Sublinear Time Hypergraph Sparsification via Cut and Edge Sampling Queries
图或超图的稀疏化问题在保持其割结构的同时得到了广泛的研究，并有许多应用。Benczúr和Karger（1996）在一项开创性的工作中证明了，给定任何$n$ -顶点无向加权图$G$和一个参数$\varepsilon \in (0,1)$，存在一个近线性时间算法，该算法输出$G$的一个大小为$\tilde{O}(n/\varepsilon^2)$的加权子图$G'$，使得$G$中每个割的权重保持在$G'$中的一个$(1 \pm \varepsilon)$ -因子内。图$G'$被称为$G$的{ \em $(1 \pm \varepsilon)$ -近似切割稀疏因子}。最近的后续工作得到了类似的结果，更一般的超图削减稀疏的问题。然而，所有已知的稀疏化算法都需要$Ω(n + m)$时间，其中$n$表示超图中顶点的数量，而$m$表示超图中超边的数量。由于$m$在$n$中可以是指数大的，一个自然的问题是是否可以在$n$中的时间多项式中创建超图割稀疏因子，{ \em独立于边的数量}。我们解决这个问题的肯定，给出了第一次次线性时间算法，这个问题，给出了适当的查询访问超图。
2021-06-18 cs.DS
Optimal Vertex-Cut Sparsification of Quasi-Bipartite Graphs
在点割稀疏化中，给定一个图$G=(V,E)$，其终端集为$T\subseteq V$，我们希望构造一个具有$T\subseteq V'$的图$G'=(V',E')$，使得对于每两个终端集$A,B\subseteq T$，$G'$中的最小$(A,B)$ -点割的大小与$G$中的相同.在最基本的设置中，$G$是不加权和无向的，我们希望通过$k=|T|$的函数来限制$G'$的大小。Kratsch和Wahlström [JACM 2020]证明了每个图$G$（可能有向），允许一个顶点切割稀疏化器$G'$，其顶点为$O(k^3)$，实际上可以在随机多项式时间内构造。我们研究（可能有向）图$G$是准二部，即，证明了$T$中的每条边至少有一个端点，并证明了它们允许一个顶点割稀疏算子，该稀疏算子具有$O(k^2)$边和顶点，并且实际上可以在确定性多项式时间内构造.事实上，这个界限自然地扩展到所有具有小分隔符的图，以划分有界大小的集合。最后，我们证明了信息理论上的一个近似匹配的下限，即，$\tildeΩ(k^2)$边是稀疏化拟二部无向图所必需的。
2022-07-04 cs.DS
Balancing Weights, Directed Sparsification, and Augmenting Paths
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文提出一种基于随机增广路径的算法，用于计算有向无容量图的最大流，时间复杂度接近m+ nF，改进了Dinic算法在中等稀疏图中的性能。
2026-04-16 cs.DS
Faster Cut Sparsification of Weighted Graphs
割稀疏器是一个重新加权的子图，它将原始图的割的权重保持到$(1\pmε)$的乘法因子。本文考虑计算大小为$O(n\log (n)/ε^2)$的加权图的割稀疏子。我们的算法计算这样一个稀疏的时间$O(m\cdot\min(α(n)\log(m/n),\log (n)))$，无论是多项式有界和无界整数权重的图形，其中$α(\cdot)$是阿克曼函数的功能逆。这改进了Benczúr和Karger（SICOMP 2015）的最新技术，后者需要$O(m\log^2 (n))$时间。对于无界权重，这直接给出了切割稀疏化的最佳已知结果。再加上Fung等人的算法（SICOMP 2019）的预处理，这也给出了多项式加权图的最佳结果。因此，这意味着最快的近似最小割算法，无论是多项式和无界权重的图。特别是，我们表明，它是可以适应的最先进的算法的冯等。加权图，通过让部分最大生成森林（MSF）包装的地方Nagamochi-Ibaraki（NI）森林包装。MSF填充之前已经由Abraham等人（FOCS 2016）在动态设置中使用，并且定义如下：$M$ -$G$的部分MSF填充是一个集合$\mathcal{F}=\{F_1, \dots, F_M\}$，其中$F_i$是$G\setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}F_j$中的最大生成森林。我们的方法计算（充分估计）的MSF包装是我们的稀疏化算…
2022-04-28 cs.DS
Motif Cut Sparsifiers
模体是给定的有向或无向图$G$的频繁出现的子图。模体捕获了$G$的超越边缘关系的高阶组织结构，因此，已经发现了广泛的应用，例如在图聚类、社区发现以及生物和物理网络的分析中，仅举几例。在这些应用中，模体的切割结构起着至关重要的作用，因为顶点被切割分割成簇，切割的传导性是基于特定模体的实例的数量，而不仅仅是交叉切割的边缘的数量。在本文中，我们介绍了模切稀疏的概念。我们可以计算在多项式时间的稀疏加权子图$G'$只有$\widetilde{O}(n/ε^2)$的边缘，使每个切割，$M$的副本的加权数目的$M$交叉切割$G'$是在一个$1+ε$因子的$M$交叉切割$G$的副本的数目，对于每个恒定大小的主题$M$。我们的工作结合了图稀疏化和超图稀疏化的观点。我们采样的边缘，这需要我们扩展和加强的概念，削减稀疏的开创性工作中引入的主题设置。我们适应的重要性采样框架，通过超图稀疏化的观点，从超图的超边表示模体实例的强连通性值导出边缘采样概率。最后，一个迭代稀疏化原语的启发，这两个观点是用来减少边缘的数量在$G$接近线性。此外，我们提出了一个强大的下限排除了类似的结果稀疏诱导发生的图案。
2022-09-12 cs.DS
Sparsification Framework for Directed Densest Subgraph
UC Davis（加州大学戴维斯分校）
提出有向最密子图稀疏化框架，在半流式、MPC和次线性时间设置中实现(1-ε)近似，显著改进现有算法的近似比和复杂度。
2026-10-02 cs.DS
Vertex Sparsification in Trees
给定一个带终端$K \subset V$的未加权树$T=(V,E)$，我们给出了如何得到一个$2$质量的顶点流，以及如何用$V_H = K$切割稀疏子$H$.我们证明了我们的结果本质上是紧的，通过提供一个$2-o(1)$下界的质量上的任何削减稀疏星。此外，我们还对拟二部图给出了改进的结果。首先，我们展示了如何获得一个$2$质量流稀疏与$V_H = K$这样的图。然后，我们考虑另一个极端，并构造精确的稀疏的大小$O(2^{k})$，当输入图是unweighted。
2016-12-09 cs.DS
Breaking the $n^{1.5}$ Additive Error Barrier for Private and Efficient Graph Sparsification via Private Expander Decomposition
本文通过提出私有扩展器分解算法，首次在差分隐私下将高效图割稀疏化的加性误差从 $n^{1.5}$ 降至 $n^{1.25+o(1)}$，同时保持 $1+γ$ 乘性误差和多项式时间。
2025-07-02 cs.DS
Sparsification of Binary CSPs
加权图$G$的割$\varepsilon$ -稀疏子是$G$的一个重加权子图，它具有（准）线性大小，保持所有割的大小直到$\varepsilon$的一个乘法因子。自从Benczúr和Karger [STOC'96]引入以来，切割稀疏器已经证明是非常有影响力的，并找到了各种应用。超越削减稀疏，Filtser和Krauthgamer [SIDMA'17]给出了一个精确的分类，其中二进制布尔CSP是稀疏的。在本文中，我们将他们的结果推广到任意有限域上的二元CSP。
2019-12-13 cs.DM cs.DS
On Weighted Graph Sparsification by Linear Sketching
一个开创性的工作[Ahn-Guha-McGregor，PODS'12]表明，可以计算一个削减稀疏的一个未加权无向图采取近线性数量的线性测量图。随后的工作还研究了使用线性草图计算其他图稀疏因子，并获得了谱稀疏因子的近线性上界[Kapralov-Lee-Musco-Musco-Sidford，FOCS'14]和spatial的第一个非平凡上界[Filtser-Kapralov-Nouri，SODA'21]。然而，所有这些线性草图算法都只适用于未加权的图形。在本文中，我们开始研究加权图稀疏线性素描调查一类自然的线性草图，我们称之为关联草图，其中每个测量是一个线性组合的权重的边缘事件在一个单一的顶点。我们的结果是：1.加权切割稀疏化：我们给出了一个算法，计算$(1 + ε)$削减稀疏使用$\tilde{O}(n ε^{-3})$线性测量，这是近最优的。2.加权频谱稀疏化：我们给出了一个算法，计算一个$(1 + ε)$ -频谱稀疏使用$\tilde{O}(n^{6/5} ε^{-4})$线性测量。补充我们的算法，然后，我们证明了一个超线性下界的$Ω(n^{21/20-o(1)})$测量计算一些$O(1)$ -频谱稀疏使用发病率草图。3.加权平均计算：我们专注于图的最大/最小边的权重相差一个$O(1)$因子，并证明，对于关联草图，由~[Filtser-Kapralov-Nouri，SODA'2…
2022-09-16 cs.DS
Sparsification of Two-Variable Valued CSPs
有值约束满足问题（VCSP）实例$(V,Π,w)$是具有由$w$加权的一组约束$Π$的一组变量$V$。给定一个VCSP实例，我们感兴趣的是重新加权的子实例$(V,Π'\subset Π,w')$，以便在因子$1\pmε$内保留给定实例的值（在对变量的每次赋值下）。一个研究得很好的特例是图中的割稀疏化，它有各种各样的应用。我们证明了由单个布尔谓词$P(x,y)$（例如，对于cut，$P=\mbox{XOR}$）当且仅当满足$O(|V|/ε^2)$的输入的数量不是一（即，$|P^{-1}(1)| \neq 1$）。此外，除非$P$是一个相对平凡的谓词，否则这个稀疏性界限是紧的。我们的结论是，也系统的2SAT（或2LIN）的约束可以稀疏化。
2015-09-06 cs.DS
Cut Sparsification of the Clique Beyond the Ramanujan Bound: A Separation of Cut Versus Spectral Sparsification
我们证明了随机$d$ -正则图，有很高的概率，是近似误差至多为$\left(2\sqrt{\frac 2 π} + o_{n,d}(1)\right)/\sqrt d$的团的割稀疏子，其中$2\sqrt{\frac 2 π} = 1.595\ldots$和$o_{n,d}(1)$表示依赖于$n$和$d$的误差项，如果我们先取极限$n\rightarrow \infty$，然后取极限$d \rightarrow \infty$，则该误差项趋于零.这是通过使用Jagannath和Sen从统计物理学思想中获得的技术分析线性大小切割，并通过鞅不等式分析小切割来建立的。我们还证明了新的下界谱稀疏的集团。若$G$是该团的谱稀疏子，且$G$具有平均度$d$，则只要$G$的加权邻接矩阵是一个双随机矩阵（的倍数），或者$G$满足一定的高“奇伪围长”性质，我们证明了逼近误差至少是$d$ -正则Ramanujan图所满足的“Ramanujan界”$(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$.第一种情况可以被看作是“对称双随机矩阵的阿隆-博帕纳定理”，表明具有$dn$非零元素的对称双随机矩阵具有至少$(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$大小的非平凡特征值;第二种情况推广了Srivastava和Trevisan的下界，这需要大围长假设。总之，这些结果意味着频谱稀疏化和切割稀疏化之间的分离。如果…
2021-10-31 cs.DM cs.DS math.CO
Cut Sparsification and Succinct Representation of Submodular Hypergraphs
本文研究子模超图的割稀疏化与简洁表示，提出了多项式级稀疏器及新参数 spread 以缩小规模，并引入变形概念证明放宽子超图限制可获得更紧凑的割编码。
2024-02-18 cs.DS
Quantum Speedup for Graph Sparsification, Cut Approximation and Laplacian Solving
该研究提出针对图谱稀疏化的多项式量子加速算法，可在亚线性时间内生成带权图的谱稀疏器并达近似最优复杂度，同时实现拉普拉斯系统求解与多类割问题近似的量子加速。
2023-05-08 cs.CC cs.DS quant-ph
Beyond Cut Balance: Spectral Sparsification of the Nonlinear Directed Laplacian
National Institute of Informatics（国立情报学研究所）
本文研究有向图非线性拉普拉斯能量的谱稀疏化，证明割平衡既不充分也不必要，并给出锦标赛的近线性谱稀疏化算法，同时揭示其蕴含流优化信息。
2026-09-09 cs.DS math.SP
A Linear-time Algorithm for Sparsification of Unweighted Graphs
给定一个无向图$G$和一个误差参数$ε> 0$，{ \em图稀疏化}问题需要对$G$中的边进行采样，并给予采样边适当的权重，以获得具有以下性质的稀疏图$G_ε$：$G_ε$中每个割的权重在$G$中相应割的权重的$(1\pm ε)$的因子内。如果$G$是未加权的，则最近已经开发了用于构建具有期望中的$O(n\log n/ε^2)$边缘的$G_ε$的$O(m\log n)$ -时间算法，以及用于构建具有期望中的$O(n\log^2 n/ε^2)$边缘的$G_ε$的$O(m)$ -时间算法（Hariharan-Panigrahi，2010）。在本文中，我们改进了这些结果，给出了一个$O(m)$ -时间算法，用于构造$G_ε$与$O(n\log n/ε^2)$边的期望，无权图。我们的算法是最佳的时间复杂度，此外，没有有效的算法是已知的稀疏$G_ε$。我们的算法是蒙特卡洛，即它产生正确的输出具有高概率，因为所有有效的图稀疏化算法。
2010-05-05 cs.DS
A General Framework for Graph Sparsification
给定一个加权图$G$和一个误差参数$ε> 0$，{ \em图稀疏化}问题要求对$G$中的边进行采样，并赋予采样边适当的权值，以获得一个稀疏图$G_ε$（期望包含O（\log n）条边），该稀疏图具有以下性质：$G_ε$中每个割的权值在$G$中相应割的权值的$(1\pm ε)$的因子之内.我们提供了一个通用的框架，任何特定的采样方案，以产生良好的稀疏的充分条件，并获得一组结果，通过简单的实例化这个框架。（1）对于边权为多项式的图，将图稀疏化的时间复杂度从O（m \log^3 n）提高到O（m + n \log^4 n）。(2)对于具有任意边权值的图，我们将图稀疏化的时间复杂度从O（m \log^3 n）提高到O（m \log^2 n）. (3)如果允许稀疏因子的大小为O（n \log^2 n/ε^2）而不是O（n \log n/ε ^2），则对于具有多项式边权重的图，我们将稀疏化的时间复杂度提高到O（m）。(4)我们表明，使用标准的连通性抽样结果在良好的稀疏，从而解决了一个悬而未决的问题Benczur和Karger。作为一个推论，我们给出了一个简单的证明（一个稍微弱的版本）的结果，由于斯皮尔曼和Srivastava表明，使用有效电阻采样产生良好的稀疏。(5)我们给出了一个简单的证明，表明使用强连通性的采样结果在良好的稀疏，以前获得的结果使用更复杂的证明Benczur和Karger。我…
2010-04-23 cs.DS
Towards Tight Bounds for Spectral Sparsification of Hypergraphs
图的切割和谱稀疏化有许多应用，包括例如加速切割算法和拉普拉斯求解器。这些强大的概念最近被扩展到超图，这是更丰富，并可能提供新的应用。然而，目前超图稀疏器的大小界限并不像图的相应界限那样严格。我们的第一个结果是一个多项式时间算法，给定一个超图的$n$顶点的最大超边大小$r$，输出一个$ε$ -频谱稀疏与$O^*(nr)$超边，其中$O^*$抑制$(ε^{-1} \log n)^{O(1)}$因素。该大小界限改进了先前的两个界限：$O^*(n^3)$ [Soma和Yoshida，SODA'19]和$O^*(nr^3)$ [Bansal，Svensson和Trevisan，FOCS'19]。我们的主要技术工具是一个新的方法证明浓度的非线性模拟的二次形式的拉普拉斯超图扩展。我们补充这一点上的任何压缩方案，$(1+ε)$ -近似在一个给定的超图中的所有削减的位复杂性的下限，因此也对每个$ε$ -削减/频谱稀疏的位复杂性。这些下界基于Ruzsa-Szemerédi图，并且特定的实例化即使对于固定常数$ε$也会产生比特复杂度的$Ω(nr)$下界。这是紧到多对数因子在$n$，由于最近超图削减稀疏的[陈，Khanna和Nagda，FOCS'20]。最后，对于有向超图，我们提出了一个算法，计算一个$ε$ -谱稀疏与$O^*(n^2r^3)$超弧，其中$r$是一个超弧的最大尺寸。对于小$r$，这比从[S…
2021-04-12 cs.DS
Tight Lower Bounds for Directed Cut Sparsification and Distributed Min-Cut
本文针对有向平衡图割近似与局部查询模型下全局最小割近似两个问题，证明了更紧的最优下界，解决了此前的开放问题，并验证了改进后上界与下界的匹配性。
2024-06-19 cs.DS
Improved Guarantees for Vertex Sparsification in Planar Graphs
图稀疏化的目的是将大型图压缩成较小的图，同时保留输入图的重要特征。在这项工作中，我们研究顶点稀疏，即，稀疏器，其目标是减少顶点的数量。（1）给定有向图$G=(V,E)$和具有$|K| = k$的终端顶点$K \subset V$，$G$的（顶点）可达性稀疏因子是有向图$H=(V_H,E_H)$，$K \subset V_H$，它保持终端对之间的所有可达性信息。在这项工作中，我们介绍了可达性保留未成年人（RPM）的概念，即，我们要求$H$是$G$的副修课程。我们证明了任何有向图$G$都允许一个大小为$O(k^3)$的RPM $H$，并且如果$G$是平面的，则$H$的大小提高到$O(k^{2} \log k)$。我们补充我们的上限显示，存在一个无限的家庭的网格，使任何RPM必须有$Ω(k^{2})$顶点。(2)给定一个带权无向图$G=(V,E)$和一个带$|K|=k$的端点$K$，$G$的一个精确（点）割稀疏子是一个带$K \subset V_H$的图$H$，它保持了分离$K$的任何二分划的最小割的值.我们表明，平面图与所有的$k$终端躺在同一个脸上承认确切削减稀疏的大小$O(k^{2})$，也是平面的。我们的结果扩展到流和距离稀疏。它提高了以前最著名的界的$O(k^22^{2k})$切割和流稀疏的指数因子，并匹配这一类图的$Ω(k^2)$下界。
2017-12-27 cs.DS
Near-optimal Hypergraph Sparsification in Insertion-only and Bounded-deletion Streams
针对仅插入流，提出超图割稀疏化算法，空间复杂度 $\tilde{O}(nr/\epsilon^2)$，匹配静态设置，并证明与动态流存在 $\Omega(\log m)$ 因子分离。
2025-04-22 cs.DS
A deterministic polynomial kernel for Odd Cycle Transversal and Vertex Multiway Cut in planar graphs
我们表明，奇循环transmittance和顶点多路切割承认确定性多项式核时，限制到平面图和参数化的解决方案的大小。这就回答了索拉布的一个问题。在获得这些结果的过程中，我们提供了一个高效的稀疏化例程，其风格类似于用于平面图中施泰纳树问题的稀疏化例程（FOCS 2014）。它与以前的工作不同，因为它保留了低成本子图的存在，这些子图不一定是原始平面图中的Steiner树，而是在添加位于公共面上的顶点对之间的所有边后变成Steiner树的结构。我们还展示了顶点多路切割和顶点平面化问题之间的联系，其中多项式核的存在仍然是一个重要的开放问题。
2018-12-12 cs.DS
Vertex Sparsification for Edge Connectivity in Polynomial Time
在顶点稀疏化领域中的一个重要的开放问题是是否存在大小接近终端数的$(1+ε)$ -近似割保持顶点稀疏化器。Chalermsook等人的工作（SODA 2021）介绍了一种称为连通性- $c$模仿网络的松弛，它要求构建一个顶点稀疏器，该稀疏器将$k$终端之间的连通性精确地保持到$c$的值，并显示了动态连通性数据结构和可生存网络设计的应用。我们证明了具有$\widetilde{O}(kc^3)$边的连通性- $c$模仿网络存在，并且可以在$n$和$c$中在多项式时间内构造，改进了Chalermsook等人（SODA 2021）对任何$c \ge \log n$的结果，其运行时间以指数方式依赖于$c$。
2021-01-14 cs.DS
Graph Sparsification via Refinement Sampling
图G '（V，E'）是G的一个\eps -稀疏化，对于某个\eps >0，如果G'中的每个（加权）割都在G中相应割的（1个\pm \eps）之内. Benczur和Karger的一个著名结果表明，对于任意的无向图G，可以在O（m \log^2 n）时间内构造一个O（nPDMATHABMO n/ \e^2）边的\eps -稀疏化.现代大规模数据集的应用程序通常会限制算法使用限制随机访问输入的计算模型。半流模型，其中的算法被限制使用\tilde O（n）空间，已被证明是一个很好的抽象分析图算法在应用程序中的大型数据集。最近，Anh和Guha提出了一种用于图稀疏化的半流算法;其实现的总运行时间为Ω（mn），对于空间和时间都很重要的应用程序来说太大了。本文介绍了一种新的图稀疏化技术--精细采样，并给出了一种\tilde{O}（m）时间的图稀疏化半流算法.具体来说，我们表明，细化采样可以用来设计一个单程流算法的稀疏化，需要O（\log \log n）的时间每边，使用O（\log^2 n）的空间每个节点，并输出一个\eps稀疏与O（n \log^3 n/ \eps^2）的边缘。在稍微增加空间和时间复杂度的情况下，我们可以将稀疏器的大小减少到O（n \log n/ \e^2）个边缘，以匹配Benczur-Karger结果，同时改进m=ω（n \log^3 n）的Benczur-Karger运行时…
2010-04-27 cs.DS
Fully Dynamic Spectral and Cut Sparsifiers for Directed Graphs
本文研究有向图的完全动态稀疏化，提出保持度平衡的谱近似及面向部分对称化图、β-平衡图的动态谱与割稀疏化算法，并给出 polylog 级更新时间和稀疏化规模保证。
2025-07-25 cs.DS
Graph Sparsification in the Semi-streaming Model
分析海量数据集一直是研究流媒体算法的主要动机之一。近年来，在分析流环境中的分布方面取得了重大进展，但在图问题上的进展有限。一个主要的原因是存在的线性空间下界，即使是简单的问题，如确定连通图。然而，在社交及其他交互网络产生的许多新场景中，顶点的数量明显少于边的数量。这导致了半流模型的公式化，其中我们假设空间在顶点数（但不一定是边）上是（接近）线性的，并且边以任意（并且可能是对立的）顺序出现。在本文中，我们专注于图稀疏化，这是在各种图形算法的主要组成部分之一。提供稀疏图近似的（非流）采样算法已经有很长的历史，并且很自然地会问，是否可以使用小空间实现稀疏化，并且还使用单次通过数据？这个问题是有趣的，从理论和实践的角度来看，我们回答这个问题是肯定的，通过提供一个通过$\tilde{O}(n/ε^{2})$空间算法，产生一个稀疏化，近似每个削减一个$(1+ε)$因素。我们还表明，$Ω(n \log \frac1ε)$空间是必要的一个通过流算法来近似的最小切割，改善后的$Ω(n)$下界，所产生的下界测试连接。
2009-05-05 cs.DS
Refined Vertex Sparsifiers of Planar Graphs
我们研究以下版本的切割稀疏化。给定一个具有$k$终端顶点的大边加权网络$G$，将其压缩为具有相同终端的较小网络$H$，使得$H$中的每个最小终端割近似于$G$中的对应最小终端割，直到称为质量的因子$q\geq 1$。(The情况$q=1$也被称为模仿网络）。我们提供了新的见解最小终端切割的结构，导致新的结果切割稀疏平面图。我们的第一个贡献确定了一个子集的最小终端削减，我们称之为小学，产生所有其他的。因此，$H$是割稀疏化子当且仅当它保留所有的基本终端割（直到这个因子$q$）。这种结构表征导致$H$的大小的改进的界限。例如，它将平面图的模仿网络大小的界提高到一个近似最优的界。我们的第二个和主要的贡献是完善已知的界限方面的$γ=γ(G)$，这是定义为最小数量的面是入射到所有终端的平面图$G$。我们证明了初等终端割的数目是$O((2k/γ)^{2γ})$（与$O(2^k)$终端割相比），并进一步得到了一个大小为$O(γ2^{2γ} k^4)$的模仿网络，它是$γ$的函数。在分析中，我们将基本的终端切割分成碎片，并仔细计数。我们的第三个贡献是切割稀疏化和距离稀疏化的某些平面图之间的对偶，当稀疏$H$要求是一个小的$G$。这种对偶性连接了以前分别研究的问题，这意味着新的结果，已知结果的新证明，以及开放间隙之间的等价性。
2019-10-04 cs.DS
Sparsification of Monotone $k$-Submodular Functions of Low Curvature
由Benczur和Karger开创的图中的切割[STOC'96]，稀疏化是一个具有广泛应用的基本主题，已被研究，例如，对于图和超图，在组合和谱设置中，并且具有加法和乘法误差界。Rafiey和Yoshida最近考虑了可分解子模函数的稀疏化[AAAI'22]。我们扩展他们的工作，提出了一个有效的算法的稀疏单调$k$ -次模函数的低曲率。
2023-02-06 cs.DM cs.DS
Cut-Matching Games on Directed Graphs
在[10，13，14]的割匹配框架下，给出了计算有向图稀疏割的O（log^2 n）-近似算法.我们的算法只使用O（log^2n）的单商品最大流计算，从而打破了计算有向图上稀疏割的多商品流障碍
2010-10-06 cs.DS
Code Sparsification and its Applications
本文提出线性码的 $(1±ε)$-稀疏化概念，证明其大小可达 $\widetilde{O}(k\log q/ε^2)$，并统一推出割稀疏化结果及 CSP、Cayley 图谱稀疏化应用。
2023-11-01 cs.DS
Single pass sparsification in the streaming model with edge deletions
在本文中，我们给出了一个结构的削减稀疏的Benczur和Karger在{ \em动态}流设置在一个单一的通过数据流。以前的构造要么需要多次走刀，要么无法处理边删除。我们使用$\tilde{O}(1/\e^2)$时间为每个流更新和$\tilde{O}(n/\e^2)$时间来构建一个稀疏。我们的$\e$ -稀疏器有$O(n\log^3 n/\e^2)$边。我们的研究结果背后的主要工具是Ahn等人的草图技术的应用。[SODA 12]来估计边缘连通性，以及具有有限独立性和稀疏恢复的采样的新应用，以产生稀疏器的边缘。
2012-03-22 cs.DS
Minimum Cut of Directed Planar Graphs in O(nloglogn) Time
本文给出了一个计算加权有向平面图的最小割（或等价地，最短圈）的$O(n \log \log n)$时间算法。这改进了以前最快的$O(n\log^3 n)$解决方案。有趣的是，虽然在无向平面图中，最小割和最小$st$ -割都有$O(n \log \log n)$解，但在有向平面图中，我们的结果使最小割比最小$st$ -割更快，目前需要$O(n \log n)$。
2016-11-12 cs.DS
Exact Flow Sparsification Requires Unbounded Size
给定一个大的边容量网络$G$和一个称为终端的$k$顶点子集，（精确）流稀疏器是一个小网络$G'$，它（精确）保留所有可以在终端之间路由的多商品流。流稀疏器由Leighton和Moitra [STOC 2010]引入，并已在许多算法环境中进行了研究和使用。一个基本的问题，仍然开放了十多年，问是否每个$k$终端网络承认一个确切的流稀疏，其大小是有界的一些功能$f(k)$（无论大小的$G$或其能力）。我们解决这个问题的否定证明存在$6$终端网络$G$的流稀疏$G'$必须有任意大的大小。这种无界性可能令人惊讶，因为保留所有终端切割的类似稀疏化（称为精确切割稀疏化器或模仿网络）允许大小为$f_0(k)\leq 2^{2^k}$的稀疏化器[Hagerup，Katajainen，Nishimura和Ragde，JCSS 1998]。我们通过分析网络中所有可行需求的集合（称为需求多面体）来证明我们的结果。我们确定了这个多面体的不变量，基本上是某些方面的斜率，可以任意大，甚至$k=6$，并意味着一个明确的下限的网络的大小。我们进一步使用这种技术来回答Seymour [JCTB 2015]关于仅使用收缩并保留一个需求向量的不可行性的流稀疏化的公开问题。
2022-08-03 cs.DS
Spectral Sparsification of Hypergraphs
对于一个无向/有向超图$G=(V,E)$，定义它的拉普拉斯$L_G\colon\mathbb{R}^V\to \mathbb{R}^V$，使得它的“二次形式”$\boldsymbol{x}^\top L_G(\boldsymbol{x})$捕获$G$的割信息。特别地，$\boldsymbol{1}_S^\top L_G(\boldsymbol{1}_S)$与$S \subseteq V$的切割尺寸一致，其中$\boldsymbol{1}_S \in \mathbb{R}^V$是$S$的特征向量。一个超图$G$在顶点集$V$上的加权子图$H$称为$G$的$ε$ -谱稀疏子，如果对每个$\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^V$都有$(1-ε)\boldsymbol{x}^\top L_H(\boldsymbol{x}) \leq \boldsymbol{x}^\top L_G(\boldsymbol{x}) \leq (1+ε)\boldsymbol{x}^\top L_H(\boldsymbol{x})$成立.在本文中，我们提出了一个多项式时间算法，给定一个无向/有向超图$G$的$n$顶点，构造一个$ε$ -谱稀疏的$G$与$O(n^3\log n/ε^2)$超边/超弧。所提出的谱稀疏化可以用于改善用于解决涉及二次型的问题的算法的时间和空间复杂度，例如计算$L…
2018-07-13 cs.DM cs.DS
Quantum Speedup for Hypergraph Sparsification
针对超图稀疏化问题，提出了首个运行时间为$\widetilde O(r\sqrt{mn}/\varepsilon)$的量子算法，匹配常数秩下的量子下界，并实现了对经典算法的量子加速。
2025-05-03 cs.DS quant-ph
Quantum Algorithms for Triangle Cut Sparsification
School of Computer Science and Technology, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学计算机科学与技术学院）
研究三角形割稀疏化问题，提出基于三角形列举的量子算法，在广泛参数范围内优于经典算法，并构造了ε-三角形割稀疏化器。
2026-06-05 cs.DS quant-ph
Network Sparsification for Steiner Problems on Planar and Bounded-Genus Graphs
我们提出了多项式时间算法，稀疏平面和有界属图，同时保持最佳或接近最佳的解决方案，施泰纳问题。我们的主要贡献是一个多项式时间的算法，给定一个未加权图$G$嵌入表面的属$g$和指定的面$f$有界的一个简单的周期长度$k$，发现一组$F \subseteq E(G)$的大小多项式在$g$和$k$包含一个最佳的Steiner树的任何一组终端是一个子集的$f$的顶点。我们应用这个一般定理证明了：* 给定嵌入在亏格$g$的曲面上的一个未赋权图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，我们可以在多项式时间内找到一个集合$F \subseteq E(G)$，它包含$S$的一个最优Steiner树$T$，并且在$g$和$|E(T)|$中具有大小多项式; * 一个类似的结果对于终端对集合$S$的一个最优Steiner森林也成立;* 给定一个未加权平面图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，可以在多项式时间内找到一个集$F \subseteq E(G)$，它包含一个分离$S$的最优（边）多路割$C$，并且在$|C|$中具有大小多项式。在参数化复杂性的语言中，这些结果意味着平面和有界亏格图（分别由树和森林的大小参数化）上的Steiner树和Steiner森林以及平面图（由割集的大小参数化）上的（边）多路割的第一多项式核。此外，我们得到了我们的主要贡献的加权变体。
2017-07-11 cs.DS
Fast Approximations for Rooted Connectivity in Weighted Directed Graphs
我们考虑计算有向图中最小加权割的近似。我们考虑有根和全局最小割，边割和顶点割。对于这些问题，我们给随机蒙特卡罗算法计算$(1+ε)$ -近似最小割$\tilde{O}(n^2 / ε^2)$时间。这些结果扩展并建立在最近的工作[4]上，该工作在具有小整数容量的有向图中获得了具有相似运行时间的精确算法。
2021-04-14 cs.DS
Incremental Approximate Maximum Flow via Residual Graph Sparsification
Faculty of Computer Science, University of Vienna（维也纳大学计算机学院）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学与技术研究所）；Technical University Munich（慕尼黑工业大学）；UniVie Doctoral School Computer Science DoCS（维也纳大学计算机科学博士学校）
本文提出了一种算法，在高概率下能够维持无向、无容量限制的n顶点图在经历m次边插入操作后的(1-ε)近似s-t最大流，总更新时间为~O(m + nF*/ε)，其中F*是最终图的最大流。这是首个在密集图（m=Ω(n²)）中实现多项式对数平均更新时间的算法，更一般地适用于F*=~O(m/n)的图。
2026-05-21 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via $\sqrt{n}$ Max-Flows
我们给出了一个在$n$ -顶点，$m$ -边加权有向图中使用$\tilde O(\sqrt{n})$调用任何maxflow子程序来寻找mincut的算法。使用最先进的maxflow算法，这产生了在$\tilde O(m\sqrt{n} + n^2)$时间内运行的定向mincut算法。这改善了30岁的界限$\tilde O(mn)$郝和Orlin获得这个问题。
2021-04-16 cs.DS
Embeddings of Planar Quasimetrics into Directed \ell_1$ and Polylogarithmic Approximation for Directed Sparsest-Cut
多商品流割间隙是影响分治算法性能的一个基本参数，在各种无向图中得到了广泛的研究. Linial、London和Rabinovich以及Aumann和Rabani已经证明，对于一般的$n$ -顶点图，它是由$O(\log n)$有界的，而Gupta-Newman-Rabinovich-Sinclair猜想断言，对于任何排除某些固定子图的图族，它是$O(1)$。我们证明了\emph{directed}平面图上的多商品流割间隙是$O(\log^3 n)$。这是超常数树宽有向图族的第一个\emph{sub-polynomial}界。我们注意到，对于一般的有向图，Chuzhoy和Khanna已经证明了间隙是$\widetildeΩ(n^{1/7})$，甚至对于有向无圈图也是如此。作为我们结果的直接结果，我们还获得了有向非二部稀疏割和有向平面图的有向多割问题的第一个多项式时间多对数近似算法，这扩展了Rao关于无向平面图的长期结果（具有稍弱的界）。在我们的结果的核心，我们调查低失真准度量嵌入到\emph{directed} $\ell_1$。更准确地说，我们构造了平面有向图的最短路拟度量空间的$O(\log^2 n)$ -Lipschitz拟划分，推广了度量嵌入理论中Lipschitz划分的概念。这种构造结合了双Lipschitz嵌入理论的思想，并使用工具在有向平面图上形成数据结构。
2021-11-15 cs.DS
Vertex Sparsification for Edge Connectivity
图的压缩或稀疏化是一个基本的信息论和计算问题。在这个研究领域的一个主要的开放问题是是否存在$(1+ε)$近似切割保持顶点稀疏的大小接近终端的数量。作为实现这一目标的一步，我们研究了一个阈值版本的问题：对于一个给定的参数$c$，找到一个更小的图，我们称之为连接- $c$模仿网络，它保留$k$终端之间的连接正好达到$c$的值。我们发现，连接$c$模仿网络与$O(kc^4)$边缘存在，并可以在时间$m(c\log n)^{O(c)}$。我们还给出了一个单独的算法，构造这样的图与$k \cdot O(c)^{2c}$边的时间$mc^{O(c)}\log^{O(1)}n$。这些结果导致第一个数据结构，用于回答全动态离线$c$ -边连接查询$c \ge 4$在多对数时间每个查询，以及更有效的算法生存网络设计有界树宽图。
2020-07-15 cs.DS
Approximating Directed Minimum Cut and Arborescence Packing via Directed Expander Hierarchies
MPI-INF and Saarland University（马克斯·普朗克计算机科学研究所与萨尔兰大学）；University of Michigan（密歇根大学）
通过有向展开层次结构，提出近线性时间算法近似有向图中的根最小割和arborescence打包问题，实现高效的近似解。
2025-12-17 cs.DS
Incremental Directed Minimum Cut by Dynamizing Gabow's Algorithm
University of Michigan（密歇根大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
该研究提出首个有向全局最小割增量算法，为Gabow静态算法的严格增量扩展，在总更新时间O(km log n)内可维护全局最小割或证明其值至少为k，突破了现有研究对k≤2或图为无向的限制。
2026-08-18 cs.DS
Additive Sparsification of CSPs
本文证明了所有布尔约束满足问题（CSP）及非布尔域CSP在新概念下均存在加性稀疏器，扩展了图与超图的加性稀疏化理论。
2023-09-19 cs.DM cs.DS
On constant multi-commodity flow-cut gaps for directed minor-free graphs
多商品流割间隙是影响分治算法性能的一个基本参数，在各种无向图中得到了广泛的研究. Linial、London和Rabinovich \cite{linial1994geometry}以及Aumann和Rabani \cite{aumann1998log}证明了对于一般的$n$ -顶点图，它是由$O(\log n)$有界的，而Gupta-Newman-Rabinovich-Sinclair猜想\cite{gupta2004cuts}断言，对于任何排除某个固定子图的图族，它都是$O(1)$。对于有向图的情况，流切间隙的理解很少。我们表明，对于统一的要求，它是$O(1)$有向串并行图，有向图的有界路径宽度。这些是第一个常数的上界，这种类型的一些非平凡家庭的有向图。我们还得到了一般多商品流割间隙在有向树和圈上的$O(1)$上界。这些界是通过拟度量空间的新嵌入和Lipschitz拟划分得到的，它们推广了度量空间的类似结果，并且可能是独立的。最后，我们讨论了无向图的方法，如随机分区和随机嵌入的局限性。
2017-11-04 cs.DS
Single Pass Spectral Sparsification in Dynamic Streams
我们提出了第一个单遍算法计算谱稀疏的动态半流模型。给定一个包含插入和删除边的流到图G的单次遍历，我们的算法保持G的关联矩阵的随机线性草图为O（（1/epsilon ^2）n polylog（n））。使用此草图，在任何点，该算法都可以以高概率输出G的（1 +/-π）谱稀疏因子。虽然O（（1/epsilon^2）n polylog（n））空间算法已知用于计算动态流中的“切割稀疏器”[AGM 12 b，GKP 12]和“仅插入”流中的谱稀疏器[KL 11]，但在我们的工作之前，用于在动态流中维护谱稀疏器的最著名的单遍算法需要尺寸Omega（（1/epsilon^2）n^（5/3））的草图[AGM 14]。为了实现我们的结果，我们表明，使用粗稀疏的G和G的关联矩阵的线性草图，它是可能的采样边缘的有效电阻，获得一个频谱稀疏的任意精度。从草图中采样需要ell_2/ell_2稀疏恢复的新应用，这是[AGM 12 b]中用于切割稀疏器的ell_0方法的自然扩展。最近的工作[MP 12]行采样矩阵近似给出了一个递归的方法来获得所需的粗稀疏。在一定的限制下，我们的方法还扩展到保持一般矩阵A^T A的谱近似的问题，给定A中的行的更新流。
2015-04-16 cs.DS
Reachability in Directed Acyclic Graphs with Near-Linear Cut Queries
School of Engineering and Applied Sciences, Harvard University（哈佛大学工程与应用科学学院）
研究有向无环图基本问题，通过\(O(n \log^3 n)\)次割查询可计算单顶点可达性与拓扑排序，由此得到判断任意有向图是否含环的算法，填补有向图割查询算法设计的空白。
2026-07-24 cs.DS
Online Sparsification of Bipartite-Like Clusters in Graphs
School of Informatics, University of Edinburgh, Edinburgh, United Kingdom（信息学院，爱丁堡大学，爱丁堡，英国）
本文研究了图中的类二部聚类问题，提出了在无向图和有向图中寻找此类聚类的高效在线稀疏化算法，并在合成与真实数据集上验证了该算法能显著加速现有聚类算法且保持其有效性。
2025-08-07 cs.DS cs.LG
A Framework for Analyzing Resparsification Algorithms
图$G$的谱稀疏因子是近似保持$G$的二次形式的稀疏图$H$，即对于所有向量$x$、$x^T L_G x \approx x^T L_H x$，其中$L_G$和$L_H$表示相应的图拉普拉斯算子。谱稀疏算子是割稀疏算子的推广，在图算法设计中有着广泛的应用。近年来，在半流式和动态设置中计算谱稀疏器一直受到关注。这些设置中的自然算法通常涉及图的重复稀疏化，以及这些步骤中的错误累积。我们提出了一个框架，用于分析算法，执行重复的稀疏化，只会产生错误对应于一个单一的稀疏化步骤，导致更好的结果为许多基于重新稀疏化的算法。作为一个应用程序，我们展示了如何保持一个频谱稀疏在半流设置：我们提出了一个简单的算法，对于一个图形$G$的$n$顶点和$m$边缘，计算一个频谱稀疏的$G$与$O(n \log n)$边缘在一个单一的通过$G$，只使用$O(n \log n)$空间，和$O(m \log^2 n)$总时间。这改善了以前最好的半流算法的频谱和削减稀疏的$\log{n}$在空间和运行时的因素。该算法扩展到一般PSD矩阵的半流行采样。我们还使用我们的框架相结合的频谱稀疏化算法Koutis与改进的并行结构，给出了一个并行算法，用于构建$O(n\log^2{n}\log\log{n})$大小的频谱稀疏在$O(m\log^2{n}\log\log{n})$时间。这是最著名的组合图稀疏化算法，稀疏化器的大小仅比…
2016-11-21 cs.DS
Odd Multiway Cut in Directed Acyclic Graphs
我们研究奇多路节点（边）切割问题，其中输入是一个图与指定的终端节点的集合，目标是找到一个最小的子集的非终端节点（边）删除，使终端节点之间没有一个奇数长度的路径。在早期的工作中，Lokshtanov和Ramanujan证明了奇数多路节点割和奇数多路边割在无向图中由解的大小参数化时都是固定参数易处理的（FPT）。在这项工作中，我们专注于有向无环图（DAG）和设计一个固定参数的算法。我们的主要贡献是扩大了阴影消除框架，以解决奇偶校验问题的DAG。我们补充我们的FPT结果与紧密的逼近性，以及多面体的结果为2终端的DAG。此外，我们还证明了无向图中奇多路边割的不可逼近性结果，即使是2个终端。
2018-04-06 cs.DS
New Notions and Constructions of Sparsification for Graphs and Hypergraphs
图$G$（Benczúr and Karger; Spielman and Teng）的稀疏化子是一个稀疏加权子图$\tilde G$，它近似地保留了$G$的割结构。对于一般的图，非平凡稀疏化是可能的，只有通过使用加权图，其中不同的边缘有不同的权重。即使是图，承认未加权稀疏，有没有已知的多项式时间算法，找到这样的未加权稀疏。我们研究了一个较弱的概念，稀疏化建议Oveis Gharan，在每个切割$(S,\bar S)$的边缘的数量是不是近似的乘法因子$(1+ε)$内，而是，相反，近似到一个添加剂项有界的$ε$倍$d\cdot |S| + \text{vol}(S)$，其中$d$是平均度，和$\text{vol}(S)$是$S$中的顶点的度的总和。我们提供了一个概率多项式时间的建设，这样的稀疏每个图，我们的稀疏有一个接近最佳的边缘数$O(ε^{-2} n {\rm polylog}(1/ε))$。我们还提供了一个确定性的多项式时间的建设，构建稀疏具有较弱的属性具有最佳数量的边缘$O(ε^{-2} n)$。我们的构造也满足光谱版本的“添加剂稀疏”属性。我们构造的"添加剂稀疏“与$O_ε(n)$边缘也适用于超图，并提供了第一个非平凡的概念，稀疏超图实现$O(n)$超边时，$ε$和秩$r$的超边是常数。最后，我们提供了一个新的构造的谱超图稀疏，根据标准定义，与${\rm poly}(ε^{…
2019-05-04 cs.DM cs.DS
A note on approximate strengths of edges in a hypergraph
设$H=(V,E)$是秩为$r$的边权超图. Kogan和Krauthgamer将Benczúr和Karger的随机抽样方案从图扩展到超图。采样需要用于计算边缘的近似强度的算法。在这份说明中，我们扩展的算法图超图，并描述了一个近线性的时间算法来计算近似的优势，我们建立在超图的稀疏化结果，从我们最近的工作。结合已有的结果，我们得到了当超图的秩较小时求$(1+ε)$ -近似最小割的快速算法.
2017-03-10 cs.DS
Friendly Cut Sparsifiers and Faster Gomory-Hu Trees
我们设计了新的切割稀疏因子，与Nagamochi和Ibaraki的经典稀疏化相关[Jummica，1992]，这是一种算法，给定$n$节点上的未加权图$G$和参数$k$，计算具有$O(nk)$边的子图，该子图保留$k$的所有切割值。我们提出了友好切割稀疏因子的概念，它是$G$的一个未成年人，它保留了$k$的所有友好切割值，其中$G$中的切割被称为友好的，如果每个节点有更多的边将其连接到切割的自己一侧而不是另一侧。我们提出了一个算法，给定一个简单的图$G$，计算在几乎线性时间的友好切割稀疏与$\tilde{O}(n \sqrt{k})$边缘。使用类似的技术，我们还展示了如何，另外一个终端集$T$，人们可以计算在几乎线性时间的终端稀疏，它保留了最小的$st$ -削减之间的每对终端，与$\tilde{O}(n \sqrt{k} + |T| k)$边缘。将这些稀疏器插入到最近的用于构造简单图的Gomory-Hu树的$n^{2+o(1)}$时间算法中，以及用于处理不友好的最小割的相对简单的过程，我们改进了中等密集图的运行时间（例如，具有$m=n^{1.75}$边缘）。特别地，假设线性时间最大流算法，新的Gomory-Hu树的最新技术是我们的$(m+n^{1.75})^{1+o(1)}$和已知的$m n^{1/2+o(1)}$之间的最小值。我们进一步研究这种方法的局限性和更好的稀疏化的可能性。…
2021-10-29 cs.DS
