Constructing Linear-Sized Spectral Sparsification in Almost-Linear Time
我们提出了第一个几乎线性时间算法构造线性规模的谱稀疏图。这改进了所有以前的线性尺寸的频谱稀疏化，这需要$Ω(n^2)$时间的建设。在我们的算法中的一个关键成分是一个新的组合，在文献中使用的两种技术用于构建频谱稀疏：随机采样的有效电阻，和自适应结构的基础上的障碍函数。
2015-08-13 cs.DM cs.DS
Simple parallel and distributed algorithms for spectral graph sparsification
我们描述了一个简单的算法的频谱图稀疏化，基于加权spectrum和均匀采样的迭代计算。利用Baswana和Sen的谱稀疏化算法，我们得到了第一个分布式谱稀疏化算法。我们还得到了一个并行算法，改进的工作和时间的保证。将该算法与Peng和Spielman求解对称对角占优线性方程组的并行框架相结合，得到了一个更接近实际的并行求解器，其总工作量明显提高.
2014-04-17 cs.DS
A Unified Approach to Scalable Spectral Sparsification of Directed Graphs
最近的谱图稀疏化研究允许构造近似线性大小的子图，这些子图可以很好地保留原始图的谱（结构）属性，例如图拉普拉斯算子的前几个特征值和特征向量，从而导致各种近似线性时间数值和图形算法的发展。然而，没有一个统一的方法，允许真正可扩展的频谱稀疏的有向和无向图。在这项工作中，我们证明了一般有向图的线性大小的谱稀疏器的存在性，并介绍了一个实际有效的和统一的谱图稀疏化方法，允许稀疏化现实世界中，大规模的有向和无向图，并保证保留原始图谱。通过利用一个高度可扩展的（近线性复杂度）谱矩阵扰动分析框架来构造近线性大小的（有向）子图，它使我们能够很好地保持原始（有向）图拉普拉斯算子的关键特征值和特征向量。所提出的方法已被验证，使用各种公共领域稀疏矩阵集合获得的有向图，解决有向图拉普拉斯算子，谱嵌入，一般有向图的分区，以及近似计算（个性化）PageRank向量显示有前途的结果。
2020-04-30 cs.DS
Dynamic Graph Algorithms and Graph Sparsification: New Techniques and Connections
图自然地出现在几个现实世界的上下文中，包括社交网络、web网络和电信网络。虽然图结构的分析和理解一直是算法设计中的中心研究领域，但在过去几十年中数据集的快速增长对设计处理大规模图的高效算法提出了新的挑战。这些挑战源于经典算法设计中的两个常见假设，即图是静态的，并且它们适合于单个机器。然而，在许多应用领域中，图形会随着时间的推移而频繁变化，并且它们的巨大尺寸使得它们不可能存储在单个机器的内存中。由于需要设计新的工具来克服这些挑战，本论文集中在两个领域的现代算法设计，直接处理大量的图形，即动态图算法和图稀疏化。我们从动态和稀疏化的角度开发了新的算法技术，用于众多基于图的优化问题，这些问题是谱图论，图划分和度量嵌入的核心。我们的算法比以前的任何算法都快，并且设计出具有更好（近似）质量的更小的稀疏器。更重要的是，这项工作引入了新的约简技术，显示了看似不同的领域之间的意想不到的联系，如动态图算法和图稀疏化。
2019-09-13 cs.DS
Structure-Aware Spectral Sparsification via Uniform Edge Sampling
Department of Computer Science（计算机科学系）；Purdue University（普渡大学）
本文证明在强可聚类图（结构比大）中，均匀边采样即可保持谱聚类所需的特征子空间，无需有效电阻估计，为结构保持的谱聚类提供首个理论保证。
2025-10-14 cs.DS cs.LG
Sparsification of Directed Graphs via Cut Balance
在本文中，我们考虑的问题，设计切割稀疏和草图的有向图。为了绕过已知的下限，我们允许稀疏器/草图依赖于输入图的平衡，其在无向图和有向图之间平滑地插值。我们给几乎匹配的上限和下限都为所有（参见。Benczúr和Karger，STOC 1996）和for-each（Andoni等人，ITCS 2016）将稀疏化器/草图切割为切割平衡的函数，定义了有向图的两个方向上的切割值的最大比率（Ene等人，STOC 2016）。我们还展示了一个有趣的应用有向图稀疏化通过削减平衡使用它给一个非常简短的证明著名的最大流结果的Karger和Levine（STOC 2002）。
2021-05-11 cs.DS
Eulerian Graph Sparsification by Effective Resistance Decomposition
本研究提出基于有效电阻分解的欧拉图稀疏化算法，改进了欧拉拉普拉斯方程组求解的运行时间与稀疏子图的稀疏度界，还可扩展用于图谱谱草图计算。
2024-08-19 cs.DS
Fast and Faithful Edge Bundling using Spectral Sparsification
University of Sydney（悉尼大学）
本文提出基于谱稀疏化的边束化方法和忠实度度量，通过有效电阻值稀疏化图结构，减少视觉复杂度并提升效率，实验显示在质量和效率上均优于现有方法。
2026-04-28 cs.DS
Graph Sparsification by Universal Greedy Algorithms
图稀疏化是指用一个稀疏图来近似任意的图，在社交网络的简化、最小二乘问题、对称正定线性方程组的数值求解等方面有着广泛的应用。本文受著名的稀疏信号恢复算法正交匹配追踪（OMP）的启发，提出了一种确定性的，贪婪边选择算法称为通用贪婪方法（UGA）的图稀疏化。对于一般的频谱稀疏化问题，例如，正子集选择问题，提出了一种非负的UGA算法，该算法需要$\mathbb{R}^n$时间来找到一个具有正系数的$\frac{1+ε/β}{1-ε/β}$ -谱稀疏子，该稀疏子具有稀疏性$\le\lceil\frac{n}{ε^2}\rceil$，其中$β$是向量的最小长度与最大长度之比.证明了非负UGA算法的收敛性。对于图的稀疏化问题，本文提出了另一种UGA算法，该算法在适当的假设条件下，可以在$O(m+n^2/ε^2)$时间内从一个具有$m$边和$n$顶点的图输出一个具有$\lceil\frac{n}{ε^2}\rceil$边的$\frac{1+O(ε)}{1-O(ε)}$ -谱稀疏因子.这是一个线性时间算法，根据图稀疏化社区正在寻找的边的数量。据作者所知，文献中的最佳结果是存在一个几乎是线性的确定性算法，即对于某些$o(1)=O(\frac{(\log\log(m))^{2/3}}{\log^{1/3}(m)})$的$O(m^{1+o(1)})$。最后，广泛的实验结果，包括应用图聚类和最小二乘回归，表…
2021-02-21 cs.DS
Graph Sparsification via Refinement Sampling
图G '（V，E'）是G的一个\eps -稀疏化，对于某个\eps >0，如果G'中的每个（加权）割都在G中相应割的（1个\pm \eps）之内. Benczur和Karger的一个著名结果表明，对于任意的无向图G，可以在O（m \log^2 n）时间内构造一个O（nPDMATHABMO n/ \e^2）边的\eps -稀疏化.现代大规模数据集的应用程序通常会限制算法使用限制随机访问输入的计算模型。半流模型，其中的算法被限制使用\tilde O（n）空间，已被证明是一个很好的抽象分析图算法在应用程序中的大型数据集。最近，Anh和Guha提出了一种用于图稀疏化的半流算法;其实现的总运行时间为Ω（mn），对于空间和时间都很重要的应用程序来说太大了。本文介绍了一种新的图稀疏化技术--精细采样，并给出了一种\tilde{O}（m）时间的图稀疏化半流算法.具体来说，我们表明，细化采样可以用来设计一个单程流算法的稀疏化，需要O（\log \log n）的时间每边，使用O（\log^2 n）的空间每个节点，并输出一个\eps稀疏与O（n \log^3 n/ \eps^2）的边缘。在稍微增加空间和时间复杂度的情况下，我们可以将稀疏器的大小减少到O（n \log n/ \e^2）个边缘，以匹配Benczur-Karger结果，同时改进m=ω（n \log^3 n）的Benczur-Karger运行时…
2010-04-27 cs.DS
A Linear-time Algorithm for Sparsification of Unweighted Graphs
给定一个无向图$G$和一个误差参数$ε> 0$，{ \em图稀疏化}问题需要对$G$中的边进行采样，并给予采样边适当的权重，以获得具有以下性质的稀疏图$G_ε$：$G_ε$中每个割的权重在$G$中相应割的权重的$(1\pm ε)$的因子内。如果$G$是未加权的，则最近已经开发了用于构建具有期望中的$O(n\log n/ε^2)$边缘的$G_ε$的$O(m\log n)$ -时间算法，以及用于构建具有期望中的$O(n\log^2 n/ε^2)$边缘的$G_ε$的$O(m)$ -时间算法（Hariharan-Panigrahi，2010）。在本文中，我们改进了这些结果，给出了一个$O(m)$ -时间算法，用于构造$G_ε$与$O(n\log n/ε^2)$边的期望，无权图。我们的算法是最佳的时间复杂度，此外，没有有效的算法是已知的稀疏$G_ε$。我们的算法是蒙特卡洛，即它产生正确的输出具有高概率，因为所有有效的图稀疏化算法。
2010-05-05 cs.DS
Near-optimal Linear Sketches and Fully-Dynamic Algorithms for Hypergraph Spectral Sparsification
本文提出一种绕过平衡权重分配的更简单超图谱稀疏化框架，将超图稀疏化归约为普通图有效电阻采样，并据此在线性草图、全动态和在线模型中首次获得近最优算法。
2025-02-06 cs.DS
An Efficient Algorithm for Unweighted Spectral Graph Sparsification
谱图稀疏化通过减少边的总数，同时保持可比较的图拉普拉斯矩阵，已经成为分析大规模网络的强大工具。在本文中，我们提出了一种有效的算法构造一种新的类型的谱稀疏，未加权谱稀疏。给定一个一般无向无权图$G = (V, E)$和一个整数$\ell < |E|$（$E$中的边数），我们用$F \subset E$和$|F| = \ell$计算一个无权图$H = (V, F)$，使得对于每个$x \in \mathbb{R}^{V}$ \[ {\displaystyle \frac{x^T L_G x}κ \leq x^T L_H x \leq x^T L_G x,} \]，其中$L_G$和$L_H$分别是$G$和$H$的拉普拉斯矩阵，$κ\geq 1$是$|V|, |E|$和$\ell$的慢变函数.这项工作解决了未加权图的未加权图稀疏的存在性的公开问题。此外，我们的算法可以有效地计算加权图的未加权图稀疏，导致稀疏图保留原始图的权重。
2014-12-15 cs.DS
A General Framework for Graph Sparsification
给定一个加权图$G$和一个误差参数$ε> 0$，{ \em图稀疏化}问题要求对$G$中的边进行采样，并赋予采样边适当的权值，以获得一个稀疏图$G_ε$（期望包含O（\log n）条边），该稀疏图具有以下性质：$G_ε$中每个割的权值在$G$中相应割的权值的$(1\pm ε)$的因子之内.我们提供了一个通用的框架，任何特定的采样方案，以产生良好的稀疏的充分条件，并获得一组结果，通过简单的实例化这个框架。（1）对于边权为多项式的图，将图稀疏化的时间复杂度从O（m \log^3 n）提高到O（m + n \log^4 n）。(2)对于具有任意边权值的图，我们将图稀疏化的时间复杂度从O（m \log^3 n）提高到O（m \log^2 n）. (3)如果允许稀疏因子的大小为O（n \log^2 n/ε^2）而不是O（n \log n/ε ^2），则对于具有多项式边权重的图，我们将稀疏化的时间复杂度提高到O（m）。(4)我们表明，使用标准的连通性抽样结果在良好的稀疏，从而解决了一个悬而未决的问题Benczur和Karger。作为一个推论，我们给出了一个简单的证明（一个稍微弱的版本）的结果，由于斯皮尔曼和Srivastava表明，使用有效电阻采样产生良好的稀疏。(5)我们给出了一个简单的证明，表明使用强连通性的采样结果在良好的稀疏，以前获得的结果使用更复杂的证明Benczur和Karger。我…
2010-04-23 cs.DS
On Weighted Graph Sparsification by Linear Sketching
一个开创性的工作[Ahn-Guha-McGregor，PODS'12]表明，可以计算一个削减稀疏的一个未加权无向图采取近线性数量的线性测量图。随后的工作还研究了使用线性草图计算其他图稀疏因子，并获得了谱稀疏因子的近线性上界[Kapralov-Lee-Musco-Musco-Sidford，FOCS'14]和spatial的第一个非平凡上界[Filtser-Kapralov-Nouri，SODA'21]。然而，所有这些线性草图算法都只适用于未加权的图形。在本文中，我们开始研究加权图稀疏线性素描调查一类自然的线性草图，我们称之为关联草图，其中每个测量是一个线性组合的权重的边缘事件在一个单一的顶点。我们的结果是：1.加权切割稀疏化：我们给出了一个算法，计算$(1 + ε)$削减稀疏使用$\tilde{O}(n ε^{-3})$线性测量，这是近最优的。2.加权频谱稀疏化：我们给出了一个算法，计算一个$(1 + ε)$ -频谱稀疏使用$\tilde{O}(n^{6/5} ε^{-4})$线性测量。补充我们的算法，然后，我们证明了一个超线性下界的$Ω(n^{21/20-o(1)})$测量计算一些$O(1)$ -频谱稀疏使用发病率草图。3.加权平均计算：我们专注于图的最大/最小边的权重相差一个$O(1)$因子，并证明，对于关联草图，由~[Filtser-Kapralov-Nouri，SODA'2…
2022-09-16 cs.DS
Incremental Approximate Maximum Flow via Residual Graph Sparsification
Faculty of Computer Science, University of Vienna（维也纳大学计算机学院）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学与技术研究所）；Technical University Munich（慕尼黑工业大学）；UniVie Doctoral School Computer Science DoCS（维也纳大学计算机科学博士学校）
本文提出了一种算法，在高概率下能够维持无向、无容量限制的n顶点图在经历m次边插入操作后的(1-ε)近似s-t最大流，总更新时间为~O(m + nF*/ε)，其中F*是最终图的最大流。这是首个在密集图（m=Ω(n²)）中实现多项式对数平均更新时间的算法，更一般地适用于F*=~O(m/n)的图。
2026-05-21 cs.DS
Graph Sparsification in the Semi-streaming Model
分析海量数据集一直是研究流媒体算法的主要动机之一。近年来，在分析流环境中的分布方面取得了重大进展，但在图问题上的进展有限。一个主要的原因是存在的线性空间下界，即使是简单的问题，如确定连通图。然而，在社交及其他交互网络产生的许多新场景中，顶点的数量明显少于边的数量。这导致了半流模型的公式化，其中我们假设空间在顶点数（但不一定是边）上是（接近）线性的，并且边以任意（并且可能是对立的）顺序出现。在本文中，我们专注于图稀疏化，这是在各种图形算法的主要组成部分之一。提供稀疏图近似的（非流）采样算法已经有很长的历史，并且很自然地会问，是否可以使用小空间实现稀疏化，并且还使用单次通过数据？这个问题是有趣的，从理论和实践的角度来看，我们回答这个问题是肯定的，通过提供一个通过$\tilde{O}(n/ε^{2})$空间算法，产生一个稀疏化，近似每个削减一个$(1+ε)$因素。我们还表明，$Ω(n \log \frac1ε)$空间是必要的一个通过流算法来近似的最小切割，改善后的$Ω(n)$下界，所产生的下界测试连接。
2009-05-05 cs.DS
Correlation Clustering and (De)Sparsification: Graph Sketches Can Match Classical Algorithms
针对相关性聚类经典算法进展难以移植到亚线性算法的问题，提出图去稀疏化范式，以黑盒方式成功将经典算法的收益移植到亚线性算法中。
2025-04-05 cs.DS
Optimal Vertex-Cut Sparsification of Quasi-Bipartite Graphs
在点割稀疏化中，给定一个图$G=(V,E)$，其终端集为$T\subseteq V$，我们希望构造一个具有$T\subseteq V'$的图$G'=(V',E')$，使得对于每两个终端集$A,B\subseteq T$，$G'$中的最小$(A,B)$ -点割的大小与$G$中的相同.在最基本的设置中，$G$是不加权和无向的，我们希望通过$k=|T|$的函数来限制$G'$的大小。Kratsch和Wahlström [JACM 2020]证明了每个图$G$（可能有向），允许一个顶点切割稀疏化器$G'$，其顶点为$O(k^3)$，实际上可以在随机多项式时间内构造。我们研究（可能有向）图$G$是准二部，即，证明了$T$中的每条边至少有一个端点，并证明了它们允许一个顶点割稀疏算子，该稀疏算子具有$O(k^2)$边和顶点，并且实际上可以在确定性多项式时间内构造.事实上，这个界限自然地扩展到所有具有小分隔符的图，以划分有界大小的集合。最后，我们证明了信息理论上的一个近似匹配的下限，即，$\tildeΩ(k^2)$边是稀疏化拟二部无向图所必需的。
2022-07-04 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via Partial Sparsification
本文给出了一个在$\tilde O(n\cdot \max(m^{2/3}, n))$时间内求具有$n$顶点和$m$边的边加权有向图的最小割的算法。这提高了30岁的界限$\tilde O(nm)$郝和Orlin获得这个问题。我们的主要技术是减少定向mincut问题的$\tilde O(\min(n/m^{1/3}, \sqrt{n}))$调用{ \em任何} maxflow子程序。使用最先进的maxflow算法，这将产生上述运行时间。我们的技术也产生快速{ \em近似}算法寻找最小切割有向图。对于边和顶点加权图，我们给出了$(1+ε)$ -近似算法，运行在$\tilde O(n^2 / ε^2)$时间。
2021-11-17 cs.DS
Linear-Time Multilevel Graph Partitioning via Edge Sparsification
本文提出一种线性时间多级图划分算法，通过边稀疏化保证几何缩减，集成到KaMinPar中，实现平均1.49倍加速且质量损失仅1%。
2025-04-24 cs.DS
Vertex Sparsification in Trees
给定一个带终端$K \subset V$的未加权树$T=(V,E)$，我们给出了如何得到一个$2$质量的顶点流，以及如何用$V_H = K$切割稀疏子$H$.我们证明了我们的结果本质上是紧的，通过提供一个$2-o(1)$下界的质量上的任何削减稀疏星。此外，我们还对拟二部图给出了改进的结果。首先，我们展示了如何获得一个$2$质量流稀疏与$V_H = K$这样的图。然后，我们考虑另一个极端，并构造精确的稀疏的大小$O(2^{k})$，当输入图是unweighted。
2016-12-09 cs.DS
Graph Spectral Sparsification is in Catalytic Logspace
Harvard University（哈佛大学）；MIT（麻省理工学院）
本研究提出一种催化对数空间下的图谱稀疏化算法，通过基于图拟随机性的悲观估计量及原位算术编码压缩技术，实现了与经典方法边数规模相当的ε-谱稀疏化，拓展了催化计算的技术范式。
2026-08-25 cs.CC cs.DS
Uncertain Graph Sparsification
不确定图在包括通信系统、生物数据库和社交网络的若干应用中是普遍存在的。底层数据的不断增长使得图存储和查询处理都变得非常昂贵。稀疏化经常被用来通过只保留重要的边来减少确定性图的大小。然而，确定性稀疏化方法的适应失败的不确定设置。为了克服这个问题，我们引入了第一个稀疏化技术，明确针对不确定的图形。所提出的方法减少了边缘的数量，并重新分配它们的概率，以减少图的大小，同时保持其底层结构。生成的图可用于高效、准确地近似原始图上的任何查询和挖掘任务。真实和合成数据集的广泛实验评估说明了我们的技术在几个常见的图形任务上的有效性，包括聚类系数，页面排名，可靠性和最短路径距离。
2017-05-24 cs.DB cs.DS
Probabilistic Spectral Sparsification In Sublinear Time
在本文中，我们介绍了一个变种的频谱稀疏，称为概率$(\varepsilon,δ)$ -频谱稀疏。粗略地说，它保留具有$1\pm\varepsilon$乘性误差和$δ\left|S\right|$加性误差的任何切割$(S,S^{c})$的切割值。我们展示了如何产生一个概率$(\varepsilon,δ)$谱稀疏与$O(n\log n/\varepsilon^{2})$边的时间$\tilde{O}(n/\varepsilon^{2}δ)$时间的无向图。这给出了已知的最快的次线性时间算法的不同切割问题的无向图，如-一个$\tilde{O}(n/OPT+n^{3/2+t})$时间$O(\sqrt{\log n/t})$ -近似算法的稀疏切割问题和平衡分离器问题。- 具有$\varepsilon n$附加误差的$n^{1+o(1)}/\varepsilon^{4}$时间近似最小s-t截算法。
2013-12-31 cs.DS
Nearly Space-Optimal Graph and Hypergraph Sparsification in Insertion-Only Data Streams
针对仅插入数据流，本文提出空间近乎最优的图与超图 (1+ε)-稀疏化算法，并扩展至最小割、在线、滑动窗口及对抗鲁棒设置。
2025-10-21 cs.DS
Almost-linear-time Weighted $\ell_p$-norm Solvers in Slightly Dense Graphs via Sparsification
我们给出了几乎线性时间算法构造稀疏与$n\ poly(\log n)$边缘，大约保持加权$(\ell^{2}_2 + \ell^{p}_p)$流或电压目标图。对于流目标，这是第一个稀疏化结构的混合目标以外的单位$\ell_p$权重，是基于扩展分解。对于电压目标，我们给出了这些目标的第一个稀疏器构造，我们使用图空间和利用分数采样来构建。结合[Adil et al，SODA 2019]的迭代细化框架和一种新的基于乘法权重的混合目标流量或电压常数近似算法，我们展示了如何在$p(m^{1+o(1)} + n^{4/3 + o(1)})$时间内找到加权$\ell_p$范数最小化流量或电压的$(1+2^{-\text{poly}(\log n)})$近似，$p=ω(1),$对于稍微密集的图（$m \ge n^{4/3 + o(1)}$）几乎是线性的。
2021-02-13 cs.DS
Faster Cut Sparsification of Weighted Graphs
割稀疏器是一个重新加权的子图，它将原始图的割的权重保持到$(1\pmε)$的乘法因子。本文考虑计算大小为$O(n\log (n)/ε^2)$的加权图的割稀疏子。我们的算法计算这样一个稀疏的时间$O(m\cdot\min(α(n)\log(m/n),\log (n)))$，无论是多项式有界和无界整数权重的图形，其中$α(\cdot)$是阿克曼函数的功能逆。这改进了Benczúr和Karger（SICOMP 2015）的最新技术，后者需要$O(m\log^2 (n))$时间。对于无界权重，这直接给出了切割稀疏化的最佳已知结果。再加上Fung等人的算法（SICOMP 2019）的预处理，这也给出了多项式加权图的最佳结果。因此，这意味着最快的近似最小割算法，无论是多项式和无界权重的图。特别是，我们表明，它是可以适应的最先进的算法的冯等。加权图，通过让部分最大生成森林（MSF）包装的地方Nagamochi-Ibaraki（NI）森林包装。MSF填充之前已经由Abraham等人（FOCS 2016）在动态设置中使用，并且定义如下：$M$ -$G$的部分MSF填充是一个集合$\mathcal{F}=\{F_1, \dots, F_M\}$，其中$F_i$是$G\setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}F_j$中的最大生成森林。我们的方法计算（充分估计）的MSF包装是我们的稀疏化算…
2022-04-28 cs.DS
Determinant-Preserving Sparsification of SDDM Matrices with Applications to Counting and Sampling Spanning Trees
我们表明，频谱稀疏化例程的变体可以保持图的总生成树计数，这是基尔霍夫的矩阵树定理，相当于一个图的拉普拉斯小调，或等价的，任何SDDM矩阵的行列式。我们的分析利用这种组合连接来桥接统计杠杆分数/有效阻力和随机图分析[Janson，Combinatorics，Probability and Computing '94]。这导致了一个例程，在二次时间内，以保持行列式和生成树分布的方式将图稀疏化到大约$n^{1.5}$边（假设稀疏化的图被视为随机对象）。扩展该算法的工作与舒尔补充和近似Choleksy因子分解导致算法的计数和采样生成树，这是近最佳的稠密图。我们给出了一个算法，计算一个$(1 \pm δ)$近似的行列式的任何SDDM矩阵具有恒定的概率在约$n^2 δ^{-2}$时间。这是图的第一个例程，它在计算任意矩阵的行列式时优于通用例程。我们还给出了一个算法，在大约$n^2 δ^{-2}$的时间生成的一个加权无向图的生成树从分布的总变化距离为$δ$从$w$ -均匀分布。
2017-05-02 cs.DS
Computing Effective Resistances on Large Graphs Based on Approximate Inverse of Cholesky Factor
有效电阻是谱图论中的一个重要图距，它起源于电路分析领域。它已经发现了许多应用在各个领域，如图数据挖掘，频谱图稀疏化，电路仿真等，但是，计算有效电阻准确地可以是棘手的，我们仍然缺乏有效的方法来估计有效电阻的大型图。在这项工作中，我们提出了一个有效的算法来计算一般加权图的有效电阻，基于稀疏近似逆技术。与最近的竞争对手相比，所提出的算法显示了数百个加速比，结果的准确性也提高了一到两个数量级。将该算法与基于图稀疏化的电力网格（PG）约简框架相结合，提出了一种快速PG约简方法，在不损失约简精度的情况下，约简时间平均提高了6.4倍。在电网暂态分析和直流增量分析的应用中，与使用基于准确有效电阻的PG缩减相比，所提出的方法可以将总时间加速1.7倍和2.5倍，而不会增加解的误差。
2023-03-07 cs.DS cs.NA math.NA
Code Sparsification and its Applications
本文提出线性码的 $(1±ε)$-稀疏化概念，证明其大小可达 $\widetilde{O}(k\log q/ε^2)$，并统一推出割稀疏化结果及 CSP、Cayley 图谱稀疏化应用。
2023-11-01 cs.DS
Spectral Subspace Sparsification
我们介绍了一种新的方法，频谱稀疏近似的二次形式的伪逆的图拉普拉斯限制到一个子空间。我们表明，稀疏子空间的维度中的边缘的近线性数量存在。我们的设置概括了舒尔补充稀疏。我们的方法通过对输入图的均匀随机生成树进行采样，并使用该树来指导合同，删除和重新加权边缘的边缘消除过程来产生稀疏器。在舒尔补稀疏的背景下，我们的方法有两个好处比以前的工作。首先，它在几乎线性的时间内产生一个稀疏器，而不依赖于期望的误差。我们直接利用这一点来计算近似的有效电阻的一小组顶点对在更快的时间比以前的工作（Durfee-Kyng-Peeke-Rao-Sachdeva '17）。其次，它产生的稀疏，是重新加权的输入图的未成年人。其结果是，我们给出了一个接近最优的答案的一个变种的施泰纳点去除问题。我们的算法的一个关键组成部分是一个子程序的独立利益：一个近线性时间算法，给定一组选定的顶点，建立一个数据结构，我们可以查询一个乘法近似的两个顶点之间的有效电阻的减少后，确定所有的顶点在选定的集合到一个单一的顶点与逆多项式额外的附加误差在近恒定的时间。
2018-10-07 cs.DM cs.DS
Breaking the $n^{1.5}$ Additive Error Barrier for Private and Efficient Graph Sparsification via Private Expander Decomposition
本文通过提出私有扩展器分解算法，首次在差分隐私下将高效图割稀疏化的加性误差从 $n^{1.5}$ 降至 $n^{1.25+o(1)}$，同时保持 $1+γ$ 乘性误差和多项式时间。
2025-07-02 cs.DS
Nearly-Linear Time Algorithms for Graph Partitioning, Graph Sparsification, and Solving Linear Systems
本文提出三种近线性时间算法，用于图划分、图稀疏化和线性系统求解，提升了大规模数据处理效率。
2008-09-19 cs.DS cs.NA math.NA
Vertex Sparsification for Edge Connectivity
图的压缩或稀疏化是一个基本的信息论和计算问题。在这个研究领域的一个主要的开放问题是是否存在$(1+ε)$近似切割保持顶点稀疏的大小接近终端的数量。作为实现这一目标的一步，我们研究了一个阈值版本的问题：对于一个给定的参数$c$，找到一个更小的图，我们称之为连接- $c$模仿网络，它保留$k$终端之间的连接正好达到$c$的值。我们发现，连接$c$模仿网络与$O(kc^4)$边缘存在，并可以在时间$m(c\log n)^{O(c)}$。我们还给出了一个单独的算法，构造这样的图与$k \cdot O(c)^{2c}$边的时间$mc^{O(c)}\log^{O(1)}n$。这些结果导致第一个数据结构，用于回答全动态离线$c$ -边连接查询$c \ge 4$在多对数时间每个查询，以及更有效的算法生存网络设计有界树宽图。
2020-07-15 cs.DS
Fully Dynamic Spectral Sparsification of Hypergraphs
本文提出了首个针对无向加权超图的完全动态谱稀疏化算法，通过将基于 spanner 的稀疏化算法动态化，在超边插入和删除下高效维护谱稀疏化器，扩展了普通图的动态谱稀疏化框架。
2025-02-03 cs.DS
A Distributed Algorithm for Spectral Sparsification of Graphs with Applications to Data Clustering
谱稀疏化是一种用于减少半正定矩阵中非零元素的数量而对其谱几乎没有改变的技术。特别地，谱稀疏化的主要应用是构造其谱接近给定稠密图的稀疏图。我们研究谱稀疏化的假设下，一个图的边缘之间分配的网站，可以相互沟通。在这项工作中，我们表明，如果一个图是分配在几个网站之间，工会的频谱稀疏的每个诱导子图给我们一个频谱稀疏的原始图。在文献中的其他作品相比，我们提出了精确的计算的近似因子的联盟的谱稀疏，并给出了明确的计算的边缘权重。然后，我们提出了一个应用程序，这个结果的数据聚类在额头上的数字模型的多方通信复杂性时，输入数据分配为一个向日葵之间的网站在党。
2020-12-16 cs.DS math.CO
Faster spectral sparsification and numerical algorithms for SDD matrices
我们研究算法的谱图稀疏化。输入是具有$n$顶点和$m$边的图$G$，并且输出是在代数意义上近似$G$的稀疏图$\tilde{G}$。具体地，对于所有向量$x$和任何$ε>0$，$\tilde{G}$满足$$ (1-ε) x^T L_G x \leq x^T L_{\tilde{G}} x \leq (1+ε) x^T L_G x, $$，其中$L_G$和$L_{\tilde{G}}$分别是$G$和$\tilde{G}$的拉普拉斯算子。我们发现，已知的最快的算法计算的稀疏与$O(n\log n/ε^2)$边缘实际上可以运行在$\tilde{O}(m\log^2 n)$的时间，$O(\log n)$因子比以前更快。我们还提出了更快的稀疏化算法略密图。具体来说，我们给出了一个算法，运行在$\tilde{O}(m\log n)$时间和生成一个稀疏与$\tilde{O}(n\log^3{n}/ε^2)$边缘。这意味着，一个稀疏与$O(n\log n/ε^2)$边缘可以计算在$\tilde{O}(m\log n)$时间的图与$O(n\log^4 n)$边缘以上。我们还给出了一个$\tilde{O}(m)$时间算法的图有多个$n\log^5 n (\log \log n)^3$边的多项式有界的重量，和一个$O(m)$算法的未加权图有多个$n\log^8 n (\log \log n)^3 $边和…
2013-11-16 cs.DS
Improved Guarantees for Vertex Sparsification in Planar Graphs
图稀疏化的目的是将大型图压缩成较小的图，同时保留输入图的重要特征。在这项工作中，我们研究顶点稀疏，即，稀疏器，其目标是减少顶点的数量。（1）给定有向图$G=(V,E)$和具有$|K| = k$的终端顶点$K \subset V$，$G$的（顶点）可达性稀疏因子是有向图$H=(V_H,E_H)$，$K \subset V_H$，它保持终端对之间的所有可达性信息。在这项工作中，我们介绍了可达性保留未成年人（RPM）的概念，即，我们要求$H$是$G$的副修课程。我们证明了任何有向图$G$都允许一个大小为$O(k^3)$的RPM $H$，并且如果$G$是平面的，则$H$的大小提高到$O(k^{2} \log k)$。我们补充我们的上限显示，存在一个无限的家庭的网格，使任何RPM必须有$Ω(k^{2})$顶点。(2)给定一个带权无向图$G=(V,E)$和一个带$|K|=k$的端点$K$，$G$的一个精确（点）割稀疏子是一个带$K \subset V_H$的图$H$，它保持了分离$K$的任何二分划的最小割的值.我们表明，平面图与所有的$k$终端躺在同一个脸上承认确切削减稀疏的大小$O(k^{2})$，也是平面的。我们的结果扩展到流和距离稀疏。它提高了以前最著名的界的$O(k^22^{2k})$切割和流稀疏的指数因子，并匹配这一类图的$Ω(k^2)$下界。
2017-12-27 cs.DS
Spectral Sparsification of Graphs
我们基于图拉普拉斯算子的谱相似性引入了图稀疏化的新概念：谱稀疏化要求稀疏化子的拉普拉斯二次型逼近原始的拉普拉斯二次型。这相当于说稀疏化器的拉普拉斯算子是原始拉普拉斯算子的良好预条件子。我们证明了每个图都有一个近似线性大小的谱稀疏子。此外，我们提出了一种算法，产生频谱稀疏在时间$\softO{m}$，其中$m$是在原始图中的边缘的数量。这种构造是求解对角占优矩阵中线性方程组的近似线性时间算法的关键组成部分。我们的稀疏化算法使用了一个近似线性的时间算法来进行图分区，该算法满足一个强有力的保证：如果它输出的分区非常不平衡，则较大的部分包含在高电导的子图中。
2010-07-20 cs.DM cs.DS
Sparsification of Monotone $k$-Submodular Functions of Low Curvature
由Benczur和Karger开创的图中的切割[STOC'96]，稀疏化是一个具有广泛应用的基本主题，已被研究，例如，对于图和超图，在组合和谱设置中，并且具有加法和乘法误差界。Rafiey和Yoshida最近考虑了可分解子模函数的稀疏化[AAAI'22]。我们扩展他们的工作，提出了一个有效的算法的稀疏单调$k$ -次模函数的低曲率。
2023-02-06 cs.DM cs.DS
Communication-Efficient Distributed Graph Clustering and Sparsification under Duplication Models
在本文中，我们考虑的问题，聚类图节点和稀疏图边缘分布图，当图边缘可能边缘重复观察到在物理上遥远的网站。虽然不同站点之间的边缘重复乍一看似乎是有益的，但实际上它们可能会使聚类和稀疏化更加复杂，因为它们的处理可能需要额外的计算和通信。我们提出了两个完善的通信模型，即消息传递和黑板模型的第一个通信优化算法。具体来说，给定一个图上的$n$节点与边缘观察在$s$网站，我们的算法实现的通信成本$\tilde{O}(ns)$和$\tilde{O}(n+s)$（$\tilde{O}$隐藏一个多对数因子），几乎匹配它们的下界，$Ω(ns)$和$Ω(n+s)$，分别在消息传递和黑板模型。在边分布的假设下，通信成本与非重复模型下的通信成本渐近相同。我们的算法也可以保证聚类质量几乎一样好，集中所有的边缘，然后应用任何标准的聚类算法。此外，我们进行了第一次调查的分布式结构的图空间的黑板模型。我们为乘法和加法扳手提供了几乎匹配的通信下限和上限。例如，在有和没有复制模型的黑板中构造$(2k-1)$ -模型的通信下界分别是$Ω(s+n^{1+1/k}\log s)$和$Ω(s+n^{1+1/k}\max\{1,s^{-1/2-1/(2k)}\log s\})$，它们几乎匹配两个模型的上界$\tilde{O}(s+n^{1+1/k})$。
2023-02-19 cs.DS
Nearly Tight Spectral Sparsification of Directed Hypergraphs by a Simple Iterative Sampling Algorithm
针对有向超图谱稀疏化，提出首个构造 $O^*(n^2)$ 大小 $\varepsilon$-谱稀疏化器的迭代采样算法，达到最优界，并给出非平凡下界，同时扩展至无向情形。
2023-05-11 cs.DS
Short Cycles via Low-Diameter Decompositions
提出了一种改进的图的短圈分解算法。Chu等人在最近的工作中引入了短圈分解，并在图稀疏化的几个问题上取得了进展。对于所有常数$δ\in (0,1]$，我们给出了一个$O(mn^δ)$时间算法，给定一个图$G,$将其边划分为长度为$O(\log n)^\frac{1}δ$的圈，其中$O(n)$额外的边不在任何圈中。这给出了第一个次二次的，实际上几乎是线性时间的，实现多对数周期长度的算法。我们还给出了一个$m \cdot \exp(O(\sqrt{\log n}))$时间算法，划分成周期的长度$\exp(O(\sqrt{\log n} \log\log n))$的图的边缘，与$O(n)$额外的边缘不在任何周期。这在所有参数方面改进了Chu等人给出的短循环分解算法，并且明显更简单。其结果是，我们获得更快的算法和改进的保证几个问题的图稀疏-建设的电阻稀疏，图形频谱草图，度保持稀疏，和近似的有效电阻的所有边缘。
2019-01-11 cs.DS
Analysis of Kelner and Levin graph sparsification algorithm for a streaming setting
INRIA Lille - Nord Europe（法国国家信息与自动化研究所里尔-诺尔欧洲中心）
我们推导了一个新的证明，表明Kelner和Levin（2013）提出的增量再稀疏算法以高概率产生谱稀疏器。我们严格考虑到后续的重新解析使用鞅不等式的依赖关系，修复了原始分析中的一个缺陷。
2016-09-13 cs.DS cs.LG stat.ML
Online Sparsification of Bipartite-Like Clusters in Graphs
School of Informatics, University of Edinburgh, Edinburgh, United Kingdom（信息学院，爱丁堡大学，爱丁堡，英国）
本文研究了图中的类二部聚类问题，提出了在无向图和有向图中寻找此类聚类的高效在线稀疏化算法，并在合成与真实数据集上验证了该算法能显著加速现有聚类算法且保持其有效性。
2025-08-07 cs.DS cs.LG
Sublinear Time Hypergraph Sparsification via Cut and Edge Sampling Queries
图或超图的稀疏化问题在保持其割结构的同时得到了广泛的研究，并有许多应用。Benczúr和Karger（1996）在一项开创性的工作中证明了，给定任何$n$ -顶点无向加权图$G$和一个参数$\varepsilon \in (0,1)$，存在一个近线性时间算法，该算法输出$G$的一个大小为$\tilde{O}(n/\varepsilon^2)$的加权子图$G'$，使得$G$中每个割的权重保持在$G'$中的一个$(1 \pm \varepsilon)$ -因子内。图$G'$被称为$G$的{ \em $(1 \pm \varepsilon)$ -近似切割稀疏因子}。最近的后续工作得到了类似的结果，更一般的超图削减稀疏的问题。然而，所有已知的稀疏化算法都需要$Ω(n + m)$时间，其中$n$表示超图中顶点的数量，而$m$表示超图中超边的数量。由于$m$在$n$中可以是指数大的，一个自然的问题是是否可以在$n$中的时间多项式中创建超图割稀疏因子，{ \em独立于边的数量}。我们解决这个问题的肯定，给出了第一次次线性时间算法，这个问题，给出了适当的查询访问超图。
2021-06-18 cs.DS
Balancing Weights, Directed Sparsification, and Augmenting Paths
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文提出一种基于随机增广路径的算法，用于计算有向无容量图的最大流，时间复杂度接近m+ nF，改进了Dinic算法在中等稀疏图中的性能。
2026-04-16 cs.DS
A Unifying Framework for Spectrum-Preserving Graph Sparsification and Coarsening
如何“简化”一个图形？也就是说，生成一个更小的图，以丢弃局部细节为代价保留全局结构？在图稀疏化（去除边）和图粗化（合并节点，通常通过边收缩）方面已经有了大量的工作;然而，这些操作目前被分开处理。有趣的是，对于平面图，边删除对应于其平面对偶中的边收缩（更一般地，对于图拟阵及其对偶）。此外，关于由图拉普拉斯算子（例如，扩散）、删除和收缩分别是两个倒数极限的物理表现：$0$和$\infty$的边权重。在这项工作中，我们提供了一个统一的框架，捕捉这两个操作，允许一个同时稀疏化和粗糙化的图形，同时保留其大规模的结构。无限边权的极限很少被考虑，因为许多经典的图相似性概念分歧。然而，它的代数，几何和物理解释反映在拉普拉斯伪逆$\mathbf{\mathit{L}}^{\dagger}$，这仍然是有限的，在这个限制。出于这种洞察力，我们提供了一个概率算法，减少图形，同时保留$\mathbf{\mathit{L}}^{\dagger}$，使用无偏的程序，最大限度地减少其方差。我们比较了我们的算法与现有的几个稀疏化和粗化算法使用真实世界的数据集，并证明它更准确地保留了大规模的结构。
2020-02-17 cs.DM cs.DS
A Framework for Analyzing Resparsification Algorithms
图$G$的谱稀疏因子是近似保持$G$的二次形式的稀疏图$H$，即对于所有向量$x$、$x^T L_G x \approx x^T L_H x$，其中$L_G$和$L_H$表示相应的图拉普拉斯算子。谱稀疏算子是割稀疏算子的推广，在图算法设计中有着广泛的应用。近年来，在半流式和动态设置中计算谱稀疏器一直受到关注。这些设置中的自然算法通常涉及图的重复稀疏化，以及这些步骤中的错误累积。我们提出了一个框架，用于分析算法，执行重复的稀疏化，只会产生错误对应于一个单一的稀疏化步骤，导致更好的结果为许多基于重新稀疏化的算法。作为一个应用程序，我们展示了如何保持一个频谱稀疏在半流设置：我们提出了一个简单的算法，对于一个图形$G$的$n$顶点和$m$边缘，计算一个频谱稀疏的$G$与$O(n \log n)$边缘在一个单一的通过$G$，只使用$O(n \log n)$空间，和$O(m \log^2 n)$总时间。这改善了以前最好的半流算法的频谱和削减稀疏的$\log{n}$在空间和运行时的因素。该算法扩展到一般PSD矩阵的半流行采样。我们还使用我们的框架相结合的频谱稀疏化算法Koutis与改进的并行结构，给出了一个并行算法，用于构建$O(n\log^2{n}\log\log{n})$大小的频谱稀疏在$O(m\log^2{n}\log\log{n})$时间。这是最著名的组合图稀疏化算法，稀疏化器的大小仅比…
2016-11-21 cs.DS
New Notions and Constructions of Sparsification for Graphs and Hypergraphs
图$G$（Benczúr and Karger; Spielman and Teng）的稀疏化子是一个稀疏加权子图$\tilde G$，它近似地保留了$G$的割结构。对于一般的图，非平凡稀疏化是可能的，只有通过使用加权图，其中不同的边缘有不同的权重。即使是图，承认未加权稀疏，有没有已知的多项式时间算法，找到这样的未加权稀疏。我们研究了一个较弱的概念，稀疏化建议Oveis Gharan，在每个切割$(S,\bar S)$的边缘的数量是不是近似的乘法因子$(1+ε)$内，而是，相反，近似到一个添加剂项有界的$ε$倍$d\cdot |S| + \text{vol}(S)$，其中$d$是平均度，和$\text{vol}(S)$是$S$中的顶点的度的总和。我们提供了一个概率多项式时间的建设，这样的稀疏每个图，我们的稀疏有一个接近最佳的边缘数$O(ε^{-2} n {\rm polylog}(1/ε))$。我们还提供了一个确定性的多项式时间的建设，构建稀疏具有较弱的属性具有最佳数量的边缘$O(ε^{-2} n)$。我们的构造也满足光谱版本的“添加剂稀疏”属性。我们构造的"添加剂稀疏“与$O_ε(n)$边缘也适用于超图，并提供了第一个非平凡的概念，稀疏超图实现$O(n)$超边时，$ε$和秩$r$的超边是常数。最后，我们提供了一个新的构造的谱超图稀疏，根据标准定义，与${\rm poly}(ε^{…
2019-05-04 cs.DM cs.DS
Network Sparsification for Steiner Problems on Planar and Bounded-Genus Graphs
我们提出了多项式时间算法，稀疏平面和有界属图，同时保持最佳或接近最佳的解决方案，施泰纳问题。我们的主要贡献是一个多项式时间的算法，给定一个未加权图$G$嵌入表面的属$g$和指定的面$f$有界的一个简单的周期长度$k$，发现一组$F \subseteq E(G)$的大小多项式在$g$和$k$包含一个最佳的Steiner树的任何一组终端是一个子集的$f$的顶点。我们应用这个一般定理证明了：* 给定嵌入在亏格$g$的曲面上的一个未赋权图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，我们可以在多项式时间内找到一个集合$F \subseteq E(G)$，它包含$S$的一个最优Steiner树$T$，并且在$g$和$|E(T)|$中具有大小多项式; * 一个类似的结果对于终端对集合$S$的一个最优Steiner森林也成立;* 给定一个未加权平面图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，可以在多项式时间内找到一个集$F \subseteq E(G)$，它包含一个分离$S$的最优（边）多路割$C$，并且在$|C|$中具有大小多项式。在参数化复杂性的语言中，这些结果意味着平面和有界亏格图（分别由树和森林的大小参数化）上的Steiner树和Steiner森林以及平面图（由割集的大小参数化）上的（边）多路割的第一多项式核。此外，我们得到了我们的主要贡献的加权变体。
2017-07-11 cs.DS
Spectral Sparsification via Bounded-Independence Sampling
我们给出了一个确定性的，几乎随机空间算法的轻度谱稀疏无向图。给定由长度为$N$的二进制串、整数$k\leq \log n$和误差参数$ε> 0$描述的$n$顶点上的加权无向图$G$，我们的算法在空间$\tilde{O}(k\log (N\cdot w_{\mathrm{max}}/w_{\mathrm{min}}))$中运行，其中$w_{\mathrm{max}}$和$w_{\mathrm{min}}$是$G$中的最大和最小边权重，并且产生具有谱上近似$G$的$\tilde{O}(n^{1+2/k}/ε^2)$边的加权图$H$，在Spielmen和Teng [ST 04]的意义上，直到$ε$的误差。我们的算法基于Spielman和Srivastava基于有效电阻的边缘采样算法[SS08]的新的有界独立性分析，并使用最近关于空间有界拉普拉斯求解器[MRSV17]的工作结果。特别是，我们证明了一个固有的权衡（通过上限和下限）之间的量（有界）的独立性使用的边缘采样算法，表示为$k$以上，和由此产生的稀疏性，可以实现。
2020-04-20 cs.CC cs.DS
Towards a Unified Theory of Sparsification for Matching Problems
在本文中，我们提出了一个建设的“匹配稀疏”，也就是说，一个稀疏的子图的给定的图，保持大的匹配近似，是强大的修改的图形。我们使用这个匹配稀疏器来获得最大匹配问题的几个新的算法结果：* 一个几乎$(3/2)$ -近似的单向通信协议的最大匹配问题，显着简化$(3/2)$ -近似协议Goel，Kapralov和Khanna（SODA 2012），并将其从二分图扩展到一般图。* 一种用于随机匹配问题的近似$(3/2)$ -近似算法，改进并显著简化了Assadi、Khanna和Li（EC 2017）之前的$1.999$ -近似算法。* 容错匹配问题的一个几乎$(3/2)$ -近似算法，据我们所知，这是该问题的第一个非平凡算法。我们的匹配稀疏器是通过证明Bernstein和Stein（ICALP 2015; SODA 2016）的边度约束子图（EDCS）的新性质获得的-在动态图中保持匹配的背景下设计-将EDCS确定为匹配稀疏器的绝佳选择。这导致了上述结果以统一的方式令人惊讶的简单和非技术性的证明。在此过程中，我们还提供了一个简单得多的证明，证明EDCS保证包含一个大的匹配，这可能是独立的利益。
2018-11-07 cs.DS
