilde{G}$的拉普拉斯算子。我们发现，已知的最快的算法计算的稀疏与$O(n\log n/ε^2)$边缘实际上可以运行在$\tilde{O}(m\log^2 n)$的时间，$O(\log n)$因子比以前更快。我们还提出了更快的稀疏化算法略密图。具体来说，我们给出了一个算法，运行在$\tilde{O}(m\log n)$时间和生成一个稀疏与$\tilde{O}(n\log^3{n}/ε^2)$边缘。这意味着，一个稀疏与$O(n\log n/ε^2)$边缘可以计算在$\tilde{O}(m\log n)$时间的图与$O(n\log^4 n)$边缘以上。我们还给出了一个$\tilde{O}(m)$时间算法的图有多个$n\log^5 n (\log \log n)^3$边的多项式有界的重量，和一个$O(m)$算法的未加权图有多个$n\log^8 n (\log \log n)^3 $边和…
2013-11-16 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via Partial Sparsification
本文给出了一个在$\tilde O(n\cdot \max(m^{2/3}, n))$时间内求具有$n$顶点和$m$边的边加权有向图的最小割的算法。这提高了30岁的界限$\tilde O(nm)$郝和Orlin获得这个问题。我们的主要技术是减少定向mincut问题的$\tilde O(\min(n/m^{1/3}, \sqrt{n}))$调用{ \em任何} maxflow子程序。使用最先进的maxflow算法，这将产生上述运行时间。我们的技术也产生快速{ \em近似}算法寻找最小切割有向图。对于边和顶点加权图，我们给出了$(1+ε)$ -近似算法，运行在$\tilde O(n^2 / ε^2)$时间。
2021-11-17 cs.DS
Linear-Time Multilevel Graph Partitioning via Edge Sparsification
本文提出一种线性时间多级图划分算法，通过边稀疏化保证几何缩减，集成到KaMinPar中，实现平均1.49倍加速且质量损失仅1%。
2025-04-24 cs.DS
Subcubic Algorithms for Gomory-Hu Tree in Unweighted Graphs
每个无向图$G$都有一个（加权）割等价树$T$，通常以Gomory和Hu在1961年发现的名字命名。$T$和$G$具有相同的节点集，并且对于每个节点对$s,t$，$T$中的最小$(s,t)$ -割也是$G$中的精确最小$(s,t)$ -割。我们给出了第一个子时间算法，构造这样一个树的一个简单的图$G$（不加权，没有平行的边缘）。它的时间复杂度是$\tilde{O}(n^{2.5})$，对于$n=|V(G)|$ ;以前，只有$\tilde{O}(n^3)$是已知的，除了像稀疏图这样的受限情况。因此，我们得到了第一个算法的所有对最大流的简单图，打破了时间的障碍。Gomory和Hu使用$n-1$查询（单对）Max-Flow来计算这棵树;新算法可以被看作是对$n$节点图上的$\tilde{O}(\sqrt{n})$ Max-Flow计算的细粒度简化。
2021-04-14 cs.DS
Nearly Space-Optimal Graph and Hypergraph Sparsification in Insertion-Only Data Streams
针对仅插入数据流，本文提出空间近乎最优的图与超图 (1+ε)-稀疏化算法，并扩展至最小割、在线、滑动窗口及对抗鲁棒设置。
2025-10-21 cs.DS
Almost-linear-time Weighted $\ell_p$-norm Solvers in Slightly Dense Graphs via Sparsification
我们给出了几乎线性时间算法构造稀疏与$n\ poly(\log n)$边缘，大约保持加权$(\ell^{2}_2 + \ell^{p}_p)$流或电压目标图。对于流目标，这是第一个稀疏化结构的混合目标以外的单位$\ell_p$权重，是基于扩展分解。对于电压目标，我们给出了这些目标的第一个稀疏器构造，我们使用图空间和利用分数采样来构建。结合[Adil et al，SODA 2019]的迭代细化框架和一种新的基于乘法权重的混合目标流量或电压常数近似算法，我们展示了如何在$p(m^{1+o(1)} + n^{4/3 + o(1)})$时间内找到加权$\ell_p$范数最小化流量或电压的$(1+2^{-\text{poly}(\log n)})$近似，$p=ω(1),$对于稍微密集的图（$m \ge n^{4/3 + o(1)}$）几乎是线性的。
2021-02-13 cs.DS
Settling SETH vs. Approximate Sparse Directed Unweighted Diameter (up to (NU)NSETH)
我们证明了几个紧密的结果细粒度的复杂性近似的直径的图。首先，我们证明了，对于任何$\varepsilon>0$，假设强指数时间假设（SETH），有没有近线性时间$2-\varepsilon$ -近似算法的直径稀疏有向图，即使在未加权图。这个结果表明，一个简单的近线性时间2近似算法的直径是最佳的SETH下，回答了一个问题，从调查的Rubinstein和Vassilevska-Williams（SIGACT '19）的情况下，有向图。在同一项调查中，Rubinstein和Vassilevska-Williams还询问是否有可能证明在$O(n^{1.499})$时间内有向图中没有直径的$2-\varepsilon$近似算法。我们表明，假设一个假设称为NSETH，不能使用一个确定性的SETH为基础的减少，以排除这种算法的存在。扩展技术在这两个结果中，我们表征是否$2-\varepsilon$近似算法运行在时间$O(n^{1+δ})$的直径稀疏有向未加权图可以排除由确定性的基于SETH的减少每个$δ\in(0,1)$和基本上每个$\varepsilon\in(0,1)$，假设NSETH。这解决了SETH-硬度的近似直径的稀疏有向未加权图的确定性减少，NSETH。我们对基于SETH的随机化约简进行了相同的表征，假设另一个称为NUNSETH的假设。我们证明了无向图的额外的硬度和非约化结果。
2021-04-01 cs.DS
Determinant-Preserving Sparsification of SDDM Matrices with Applications to Counting and Sampling Spanning Trees
我们表明，频谱稀疏化例程的变体可以保持图的总生成树计数，这是基尔霍夫的矩阵树定理，相当于一个图的拉普拉斯小调，或等价的，任何SDDM矩阵的行列式。我们的分析利用这种组合连接来桥接统计杠杆分数/有效阻力和随机图分析[Janson，Combinatorics，Probability and Computing '94]。这导致了一个例程，在二次时间内，以保持行列式和生成树分布的方式将图稀疏化到大约$n^{1.5}$边（假设稀疏化的图被视为随机对象）。扩展该算法的工作与舒尔补充和近似Choleksy因子分解导致算法的计数和采样生成树，这是近最佳的稠密图。我们给出了一个算法，计算一个$(1 \pm δ)$近似的行列式的任何SDDM矩阵具有恒定的概率在约$n^2 δ^{-2}$时间。这是图的第一个例程，它在计算任意矩阵的行列式时优于通用例程。我们还给出了一个算法，在大约$n^2 δ^{-2}$的时间生成的一个加权无向图的生成树从分布的总变化距离为$δ$从$w$ -均匀分布。
2017-05-02 cs.DS
Code Sparsification and its Applications
本文提出线性码的 $(1±ε)$-稀疏化概念，证明其大小可达 $\widetilde{O}(k\log q/ε^2)$，并统一推出割稀疏化结果及 CSP、Cayley 图谱稀疏化应用。
2023-11-01 cs.DS
Breaking the $n^{1.5}$ Additive Error Barrier for Private and Efficient Graph Sparsification via Private Expander Decomposition
本文通过提出私有扩展器分解算法，首次在差分隐私下将高效图割稀疏化的加性误差从 $n^{1.5}$ 降至 $n^{1.25+o(1)}$，同时保持 $1+γ$ 乘性误差和多项式时间。
2025-07-02 cs.DS
Uncertain Graph Sparsification
不确定图在包括通信系统、生物数据库和社交网络的若干应用中是普遍存在的。底层数据的不断增长使得图存储和查询处理都变得非常昂贵。稀疏化经常被用来通过只保留重要的边来减少确定性图的大小。然而，确定性稀疏化方法的适应失败的不确定设置。为了克服这个问题，我们引入了第一个稀疏化技术，明确针对不确定的图形。所提出的方法减少了边缘的数量，并重新分配它们的概率，以减少图的大小，同时保持其底层结构。生成的图可用于高效、准确地近似原始图上的任何查询和挖掘任务。真实和合成数据集的广泛实验评估说明了我们的技术在几个常见的图形任务上的有效性，包括聚类系数，页面排名，可靠性和最短路径距离。
2017-05-24 cs.DB cs.DS
Graph Sparsification by Effective Resistances
我们提出了一个近线性时间算法，产生高质量的加权图稀疏。给定一个加权图$G=(V,E,w)$和一个参数$ε>0$作为输入，我们生成$G$的一个加权子图$H=(V,\tilde{E},\tilde{w})$，使得$|\tilde{E}|=O(n\log n/ε^2)$和对于所有向量$x\in\R^V$ $(1-ε)\sum_{uv\in E}(x(u)-x(v))^2w_{uv}\le \sum_{uv\in\tilde{E}}(x(u)-x(v))^2\tilde{w}_{uv} \le (1+ε)\sum_{uv\in E}(x(u)-x(v))^2w_{uv}. (*)$，这改进了Spielman和Teng构造的稀疏子，对于一些大的常数$c$，它有$O(n\log^c n)$边，以及Benczúr和Karger构造的稀疏子，对于$x\in\{0,1\}^V$，它只满足（*）。在我们的算法中的一个关键成分是一个子程序的独立利益：一个接近线性的时间算法，建立一个数据结构，我们可以查询的近似有效电阻之间的任何两个顶点在图中的$O(\log n)$时间。
2009-11-18 cs.DS
Non-Crossing Shortest Paths in Undirected Unweighted Planar Graphs in Linear Time
针对无向无权平面图外表面的良构终端对，提出线性时间算法求解非交叉最短路径并集及终端对距离，同时提出具备独立研究价值的增量最短路径子图新概念。
2022-04-14 cs.DS
Tighter bounds for weighted and unweighted shortest cycle approximation
Bar Ilan University（巴伊兰大学）；MIT（麻省理工学院）
提出加权图最短环（周长）的近似算法，实现与无权图相同的逼近比与运行时间权衡，并证明无权图周长逼近的细粒度下界。
2026-07-22 cs.DS
From Unweighted to Weighted Dynamic Matching in Non-Bipartite Graphs: A Low-Loss Reduction
针对全动态非二分图的近似最大权重匹配问题，提出首个低损耗归约方法，通过原始-对偶框架将其转化为二分图近似最大基数匹配问题求解，更新时间开销低，并给出相关条件下界。
2025-10-21 cs.DS
Vertex Sparsification for Edge Connectivity
图的压缩或稀疏化是一个基本的信息论和计算问题。在这个研究领域的一个主要的开放问题是是否存在$(1+ε)$近似切割保持顶点稀疏的大小接近终端的数量。作为实现这一目标的一步，我们研究了一个阈值版本的问题：对于一个给定的参数$c$，找到一个更小的图，我们称之为连接- $c$模仿网络，它保留$k$终端之间的连接正好达到$c$的值。我们发现，连接$c$模仿网络与$O(kc^4)$边缘存在，并可以在时间$m(c\log n)^{O(c)}$。我们还给出了一个单独的算法，构造这样的图与$k \cdot O(c)^{2c}$边的时间$mc^{O(c)}\log^{O(1)}n$。这些结果导致第一个数据结构，用于回答全动态离线$c$ -边连接查询$c \ge 4$在多对数时间每个查询，以及更有效的算法生存网络设计有界树宽图。
2020-07-15 cs.DS
Fully Dynamic Spectral Sparsification of Hypergraphs
本文提出了首个针对无向加权超图的完全动态谱稀疏化算法，通过将基于 spanner 的稀疏化算法动态化，在超边插入和删除下高效维护谱稀疏化器，扩展了普通图的动态谱稀疏化框架。
2025-02-03 cs.DS
An Exponential Lower Bound for Spectral Density Estimation on Unweighted Graphs
School of Computer Science and Technology, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学计算机科学与技术学院）；The University of Sydney（悉尼大学）；Beijing Institute of Technology（北京理工大学）
针对无权图，证明在随机游走访问模型下，谱密度估计需要指数级随机游走步数，回答了加权图下界能否推广到无权图的开放问题。
2026-06-29 cs.DS
Improved Guarantees for Vertex Sparsification in Planar Graphs
图稀疏化的目的是将大型图压缩成较小的图，同时保留输入图的重要特征。在这项工作中，我们研究顶点稀疏，即，稀疏器，其目标是减少顶点的数量。（1）给定有向图$G=(V,E)$和具有$|K| = k$的终端顶点$K \subset V$，$G$的（顶点）可达性稀疏因子是有向图$H=(V_H,E_H)$，$K \subset V_H$，它保持终端对之间的所有可达性信息。在这项工作中，我们介绍了可达性保留未成年人（RPM）的概念，即，我们要求$H$是$G$的副修课程。我们证明了任何有向图$G$都允许一个大小为$O(k^3)$的RPM $H$，并且如果$G$是平面的，则$H$的大小提高到$O(k^{2} \log k)$。我们补充我们的上限显示，存在一个无限的家庭的网格，使任何RPM必须有$Ω(k^{2})$顶点。(2)给定一个带权无向图$G=(V,E)$和一个带$|K|=k$的端点$K$，$G$的一个精确（点）割稀疏子是一个带$K \subset V_H$的图$H$，它保持了分离$K$的任何二分划的最小割的值.我们表明，平面图与所有的$k$终端躺在同一个脸上承认确切削减稀疏的大小$O(k^{2})$，也是平面的。我们的结果扩展到流和距离稀疏。它提高了以前最著名的界的$O(k^22^{2k})$切割和流稀疏的指数因子，并匹配这一类图的$Ω(k^2)$下界。
2017-12-27 cs.DS
Approximate Shortest Paths Avoiding a Failed Vertex: Optimal Size Data Structures for Unweighted Graph
设$G=(V,E)$是任意一个以$V$为顶点、以$E$为边的无向图。任何两个顶点$u,v\in V$之间的路径$\textbf{P}$被称为$t$ -近似最短路径，如果它的长度至多是$t$乘以$u$和$v$之间的最短路径的长度。我们考虑的问题，建立一个紧凑的数据结构，为一个给定的图形$G$，它能够回答以下查询的任何$u,v,z\in V$和$t>1$：报告$t$ -近似最短路径之间的$u$和$v$顶点$z$失败时，我们提出的数据结构的单一来源，以及所有对这个问题的版本。我们的数据结构保证最佳的查询时间。我们的数据结构最令人印象深刻的特点是，它们的大小{ \em几乎}与它们最好的静态对应物的大小相匹配。
2010-02-03 cs.DS
A New Fast Unweighted All-pairs Shortest Path Search Algorithm Based on Pruning by Shortest Path Trees
提出了一种新的无权图全对最短路快速算法。在宽度优先搜索中，对相邻顶点的平均访问次数（用α表示）约等于图的平均度。另一方面，我们的算法利用每个源顶点的相邻顶点的最短路径树，并大大减少α。粗略地说，α被减少到接近1的值，因为树的平均度大约是2，一个用于进来，另一个用于出去，尽管当最短路径树的深度很小时，这并不成立。将该算法与广度优先搜索算法进行了比较，结果表明，该算法在速度和α上优于广度优先搜索算法。
2019-08-19 cs.DS
Communication-Efficient Distributed Graph Clustering and Sparsification under Duplication Models
在本文中，我们考虑的问题，聚类图节点和稀疏图边缘分布图，当图边缘可能边缘重复观察到在物理上遥远的网站。虽然不同站点之间的边缘重复乍一看似乎是有益的，但实际上它们可能会使聚类和稀疏化更加复杂，因为它们的处理可能需要额外的计算和通信。我们提出了两个完善的通信模型，即消息传递和黑板模型的第一个通信优化算法。具体来说，给定一个图上的$n$节点与边缘观察在$s$网站，我们的算法实现的通信成本$\tilde{O}(ns)$和$\tilde{O}(n+s)$（$\tilde{O}$隐藏一个多对数因子），几乎匹配它们的下界，$Ω(ns)$和$Ω(n+s)$，分别在消息传递和黑板模型。在边分布的假设下，通信成本与非重复模型下的通信成本渐近相同。我们的算法也可以保证聚类质量几乎一样好，集中所有的边缘，然后应用任何标准的聚类算法。此外，我们进行了第一次调查的分布式结构的图空间的黑板模型。我们为乘法和加法扳手提供了几乎匹配的通信下限和上限。例如，在有和没有复制模型的黑板中构造$(2k-1)$ -模型的通信下界分别是$Ω(s+n^{1+1/k}\log s)$和$Ω(s+n^{1+1/k}\max\{1,s^{-1/2-1/(2k)}\log s\})$，它们几乎匹配两个模型的上界$\tilde{O}(s+n^{1+1/k})$。
2023-02-19 cs.DS
Near-optimal Linear Sketches and Fully-Dynamic Algorithms for Hypergraph Spectral Sparsification
本文提出一种绕过平衡权重分配的更简单超图谱稀疏化框架，将超图稀疏化归约为普通图有效电阻采样，并据此在线性草图、全动态和在线模型中首次获得近最优算法。
2025-02-06 cs.DS
Nearly-Linear Time Algorithms for Graph Partitioning, Graph Sparsification, and Solving Linear Systems
本文提出三种近线性时间算法，用于图划分、图稀疏化和线性系统求解，提升了大规模数据处理效率。
2008-09-19 cs.DS cs.NA math.NA
Nearly Tight Spectral Sparsification of Directed Hypergraphs by a Simple Iterative Sampling Algorithm
针对有向超图谱稀疏化，提出首个构造 $O^*(n^2)$ 大小 $\varepsilon$-谱稀疏化器的迭代采样算法，达到最优界，并给出非平凡下界，同时扩展至无向情形。
2023-05-11 cs.DS
A Distributed Algorithm for Spectral Sparsification of Graphs with Applications to Data Clustering
谱稀疏化是一种用于减少半正定矩阵中非零元素的数量而对其谱几乎没有改变的技术。特别地，谱稀疏化的主要应用是构造其谱接近给定稠密图的稀疏图。我们研究谱稀疏化的假设下，一个图的边缘之间分配的网站，可以相互沟通。在这项工作中，我们表明，如果一个图是分配在几个网站之间，工会的频谱稀疏的每个诱导子图给我们一个频谱稀疏的原始图。在文献中的其他作品相比，我们提出了精确的计算的近似因子的联盟的谱稀疏，并给出了明确的计算的边缘权重。然后，我们提出了一个应用程序，这个结果的数据聚类在额头上的数字模型的多方通信复杂性时，输入数据分配为一个向日葵之间的网站在党。
2020-12-16 cs.DS math.CO
Spectral Sparsification of Graphs
我们基于图拉普拉斯算子的谱相似性引入了图稀疏化的新概念：谱稀疏化要求稀疏化子的拉普拉斯二次型逼近原始的拉普拉斯二次型。这相当于说稀疏化器的拉普拉斯算子是原始拉普拉斯算子的良好预条件子。我们证明了每个图都有一个近似线性大小的谱稀疏子。此外，我们提出了一种算法，产生频谱稀疏在时间$\softO{m}$，其中$m$是在原始图中的边缘的数量。这种构造是求解对角占优矩阵中线性方程组的近似线性时间算法的关键组成部分。我们的稀疏化算法使用了一个近似线性的时间算法来进行图分区，该算法满足一个强有力的保证：如果它输出的分区非常不平衡，则较大的部分包含在高电导的子图中。
2010-07-20 cs.DM cs.DS
FAST: Kernelization based on Graph Modular Decomposition
核化算法，通常是在其他更传统的算法之前的预处理步骤，在返回（减少）实例而不是最终结果的意义上非常特殊。这个特性排除了将加权版本的问题的核化算法应用于其未加权实例的自由。因此，只有很少的特殊情况下，核化算法必须分别研究加权和未加权版本的一个问题。{ \sc反馈弧集竞赛图}是近年来参数化、近似计算研究中的一个热门问题，它在许多领域的广泛应用使其出现在各大会议上。图的模分解理论是研究图结构的一般方法，在以往的{ \sc反馈弧集竞赛图}的核化算法研究中，只涉及到它的皮毛。本文进一步研究了图的模分解的性质，并利用这些性质得到了非加权{ \sc反馈弧集竞赛图}问题的第一线性核，该问题只允许线性核的加权形式，而不允许二次核的加权形式.
2010-10-01 cs.DS
Sparsification of Monotone $k$-Submodular Functions of Low Curvature
由Benczur和Karger开创的图中的切割[STOC'96]，稀疏化是一个具有广泛应用的基本主题，已被研究，例如，对于图和超图，在组合和谱设置中，并且具有加法和乘法误差界。Rafiey和Yoshida最近考虑了可分解子模函数的稀疏化[AAAI'22]。我们扩展他们的工作，提出了一个有效的算法的稀疏单调$k$ -次模函数的低曲率。
2023-02-06 cs.DM cs.DS
Sublinear Time Hypergraph Sparsification via Cut and Edge Sampling Queries
图或超图的稀疏化问题在保持其割结构的同时得到了广泛的研究，并有许多应用。Benczúr和Karger（1996）在一项开创性的工作中证明了，给定任何$n$ -顶点无向加权图$G$和一个参数$\varepsilon \in (0,1)$，存在一个近线性时间算法，该算法输出$G$的一个大小为$\tilde{O}(n/\varepsilon^2)$的加权子图$G'$，使得$G$中每个割的权重保持在$G'$中的一个$(1 \pm \varepsilon)$ -因子内。图$G'$被称为$G$的{ \em $(1 \pm \varepsilon)$ -近似切割稀疏因子}。最近的后续工作得到了类似的结果，更一般的超图削减稀疏的问题。然而，所有已知的稀疏化算法都需要$Ω(n + m)$时间，其中$n$表示超图中顶点的数量，而$m$表示超图中超边的数量。由于$m$在$n$中可以是指数大的，一个自然的问题是是否可以在$n$中的时间多项式中创建超图割稀疏因子，{ \em独立于边的数量}。我们解决这个问题的肯定，给出了第一次次线性时间算法，这个问题，给出了适当的查询访问超图。
2021-06-18 cs.DS
Balancing Weights, Directed Sparsification, and Augmenting Paths
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文提出一种基于随机增广路径的算法，用于计算有向无容量图的最大流，时间复杂度接近m+ nF，改进了Dinic算法在中等稀疏图中的性能。
2026-04-16 cs.DS
A Framework for Analyzing Resparsification Algorithms
图$G$的谱稀疏因子是近似保持$G$的二次形式的稀疏图$H$，即对于所有向量$x$、$x^T L_G x \approx x^T L_H x$，其中$L_G$和$L_H$表示相应的图拉普拉斯算子。谱稀疏算子是割稀疏算子的推广，在图算法设计中有着广泛的应用。近年来，在半流式和动态设置中计算谱稀疏器一直受到关注。这些设置中的自然算法通常涉及图的重复稀疏化，以及这些步骤中的错误累积。我们提出了一个框架，用于分析算法，执行重复的稀疏化，只会产生错误对应于一个单一的稀疏化步骤，导致更好的结果为许多基于重新稀疏化的算法。作为一个应用程序，我们展示了如何保持一个频谱稀疏在半流设置：我们提出了一个简单的算法，对于一个图形$G$的$n$顶点和$m$边缘，计算一个频谱稀疏的$G$与$O(n \log n)$边缘在一个单一的通过$G$，只使用$O(n \log n)$空间，和$O(m \log^2 n)$总时间。这改善了以前最好的半流算法的频谱和削减稀疏的$\log{n}$在空间和运行时的因素。该算法扩展到一般PSD矩阵的半流行采样。我们还使用我们的框架相结合的频谱稀疏化算法Koutis与改进的并行结构，给出了一个并行算法，用于构建$O(n\log^2{n}\log\log{n})$大小的频谱稀疏在$O(m\log^2{n}\log\log{n})$时间。这是最著名的组合图稀疏化算法，稀疏化器的大小仅比…
2016-11-21 cs.DS
Online Sparsification of Bipartite-Like Clusters in Graphs
School of Informatics, University of Edinburgh, Edinburgh, United Kingdom（信息学院，爱丁堡大学，爱丁堡，英国）
本文研究了图中的类二部聚类问题，提出了在无向图和有向图中寻找此类聚类的高效在线稀疏化算法，并在合成与真实数据集上验证了该算法能显著加速现有聚类算法且保持其有效性。
2025-08-07 cs.DS cs.LG
Analysis of Kelner and Levin graph sparsification algorithm for a streaming setting
INRIA Lille - Nord Europe（法国国家信息与自动化研究所里尔-诺尔欧洲中心）
我们推导了一个新的证明，表明Kelner和Levin（2013）提出的增量再稀疏算法以高概率产生谱稀疏器。我们严格考虑到后续的重新解析使用鞅不等式的依赖关系，修复了原始分析中的一个缺陷。
2016-09-13 cs.DS cs.LG stat.ML
A Unifying Framework for Spectrum-Preserving Graph Sparsification and Coarsening
如何“简化”一个图形？也就是说，生成一个更小的图，以丢弃局部细节为代价保留全局结构？在图稀疏化（去除边）和图粗化（合并节点，通常通过边收缩）方面已经有了大量的工作;然而，这些操作目前被分开处理。有趣的是，对于平面图，边删除对应于其平面对偶中的边收缩（更一般地，对于图拟阵及其对偶）。此外，关于由图拉普拉斯算子（例如，扩散）、删除和收缩分别是两个倒数极限的物理表现：$0$和$\infty$的边权重。在这项工作中，我们提供了一个统一的框架，捕捉这两个操作，允许一个同时稀疏化和粗糙化的图形，同时保留其大规模的结构。无限边权的极限很少被考虑，因为许多经典的图相似性概念分歧。然而，它的代数，几何和物理解释反映在拉普拉斯伪逆$\mathbf{\mathit{L}}^{\dagger}$，这仍然是有限的，在这个限制。出于这种洞察力，我们提供了一个概率算法，减少图形，同时保留$\mathbf{\mathit{L}}^{\dagger}$，使用无偏的程序，最大限度地减少其方差。我们比较了我们的算法与现有的几个稀疏化和粗化算法使用真实世界的数据集，并证明它更准确地保留了大规模的结构。
2020-02-17 cs.DM cs.DS
Efficient Classical Sampling from Gaussian Boson Sampling Distributions on Unweighted Graphs
本研究提出基于马尔可夫链蒙特卡罗的双循环Glauber动力学算法，可在多项式时间内从无权图的GBS分布采样，在256顶点图实验中性能较传统算法最高提升10倍，兼具理论保证与实用价值。
2025-09-17 cs.DS quant-ph
Graph Sparsification by Edge-Connectivity and Random Spanning Trees
我们提出了新的方法来构建图稀疏--加权子图，其中每个切割具有相同的值作为原始图，高达一个因素的$(1 \pm ε)$。我们的第一种方法独立地采样每个边$uv$，其概率与$u$和$v$之间的边连接性成反比。这种方法产生稀疏因子的事实解决了Benczúr和Karger（2002）提出的一个问题。Hariharan和Panigrahi的同时工作也解决了这个问题。我们的第二种方法构造了一个稀疏形成几个均匀随机生成树的联盟。我们的两种方法都产生具有$O(n \log^2(n)/ε^2)$边的稀疏化器。我们的证明是基于Karger的收缩算法，这可能是独立的利益的扩展。
2010-08-09 cs.DM cs.DS
Distributed Graph Clustering and Sparsification
图聚类是一个基本的计算问题，在算法设计、机器学习、数据采掘和社交网络分析中有许多应用。在过去的几十年里，研究人员提出了许多图聚类的算法设计方法。然而，大多数这些方法是基于复杂的谱技术或凸优化，并不能直接应用于聚类许多网络发生在实践中，其信息往往是在不同的网站上收集。设计一个简单的分布式聚类算法是一个很有意义的问题，在处理大数据集方面有着广泛的应用。在本文中，我们提出了一个简单的分布式算法图聚类：对于广泛的一类图，其特征在于由一个强大的集群结构，我们的算法完成在一个多对数轮数，并恢复分区的图形接近最佳。我们的算法背后的主要组成部分之一是一个采样方案，给定一个密集的图作为输入，产生一个稀疏的子图，可证明保留的集群结构的输入。与以往的稀疏化算法，需要拉普拉斯求解器或涉及组合结构相比，该组件是易于实现的分布式方式，在实践中运行速度快。
2017-11-03 cs.DC cs.DS
Graph Spectral Sparsification is in Catalytic Logspace
Harvard University（哈佛大学）；MIT（麻省理工学院）
本研究提出一种催化对数空间下的图谱稀疏化算法，通过基于图拟随机性的悲观估计量及原位算术编码压缩技术，实现了与经典方法边数规模相当的ε-谱稀疏化，拓展了催化计算的技术范式。
2026-08-25 cs.CC cs.DS
