On infinite words avoiding a finite set of squares
通过一次添加一个字母同时避免创建正方形来构建一个无限的无正方形单词是最有可能失败的。当字母表有两个字母时，这种方法是不可能的。当字母表有三个或更多的字母时，人们很可能会创造一个单词，其中任何字母的添加都不可避免地产生一个正方形。当一个人限制的集合不需要的广场有限的一个，这是可能的。我们研究的字母表和一组允许这种方法工作的广场上的限制。
2013-10-26 cs.DM math.CO
Simultaneous avoidance of large squares and fractional powers in infinite binary words
1976年，Dekking证明了存在一个无限二进制字，它既不包含y >= 4的平方yy，也不包含立方xxx。我们证明了“立方”可以被任何> 5/2的分数幂所取代。我们也考虑类似的问题，其中“4”被替换为任何整数。这导致了一个有趣而微妙的层次结构。
2003-04-29 cs.DM math.CO
Binary Words Containing Few Abelian Squares
Akita University（秋田大学）；Loughborough University（拉夫堡大学）
本文扩展了Fici和Saarela的猜想，证明在某些特殊情况下该猜想成立，并提出在其他情况下通过Parikh向量构造词以最小化阿贝尔平方数量。
2026-04-25 cs.DM math.CO
Lengths of extremal square-free ternary words
固定字母表$Σ$上的无正方形字$w$是极值的，如果通过插入来自$Σ$的单个字母（在任何位置）从$w$获得的每个字都包含正方形。Grytczuk等人最近引入了极值无平方字的概念，并证明了存在任意长的极值无平方三进制字。我们发现所有的长度，承认一个极值平方免费三进制字。特别是，我们表明，有一个极值平方免费三进制字的每一个足够大的长度。我们还解决了循环词的类似问题。
2020-01-31 cs.DM cs.FL math.CO
A note on the Markoff condition and central words
我们定义马尔可夫词为某些因素出现在双无限词满足马尔可夫条件。我们证明，这些词与中心词相吻合，产生一个新的表征Christoffel词。
2007-08-30 math.CO
Cubefree binary words avoiding long squares
Entringer、Jackson和Schatz在1974年提出，每个无限无立方二进制字都包含任意长的平方。本文证明了这一猜想是错误的：存在无限个避开所有正方形xx且|x| >= 4的无立方二进制字，且数字4是最可能的.然而，如果用“无立方”代替“无立方”，则Entringer-Jackson-Schatz猜想成立。
2003-04-07 cs.DM math.CO
Square-Free Shuffles of Words
令$u \shuffle v$表示单词$u$和$v$的所有混洗的集合。它表明，对于每个整数$n \geq 3$存在一个无平方三进制字$u$的长度$n$，使$u\shuffle u$包含一个无平方字。然后，这个属性被证明也适用于无限的单词，即，在三个字母上存在无限无平方码字$u$，使得$u$可以与其自身混洗以产生无限无平方码字$w \in u \shuffle u$。
2013-09-09 cs.DM cs.FL math.CO
Parikh Motivated Study on Repetitions in Words
我们引入的概念，一般打印的一个字，这是充实的某些典型的分解，研究重复的话。这些相关的分解，当递归地应用于一个单词时，会产生我们所说的单词的核心印记。获得一个普通单词的核心印记的路径的长度是仔细检查的。本文还研究了关于Parikh矩阵映射的无平方三元词类，Parikh矩阵映射是经典Parikh映射的推广。它表明，只有许多矩阵等价类的三元词，使所有的话，在每个类是平方免费的。最后，我们采用无平方态射生成无限多对无平方三进制字，共享相同的Parikh矩阵。
2018-07-17 cs.DM math.CO
On Avoiding Sufficiently Long Abelian Squares
有限字$w$是阿贝尔平方，如果$w = xx^\prime$，其中$x^\prime$是$x$的置换。在1972年，Entringer、Jackson和Schatz证明了每个长度为$k^2 + 6k$的二进制字都包含一个长度为$\geq 2k$的阿贝尔平方。我们使用笛卡尔格路径的特征阿贝尔平方在二进制序列，并构建一个二进制字的长度$q(q+1)$避免阿贝尔平方的长度$\geq 2\sqrt{2q(q+1)}$或更大。因此，我们证明了避免长度为$2k$的阿贝尔平方的最长二进制字的长度是$Θ(k^2)$。
2010-12-02 cs.DM math.CO
Words with the Maximum Number of Abelian Squares
阿贝尔正方形是两个单词的连接，这两个单词是彼此的字谜。长度为$n$的字可以包含作为阿贝尔平方的$Θ(n^2)$不同因子。我们研究无限的话，使长度$n$的阿贝尔平方因子的数量与$n$二次增长。
2015-06-11 cs.DM cs.FL math.CO
Avoiding squares over words with lists of size three amongst four symbols
在2007年，Grytczuk猜想对于任何大小为$3$的字母序列$(\ell_i)_{i\ge1}$，存在一个无平方的无限字$w$，使得对于所有$i$，$w$的第$i$个字母属于$\ell_i$。1906年Thue的结果意味着，如果所有的$\ell_i$都相同，则存在无限无平方字。另一方面，Grytczuk、Przybyzio和Zhu在2011年证明，如果$\ell_i$的大小是$4$而不是$3$，则它也成立。在这篇文章中，我们首先证明，如果列表的大小为$4$，则无平方词的数量至少为$2.45^n$（以前的类似界限为$2^n$）。然后，我们展示了我们的主要结果：我们可以构建这样一个无平方的字，如果列表的大小$3$的大小相同的字母表的大小$4$的子集。我们的证明也意味着，至少有$1.25^n$平方无字的长度$n$任何这样的列表分配。这个证明依赖于一组用计算机验证的系数的存在。我们猜想，通过这种方法，可以用一台功能更强大的计算机来解决整个猜想（但我们可能需要等待几十年才能得到这样的计算机）。
2021-05-11 cs.DM math.CO
Abelian-Square-Rich Words
阿贝尔正方形是两个单词的连接，这两个单词是彼此的字谜。长度为$n$的字最多可以包含$Θ(n^2)$不同因子，并且存在长度为$n$的字包含$Θ(n^2)$不同的阿贝尔平方因子，即，是阿贝尔平方的不同因子。这促使我们研究无限的话，使不同的阿贝尔平方因子的长度$n$的数量与$n$二次增长。更确切地说，我们说一个无限字$w$是{ \it阿贝尔平方丰富}，如果对于每个$n$，长度为$n$的$w$的每个因子平均包含许多不同的阿贝尔平方因子，这些因子在$n$中是二次的;和{ \it一致阿贝尔平方丰富}，如果$w$的每个因子包含许多不同的阿贝尔-与其长度的平方成比例的平方因子。当然，如果一个词是一致阿贝尔平方丰富，那么它是阿贝尔平方丰富，但我们表明，反过来是不正确的一般。我们证明了Thue-Morse字是一致阿贝尔平方丰富的，并且计数Thue-Morse字的长度为$2n$的不同阿贝尔平方因子的个数的函数是$2$ -正则的。对于Sturmian词，我们证明了角为$α$的Sturmian词$s_α$是一致交换方富的当且仅当无理$α$有界偏导数，即当且仅当$s_α$有界指数.
2017-02-24 cs.DM cs.FL math.CO
A note about words which coincide except in one position
本文指出Lothaire书中一个关于词重合的习题结论有误，并给出修正陈述以修复相关定理的证明。
2017-09-07 math.CO
The lexicographically least square-free word with a given prefix
本文研究给定前缀的字典序最小无平方无限单词，证明其与标尺序列的结构关联，并给出生成特定字母及双字母前缀对应单词的态射。
2022-11-02 cs.DM math.CO
Disposability in Square-Free Words
我们考虑字母表$Σ=\{0,1,2\}$上的单词$w$。证明了除4、5、7和12外，所有长度$n$都存在不可约的无平方字.这样的词是无平方的（即，它没有重复的$uu$作为因子），但是通过去除任何一个内部字母在单词中创建一个正方形。
2020-07-03 math.CO
Characterization of the lengths of binary circular words containing no squares other than 00, 11, and 0101
我们的特点正是二进制循环字的长度不包含广场以外的00，11，和0101。关键词：词的组合学，循环词，项链，无平方词，非重复序列
2020-05-19 math.CO
Extremal Square-free Words
如果一个词不包含$XX$形式的非空因子，则该词是\emph{square-free}。在1906年Thue证明了存在任意长的平方自由字超过$3$ -字母表。我们考虑一种新的无平方词。如果在任意位置插入一个字母不能将无方块字扩展为新的无方块字，则无方块字为\emph{extremal}。证明了在$3$ -字母表上存在无穷多个极值字。我们建筑的某些部分依赖于计算机验证。我们还提出了一些相关的开放问题。
2019-10-14 math.CO
Infinite square-free self-shuffling words
在本文中，我们回答了Charlier等人和Harju最近提出的两个关于自洗牌词的问题。一个无限字$w$称为自混洗，如果$w=\prod_{i=0}^\infty U_iV_i=\prod_{i=0}^\infty U_i=\prod_{i=0}^\infty V_i$对于某些有限字$U_i$，$V_i$ . Harju最近提出了一个问题，即是否存在无方块的自洗牌单词。我们肯定地回答这个问题。除此之外，我们建立了一个无限的字，使没有字在其移动轨道关闭是自洗牌，积极回答一个问题，从Charlier等人。
2014-11-08 cs.DM cs.FL math.CO
Square-free reducts of words
\emph{square}是由两个相同的相邻块组成的有限非空字。如果一个字不包含一个正方形作为因子，则它是\emph{square-free}。在任何有限字中，可以删除一个正方形的重复块，从而得到一个较短的字。通过重复这个过程，最终得到一个没有方块的单词，我们称之为原始单词的\emph{reduct}。一个单词可以有多少种不同的缩略形式？要证明任何二进制字都只有一个约简并不难。我们证明了存在具有任意多个约简的三元词。此外，对长度为$n$的三进制字的约简的最大数目进行计数的函数可以指数地增长。我们还证明，超过四个字母，存在的话与任何给定数量的减少，这似乎不是三元词的情况。最后，我们证明了所有有限三进制字的集合分裂成许多类的\emph{related}字（一个可以从一个字到另一个由一系列的平方减少和因子重复）。一些悬而未决的问题提出了一些结构的词定义与使用平方约简。
2020-11-25 math.CO
There are level ternary circular square-free words of length $n$ for $n\ne 5,7,9,10,14,17.$
一个单词是水平的，如果每个字母出现的次数相同，加或减1。我们给出了一个完整的特征的长度水平三元循环平方自由的话存在。关键词：词的组合学，循环词，项链，无平方词，非重复序列
2020-05-19 math.CO
The Length of the Longest Sequence of Consecutive FS-double Squares in a word
一个正方形是两个相同单词的连接，如果对于某些单词$x$和$z$，$w$可以写成$xyyz$，则单词$w$被称为具有正方形$yy$。众所周知，一个单词中不同方块的数量与其长度之比是小于2，并且一个单词的任何位置最多可以从两个最右边的不同方块开始。如果一个正方形的第一个位置是从两个不同正方形的最后一个位置开始的，那么这个正方形就是FS-双正方形。我们探索和确定的条件，以产生一个序列的位置在一个字，开始FS-双广场。我们首先找到了以两个连续的FS-double squares开始的最小字的结构，并得到了它的性质，使得能够扩展FS-double squares序列。证明了在长度为$n$的字中，最长的连续FS-双方阵序列的长度至多为$\frac{n}{7}$ .我们证明了在最长序列的连续FS-双平方的平方共轭。
2021-07-16 math.CO
A note on 3iet preserving morphisms
一个无限字，它是非周期的，它编码三个区间交换的变换的轨道，称为3iet字。这样的一个词是一个自然的推广，一个sturmian词超过3个字母的字母表。如果一个态射将任何一个3iet词映射到另一个3iet词，则称它是3iet保持的。已知保sturmian词的态射幺半群是n维生成的。与此相反，本文证明了保3iet态射的幺半群不是非平凡生成的，即存在无穷多个保3iet态射，它们不能写成其它保3iet态射的非平凡分解.
2007-03-27 math.CO
The Simplest Binary Word with Only Three Squares
我们重新审视以前的建设无限二进制字包含几个不同的广场的目标是找到“最简单的”，在一定意义上。我们展示了几种新的结构。而不是使用繁琐的基于案例的参数来证明结构具有所需的属性，我们依靠定理证明软件来证明它们的正确性。
2020-07-16 cs.DM cs.FL math.CO
Square-free extensions of words
如果一个词不包含$XX$形式的非空因子，则该词是无平方数的。在1906年图厄证明，存在任意长的平方自由的话超过$3$字母表。最近证明了[7]，在这些词中有无穷多个极值词，也就是说，在每个单字母扩展中有一个平方。我们研究各种问题的话保持避免广场的财产的扩展。我们的主要动机是猜想，有没有极端的话超过$4$字母表。我们还研究了一个自然的递归过程中产生的单字母最右边的扩展平方自由的话。我们提出了计算机实验的结果，支持这样的假设：该过程在任何大小至少为三的字母表上给出了无限无平方词。
2021-05-01 math.CO
On ternary square-free circular words
循环字是循环有序的有限字母序列。我们给出了Currie的一个无计算机证明：三进制字母表上的无平方循环字对于除5、7、9、10、14和17以外的所有长度$l$都存在。我们的证明揭示了一个有趣的三元平方无循环词和封闭的散步之间的连接在$K_{3{,}3}$图。此外，我们的证明意味着一个指数下界的长度$l$，并允许列出所有的长度$l$，这样的循环字是唯一的同构。
2010-09-29 cs.DM cs.FL math.CO
Concerning Kurosaki's squarefree word
在2008年，黑崎给出了一个新的三个字母的（双）无限无平方词的构造。我们表明，事实上黑崎的话避免7/4+的权力，这是由德让，是最佳的3个字母的字母表。
2013-08-09 math.CO
Extensions and reductions of square-free words
如果一个词不包含$XX$形式的非空词作为因子，则该词是无平方数的。图厄在1906年的一个著名结果中断言，在一个$3$字母表上存在任意长的无平方词。我们研究平方免费的话，涉及单字母删除和扩展的话的附加属性。如果一个无平方数的单词在删除任何一个字母后仍然是无平方数的，那么它就是稳定的。证明了在一个$4$字母表上存在无穷多个稳定的词。我们还表明，可以构建稳定的话，任何长度的任意字母表的大小$7$分配到构建的单词的位置挑选字母。我们推测，这两个界限可以降低到$4$，这是最好的可能。在相反的方向，我们考虑无平方码的单词，在单词中的每个可能的位置插入一个（适当选择的）字母后保持无平方码。我们称之为分叉。我们证明了一个令人惊讶的事实，即在一个至少有三个字母的固定字母表上，每个稳定的词都是分叉的。我们还认为家庭的分叉的话拥有一个自然的树结构。特别地，我们证明了在长度为$12$的字母表上存在一棵由双无限分叉词组成的无限树。
2022-09-18 math.CO
Square-free Word-representation of Word-representable Graphs
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
本文证明了任何非空词可表示图均可用无平方词表示，并探讨了无平方词表示在图论中的应用与计数。
2024-02-22 math.CO
On some problems of Harju concerning squarefree arithmetic progressions in infinite words
在最近的一篇论文中，Harju提出了三个关于无限词中无平方等差数列的公开问题。在本文中，我们解决了其中的两个问题。
2018-12-05 math.CO
Partial words with a unique position starting a square
我们考虑具有独特位置的部分词开始幂。我们发现，在一个$k$字母表，一个部分字与一个独特的位置开始一个广场可以包含最多$k$广场。这与完整的单词相反，如果一个独特的位置开始一个幂，那么完整的单词最多可以包含一个幂。对于某些较高的权力，我们展示了二进制部分字包含三个权力，所有这些权力都开始在同一位置。
2019-01-27 math.CO
Avoidability of long $k$-abelian repetitions
我们研究了长$k$ -阿贝尔平方和$k$ -阿贝尔立方体在二进制和三进制字母表上的可避免性。对于$k=1$来说，这些都是Mäkelä的问题。我们表明，一个人不能避免阿贝尔立方体的阿贝尔周期至少$2$在无限二进制的话，因此回答否定的一个问题从Mäkelä。然后，我们可以避免$3$ -阿贝尔平方周期至少$3$在无限二进制字和$2$ -阿贝尔平方周期至少2在无限三进制字。最后，我们研究了不同的$k$ -阿贝尔平方，必须出现在一个无限的二进制字的最小数目。
2015-07-09 cs.DM math.CO
On the number of squares in a finite word
{ \em square}是一个形式为$uu$的单词。本文证明了对于给定的有限字$w$，$w$的不同平方因子的个数由$|w|-|\Alphabet(w)|+1$限定，其中$|w|$表示$w$的长度，$|\Alphabet(w)|$表示$w$中不同字母的个数.这个结果回答了Fraenkel和Simpson在1998年提出的一个猜想。
2022-04-25 math.CO
No extremal square-free words over alphabets of size at least 5
Institute for Basic Science, Daejeon, South Korea（韩国大田基础科学研究院）
本文证明了大小至少为5的字母表上不存在极值无平方字，还得出相关漫不经心字序列在这类字母表上无限且收敛到无限字的结论。
2026-08-12 math.CO
Lengths of Irreducible and Delicate Words
我们学习几乎避免重复的单词，因为“几乎”的几种含义。一个无平方（squarefree）的词是不可约的，如果去掉它内部的任何一个字母会产生一个平方（square）（分别是重叠（overlap）、立方（cube））。一个squarefree（分别是，squarefree，cubefree）的单词是微妙的，如果改变它的任何一个字母都会创建一个square（分别是，overlap，cube）。我们分类的长度不可约的和精致的squarefree，squarefree和cubefree的话，在二进制和三进制字母表。
2021-08-24 math.CO
Infinite ternary square-free words concatenated from permutations of a single word
我们回答了Harju的一个问题：一个无限的无平方三进制字与$n$ -干分解存在任何$n\ge 13$。我们证明了对于每个$k\ge 23$，存在长度为$k$的一致三元态射.这几乎完全解决了作者和Rampersad的一个问题。
2012-07-20 cs.FL math.CO
Cubefree words with many squares
我们构建无限立方二进制字包含指数许多不同的平方长度为n。我们还证明了对每一个正整数n，都存在一个长度为2n的无立方二进平方。
2008-11-19 cs.FL math.CO
A note on the maximum number of $k$-powers in a finite word
\emph{power}是$\underbrace{uu...u}_{k \; \text{times}}$形式的字，其中$u$是字，$k$是正整数;幂也称为{ \em $k$ -幂}，$k$是它的{ \em指数}。我们证明，对于任何$k \ge 2$，不同的非空$k$ -功率因子在一个字的长度$n$的最大数量是在$\frac{n}{k-1}-Θ(\sqrt{n})$和$\frac{n-1}{k-1}$。我们还证明了在一个长度为$n$的字中，指数至少为2的不同非空幂因子的最大数目至多为$n-1$。这两个上界都推广了Brlek和Li（2022）关于长度$n$字中不同平方因子的最大数量的$n-1$的最近上界。
2022-05-20 math.CO
Counting ternary square-free words quickly
本文提出了一种有效的算法，与穷举法相比，该算法用于计算字母表$\{a, b, c\}$上长度为$n$的无平方词的数目。
2021-05-10 cs.FL math.CO
Asymptotic bit frequency in Fibonacci words
已知不包含$k$连续1的二进制字由$k$阶斐波那契数枚举。在这篇笔记中，我们讨论的期望值的一个随机位的长度为$n$具有此属性的随机字。
2022-05-06 cs.DM math.CO
Borders, Palindrome Prefixes, and Square Prefixes
我们表明，长度为n的单词的数量在一个k字母表，甚至没有回文前缀是相同的长度为n的无边框的单词的数量，通过构建一个明确的双射之间的两个集合。一个稍有不同但类似的结果适用于那些没有奇数回文前缀的单词。利用边界上的已知结果，我们得到了没有偶数的单词的数量的渐近枚举（分别为，奇数）回文前缀。我们得到一个类似的结果，没有非平凡的回文前缀的话。最后，我们得到了类似的结果，没有平方前缀的话，从而证明了2013年Chaffin，Linderman，Sloane和Wilks的猜想。
2020-06-03 cs.DM cs.FL math.CO
Asymptotically half of binary words are shuffle squares
该研究证明了渐近意义上二进制单词中有一半是shuffle平方，并给出了具体数量的渐进行为。
2025-12-12 math.CO
Approximations of additive squares in infinite words
我们表明，每一个无限字$ω$上的有限子集的$\mathbb{Z}$必须包含任意大的因素$B_1B_2$是“接近”被\textit{additive squares}。我们还表明，对于所有的$k>1, \ ω$必须包含一个因子$U_1U_2 ... U_k$，其中$U_1,U_2,..., U_k$都有相同的\textit{average.}
2011-08-03 math.CO
On the Entropy and Letter Frequencies of Ternary Square-Free Words
我们列举了所有三进制长度为l的无平方词，这些词避免了长度为l的词的平方，其中l<=24。我们分析了相应的生成函数的奇异行为。这导致了新的熵上界三元平方免费的话。然后，我们考虑三进制平方自由字与固定的字母密度，从而证明指数增长性的某些合奏与各种字母密度。我们得出的后果的自由能和熵的三元平方免费的话。
2003-03-19 math-ph math.CO math.MP
Avoiding Square-Free Words on Free Groups
我们考虑的因素，可以避免在两个生成器的自由群的平方自由的话。该组的元素以0、1、2、3表示，使得0和2（分别为，1和3）是彼此的逆，因此02，20，13和31不会出现在简化字中。Dean字是一个简化字，它不包含任何非空$u$的$uu$的出现。Dean在1965年证明了存在无限个无平方约化词。我们表明，如果$w$是一个迪恩字的长度至少为59，然后有最多6个减少字的长度为3避免$w$。我们构造了一个无限的迪恩字，避免了6个长度约为3的缩减字。我们还构造了具有低临界指数的无限Dean字，并避免了长度为3的较少的缩减字。最后，我们表明，一个字母在迪恩字的最小频率是$8/59$和增长率接近1.45818。
2021-08-24 math.CO
There are More Than 2**(n/17) n-Letter Ternary Square-Free Words
我们证明了“连接常数”的三元平方免费的话至少是$2^{1/17} = 1.0416 ... $，提高Brinkhuis和Brandenburg的下界$2^{1/24}=1.0293 ...$和$2^{1/22}=1.032 ...$分别。这是自1983年以来的首次改善。
1998-09-23 math.CO
Note on powers in three interval exchange transformations
本文研究了无限字编码交换中的重复问题，即三个具有（3，2，1）排列的区间，称之为3iet字。这些单词的语言由两个参数$\varepsilon,\ell$确定。我们证明了3iet字的索引的有限性等价于$\varepsilon$的连分数的系数的有界性。在这种情况下，我们也给出了相应的3iet字的索引的上下估计。
2009-09-06 math.CO math.DS
Squarefree words with interior disposable factors
我们给出了一个问题的部分答案Harju通过构建一个无限的三元squarefree字$w$的属性，每个$k \geq 3312$有一个内部长度$k$因子的$w$，可以删除，同时仍然保持squarefreeness。我们还研究了Thue著名的squarefree字（通过迭代映射$0 \to 012$、$1 \to 02$、$2 \to 1$生成），并描述了删除出现在位置$i$的符号时保持squarefreeness的位置$i$。
2020-07-07 cs.FL math.CO
Constructing Words with High Distinct Square Densities
弗伦克尔和辛普森证明，在一个长度为n的单词中，不同的方块的数量从上到下以2n为界，因为最多两个不同的方块在每个位置的最右边或最后一个出现。Ilie对$2n-Θ(\log n)$的改进和Deza等人对11 n/6的改进依赖于FS-双平方的组合学研究，当最后两次出现的平方的最大数量开始时。在本文中，我们首先研究如何最大化一个词的前缀中的FS-双平方的游程。我们表明，对于一个给定的正整数m，一个字的最小长度开始的m FS-双平方，其长度是相等的，是7 m +3。我们构造了这样一个词，并分析了它的异方序列和异方密度。然后我们推广我们的构造。我们还构建了具有接近5/6的高独特平方密度的单词。
2017-08-22 cs.FL math.CO
Pairs of square-free arithmetic progressions in infinite words
LIRMM, Université de Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学国家科学研究中心信息、语言与机器学习实验室）
研究互质整数p,q≥3时，是否存在无限三元无平方单词，其模p和模q的子序列也是无平方的，证明了满足条件的(p,q)对只有有限个，并引入了无平方转换器的概念。
2026-05-28 math.CO
Rich square-free words
如果一个词w有|w| +1许多不同的回文因子，包括空词，那么这个词是丰富的。如果一个词没有因子uu，则它是无平方的，其中u是非空词。Pelantová和Starosta（Discrete Math.313（2013））证明了每一个无限丰富的词都包含一个平方。我们将给出这个结果的另一个证明。Pelantová和Starosta用r（n）表示，在一个大小为n的字母表上，最长的无平方丰富词的长度。r（n）的确切值是一个悬而未决的问题。我们将给出r（n）的一个上界和一个下界，并猜想我们的下界是精确的。我们还将推广的概念重复阈值有限类无限的话。episturmian和丰富的单词的重复阈值是一个悬而未决的问题。
2016-03-03 cs.FL math.CO
A Tighter Upper Bound for the Number of Distinct Squares in Circular Words
Hangzhou International Innovation Institute of Beihang University（北京航空航天大学杭州国际创新学院）；LMIB-School of Mathematical Sciences, Beihang University（北京航空航天大学数学科学学院）
研究圆周词中不同平方数的数量，改进上界至1.5n。
2026-05-12 math.CO
Words avoiding repetitions in arithmetic progressions
卡尔皮在一个4个字母的字母表上构造了一个无限的单词，它避免了由奇差的等差数列索引的所有序列中的平方。我们展示了卡尔皮的建设和折纸词之间的连接。我们扩展了Carpi的结果，通过构建不可数的许多字，避免平方等差数列的奇差。在奇差的等差数列中，我们还构造了避免重叠的无限字和避免任意大平方的无限字。我们使用这些词来构造二维整数格的标号，使得通过格的任何线都遇到无平方的（分别是）。标签序列。
2006-09-12 math.CO
Improved bounds on the number of ternary square-free words
改进的上界和下界上的平方无三进制字的数量。上界是基于长度为110的无平方数三进制字的枚举。下界是通过构造广义Brinkhuis三元组得到的。寻找这样的三元组的问题基本上可以归结为一个组合问题，可以有效地用计算机处理。特别是，它表明，长度为n的无平方三进制字的数量增长至少为65^（n/40），取代以前的最佳下界2^（n/17）。
2001-08-02 math.CO
Shuffle squares and ordered nest-free graphs
本文研究了洗牌正方形的表示方法及二进制单词的性质，提出了判断洗牌正方形的充分条件，并给出了相关反例。
2025-11-29 math.CO
