A Framework for Analyzing Resparsification Algorithms
图$G$的谱稀疏因子是近似保持$G$的二次形式的稀疏图$H$，即对于所有向量$x$、$x^T L_G x \approx x^T L_H x$，其中$L_G$和$L_H$表示相应的图拉普拉斯算子。谱稀疏算子是割稀疏算子的推广，在图算法设计中有着广泛的应用。近年来，在半流式和动态设置中计算谱稀疏器一直受到关注。这些设置中的自然算法通常涉及图的重复稀疏化，以及这些步骤中的错误累积。我们提出了一个框架，用于分析算法，执行重复的稀疏化，只会产生错误对应于一个单一的稀疏化步骤，导致更好的结果为许多基于重新稀疏化的算法。作为一个应用程序，我们展示了如何保持一个频谱稀疏在半流设置：我们提出了一个简单的算法，对于一个图形$G$的$n$顶点和$m$边缘，计算一个频谱稀疏的$G$与$O(n \log n)$边缘在一个单一的通过$G$，只使用$O(n \log n)$空间，和$O(m \log^2 n)$总时间。这改善了以前最好的半流算法的频谱和削减稀疏的$\log{n}$在空间和运行时的因素。该算法扩展到一般PSD矩阵的半流行采样。我们还使用我们的框架相结合的频谱稀疏化算法Koutis与改进的并行结构，给出了一个并行算法，用于构建$O(n\log^2{n}\log\log{n})$大小的频谱稀疏在$O(m\log^2{n}\log\log{n})$时间。这是最著名的组合图稀疏化算法，稀疏化器的大小仅比…
2016-11-21 cs.DS
On Sparsification of Stochastic Packing Problems
出于最近的进展随机匹配与几个查询，我们开始了一个系统的研究稀疏化的随机包装问题（SPP）更普遍。具体来说，我们认为SPP的元素是独立的概率p活动，并询问是否可以（非自适应）计算保证包含一个近似最优的解决方案实现（主动）子问题的元素的稀疏集。我们寻求广泛适用于这些问题的结构和算法的结果。我们的重点是计算稀疏集包含的顺序d可行的解决方案的包装问题，其中d是线性或至多聚。关键的是，我们要求d独立于与packing问题的“size”相关的任何参数。我们将d称为稀疏因子的度，这与匹配的特殊情况下的图论度一致。首先，我们展示了一个通用的稀疏度1/p的竞争决议的基础上。此稀疏的近似比匹配的最佳竞争解决方案（CRS）的任何包装问题的添加剂的目标，并近似匹配的最佳单调CRS的子模块化的目标。其次，我们着手超越这个通用的稀疏拟阵，他们的交集和加权匹配。这些改进的稀疏功能不同的算法和分析方法，并在1/p的度线性。在一个单一的拟阵的情况下，我们的稀疏往往是最佳的解决方案。对于加权匹配，我们结合我们的竞争分辨率为基础的稀疏与技术方法的先前工作，以提高国家的最先进的比率从0.501到0.536。第三，我们研究包装问题与子模块化的目标。我们表明，即使是最简单的这样的问题不承认稀疏接近最优。
2022-11-15 cs.DS
Exact Flow Sparsification Requires Unbounded Size
给定一个大的边容量网络$G$和一个称为终端的$k$顶点子集，（精确）流稀疏器是一个小网络$G'$，它（精确）保留所有可以在终端之间路由的多商品流。流稀疏器由Leighton和Moitra [STOC 2010]引入，并已在许多算法环境中进行了研究和使用。一个基本的问题，仍然开放了十多年，问是否每个$k$终端网络承认一个确切的流稀疏，其大小是有界的一些功能$f(k)$（无论大小的$G$或其能力）。我们解决这个问题的否定证明存在$6$终端网络$G$的流稀疏$G'$必须有任意大的大小。这种无界性可能令人惊讶，因为保留所有终端切割的类似稀疏化（称为精确切割稀疏化器或模仿网络）允许大小为$f_0(k)\leq 2^{2^k}$的稀疏化器[Hagerup，Katajainen，Nishimura和Ragde，JCSS 1998]。我们通过分析网络中所有可行需求的集合（称为需求多面体）来证明我们的结果。我们确定了这个多面体的不变量，基本上是某些方面的斜率，可以任意大，甚至$k=6$，并意味着一个明确的下限的网络的大小。我们进一步使用这种技术来回答Seymour [JCTB 2015]关于仅使用收缩并保留一个需求向量的不可行性的流稀疏化的公开问题。
2022-08-03 cs.DS
An Efficient Algorithm for Unweighted Spectral Graph Sparsification
谱图稀疏化通过减少边的总数，同时保持可比较的图拉普拉斯矩阵，已经成为分析大规模网络的强大工具。在本文中，我们提出了一种有效的算法构造一种新的类型的谱稀疏，未加权谱稀疏。给定一个一般无向无权图$G = (V, E)$和一个整数$\ell < |E|$（$E$中的边数），我们用$F \subset E$和$|F| = \ell$计算一个无权图$H = (V, F)$，使得对于每个$x \in \mathbb{R}^{V}$ \[ {\displaystyle \frac{x^T L_G x}κ \leq x^T L_H x \leq x^T L_G x,} \]，其中$L_G$和$L_H$分别是$G$和$H$的拉普拉斯矩阵，$κ\geq 1$是$|V|, |E|$和$\ell$的慢变函数.这项工作解决了未加权图的未加权图稀疏的存在性的公开问题。此外，我们的算法可以有效地计算加权图的未加权图稀疏，导致稀疏图保留原始图的权重。
2014-12-15 cs.DS
Improved Guarantees for Vertex Sparsification in Planar Graphs
图稀疏化的目的是将大型图压缩成较小的图，同时保留输入图的重要特征。在这项工作中，我们研究顶点稀疏，即，稀疏器，其目标是减少顶点的数量。（1）给定有向图$G=(V,E)$和具有$|K| = k$的终端顶点$K \subset V$，$G$的（顶点）可达性稀疏因子是有向图$H=(V_H,E_H)$，$K \subset V_H$，它保持终端对之间的所有可达性信息。在这项工作中，我们介绍了可达性保留未成年人（RPM）的概念，即，我们要求$H$是$G$的副修课程。我们证明了任何有向图$G$都允许一个大小为$O(k^3)$的RPM $H$，并且如果$G$是平面的，则$H$的大小提高到$O(k^{2} \log k)$。我们补充我们的上限显示，存在一个无限的家庭的网格，使任何RPM必须有$Ω(k^{2})$顶点。(2)给定一个带权无向图$G=(V,E)$和一个带$|K|=k$的端点$K$，$G$的一个精确（点）割稀疏子是一个带$K \subset V_H$的图$H$，它保持了分离$K$的任何二分划的最小割的值.我们表明，平面图与所有的$k$终端躺在同一个脸上承认确切削减稀疏的大小$O(k^{2})$，也是平面的。我们的结果扩展到流和距离稀疏。它提高了以前最著名的界的$O(k^22^{2k})$切割和流稀疏的指数因子，并匹配这一类图的$Ω(k^2)$下界。
2017-12-27 cs.DS
A General Framework for Graph Sparsification
给定一个加权图$G$和一个误差参数$ε> 0$，{ \em图稀疏化}问题要求对$G$中的边进行采样，并赋予采样边适当的权值，以获得一个稀疏图$G_ε$（期望包含O（\log n）条边），该稀疏图具有以下性质：$G_ε$中每个割的权值在$G$中相应割的权值的$(1\pm ε)$的因子之内.我们提供了一个通用的框架，任何特定的采样方案，以产生良好的稀疏的充分条件，并获得一组结果，通过简单的实例化这个框架。（1）对于边权为多项式的图，将图稀疏化的时间复杂度从O（m \log^3 n）提高到O（m + n \log^4 n）。(2)对于具有任意边权值的图，我们将图稀疏化的时间复杂度从O（m \log^3 n）提高到O（m \log^2 n）. (3)如果允许稀疏因子的大小为O（n \log^2 n/ε^2）而不是O（n \log n/ε ^2），则对于具有多项式边权重的图，我们将稀疏化的时间复杂度提高到O（m）。(4)我们表明，使用标准的连通性抽样结果在良好的稀疏，从而解决了一个悬而未决的问题Benczur和Karger。作为一个推论，我们给出了一个简单的证明（一个稍微弱的版本）的结果，由于斯皮尔曼和Srivastava表明，使用有效电阻采样产生良好的稀疏。(5)我们给出了一个简单的证明，表明使用强连通性的采样结果在良好的稀疏，以前获得的结果使用更复杂的证明Benczur和Karger。我…
2010-04-23 cs.DS
Motif Cut Sparsifiers
模体是给定的有向或无向图$G$的频繁出现的子图。模体捕获了$G$的超越边缘关系的高阶组织结构，因此，已经发现了广泛的应用，例如在图聚类、社区发现以及生物和物理网络的分析中，仅举几例。在这些应用中，模体的切割结构起着至关重要的作用，因为顶点被切割分割成簇，切割的传导性是基于特定模体的实例的数量，而不仅仅是交叉切割的边缘的数量。在本文中，我们介绍了模切稀疏的概念。我们可以计算在多项式时间的稀疏加权子图$G'$只有$\widetilde{O}(n/ε^2)$的边缘，使每个切割，$M$的副本的加权数目的$M$交叉切割$G'$是在一个$1+ε$因子的$M$交叉切割$G$的副本的数目，对于每个恒定大小的主题$M$。我们的工作结合了图稀疏化和超图稀疏化的观点。我们采样的边缘，这需要我们扩展和加强的概念，削减稀疏的开创性工作中引入的主题设置。我们适应的重要性采样框架，通过超图稀疏化的观点，从超图的超边表示模体实例的强连通性值导出边缘采样概率。最后，一个迭代稀疏化原语的启发，这两个观点是用来减少边缘的数量在$G$接近线性。此外，我们提出了一个强大的下限排除了类似的结果稀疏诱导发生的图案。
2022-09-12 cs.DS
New Notions and Constructions of Sparsification for Graphs and Hypergraphs
图$G$（Benczúr and Karger; Spielman and Teng）的稀疏化子是一个稀疏加权子图$\tilde G$，它近似地保留了$G$的割结构。对于一般的图，非平凡稀疏化是可能的，只有通过使用加权图，其中不同的边缘有不同的权重。即使是图，承认未加权稀疏，有没有已知的多项式时间算法，找到这样的未加权稀疏。我们研究了一个较弱的概念，稀疏化建议Oveis Gharan，在每个切割$(S,\bar S)$的边缘的数量是不是近似的乘法因子$(1+ε)$内，而是，相反，近似到一个添加剂项有界的$ε$倍$d\cdot |S| + \text{vol}(S)$，其中$d$是平均度，和$\text{vol}(S)$是$S$中的顶点的度的总和。我们提供了一个概率多项式时间的建设，这样的稀疏每个图，我们的稀疏有一个接近最佳的边缘数$O(ε^{-2} n {\rm polylog}(1/ε))$。我们还提供了一个确定性的多项式时间的建设，构建稀疏具有较弱的属性具有最佳数量的边缘$O(ε^{-2} n)$。我们的构造也满足光谱版本的“添加剂稀疏”属性。我们构造的"添加剂稀疏“与$O_ε(n)$边缘也适用于超图，并提供了第一个非平凡的概念，稀疏超图实现$O(n)$超边时，$ε$和秩$r$的超边是常数。最后，我们提供了一个新的构造的谱超图稀疏，根据标准定义，与${\rm poly}(ε^{…
2019-05-04 cs.DM cs.DS
Near-optimal Linear Sketches and Fully-Dynamic Algorithms for Hypergraph Spectral Sparsification
本文提出一种绕过平衡权重分配的更简单超图谱稀疏化框架，将超图稀疏化归约为普通图有效电阻采样，并据此在线性草图、全动态和在线模型中首次获得近最优算法。
2025-02-06 cs.DS
Vertex Sparsification for Edge Connectivity in Polynomial Time
在顶点稀疏化领域中的一个重要的开放问题是是否存在大小接近终端数的$(1+ε)$ -近似割保持顶点稀疏化器。Chalermsook等人的工作（SODA 2021）介绍了一种称为连通性- $c$模仿网络的松弛，它要求构建一个顶点稀疏器，该稀疏器将$k$终端之间的连通性精确地保持到$c$的值，并显示了动态连通性数据结构和可生存网络设计的应用。我们证明了具有$\widetilde{O}(kc^3)$边的连通性- $c$模仿网络存在，并且可以在$n$和$c$中在多项式时间内构造，改进了Chalermsook等人（SODA 2021）对任何$c \ge \log n$的结果，其运行时间以指数方式依赖于$c$。
2021-01-14 cs.DS
Almost-linear-time Weighted $\ell_p$-norm Solvers in Slightly Dense Graphs via Sparsification
我们给出了几乎线性时间算法构造稀疏与$n\ poly(\log n)$边缘，大约保持加权$(\ell^{2}_2 + \ell^{p}_p)$流或电压目标图。对于流目标，这是第一个稀疏化结构的混合目标以外的单位$\ell_p$权重，是基于扩展分解。对于电压目标，我们给出了这些目标的第一个稀疏器构造，我们使用图空间和利用分数采样来构建。结合[Adil et al，SODA 2019]的迭代细化框架和一种新的基于乘法权重的混合目标流量或电压常数近似算法，我们展示了如何在$p(m^{1+o(1)} + n^{4/3 + o(1)})$时间内找到加权$\ell_p$范数最小化流量或电压的$(1+2^{-\text{poly}(\log n)})$近似，$p=ω(1),$对于稍微密集的图（$m \ge n^{4/3 + o(1)}$）几乎是线性的。
2021-02-13 cs.DS
Graph Sparsification by Edge-Connectivity and Random Spanning Trees
我们提出了新的方法来构建图稀疏--加权子图，其中每个切割具有相同的值作为原始图，高达一个因素的$(1 \pm ε)$。我们的第一种方法独立地采样每个边$uv$，其概率与$u$和$v$之间的边连接性成反比。这种方法产生稀疏因子的事实解决了Benczúr和Karger（2002）提出的一个问题。Hariharan和Panigrahi的同时工作也解决了这个问题。我们的第二种方法构造了一个稀疏形成几个均匀随机生成树的联盟。我们的两种方法都产生具有$O(n \log^2(n)/ε^2)$边的稀疏化器。我们的证明是基于Karger的收缩算法，这可能是独立的利益的扩展。
2010-08-09 cs.DM cs.DS
Spectral Sparsification of Graphs
我们基于图拉普拉斯算子的谱相似性引入了图稀疏化的新概念：谱稀疏化要求稀疏化子的拉普拉斯二次型逼近原始的拉普拉斯二次型。这相当于说稀疏化器的拉普拉斯算子是原始拉普拉斯算子的良好预条件子。我们证明了每个图都有一个近似线性大小的谱稀疏子。此外，我们提出了一种算法，产生频谱稀疏在时间$\softO{m}$，其中$m$是在原始图中的边缘的数量。这种构造是求解对角占优矩阵中线性方程组的近似线性时间算法的关键组成部分。我们的稀疏化算法使用了一个近似线性的时间算法来进行图分区，该算法满足一个强有力的保证：如果它输出的分区非常不平衡，则较大的部分包含在高电导的子图中。
2010-07-20 cs.DM cs.DS
Sparsification of Binary CSPs
加权图$G$的割$\varepsilon$ -稀疏子是$G$的一个重加权子图，它具有（准）线性大小，保持所有割的大小直到$\varepsilon$的一个乘法因子。自从Benczúr和Karger [STOC'96]引入以来，切割稀疏器已经证明是非常有影响力的，并找到了各种应用。超越削减稀疏，Filtser和Krauthgamer [SIDMA'17]给出了一个精确的分类，其中二进制布尔CSP是稀疏的。在本文中，我们将他们的结果推广到任意有限域上的二元CSP。
2019-12-13 cs.DM cs.DS
Towards Tight Bounds for Spectral Sparsification of Hypergraphs
图的切割和谱稀疏化有许多应用，包括例如加速切割算法和拉普拉斯求解器。这些强大的概念最近被扩展到超图，这是更丰富，并可能提供新的应用。然而，目前超图稀疏器的大小界限并不像图的相应界限那样严格。我们的第一个结果是一个多项式时间算法，给定一个超图的$n$顶点的最大超边大小$r$，输出一个$ε$ -频谱稀疏与$O^*(nr)$超边，其中$O^*$抑制$(ε^{-1} \log n)^{O(1)}$因素。该大小界限改进了先前的两个界限：$O^*(n^3)$ [Soma和Yoshida，SODA'19]和$O^*(nr^3)$ [Bansal，Svensson和Trevisan，FOCS'19]。我们的主要技术工具是一个新的方法证明浓度的非线性模拟的二次形式的拉普拉斯超图扩展。我们补充这一点上的任何压缩方案，$(1+ε)$ -近似在一个给定的超图中的所有削减的位复杂性的下限，因此也对每个$ε$ -削减/频谱稀疏的位复杂性。这些下界基于Ruzsa-Szemerédi图，并且特定的实例化即使对于固定常数$ε$也会产生比特复杂度的$Ω(nr)$下界。这是紧到多对数因子在$n$，由于最近超图削减稀疏的[陈，Khanna和Nagda，FOCS'20]。最后，对于有向超图，我们提出了一个算法，计算一个$ε$ -谱稀疏与$O^*(n^2r^3)$超弧，其中$r$是一个超弧的最大尺寸。对于小$r$，这比从[S…
2021-04-12 cs.DS
Towards a Unified Theory of Sparsification for Matching Problems
在本文中，我们提出了一个建设的“匹配稀疏”，也就是说，一个稀疏的子图的给定的图，保持大的匹配近似，是强大的修改的图形。我们使用这个匹配稀疏器来获得最大匹配问题的几个新的算法结果：* 一个几乎$(3/2)$ -近似的单向通信协议的最大匹配问题，显着简化$(3/2)$ -近似协议Goel，Kapralov和Khanna（SODA 2012），并将其从二分图扩展到一般图。* 一种用于随机匹配问题的近似$(3/2)$ -近似算法，改进并显著简化了Assadi、Khanna和Li（EC 2017）之前的$1.999$ -近似算法。* 容错匹配问题的一个几乎$(3/2)$ -近似算法，据我们所知，这是该问题的第一个非平凡算法。我们的匹配稀疏器是通过证明Bernstein和Stein（ICALP 2015; SODA 2016）的边度约束子图（EDCS）的新性质获得的-在动态图中保持匹配的背景下设计-将EDCS确定为匹配稀疏器的绝佳选择。这导致了上述结果以统一的方式令人惊讶的简单和非技术性的证明。在此过程中，我们还提供了一个简单得多的证明，证明EDCS保证包含一个大的匹配，这可能是独立的利益。
2018-11-07 cs.DS
Near-Optimal Sparsifiers for Stochastic Knapsack and Assignment Problems
University of Southern California（南加州大学）
本文提出了一种多面体稀疏化框架，用于解决随机背包和分配问题，证明其在多项式度下可实现近似最优解。
2025-12-01 cs.DS
An SDP-Based Algorithm for Linear-Sized Spectral Sparsification
Microsoft Research（微软研究院）；The University of Bristol（布里斯托大学）
对于任何具有$n$顶点和$m$边的无向加权图$G=(V,E,w)$，如果\[ (1-\varepsilon)x^{\intercal}L_Gx\leq x^{\intercal} L_{H} x\leq (1+\varepsilon) x^{\intercal} L_Gx \]对任何$x\in\mathbb{R}^n$成立，则我们称$G$的稀疏子图$H$为$(1+\varepsilon)$ -谱稀疏子，其中$L_G$和$L_{H}$分别是$G$和$H$的拉普拉斯矩阵。注意到任何算法都需要$Ω(m)$时间来构造谱稀疏器，并且$G$的谱稀疏器需要$Ω(n)$边缘，一个自然的问题是调查，对于任何常数$\varepsilon$，是否可以在$\tilde{O}(m)$时间内构造具有$O(n)$边缘的$G$的$(1+\varepsilon)$ -谱稀疏器，其中$\tilde{O}$符号抑制多对数因子。所有以前的频谱稀疏化的建设需要超线性数量的边缘或$m^{1+Ω(1)}$时间。在这项工作中，我们肯定地回答这个问题，提出了一个算法，对于任何无向图$G$和$\varepsilon>0$，输出一个$(1+\varepsilon)$ -频谱稀疏的$G$与$O(n/\varepsilon^2)$边在$\tilde{O}(m/\varepsilon^{O(1)})$时间。我们的算法是基于三个新的技术：（1…
2017-02-27 cs.DS cs.LG
Additive Sparsification of CSPs
本文证明了所有布尔约束满足问题（CSP）及非布尔域CSP在新概念下均存在加性稀疏器，扩展了图与超图的加性稀疏化理论。
2023-09-19 cs.DM cs.DS
Sublinear Time Hypergraph Sparsification via Cut and Edge Sampling Queries
图或超图的稀疏化问题在保持其割结构的同时得到了广泛的研究，并有许多应用。Benczúr和Karger（1996）在一项开创性的工作中证明了，给定任何$n$ -顶点无向加权图$G$和一个参数$\varepsilon \in (0,1)$，存在一个近线性时间算法，该算法输出$G$的一个大小为$\tilde{O}(n/\varepsilon^2)$的加权子图$G'$，使得$G$中每个割的权重保持在$G'$中的一个$(1 \pm \varepsilon)$ -因子内。图$G'$被称为$G$的{ \em $(1 \pm \varepsilon)$ -近似切割稀疏因子}。最近的后续工作得到了类似的结果，更一般的超图削减稀疏的问题。然而，所有已知的稀疏化算法都需要$Ω(n + m)$时间，其中$n$表示超图中顶点的数量，而$m$表示超图中超边的数量。由于$m$在$n$中可以是指数大的，一个自然的问题是是否可以在$n$中的时间多项式中创建超图割稀疏因子，{ \em独立于边的数量}。我们解决这个问题的肯定，给出了第一次次线性时间算法，这个问题，给出了适当的查询访问超图。
2021-06-18 cs.DS
Spectral Subspace Sparsification
我们介绍了一种新的方法，频谱稀疏近似的二次形式的伪逆的图拉普拉斯限制到一个子空间。我们表明，稀疏子空间的维度中的边缘的近线性数量存在。我们的设置概括了舒尔补充稀疏。我们的方法通过对输入图的均匀随机生成树进行采样，并使用该树来指导合同，删除和重新加权边缘的边缘消除过程来产生稀疏器。在舒尔补稀疏的背景下，我们的方法有两个好处比以前的工作。首先，它在几乎线性的时间内产生一个稀疏器，而不依赖于期望的误差。我们直接利用这一点来计算近似的有效电阻的一小组顶点对在更快的时间比以前的工作（Durfee-Kyng-Peeke-Rao-Sachdeva '17）。其次，它产生的稀疏，是重新加权的输入图的未成年人。其结果是，我们给出了一个接近最优的答案的一个变种的施泰纳点去除问题。我们的算法的一个关键组成部分是一个子程序的独立利益：一个近线性时间算法，给定一组选定的顶点，建立一个数据结构，我们可以查询一个乘法近似的两个顶点之间的有效电阻的减少后，确定所有的顶点在选定的集合到一个单一的顶点与逆多项式额外的附加误差在近恒定的时间。
2018-10-07 cs.DM cs.DS
A Theory of Spectral CSP Sparsification
本文提出CSP谱稀疏化理论，定义谱能量与谱稀疏化器，给出域仿射CSP的近二次大小谱稀疏化算法，并推广Cheeger不等式至偶元XOR CSP，连接组合扩张与解析性质。
2025-04-22 cs.DS
Refined Vertex Sparsifiers of Planar Graphs
我们研究以下版本的切割稀疏化。给定一个具有$k$终端顶点的大边加权网络$G$，将其压缩为具有相同终端的较小网络$H$，使得$H$中的每个最小终端割近似于$G$中的对应最小终端割，直到称为质量的因子$q\geq 1$。(The情况$q=1$也被称为模仿网络）。我们提供了新的见解最小终端切割的结构，导致新的结果切割稀疏平面图。我们的第一个贡献确定了一个子集的最小终端削减，我们称之为小学，产生所有其他的。因此，$H$是割稀疏化子当且仅当它保留所有的基本终端割（直到这个因子$q$）。这种结构表征导致$H$的大小的改进的界限。例如，它将平面图的模仿网络大小的界提高到一个近似最优的界。我们的第二个和主要的贡献是完善已知的界限方面的$γ=γ(G)$，这是定义为最小数量的面是入射到所有终端的平面图$G$。我们证明了初等终端割的数目是$O((2k/γ)^{2γ})$（与$O(2^k)$终端割相比），并进一步得到了一个大小为$O(γ2^{2γ} k^4)$的模仿网络，它是$γ$的函数。在分析中，我们将基本的终端切割分成碎片，并仔细计数。我们的第三个贡献是切割稀疏化和距离稀疏化的某些平面图之间的对偶，当稀疏$H$要求是一个小的$G$。这种对偶性连接了以前分别研究的问题，这意味着新的结果，已知结果的新证明，以及开放间隙之间的等价性。
2019-10-04 cs.DS
Nearly Tight Spectral Sparsification of Directed Hypergraphs by a Simple Iterative Sampling Algorithm
针对有向超图谱稀疏化，提出首个构造 $O^*(n^2)$ 大小 $\varepsilon$-谱稀疏化器的迭代采样算法，达到最优界，并给出非平凡下界，同时扩展至无向情形。
2023-05-11 cs.DS
A Distributed Algorithm for Spectral Sparsification of Graphs with Applications to Data Clustering
谱稀疏化是一种用于减少半正定矩阵中非零元素的数量而对其谱几乎没有改变的技术。特别地，谱稀疏化的主要应用是构造其谱接近给定稠密图的稀疏图。我们研究谱稀疏化的假设下，一个图的边缘之间分配的网站，可以相互沟通。在这项工作中，我们表明，如果一个图是分配在几个网站之间，工会的频谱稀疏的每个诱导子图给我们一个频谱稀疏的原始图。在文献中的其他作品相比，我们提出了精确的计算的近似因子的联盟的谱稀疏，并给出了明确的计算的边缘权重。然后，我们提出了一个应用程序，这个结果的数据聚类在额头上的数字模型的多方通信复杂性时，输入数据分配为一个向日葵之间的网站在党。
2020-12-16 cs.DS math.CO
Graph Sparsification via Refinement Sampling
图G '（V，E'）是G的一个\eps -稀疏化，对于某个\eps >0，如果G'中的每个（加权）割都在G中相应割的（1个\pm \eps）之内. Benczur和Karger的一个著名结果表明，对于任意的无向图G，可以在O（m \log^2 n）时间内构造一个O（nPDMATHABMO n/ \e^2）边的\eps -稀疏化.现代大规模数据集的应用程序通常会限制算法使用限制随机访问输入的计算模型。半流模型，其中的算法被限制使用\tilde O（n）空间，已被证明是一个很好的抽象分析图算法在应用程序中的大型数据集。最近，Anh和Guha提出了一种用于图稀疏化的半流算法;其实现的总运行时间为Ω（mn），对于空间和时间都很重要的应用程序来说太大了。本文介绍了一种新的图稀疏化技术--精细采样，并给出了一种\tilde{O}（m）时间的图稀疏化半流算法.具体来说，我们表明，细化采样可以用来设计一个单程流算法的稀疏化，需要O（\log \log n）的时间每边，使用O（\log^2 n）的空间每个节点，并输出一个\eps稀疏与O（n \log^3 n/ \eps^2）的边缘。在稍微增加空间和时间复杂度的情况下，我们可以将稀疏器的大小减少到O（n \log n/ \e^2）个边缘，以匹配Benczur-Karger结果，同时改进m=ω（n \log^3 n）的Benczur-Karger运行时…
2010-04-27 cs.DS
Fully Dynamic Spectral and Cut Sparsifiers for Directed Graphs
本文研究有向图的完全动态稀疏化，提出保持度平衡的谱近似及面向部分对称化图、β-平衡图的动态谱与割稀疏化算法，并给出 polylog 级更新时间和稀疏化规模保证。
2025-07-25 cs.DS
Fully Dynamic Spectral Sparsification of Hypergraphs
本文提出了首个针对无向加权超图的完全动态谱稀疏化算法，通过将基于 spanner 的稀疏化算法动态化，在超边插入和删除下高效维护谱稀疏化器，扩展了普通图的动态谱稀疏化框架。
2025-02-03 cs.DS
Faster Cut Sparsification of Weighted Graphs
割稀疏器是一个重新加权的子图，它将原始图的割的权重保持到$(1\pmε)$的乘法因子。本文考虑计算大小为$O(n\log (n)/ε^2)$的加权图的割稀疏子。我们的算法计算这样一个稀疏的时间$O(m\cdot\min(α(n)\log(m/n),\log (n)))$，无论是多项式有界和无界整数权重的图形，其中$α(\cdot)$是阿克曼函数的功能逆。这改进了Benczúr和Karger（SICOMP 2015）的最新技术，后者需要$O(m\log^2 (n))$时间。对于无界权重，这直接给出了切割稀疏化的最佳已知结果。再加上Fung等人的算法（SICOMP 2019）的预处理，这也给出了多项式加权图的最佳结果。因此，这意味着最快的近似最小割算法，无论是多项式和无界权重的图。特别是，我们表明，它是可以适应的最先进的算法的冯等。加权图，通过让部分最大生成森林（MSF）包装的地方Nagamochi-Ibaraki（NI）森林包装。MSF填充之前已经由Abraham等人（FOCS 2016）在动态设置中使用，并且定义如下：$M$ -$G$的部分MSF填充是一个集合$\mathcal{F}=\{F_1, \dots, F_M\}$，其中$F_i$是$G\setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}F_j$中的最大生成森林。我们的方法计算（充分估计）的MSF包装是我们的稀疏化算…
2022-04-28 cs.DS
Friendly Cut Sparsifiers and Faster Gomory-Hu Trees
我们设计了新的切割稀疏因子，与Nagamochi和Ibaraki的经典稀疏化相关[Jummica，1992]，这是一种算法，给定$n$节点上的未加权图$G$和参数$k$，计算具有$O(nk)$边的子图，该子图保留$k$的所有切割值。我们提出了友好切割稀疏因子的概念，它是$G$的一个未成年人，它保留了$k$的所有友好切割值，其中$G$中的切割被称为友好的，如果每个节点有更多的边将其连接到切割的自己一侧而不是另一侧。我们提出了一个算法，给定一个简单的图$G$，计算在几乎线性时间的友好切割稀疏与$\tilde{O}(n \sqrt{k})$边缘。使用类似的技术，我们还展示了如何，另外一个终端集$T$，人们可以计算在几乎线性时间的终端稀疏，它保留了最小的$st$ -削减之间的每对终端，与$\tilde{O}(n \sqrt{k} + |T| k)$边缘。将这些稀疏器插入到最近的用于构造简单图的Gomory-Hu树的$n^{2+o(1)}$时间算法中，以及用于处理不友好的最小割的相对简单的过程，我们改进了中等密集图的运行时间（例如，具有$m=n^{1.75}$边缘）。特别地，假设线性时间最大流算法，新的Gomory-Hu树的最新技术是我们的$(m+n^{1.75})^{1+o(1)}$和已知的$m n^{1/2+o(1)}$之间的最小值。我们进一步研究这种方法的局限性和更好的稀疏化的可能性。…
2021-10-29 cs.DS
On Fully Dynamic Graph Sparsifiers
我们开始研究图稀疏化问题的动态算法，并获得完全动态的算法，允许边插入和边删除，每次更新后在图中需要多对数时间。我们的三个主要结果如下。首先，我们给出了一个完全动态的算法来维持一个$ (1 \pm ε) $ -频谱稀疏器与摊销的更新时间$poly(\log{n}, ε^{-1})$。其次，我们给出了一个完全动态的算法来维护一个$ (1 \pm ε) $ -cut稀疏化器与\emph{worst-case}更新时间$poly(\log{n}, ε^{-1})$。两个稀疏化器都具有大小$ n \cdot poly(\log{n}, ε^{-1})$。第三，我们应用我们的动态稀疏算法，以获得一个完全动态的算法保持$(1 + ε)$ -近似值的最大流在一个未加权的，无向的，二分图与摊销更新时间$poly(\log{n}, ε^{-1})$。
2016-10-07 cs.DS
Graph Sparsification by Effective Resistances
我们提出了一个近线性时间算法，产生高质量的加权图稀疏。给定一个加权图$G=(V,E,w)$和一个参数$ε>0$作为输入，我们生成$G$的一个加权子图$H=(V,\tilde{E},\tilde{w})$，使得$|\tilde{E}|=O(n\log n/ε^2)$和对于所有向量$x\in\R^V$ $(1-ε)\sum_{uv\in E}(x(u)-x(v))^2w_{uv}\le \sum_{uv\in\tilde{E}}(x(u)-x(v))^2\tilde{w}_{uv} \le (1+ε)\sum_{uv\in E}(x(u)-x(v))^2w_{uv}. (*)$，这改进了Spielman和Teng构造的稀疏子，对于一些大的常数$c$，它有$O(n\log^c n)$边，以及Benczúr和Karger构造的稀疏子，对于$x\in\{0,1\}^V$，它只满足（*）。在我们的算法中的一个关键成分是一个子程序的独立利益：一个接近线性的时间算法，建立一个数据结构，我们可以查询的近似有效电阻之间的任何两个顶点在图中的$O(\log n)$时间。
2009-11-18 cs.DS
Spectral Sparsification and Regret Minimization Beyond Matrix Multiplicative Updates
MIT CSAIL（麻省理工学院计算机科学与人工智能实验室）；Boston University（波士顿大学）
在本文中，我们提供了一个新的构造的线性大小的谱稀疏的Batson，Spielman和Srivastava [BSS 14]。虽然以前的构造需要$Ω(n^4)$运行时间[BSS 14，Zou 12]，但我们的稀疏化例程可以在几乎二次的运行时间$O(n^{2+\varepsilon})$中实现。我们工作的基本概念新颖性是利用稀疏化和密度矩阵上的遗憾最小化问题之间的强连接。已知这种连接通过应用矩阵乘法权重更新（MWU）[CHS11，Vis14]提供了Spielman和Srivastava [SS11]随机稀疏因子的解释。在本文中，我们解释了矩阵MWU如何自然地出现，作为一个例子，跟随正规化领导者框架和推广这种方法，以产生更大的一类更新。这个新类使我们能够加速线性大小的谱稀疏器的构建，并对Batson，Spielman和Srivastava [BSS 14]背后的动机提供新的见解。
2015-06-16 cs.DS cs.LG math.OC
Optimal Vertex-Cut Sparsification of Quasi-Bipartite Graphs
在点割稀疏化中，给定一个图$G=(V,E)$，其终端集为$T\subseteq V$，我们希望构造一个具有$T\subseteq V'$的图$G'=(V',E')$，使得对于每两个终端集$A,B\subseteq T$，$G'$中的最小$(A,B)$ -点割的大小与$G$中的相同.在最基本的设置中，$G$是不加权和无向的，我们希望通过$k=|T|$的函数来限制$G'$的大小。Kratsch和Wahlström [JACM 2020]证明了每个图$G$（可能有向），允许一个顶点切割稀疏化器$G'$，其顶点为$O(k^3)$，实际上可以在随机多项式时间内构造。我们研究（可能有向）图$G$是准二部，即，证明了$T$中的每条边至少有一个端点，并证明了它们允许一个顶点割稀疏算子，该稀疏算子具有$O(k^2)$边和顶点，并且实际上可以在确定性多项式时间内构造.事实上，这个界限自然地扩展到所有具有小分隔符的图，以划分有界大小的集合。最后，我们证明了信息理论上的一个近似匹配的下限，即，$\tildeΩ(k^2)$边是稀疏化拟二部无向图所必需的。
2022-07-04 cs.DS
Faster spectral sparsification and numerical algorithms for SDD matrices
我们研究算法的谱图稀疏化。输入是具有$n$顶点和$m$边的图$G$，并且输出是在代数意义上近似$G$的稀疏图$\tilde{G}$。具体地，对于所有向量$x$和任何$ε>0$，$\tilde{G}$满足$$ (1-ε) x^T L_G x \leq x^T L_{\tilde{G}} x \leq (1+ε) x^T L_G x, $$，其中$L_G$和$L_{\tilde{G}}$分别是$G$和$\tilde{G}$的拉普拉斯算子。我们发现，已知的最快的算法计算的稀疏与$O(n\log n/ε^2)$边缘实际上可以运行在$\tilde{O}(m\log^2 n)$的时间，$O(\log n)$因子比以前更快。我们还提出了更快的稀疏化算法略密图。具体来说，我们给出了一个算法，运行在$\tilde{O}(m\log n)$时间和生成一个稀疏与$\tilde{O}(n\log^3{n}/ε^2)$边缘。这意味着，一个稀疏与$O(n\log n/ε^2)$边缘可以计算在$\tilde{O}(m\log n)$时间的图与$O(n\log^4 n)$边缘以上。我们还给出了一个$\tilde{O}(m)$时间算法的图有多个$n\log^5 n (\log \log n)^3$边的多项式有界的重量，和一个$O(m)$算法的未加权图有多个$n\log^8 n (\log \log n)^3 $边和…
2013-11-16 cs.DS
Chaining, Group Leverage Score Overestimates, and Fast Spectral Hypergraph Sparsification
给出了给定任意$n$ -点、$m$ -边、秩的$r$超图在近线性$\widetilde{O}(mr)$时间内构造一个具有$O(n \varepsilon^{-2} \log n \log r)$超边的谱稀疏子的算法.这在规模和效率上都优于之前最佳规模为$O(\min\{n \varepsilon^{-4} \log^3 n,nr^3 \varepsilon^{-2} \log n\})$、运行时间为$\widetilde{O}(mr + n^{O(1)})$的工作线（Bansal-Svensson-Trevisan 2019，Kapralov-Krauthgamer-Tardos-Yoshida 2021）。独立的结果：在一个独立的工作，李（李2022）还展示了如何计算一个谱超图稀疏与$O(n \varepsilon^{-2} \log n \log r)$超边。
2022-09-21 cs.DS math.PR
Near-optimal Hypergraph Sparsification in Insertion-only and Bounded-deletion Streams
针对仅插入流，提出超图割稀疏化算法，空间复杂度 $\tilde{O}(nr/\epsilon^2)$，匹配静态设置，并证明与动态流存在 $\Omega(\log m)$ 因子分离。
2025-04-22 cs.DS
Vertex Sparsifiers and Abstract Rounding Algorithms
在\cite{M}中引入了顶点稀疏化的概念，其中示出了对于任何图$G = (V, E)$和$k$终端$K \subset V$的子集，存在多项式时间算法来仅在终端集上构造图$H = (K, E_H)$，使得同时对于所有切割$(A, K-A)$，将$A$与$K -A$分开的$G$中的最小切割值与$H$中的相应切割值大致相同。我们给出了第一个超常数下界如何以及切割稀疏$H$可以同时近似所有最小切割$G$。我们证明了一个下界的$Ω(\log^{1/4} k)$ -这是多项式相关的$O(\log k/\log \log k)$已知的上界。这是对\cite{LM}中给出的$Ω(\log \log k)$界的指数级改进，该界实际上是为了更强的顶点稀疏化保证，并且不适用于切割稀疏器。尽管有这个负面的结果，我们表明，对于许多自然问题，我们不需要招致我们的减少乘法处罚。得到了最优的$O(\log k)$竞争Steiner不经意路由方案，推广了\cite{R}中的结果.我们还表明，对于广泛的图包装问题（其中包括最大并发流，最大多流和组播路由，除其他外，作为一个特殊情况），线性规划的完整性差距总是在最多$O(\log k)$倍的完整性差距限制树。这一结果有助于解释$O(\log k)$对此类问题的保证的普遍性。最后，我们使用我们的想法，给出一个有效的顶点稀疏匹配当前最好的存在结果的构造-这是以前开放的。…
2010-06-23 cs.DS
Beyond Cut Balance: Spectral Sparsification of the Nonlinear Directed Laplacian
National Institute of Informatics（国立情报学研究所）
本文研究有向图非线性拉普拉斯能量的谱稀疏化，证明割平衡既不充分也不必要，并给出锦标赛的近线性谱稀疏化算法，同时揭示其蕴含流优化信息。
2026-09-09 cs.DS math.SP
Partially-Dynamic All-Pairs Maxflow and Effective Resistance via Stable Sparsifiers
University of Vienna（维也纳大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；University of Toronto（多伦多大学）
针对部分动态无向加权图，提出基于稳定谱稀疏化的随机数据结构，可近优维护全对最大流与有效电阻的(1±ε)近似，在自适应对抗下高概率成功。
2026-08-27 cs.DS
Graph Sparsification by Universal Greedy Algorithms
图稀疏化是指用一个稀疏图来近似任意的图，在社交网络的简化、最小二乘问题、对称正定线性方程组的数值求解等方面有着广泛的应用。本文受著名的稀疏信号恢复算法正交匹配追踪（OMP）的启发，提出了一种确定性的，贪婪边选择算法称为通用贪婪方法（UGA）的图稀疏化。对于一般的频谱稀疏化问题，例如，正子集选择问题，提出了一种非负的UGA算法，该算法需要$\mathbb{R}^n$时间来找到一个具有正系数的$\frac{1+ε/β}{1-ε/β}$ -谱稀疏子，该稀疏子具有稀疏性$\le\lceil\frac{n}{ε^2}\rceil$，其中$β$是向量的最小长度与最大长度之比.证明了非负UGA算法的收敛性。对于图的稀疏化问题，本文提出了另一种UGA算法，该算法在适当的假设条件下，可以在$O(m+n^2/ε^2)$时间内从一个具有$m$边和$n$顶点的图输出一个具有$\lceil\frac{n}{ε^2}\rceil$边的$\frac{1+O(ε)}{1-O(ε)}$ -谱稀疏因子.这是一个线性时间算法，根据图稀疏化社区正在寻找的边的数量。据作者所知，文献中的最佳结果是存在一个几乎是线性的确定性算法，即对于某些$o(1)=O(\frac{(\log\log(m))^{2/3}}{\log^{1/3}(m)})$的$O(m^{1+o(1)})$。最后，广泛的实验结果，包括应用图聚类和最小二乘回归，表…
2021-02-21 cs.DS
Nearly Optimal Submodular Sparsification, with and without Cardinality Constraints
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Hefei National Laboratory（合肥国家实验室）
研究在基数约束（子集大小不超过k）下，子模函数和的稀疏化能否降低稀疏子大小，提出大小为O(n k^2 log n)的稀疏子构造，并证明某些自然族无法达到(k log n)^{O(1)}大小。
2026-11-04 cs.DS
Better Sparsifiers for Directed Eulerian Graphs
本文针对有向欧拉图的光谱稀疏化问题，提出了改进的构造方法，将边数从最优的 Ω(nε^{-2}log^4 n) 降低到 O(nε^{-2}log^2 n log^2 log n + nε^{-4/3}log^{8/3} n)，并给出了更快的构造算法。
2023-11-10 cs.DS
Sparsifying Cayley Graphs on Every Group
本文证明任意群上的Cayley图均存在仅保留polylog(|G|)/ε²个生成元的谱稀疏器，提供高效算法，并揭示了其与非阿贝尔群线性方程稀疏化的本质区别。
2025-08-11 cs.DS math.CO
Fast Dynamic Cuts, Distances and Effective Resistances via Vertex Sparsifiers
我们提出了一个通用的框架，设计有效的动态近似算法优化无向图。特别是，我们开发了一种技术，任何问题，承认一定的概念顶点稀疏，给出数据结构，保持近似的解决方案，在次线性更新和查询时间。我们说明了我们的范例的适用性，以下列问题。(1)一个完全动态的算法，近似所有对最大流量/最小切割到一个接近对数的因子在$\tilde{O}(n^{2/3})$摊销时间对一个不经意的对手，和$\tilde{O}(m^{3/4})$时间对自适应对手。(2)一种增量数据结构，它以$n^{o(1)}$时间为单位维护$O(1)$ -近似最短路径，以$\tilde{O}(n^{2/3+o(1)})$分摊时间为单位维护全动态近似所有对最短路径和转运。(3)一种全动态算法，可将所有对的有效电阻近似为$\tilde{O}(n^{2/3+o(1)} ε^{-O(1)})$中的$(1+ε)$因子，每个操作的分摊更新时间。结果（1）背后的关键工具是Madry [FOCS' 10]算法构造的动态维护，它将图划分为更简单的图结构（称为j树）的集合，并近似捕获图的割流和度量结构。（2）的$O(1)$近似保证是通过[Thorup-Zwick JACM '05]调整距离预言。结果（3）是通过以分层方式调用[Durfee et al. STOC `19]的基于随机游走的谱顶点稀疏器，同时仔细跟踪分层中的级别之间的追索权而获得的。
2020-05-05 cs.DS
Cut Sparsification of the Clique Beyond the Ramanujan Bound: A Separation of Cut Versus Spectral Sparsification
我们证明了随机$d$ -正则图，有很高的概率，是近似误差至多为$\left(2\sqrt{\frac 2 π} + o_{n,d}(1)\right)/\sqrt d$的团的割稀疏子，其中$2\sqrt{\frac 2 π} = 1.595\ldots$和$o_{n,d}(1)$表示依赖于$n$和$d$的误差项，如果我们先取极限$n\rightarrow \infty$，然后取极限$d \rightarrow \infty$，则该误差项趋于零.这是通过使用Jagannath和Sen从统计物理学思想中获得的技术分析线性大小切割，并通过鞅不等式分析小切割来建立的。我们还证明了新的下界谱稀疏的集团。若$G$是该团的谱稀疏子，且$G$具有平均度$d$，则只要$G$的加权邻接矩阵是一个双随机矩阵（的倍数），或者$G$满足一定的高“奇伪围长”性质，我们证明了逼近误差至少是$d$ -正则Ramanujan图所满足的“Ramanujan界”$(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$.第一种情况可以被看作是“对称双随机矩阵的阿隆-博帕纳定理”，表明具有$dn$非零元素的对称双随机矩阵具有至少$(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$大小的非平凡特征值;第二种情况推广了Srivastava和Trevisan的下界，这需要大围长假设。总之，这些结果意味着频谱稀疏化和切割稀疏化之间的分离。如果…
2021-10-31 cs.DM cs.DS math.CO
Sparsification of Monotone $k$-Submodular Functions of Low Curvature
由Benczur和Karger开创的图中的切割[STOC'96]，稀疏化是一个具有广泛应用的基本主题，已被研究，例如，对于图和超图，在组合和谱设置中，并且具有加法和乘法误差界。Rafiey和Yoshida最近考虑了可分解子模函数的稀疏化[AAAI'22]。我们扩展他们的工作，提出了一个有效的算法的稀疏单调$k$ -次模函数的低曲率。
2023-02-06 cs.DM cs.DS
Similarity-Aware Spectral Sparsification by Edge Filtering
Michigan Technological University（密歇根理工大学）
本文提出一种基于相似性感知的谱稀疏化框架，通过高效的谱离树边嵌入和过滤方案，构造具有保证谱相似性的稀疏图。引入迭代图密集化方案，有效过滤高病态问题中的离树边。
2018-04-07 cs.DS cs.NA cs.SI
Quantum Speedup for Hypergraph Sparsification
针对超图稀疏化问题，提出了首个运行时间为$\widetilde O(r\sqrt{mn}/\varepsilon)$的量子算法，匹配常数秩下的量子下界，并实现了对经典算法的量子加速。
2025-05-03 cs.DS quant-ph
An Online Sparsification Algorithm from the Book
University of Vienna（维也纳大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；University of Toronto（多伦多大学）
研究自适应流中在线谱稀疏化算法是否有效，提出带演变各向同性映射的Freedman型矩阵鞅不等式，证明原始算法对自适应对手稳健，给出近最优大小且工作内存与稀疏化矩阵大小成比例的算法，谱图稀疏化时有接近线性时间实现。
2026-07-28 cs.DS
GRASS: Graph Spectral Sparsification Leveraging Scalable Spectral Perturbation Analysis
谱图稀疏化的目的是寻找超稀疏子图，其拉普拉斯矩阵能够很好地逼近原始拉普拉斯特征值和特征向量。近年来，谱稀疏技术被广泛研究，以加速各种数值和图形相关的应用。现有的近线性时间谱稀疏化方法首先从原始图中提取低拉伸生成树以形成稀疏器的主干，然后将小部分谱关键离树边缘恢复到生成树以显著提高近似质量。然而，目前还不清楚有多少离树边缘应恢复，以实现所需的频谱相似性水平内的稀疏。受最近的图形信号处理技术的启发，本文提出了一个相似性感知的频谱图稀疏化框架，利用有效的频谱离树边缘嵌入和过滤方案，以保证频谱相似性（相对条件数）水平的频谱稀疏器。一个迭代的图形致密化计划也被引入，以促进高效和有效的过滤高度病态的问题的离树边缘。所提出的方法已被验证，使用各种图形从公共领域稀疏矩阵收集相关的VLSI CAD，有限元分析，以及社会和数据网经常在许多机器学习和数据采掘应用研究。例如，使用单个CPU核心和大约6 GB内存，可以在两分钟内解决具有4000万个未知数和1.8亿个非零的稀疏SDD矩阵（1 E-3精度级别）。
2020-04-29 cs.DS cs.NA cs.SI
Analysis of Kelner and Levin graph sparsification algorithm for a streaming setting
INRIA Lille - Nord Europe（法国国家信息与自动化研究所里尔-诺尔欧洲中心）
我们推导了一个新的证明，表明Kelner和Levin（2013）提出的增量再稀疏算法以高概率产生谱稀疏器。我们严格考虑到后续的重新解析使用鞅不等式的依赖关系，修复了原始分析中的一个缺陷。
2016-09-13 cs.DS cs.LG stat.ML
Code Sparsification and its Applications
本文提出线性码的 $(1±ε)$-稀疏化概念，证明其大小可达 $\widetilde{O}(k\log q/ε^2)$，并统一推出割稀疏化结果及 CSP、Cayley 图谱稀疏化应用。
2023-11-01 cs.DS
Local Algorithms for Bounded Degree Sparsifiers in Sparse Graphs
在图稀疏化中，目标几乎总是具有{全局}性质：将图压缩成较小的子图（{sparsifier}），以保持原始图的某些特征。然后算法可以在稀疏器上运行，这在许多情况下会导致整体运行时间和内存的改进。本文研究了具有有界（最大）度的稀疏因子，因此是{局部}稀疏的，旨在提高运行时间和内存的局部度量。为了改进这些局部度量，重要的是能够{本地}计算这样的稀疏因子。本文首先研究了无权稀疏图中有界度稀疏算子的局部算法，主要研究了顶点覆盖、匹配和独立集等问题。令$ε> 0$为松弛参数，而$α\ge 1$为密度参数。我们设计了计算以下问题的局部算法：（1）对任意{荫度} $α$的图，构造了度为$O(α/ ε)$的$(1+ε)$ -顶点覆盖稀疏子. (2)对于任意荫度图$α$，一个$(1+ε)$-最大匹配稀疏因子和一个度为$O(α/ ε)$的$(1+ε)$ -最大匹配稀疏因子。(3)一个度为$O(α^2 / ε)$的$(1+ε)$无关集稀疏子，对任何平均度为$α$的图.在分布式计算的标准消息传递模型中，我们的算法只需要一个通信轮，而且，它们可以在本地以一种简单的方式进行模拟。作为一个直接的应用程序，我们可以扩展结果从分布式计算和本地计算算法，适用于图的程度有界的$d$图荫度$O(d / ε)$或平均度$O(d^2 / ε)$，在增加近似保证的一个因素的代价$(1+ε)$。特别是，我们可以扩展最近过多的本地计…
2021-05-05 cs.DS
