A new measure of asymmetry of binary words
Alex Ravsky
一个二进制字是对称的，如果它是一个回文或反回文。我们定义了一个新的措施，一个二进制字的不对称性等于最小数量的字母的字，从字中删除产生一个对称的字，并获得上，下估计这一措施。
A binary word is symmetric if it is a palindrome or an antipalindrome. We define a new measure of asymmetry of a binary word equal to the minimal number of letters of the word whose deleting from the word yields a symmetric word and obtain upper and lower estimations of this measure.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Binary words containing infinitely many overlaps
我们的特点发生在无限的无幂二进制字的平方，并构建各种α功率免费的二进制字包含无限多的重叠。
Fixed points of morphisms among binary generalized pseudostandard words
引入了一类非周期二元广义伪标准字之间本原态射的不动点。我们猜想，这个类包含所有的不动点的原始态射之间的非周期二元广义伪标准的话，不是标准的Sturmian字。
Characterization of the lengths of binary circular words containing no squares other than 00, 11, and 0101
我们的特点正是二进制循环字的长度不包含广场以外的00，11，和0101。关键词：词的组合学，循环词，项链，无平方词，非重复序列
On the palindromic decomposition of binary words
我们证明了一个精确的公式，最小数目K（n），使每个二进制字的长度$n$可以分为K（n）回文。我们还估计了组成长度为n的随机二进制字的回文的平均数目$\ol K(n)$。
The subword complexity of a class of infinite binary words
设$A_q$是一个$q$字母表，$w$是这个字母表上的一个右无穷词。$w$的子字是$w$的连续字母块。$w$的子字复杂度函数将长度为$w$的不同子字的数目$f_w(n)$分配给每个正整数$n$。一个无限字在二进制字母表$\{0,1 \}$上的间隙函数给出了这个字中连续1之间的距离。本文研究间隙函数为内射或几乎内射的无限二元字。给出了计算这类词的子词复杂度的方法。得到了一个函数是间隙函数严格递增的二进制字的子字复杂度函数的充要条件。
Asymptotically half of binary words are shuffle squares
该研究证明了渐近意义上二进制单词中有一半是shuffle平方，并给出了具体数量的渐进行为。
Counting occurrences of a pattern in a binary word
本文提出字典序极值引用方法，给出二元词中出现次数的计算公式，并构造算法枚举包含给定词 p 的二元词及本原词，以研究 B_{n,p}(k)。
Finding binary words with a given number of subsequences
我们将具有给定连续数的二进制字与具有给定分母的有理数的连分数联系起来。我们推导出存在长度为$O(\log n \log \log n)$的二进制字符串具有完全的$n$连续性;在Zaremba猜想的假设下，这可以改进为$O(\log n)$。
An upper bound of the number of distinct powers in binary words
幂是$\underbrace{uu...u}_{k \; \text{times}}$形式的字，其中$u$是字，$k$是正整数，平方是$uu$形式的字。Fraenkel和Simpson在1998年提出，单词中不同方块的数量受单词长度的限制。这个猜想最近被Brlek和Li证明了。此外，Jonoska，Manea和Seki提出的二进制字存在一个更强的上界，即对于字母表$\left\{a, b\right\}$上长度为$n$的字，如果我们让$k$是a的个数和b的个数以及$k \geq 2$中最小的，则不同方块的个数上界为$\frac{2k-1}{2k+2}n$。在这篇文章中，我们证明了这个猜想，给出了一个更强的陈述的数目不同的权力，在一个二进制字。
A Generating Function for the Distribution of Runs in Binary Words
令$N(n,r,k)$表示以$0$开始并且精确地包含$k$游程的长度为$n$的二进制字的数目（即，相同连续符号的最大子字）的长度$r$。我们证明了序列$N(n,r,0)$，$n=0,1,\ldots$的生成函数是$(1-x)(1-2x + x^r-x^{r+1})^{-1}$，而$\{N(n,r,k)\}$的生成函数是$x^{kr}$乘以它的$k+1$幂。我们扩展到计数的话，正好包含$k$运行的$1$的使用对称的二进制字的集合。
Substitution invariant Sturmian words and binary trees
我们从全局的角度来看待替换不变的Sturmian序列。我们发现，齐次替换不变Sturmian序列$s_{α,α}$可以由两个二叉树，直接关联到约翰内斯开普勒的调和分数树从1619年。对于非齐次序列$s_{α,1-α}$和$s_{α,0}$，我们得到了类似的结果.
Universal Partial Words over Non-Binary Alphabets
Chen、Kitaev、Mütze和Sun最近引入了泛部分词的概念，这是泛词和de Bruijn序列的推广。通用部分字允许通配符$\diamond$，它是字母表中任何字母的占位符。我们解决并加强了在同一篇论文中提出的问题，其中引入了这个概念。对于非二进制字母表，我们表明，普遍的部分字具有周期性的$\diamond$结构，是循环的，我们给出了数论条件的普遍部分字的存在。此外，我们提供了一个明确的建设一个家庭的普遍部分字，甚至大小的字母表。
Enumerating binary words restricted by subsequence frequency
研究长度为\(n\)且恰好有\(k\)个子序列等于特定长度为\(\ell\)且有\(r\geq2\)个游程的二进制单词\(p\)的数量，证明其为\(n\)的至多\(\ell - r + 1\)次多项式，并给出相关上界。
A new estimate on complexity of binary generalized pseudostandard words
广义伪标准词是由de Luca和De Luca在2006年提出的。与回文闭包和伪回文闭包相比，人们对广义伪回文闭包及其相关的广义伪标准词知之甚少。对于Blondin Massé等人的论文中的猜想43，我们给出了一个反例，该论文估计了二进制广义伪标准字的复杂度为${\mathcal C}(n) \leq 4n$，对于所有足够大的$n$。我们猜想，对于所有的$n \in \mathbb N$，都有${\mathcal C}(n)<6n$.
Mutually Abelian-Bordered Binary Words
本文将有界词对概念推广到阿贝尔情形，利用格路计数二元词中相互阿贝尔有界对及无界对的数量。
Rich Words in the Block Reversal of a Word
由$\mathtt{BR}(w)$表示的字的块反转$w$是字的反转的概念的概括，通过以相反的顺序连接字的块来获得。我们的特点是非二进制和二进制字，其块反转只包含丰富的话。证明了对于一个二进制字$w$，$\mathtt{BR}(w)$的所有元素的丰富度依赖于$l(w)$，即$w$的游程序列的长度.我们表明，如果$\mathtt{BR}(w)$的所有元素都丰富，那么$2\leq l(w)\leq 8$。我们还提供了这些词的结构。
The asymptotic number of prefix normal words
我们证明了长度为$n$的前缀正规二进制字的个数是$2^{n-Θ((\log n)^2)}$。我们还表明，最大数量的二进制字长度$n$与一个给定的固定前缀范式是$2^{n-O(\sqrt{n\log n})}$。
The Shortest Interesting Binary Words
本文指出长度为4和6的两个二进制词在字组合学众多问题中具有特殊地位，并通过其在数十篇论文中的出现论证它们是“最短的有趣二进制词”。
Polynomial versus Exponential Growth in Repetition-Free Binary Words
已知长度为n的无立方二进制字的数量呈多项式增长，而无立方二进制字的数量呈指数增长。我们发现多项式和指数增长性的分界线是7/3。更准确地说，只有多项式数量的长度为n的二进制字避免了7/3次幂，但有指数数量的长度为n的二进制字避免了（7/3+）次幂。这就回答了小林在1986年提出的一个悬而未决的问题。
Subsequence frequency in binary words
该研究围绕二元字中子序列出现频率展开，推导小出现次数下的计数显式表达式，分析短游程子序列的最大出现次数，还探究计数序列的内部零点及单峰、对数凹性。
For each $α$ > 2 there is an infinite binary word with critical exponent $α$
对于每个$α> 2$，存在具有临界指数$α$的二进制字。
A Note on Squares in Binary Words
我们考虑二进制字母表上的单词。如果一个词$w$不具有非空$u$的$uvuvu$形式的因子（连续字母块），则该词是无尾的。令$M(w)$表示作为$w$中的正方形的中间位置的位置的数目。我们表明，对于无干扰二进制字，$2M(w) \le |w|+3$，并有无限多的无干扰二进制字，其中$2M(w)=|w|+3$。
On the entropy and letter frequencies of powerfree words
本文综述了无幂词研究的最新进展，特别强调了二元无立方词和三元无平方词。除了各种界限的熵，我们提供了字母频率的界限，并考虑其经验分布所获得的枚举的二进制cubefree字的长度为80。
There exist infinite cube-free words over any sequence of binary alphabets
该研究证明了在任意二元字母序列上存在无限立方自由词，并给出了相关计算复杂度的结论。
Complement Avoidance in Binary Words
二进制字$x$的补码$\overline{x}$是通过将$x$中的每个$0$改为$1$来获得的，反之亦然。我们研究无限二进制字$\bf w$，避免足够大的互补因子，也就是说，如果$x$是$\bf w$的一个因素，那么$\overline{x}$是不是一个因素的$\bf w$。特别是，我们根据它们的临界指数对这些词进行分类。
Generation of binary words avoiding alternating patterns
在本文中，我们提出了一个算法，以产生二进制字不超过0的1的有一个固定数量的1的，并避免模式$(10)^j1$为任何固定的$j \geq 1$。我们将证明这种生成是穷举的，也就是说，生成了所有这样的二进制字。
Extending Dekking's construction of an infinite binary word avoiding abelian $4$-powers
我们构造了一个临界指数为3的无限二进制字，避免了阿贝尔4-幂。我们的方法给出了一个算法，以确定是否某些类型的形态序列，避免添加剂的权力。我们还表明，有$Ω(1.172^n)$二进制字的长度$n$，避免阿贝尔4-权力，提高了以前的估计。
Avoiding large squares in infinite binary words
我们考虑三个方面，避免大广场无限二进制字。首先，我们构造一个无限二进制字，避免立方xxx和平方yy，|y| >= 4;我们的构造比Dekking的原始构造简单一些。第二，我们构造一个无限二进制字，避免除了00、11和0101之外的所有方块;我们的构造比Fraenkel和Simpson的原始构造简单一些。在这两种情况下，我们还展示了如何修改我们的建设，以获得指数许多字的长度为n与给定的避免属性。最后，我们通过证明存在两个无限二进制字，每个字都避免任意大的方块，使得它们的完美洗牌具有任意大的方块，来回答1979年的Dupinger和Urbanek的一个公开问题。
Binary words avoiding xx^Rx and strongly unimodal sequences
在之前的工作中，柯里和拉姆珀萨德表明，避免模式xxx^R的二进制字数量的增长介于多项式和指数之间。我们现在证明，避免模式xx^Rx的二进制字的数量的增长也是如此。奇怪的是，对xx^Rx的分析比对xxx^R的分析要简单得多。我们通过给出避免xx^Rx的二进制字集合与一类与“强单峰序列”密切相关的序列之间的双射来导出我们的结果。"
On Abelian Closures of Infinite Non-binary Words
两个有限字$u$和$v$称为阿贝尔等价，如果每个字母在$u$和$v$中出现的次数相等。无限字$\mathbf{x}$的阿贝尔闭包$\mathcal{A}(\mathbf{x})$是无限字$\mathbf{y}$的集合，使得对于$\mathbf{y}$的每个因子$u$，存在$\mathbf{x}$的因子$v$，其阿贝尔等价于$u$。阿贝尔闭包的概念给出了斯特米安词的一个特征：在一致递归的二进制词中，周期和非周期斯特米安词正是那些$\mathcal{A}(\mathbf{x})$等于移位轨道闭包$Ω(\mathbf{x})$的词。此外，对于非Sturmian的非周期二进制字，它的交换闭包包含无穷多个极小子移位。在本文中，我们考虑了著名的家庭的非二进制字，如平衡的话，最小复杂度的话的阿贝尔闭包。我们还考虑了一般子移位的交换闭包，并对其交换闭包进行了初步观察，提出了一些相关的开放性问题。
Binary equality sets are generated by two words
我们证明了两个非周期二元态射的等式语言最多由两个词生成。如果它的秩是2，则生成器以不同的字母开始（和结束）。这特别意味着任何二进制语言都有一个基数最多为2的测试集。
Simultaneous avoidance of large squares and fractional powers in infinite binary words
1976年，Dekking证明了存在一个无限二进制字，它既不包含y >= 4的平方yy，也不包含立方xxx。我们证明了“立方”可以被任何> 5/2的分数幂所取代。我们也考虑类似的问题，其中“4”被替换为任何整数。这导致了一个有趣而微妙的层次结构。
Dyck paths, binary words, and Grassmannian permutations avoiding an increasing pattern
本文研究避免递增模式的 Grassmannian 排列，通过关联 Dyck 路径和二元词，解决了 Weiner 关于计数避免恒等排列的 Grassmannian 排列的猜想，并细化到奇排列和对合。
Fast Computation of the Arnold Complexity of Length $2^{n}$ Binary Words
为了快速计算长度为$2^{n}$的二进制字的Arnold复杂度，我们得到了Shannon函数$Sh(n)$的上界
Abelian Closures of Infinite Binary Words
两个有限字$u$和$v$称为阿贝尔等价，如果每个字母在$u$和$v$中出现的次数相等。无限字$\mathbf{x}$的阿贝尔闭包$\mathcal{A}(\mathbf{x})$（的移位轨道闭包）是无限字$\mathbf{y}$的集合，使得对于$\mathbf{y}$的每个因子$u$，存在$\mathbf{x}$的因子$v$，其阿贝尔等价于$u$。阿贝尔闭包的概念给出了斯特米安词的一个特征：在二元一致递归词中，斯特米安词恰好是那些$\mathcal{A}(\mathbf{x})$等于移位轨道闭包$Ω(\mathbf{x})$的词。在本文中，我们表明，相反，较大的字母表，阿贝尔封闭的一致经常性的非周期性二进制字，这不是Sturmian包含无穷多个最小的子移位。
Greedy Gray Codes for some Restricted Classes of Binary Words
该研究针对广义Fibonacci字和广义Dyck字两类受限二元字，探究基于码首元素选择的贪婪格雷码的存在性问题。
On fractal patterns in Ulam words
该研究刻画了含两个1的Ulam词的结构，提出对数时间判定算法，揭示其相关性质，并构造出含向外Sierpinski垫片的自相似分形族。
The repetition threshold for binary rich words
本文证明二元富词的重复阈值为 $2+\sqrt{2}/2$，通过结构定理验证了 Baranwal 和 Shallit 的猜想，并解决了 Vesti 的开放问题。
Extremal overlap-free and extremal $β$-free binary words
如果通过在任何位置插入来自$Σ$的单个字母而从$w$获得的每个字都包含重叠（或指数因子分别至少为$β$），则固定字母表$Σ$上的无符号（或无$β$）字$w$是极值的。我们找到所有的长度，承认一个极端的无尾二进制字。对于每个扩展实数$β$使得$2^+\leqβ\leq 8/3$，我们证明了存在任意长的极值无$β$二进制字.
Avoiding Abelian powers in binary words with bounded Abelian complexity
无限词的阿贝尔复杂性的概念最近被最后三位作者用来研究词的各种阿贝尔性质。特别地，他们利用范德瓦尔登定理证明了，如果一个词避免了某个整数$k$的阿贝尔$k$ -幂，那么它的阿贝尔复杂度是无界的。这就提出了下面的问题：在一个具有有限阿贝尔复杂度的词中，阿贝尔$k$ -幂出现的频率有多高？特别是，是否每个具有有界阿贝尔复杂度的一致递归字都以阿贝尔$k$幂开始？虽然这是真实的各种类的均匀经常性的话，包括例如类的所有Sturmian的话，在本文中，我们表明存在的均匀经常性的二进制字，有界阿贝尔复杂性，其中承认无限数量的后缀不开始在阿贝尔广场。我们还表明，任何无限的二进制无符号字的移位轨道闭包包含一个字，避免阿贝尔立方体在开始。我们还考虑了态射对阿贝尔复杂度的影响，并证明了具有有界阿贝尔复杂度的词的态射图像也具有有界阿贝尔复杂度。最后，我们给出了无限二进制字中阿贝尔平方的可避免性的一个公开问题，并证明了它等价于Pirillo-Varricchio和Halbeisen-Hungerbühler的一个著名的公开问题.
Critical exponent of binary words with few distinct palindromes
本文研究了包含少量不同回文的无限二元词，根据临界指数对其进行分类，扩展了Fici和Zamboni的结果，并发现具有18和20个回文的词是特定态射不动点的morphic images。
Cubefree binary words avoiding long squares
Entringer、Jackson和Schatz在1974年提出，每个无限无立方二进制字都包含任意长的平方。本文证明了这一猜想是错误的：存在无限个避开所有正方形xx且|x| >= 4的无立方二进制字，且数字4是最可能的.然而，如果用“无立方”代替“无立方”，则Entringer-Jackson-Schatz猜想成立。
Binary Patterns in Binary Cube-Free Words: Avoidability and Growth
研究了二元无立方词对二元模式的可避性，得到了可避模式与不可避模式的精确界，并证明了所有可避模式都是DL-可避的.对于可避免模式，避免语言的增长率进行了研究。所有这些语言，除了无符号的语言，被证明有指数增长。避免最小可避免模式的语言的准确增长率通过计算机辅助上界近似。最后给出了一个新的多项式增长模式回避语言的例子。
On Generating Binary Words Palindromically
我们把有限字$u=u_1u_2\cdots u_n$到字同构看作是$\{1,2,\ldots, n\}$上的等价关系，其中$i$等价于$j$当且仅当$x_i=x_j.$某些有限字（特别是所有的二进制字）是由$1\leq i\leq j\leq n$和$k\in \{i,i+1,\ldots,j\}.$的某种选择的$k\sim j+i-k$形式的“{ \it回文}”关系生成的。也就是说，某些有限字$u$由其某些回文因子的位置和长度唯一地确定直到字同构。本文研究了生成$u.$所需回文关系最少的函数$μ(u)$，证明了每个非周期无限字必含有一个因子$u$，且该因子具有$μ(u)\geq 3,$，某些无限字$x$具有如下性质：对于$x.$的每个因子$u$，$μ(u)\leq 3$。（其中包括著名的Sturmian词）。相反的Thue-Morse字，我们表明，功能$μ$是无界的。
Pattern 1^j0^i avoiding binary words
本文研究了避免固定模式的特殊二进制字的枚举和按一的个数构造。这类词的增长可以用特定的跳跃和明显的继承规则来描述。这种方法使我们能够获得一种算法，该算法构造所有具有固定数量的二进制字，然后杀死那些包含禁止模式的二进制字。
Binary Words Containing Few Abelian Squares
本文扩展了Fici和Saarela的猜想，证明在某些特殊情况下该猜想成立，并提出在其他情况下通过Parikh向量构造词以最小化阿贝尔平方数量。
Constructions of words rich in palindromes and pseudopalindromes
本文通过定义操作S，建立了经典回文丰富词与伪回文丰富词（H-丰富词）之间的联系，并构造了新的丰富词类，同时将S推广到多元字母表并应用于广义Thue-Morse词，从而获得新的二元丰富词。
The Simplest Binary Word with Only Three Squares
我们重新审视以前的建设无限二进制字包含几个不同的广场的目标是找到“最简单的”，在一定意义上。我们展示了几种新的结构。而不是使用繁琐的基于案例的参数来证明结构具有所需的属性，我们依靠定理证明软件来证明它们的正确性。
Subword complexity and power avoidance
本文系统地研究了无限词的子词复杂度与其幂回避之间的关系。除其他事项外，我们表明，-Thue-Morse字具有最小可能的子字复杂度超过所有的二进制字和所有$(\frac 73)$ -功率免费的二进制字，但不是所有的$(\frac 73)^+$ -功率免费的二进制字;--扭曲的Thue-Morse字在所有无符号二进制字中具有最大可能的子字复杂度，但是没有字具有超过所有$(\frac 73)$ -无幂二进制字的最大子字复杂度; -如果某个字达到超过所有无平方的三进制字的最小可能子字复杂度，则一个这样的字是三进制Thue字;--最近构造的1-2-bonacci字在所有\textit{symmetric}无平方的三进制字中具有最小可能的子字复杂度。
Shuffle squares and ordered nest-free graphs
本文研究了洗牌正方形的表示方法及二进制单词的性质，提出了判断洗牌正方形的充分条件，并给出了相关反例。
Cubefree words with many squares
我们构建无限立方二进制字包含指数许多不同的平方长度为n。我们还证明了对每一个正整数n，都存在一个长度为2n的无立方二进平方。
The First-Order Theory of Binary Overlap-Free Words is Decidable
我们表明，一阶逻辑理论的二进制无符号的话（更一般地说，$α$ -自由的话，合理的$α$，$2 < α \leq 7/3$），是可判定的。因此，以前通过繁琐的基于案例的证明获得的关于这类的许多结果现在可以使用决策过程“自动”证明。
Weighted Prefix Normal Words: Mind the Gap
前缀正常字是一个二进制字，其前缀包含的1至少与其相同长度的任何因数一样多。Fici和Lipták在2011年提出了前缀正规性的概念，到目前为止，前缀正规性的概念只针对二进制字母表上的单词定义。在这项工作中，我们调查了任意有限字母表，即加权前缀正常的有限字的推广。我们证明了加权前缀正规性比二元前缀正规性更有表现力。此外，我们调查存在的加权前缀范式，因为加权前缀正规性来了几个新的特点，没有已经发生在二进制的情况下。我们解决了这些问题，最后提出了一个标准的技术，以获得一个广义前缀范式的所有单词overarbitrary，有限的字母表。
The number of binary rotation words
我们认为二进制旋转字产生的分区的单位圆的两个间隔，并给出了一个精确的公式，这样的话的长度为n。时间复杂度为O（n^4）。这个结果延续了由Lipatov在1982年获得的所有Sturmian词的数量公式，然后由Berenstein，Kanal，Lavine和Olson在1987年独立地获得，Mapposi在1991年获得，然后由Berstel和Pocchiola在1993年使用另一种技术获得的结果。
Low complexity binary words avoiding $(5/2)^+$-powers
本研究针对避免$(5/2)^+$-幂的Rote字展开，给出其结构定理，证实了Ollinger与Shallit的相关猜想，完善了这类低复杂度二元字的性质研究。
On the Variance of the Optimal Alignments Score for Binary Random Words and an Asymmetric Scoring Function
我们研究了两个独立的具有相同长度的iid二进制随机字的最优比对得分的方差的顺序。字母是等概率的，但评分函数是这样的，一个字母的得分比另一个大。在这种情况下，我们证明了方差的顺序是线性的共同长度。最优对齐是最长公共连续性的推广，它们可以表示为具有相关权重的二维最后一次通过渗流环境中的最优路径。
On the context-freeness of the set of words containing overlaps
我们表明，一组包含重叠的二进制字是不明确的上下文无关，一组包含重叠的三进制字是不上下文无关。我们还表明，一组二进制的话，不是子词的Thue-Morse字是不明确的上下文无关。
On some 2-binomial coefficients of binary words: geometrical interpretation, partitions of integers, and fair words
本文研究二元词的2-二项式系数，给出几何解释，证明等价类图与整数分拆格同构，并证明关于公平词的一个猜想。
Binary Cyclotomic Polynomials: Representation via Words and Algorithms
本文研究二元分圆多项式，将其系数向量视为三元字母表上的字，设计了一种线性时间的最优算法以计算其紧凑表示，并推广到二维数值半群相关多项式。
There are k-uniform cubefree binary morphisms for all k >= 0
一个词是无立方的，如果它不包含xxx形式的非空子词。一个态射h：Sigma^* -> Sigma^* 是k-一致的，如果h（a）对所有Sigma中的a都有长度k。一个态射是无立方的，如果它将无立方的词映射到无立方的词。我们证明了对所有k >= 0存在k-一致无立方二元态射。
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