Characterization of the lengths of binary circular words containing no squares other than 00, 11, and 0101
James D. Currie, Jesse T. Johnson
我们的特点正是二进制循环字的长度不包含广场以外的00，11，和0101。关键词：词的组合学，循环词，项链，无平方词，非重复序列
We characterize exactly the lengths of binary circular words containing no squares other than 00, 11, and 0101. Key words: combinatorics on words, circular words, necklaces, square-free words, non-repetitive sequences
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
There are level ternary circular square-free words of length $n$ for $n\ne 5,7,9,10,14,17.$
一个单词是水平的，如果每个字母出现的次数相同，加或减1。我们给出了一个完整的特征的长度水平三元循环平方自由的话存在。关键词：词的组合学，循环词，项链，无平方词，非重复序列
The word inference problem is to determine languages such that the information on the number of occurrences of those subwords in the language can uniquely identify a word. A considerable amount of work has been done on this problem, but the same cannot be said for circular words despite growing interests on the latter due to their applications -- for example, in splicing systems. Meanwhile, Parikh matrices are useful tools and well established in the study of subword occurrences. In this work, we propose two ways of counting subword occurrences in circular words. We then extend the idea of Par…
We revisit the question of classification of balanced circular words and focus on the case of a ternary alphabet. We propose a $3$-dimensional generalisation of the discrete approximation representation of Christoffel words. By considering the minimal bound $3$ for abelian complexity of balanced circular words over a ternary alphabet, we provide a classification of all circular words over a ternary alphabet with abelian complexity subject to this bound. This result also allows us to construct an uncountable set of bi-infinite aperiodic words with abelian complexity equal to $3$.
Binary words containing infinitely many overlaps
我们的特点发生在无限的无幂二进制字的平方，并构建各种α功率免费的二进制字包含无限多的重叠。
A Tighter Upper Bound for the Number of Distinct Squares in Circular Words
研究圆周词中不同平方数的数量，改进上界至1.5n。
Circular words and applications
我们定义的概念，循环的话，然后考虑这样的话来自斐波那契条件的约束。我们给出了几个结果的结构，这些循环的话，然后提到可能的应用程序的各种情况下：周期性膨胀的编号系统中的数字，“GCD属性”的整数序列，分区的前缀的不动点的斐波那契替代，生成树的车轮。最后，我们提出一些开放的问题。
On ternary square-free circular words
循环字是循环有序的有限字母序列。我们给出了Currie的一个无计算机证明：三进制字母表上的无平方循环字对于除5、7、9、10、14和17以外的所有长度$l$都存在。我们的证明揭示了一个有趣的三元平方无循环词和封闭的散步之间的连接在$K_{3{,}3}$图。此外，我们的证明意味着一个指数下界的长度$l$，并允许列出所有的长度$l$，这样的循环字是唯一的同构。
We reconsider the classical equality 0.999. .. = 1 with the tool of circular words, that is: finite words whose last letter is assumed to be followed by the first one. Such circular words are naturally embedded with algebraic structures that enlight this problematic equality, allowing it to be considered in Q rather than in R. We comment early history of such structures, that involves English teachers and accountants of the first part of the xviii th century, who appear to be the firsts to assert the equality 0.999. .. = 1. Their level of understanding show links with Dubinsky et al.'s apos th…
Construction Of A Rich Word Containing Given Two Factors
具有$\vert w\vert=n$的有限字$w$最多包含$n+1$个不同的回文因子。如果达到了绑定的$n+1$，则单词$w$称为\emph{rich}。令$\Factor(w)$为字$w$的因子集。众所周知，存在成对的丰富词，它们不能成为共同丰富词的因子。然而，对于给定的富词对$u,v$，如何确定是否存在富词$w$使得$\{u,v\}\subseteq \Factor(w)$是一个开放的问题。我们提出了一个回答这个开放的问题：\\如果$w_1, w_2,w$是丰富的话，$m=\max{\{\vert w_1\vert,\vert w_2\vert\}}$，和$\{w_1,w_2\}\subseteq \Factor(w)$，那么也存在一个丰富的词$\bar w$，使$\{w_1,w_2\}\subseteq \Factor(\bar w)$和$\vert \bar w\vert\leq m2^{k(m)+2}$，其中$k(m)=(q+1)m^2(4q^{10}m)^{\log_2{m}}$和$q$是字母表的大小。因此，检查长度等于或小于$m2^{k(m)+2}$的所有富字就足够了，以便确定是否存在包含因子$w_1,w_2$的富字。
On the context-freeness of the set of words containing overlaps
我们表明，一组包含重叠的二进制字是不明确的上下文无关，一组包含重叠的三进制字是不上下文无关。我们还表明，一组二进制的话，不是子词的Thue-Morse字是不明确的上下文无关。
The Tight Upper Bound on the Number of Distinct Squares in Circular Words
本文证明了长度为 $n$ 的循环单词中长度不超过 $n$ 的不同平方数至多为 $\lfloor 3n/2 \rfloor$，该上界紧，且与已知下界一致。
Repetition Avoidance in Circular Factors
我们考虑以下来自单词组合学的经典避免问题的新变化：不是避免单词的所有因素中的重复，而是避免所有因素中的重复，其中每个单独的因素被认为是“循环单词”，即，这个词的结尾会绕到开头。我们确定最好的可能避免指数为字母大小2和3，并提供了一个更大的字母的下限。
Circular repetition thresholds on some small alphabets: Last cases of Gorbunova's conjecture
如果一个字没有大于或等于$β$的指数因子，则该字称为无$β$。重复阈值$\mathrm{RT}(k)$是所有$β$的集合的下确界，使得存在任意长的$k$元无$β$字（或等效地，存在每个足够大的长度或甚至每个长度的$k$元无$β$字）.重复阈值的这三个等价定义产生了循环词重复阈值的三个自然定义。所有$β$的集合的下确界使得-存在任意长的$k$元$β$ -自由循环字被称为弱循环重复阈值，表示为$\mathrm{CRT}_{\mathrm{W}}(k)$ ; -存在$k$元$β$ -自由循环字，每个足够大的长度被称为中间循环重复阈值，表示为$\mathrm{CRT}_{\mathrm{I}}(k)$ ;- 存在$k$ -元$β$ -每个长度的无循环字被称为强循环重复阈值，表示为$\mathrm{CRT}_{\mathrm{S}}(k)$。我们证明了$\mathrm{CRT}_{\mathrm{S}}(4)=\tfrac{3}{2}$和$\mathrm{CRT}_{\mathrm{S}}(5)=\tfrac{4}{3}$，证实了Gorbunova的猜想，并提供了最后的未知值的强循环重复阈值。我们还证明了$\mathrm{CRT}_{\mathrm{I}}(3)=\mathrm{CRT}_{\mathrm{W}}(3)=\mathrm{RT}(3)=\tfrac{7}{4}$ .
On the probability of existence of a universal cycle or a universal word for a set of words
对于一组给定的单词来说，通用循环（universal cycle）或u循环是一个循环单词，它包含该组单词中的每个单词作为一个连续的子单词。著名的de Bruijn序列是这种u循环的一个特例，其中所讨论的集合是在$k$ -字母表$A$上长度为$n$的所有字的集合$A^n$。一个普遍的词，或u-词，是一个线性的，即非循环的，版本的概念u-循环，它是类似的定义。删除$A^n$中的某些单词可能会产生（也可能不会产生）一组存在u循环或u单词的单词。本文的目的就是研究在这种情况下泛对象存在的概率。我们给出了在一般情况下的概率的下界，并得出明确的答案，在$A^n$中删除两个字的情况下，或$k=2$和$n\leq 4$的情况下。
Words containing all permutations of a family of factors
我们证明，如果一个一致经常性的无限字包含作为一个因素的任何有限的置换的话，从一个无限的家庭，那么这个字是周期性的，或其复杂性（即，因素的数量）增长速度比线性。这个结果推广了de Luca和Zamboni最近的一篇论文中的一个引理，其中证明了这样一个无限词不可能是Sturmian的。
Infinite words containing squares at every position
Richomme问了以下问题：什么是下确界的实数$α$ > 2，这样就存在一个无限的字，避免$α$ -权力，但包含任意大的广场开始在每一个位置？我们解决这个问题的情况下，一个二进制字母表的答案是$α$ = 7/3。
Circular critical exponents for Thue-Morse factors
我们证明了各种结果的最大指数的重复在一个因素的Thue-Morse字，当该因素被认为是一个循环词。我们的结果证实并推广了Fitzpatrick和Aberkane & Currie的结果。
Binary Words Containing Few Abelian Squares
本文扩展了Fici和Saarela的猜想，证明在某些特殊情况下该猜想成立，并提出在其他情况下通过Parikh向量构造词以最小化阿贝尔平方数量。
On fractal patterns in Ulam words
该研究刻画了含两个1的Ulam词的结构，提出对数时间判定算法，揭示其相关性质，并构造出含向外Sierpinski垫片的自相似分形族。
On avoidance of patterns of the form σ-τ by words over a finite alphabet
椭圆形或虚线模式类似于经典模式，只是出现的某些字母需要相邻。我们证明了几个无限家庭的威尔夫等价的k元的话，涉及包含一个破折号，这解释了大多数的长度为4的这种模式的等价见证的vincular模式。当结合以前的结果，数值证据，并在特定情况下的一些参数，我们得到完整的威尔夫分类长度为4的所有vincular模式包含一个破折号。在某些情况下，我们的证明进一步表明，等价性保持多集排列，因为它被看作是尊重每个字母在一个单词中出现的次数。对长度为4的模式σ给出了一些相关的计数结果，其中包括关于[k]^n的成员个数的生成函数公式，避免了形式为11 a-b的任何σ.
In the paper, by virtue of expansions of two finite products of finitely many square sums, with the aid of series expansions of composite functions of (hyperbolic) sine and cosine functions with inverse sine and cosine functions, and in the light of properties of partial Bell polynomials, the author establishes Taylor's series expansions of real powers of two functions containing squares of inverse (hyperbolic) cosine functions in terms of the Stirling numbers of the first kind, presents an explicit formula of specific partial Bell polynomials at a sequence of derivatives of a function contain…
The Weak Circular Repetition Threshold Over Large Alphabets
在$n$字母上的单词的重复阈值（记为$\mbox{RT}(n)$）是所有$r$的集合的下确界，使得在$n$字母上存在任意长的无$r$的单词。$n$字母上的循环词的重复阈值可以以三种自然的方式定义，这产生了$n$字母的弱、中等和强循环重复阈值，分别表示为$\mbox{CRT}_{\mbox{W}}(n)$、$\mbox{CRT}_{\mbox{I}}(n)$和$\mbox{CRT}_{\mbox{S}}(n)$。Currie和本作者证实，所有$n\geq 4$的$\mbox{CRT}_{\mbox{I}}(n)=\mbox{CRT}_{\mbox{W}}(n)=\mbox{RT}(n)$。我们证明了对于所有的$n\geq 45$，$\mbox{CRT}_{\mbox{W}}(n)=\mbox{RT}(n)$，这证实了这个猜想的一个弱版本，但$n$的许多值。
Some statistics on restricted 132 involutions
在[通用汽车]吉伯特和曼苏尔研究对合n字母避免（或包含一次）132和避免（或包含一次）任意模式的k字母。他们还建立了一个双射之间的132-避免对合和戴克词前缀的相同长度。将这种双射扩展到双边词可以确定更多的参数;特别是，我们考虑了对合到词上的反转和上升的数量。这是考虑两个不同方向的起点：偶/奇对合和一些广义模式的统计。因此，我们首先研究生成函数的偶数或奇数对合的n个字母避免（或包含一次）132和避免（或包含一次）任意模式$τ$的k个字母。在一些有趣的情况下，生成函数只依赖于k，并通过第二类切比雪夫多项式表示。接下来，我们考虑132-避免对合的其他统计，通过计数一些广义模式的出现，根据上升的数量与枚举有关。
Generalized de Bruijn words for Primitive words and Powers
我们表明，对于每一个$n \geq 1$和任何有限的字母表，有一个字的循环因子的长度$n$有一个一对一的对应关系的原始字的集合。特别是，我们证明了这样一个词可以通过一个贪婪算法，或通过连接所有林登字的长度$n$在增加字典顺序。我们还研究了原始词的de Bruijn图和Lyndon图之间的联系。最后，我们还表明，最短的字，包含每个$p$ -权力的长度$pn$在一个$k$ -字母表的长度之间的$pk^n$和大约$(p+ \frac{1}{k}) k^n$，所有整数$p \geq 1$。提供了一种生成达到该上界的词的算法。
Forbidden Induced Subgraph Characterization of Word-Representable Split Graphs
本文通过引入I-圆属性，建立了半传递分裂图与邻接矩阵之间的联系，并给出了其最小禁止诱导子图的特征。
Partial words with a unique position starting a square
我们考虑具有独特位置的部分词开始幂。我们发现，在一个$k$字母表，一个部分字与一个独特的位置开始一个广场可以包含最多$k$广场。这与完整的单词相反，如果一个独特的位置开始一个幂，那么完整的单词最多可以包含一个幂。对于某些较高的权力，我们展示了二进制部分字包含三个权力，所有这些权力都开始在同一位置。
On k-11-representable graphs
如果在$w$中删除除$x$和$y$的副本之外的所有字母之后，我们或者获得$xyxy\cdots$形式的单词（偶数或奇数长度）或者获得$yxyx\cdots$形式的单词（偶数或奇数长度），则不同的字母$x$和$y$在单词$w$中交替。一个简单的图$G=(V,E)$是词可表示的，如果在字母表$V$上存在一个词$w$，使得字母$x$和$y$在$w$中交替当且仅当$xy$是$E$中的一条边。因此，通过在表示$G$的字中避免连续图案11，即通过避免$xx$和$yy$，来定义$G$的边缘。在2017年，Jeff Remmel为非负整数$k$引入了$k$ - $11$ -可表示图的概念，它推广了词可表示图的概念。在这种表示下，通过在表示$G$的字中包含连续模式$11$的最多$k$出现来定义$G$的边。因此，词可表示图精确地是$0$ - $11$ -可表示图。本文的主要结果是证明了任何图都是$2$ - $11$ -可由排列的串联表示的，考虑到排列的串联在$0$ - $11$ -表示的情况下具有有限的功率，这是相当令人惊讶的。此外，我们表明，类的字表示图，在文献中深入研究，严格包含在类的$1$ - $11$ -表示图。我们证明的另一个结果是这样一个事实，即区间图的类正是$1$ - $11$ -可表示图的类，它可以由每个字母包含两个副本的统一单词表示。这个结果可以与已知的事实相比，即圆图的类恰好是$0…
On Circular Threshold Words and Other Stronger Versions of Dejean's conjecture
本文提出了一种构造更强阈值词的方法，并改进了德吉安猜想的证明方法。
In this paper, we find an explicit formula for the generating function that counts the circular permutations of length n avoiding the pattern 23 4 1 whose enumeration was raised as an open problem by Rupert Li. This then completes in all cases the enumeration of circular permutations that avoid a single vincular pattern of length four containing one vinculum. To establish our results, we introduce three auxiliary arrays which when taken together refine the cardinality of the class of permutations in question. Rewriting the recurrences of these arrays in terms of generating functions leads to f…
Scattered factor (circular) universality was firstly introduced by Barker et al. in 2020. A word $w$ is called $k$-universal for some natural number $k$, if every word of length $k$ of $w$'s alphabet occurs as a scattered factor in $w$; it is called circular $k$-universal if a conjugate of $w$ is $k$-universal. Here, a word $u=u_1\cdots u_n$ is called a scattered factor of $w$ if $u$ is obtained from $w$ by deleting parts of $w$, i.e. there exists (possibly empty) words $v_1,\dots,v_{n+1}$ with $w=v_1u_1v_2\cdots v_nu_nv_{n+1}$. In this work, we prove two problems, left open in the aforementio…
Palindromic Subsequences in Finite Words
在1999年，Lyngsweed和Pedersen提出了一个猜想，指出每个长度为$n$且0和1个数相等的二进制循环字都有一个长度至少为$\frac{2}{3}n$的反回文线性子序列。从那时起，在平凡的$\frac{1}{2}n$界限上没有取得任何进展。我们提出了一个回文对应这个猜想，并提供了一个非平凡的无限系列的循环的话，证明了上界的$\frac{2}{3}n$在同一时间的两个命题。这个构造也适用于字母表大小为$k$的单词，并引起了Lyngsweeten和Pedersen猜想的推广。此外，我们讨论了一些可能的加强和削弱命名的结构。我们还提出了线性词的两个相似的结构，并为它们提供了一些证据。
Cubefree words with many squares
我们构建无限立方二进制字包含指数许多不同的平方长度为n。我们还证明了对每一个正整数n，都存在一个长度为2n的无立方二进平方。
A Generating Function for the Distribution of Runs in Binary Words
令$N(n,r,k)$表示以$0$开始并且精确地包含$k$游程的长度为$n$的二进制字的数目（即，相同连续符号的最大子字）的长度$r$。我们证明了序列$N(n,r,0)$，$n=0,1,\ldots$的生成函数是$(1-x)(1-2x + x^r-x^{r+1})^{-1}$，而$\{N(n,r,k)\}$的生成函数是$x^{kr}$乘以它的$k+1$幂。我们扩展到计数的话，正好包含$k$运行的$1$的使用对称的二进制字的集合。
It is known that binary words containing no $k$ consecutive 1s are enumerated by $k$-step Fibonacci numbers. In this note we discuss the expected value of a random bit in a random word of length $n$ having this property.
Counting occurrences of a pattern in a binary word
本文提出字典序极值引用方法，给出二元词中出现次数的计算公式，并构造算法枚举包含给定词 p 的二元词及本原词，以研究 B_{n,p}(k)。
Lengths of extremal square-free ternary words
固定字母表$Σ$上的无正方形字$w$是极值的，如果通过插入来自$Σ$的单个字母（在任何位置）从$w$获得的每个字都包含正方形。Grytczuk等人最近引入了极值无平方字的概念，并证明了存在任意长的极值无平方三进制字。我们发现所有的长度，承认一个极值平方免费三进制字。特别是，我们表明，有一个极值平方免费三进制字的每一个足够大的长度。我们还解决了循环词的类似问题。
Sturmian words, $β$-shifts, and transcendence
考虑包含由给定Sturmian字生成的移位空间的最小$β$ -移位。本文刻画了这类$β$，研究了它的组合性质、动力性质和拓扑性质，证明了这类$β$是超越数.
Superpermutation matrices
超置换是包含每个置换作为因子的有限字母表上的字。求超置换的最小长度仍然是一个未解决的问题。在这篇文章中，我们介绍超置换矩阵。通过一个等价关系，建立了对称群$S_n$的商的最小泛字长度与矩阵的最小规模之间的联系.然后，我们将给出非平凡的界限上的最小长度这样一个字，并证明了他们的比例时，$n$接近无穷大的限制是2。
Square-free Word-representation of Word-representable Graphs
本文证明了任何非空词可表示图均可用无平方词表示，并探讨了无平方词表示在图论中的应用与计数。
Pairs of square-free arithmetic progressions in infinite words
研究互质整数p,q≥3时，是否存在无限三元无平方单词，其模p和模q的子序列也是无平方的，证明了满足条件的(p,q)对只有有限个，并引入了无平方转换器的概念。
Quelques méthodes pour les mots sturmiens
在本书用法语写的这一章中，我们考虑Sturmian词的经典族，定义为只包含长度为$n$的$n+1$因子的非周期无限词，该长度是最小可能值。我们将讨论几种在专著中没有描述的Sturmian词的技术。特别是，我们将考虑几何对偶方法由Berstel和Pocchiola和回文因子和Ostrowski计数系统之间的联系。我们还将讨论一个关于回文长度的猜想，这个猜想在Sturmian词上被证明是用两种完全不同的方法证明的。
We re-examine previous constructions of infinite binary words containing few distinct squares with the goal of finding the "simplest", in a certain sense. We exhibit several new constructions. Rather than using tedious case-based arguments to prove that the constructions have the desired property, we rely instead on theorem-proving software for their correctness.
Pattern 1^j0^i avoiding binary words
本文研究了避免固定模式的特殊二进制字的枚举和按一的个数构造。这类词的增长可以用特定的跳跃和明显的继承规则来描述。这种方法使我们能够获得一种算法，该算法构造所有具有固定数量的二进制字，然后杀死那些包含禁止模式的二进制字。
Scattered Factor-Universality of Words
一个词$u=u_1\dots u_n$是一个词$w$的分散因子，如果$u$可以从$w$通过删除它的一些字母获得：存在（可能为空的）词$v_0,v_1,..,v_n$，使得$w = v_0u_1v_1...u_nv_n$。直到一个词的长度$k$的所有分散因子的集合被称为它的全$k$谱。首先，我们展示了一个算法，决定是否$k$ -频谱为给定的$k$的两个字是相等的或不，运行在最佳的时间。其次，我们考虑分散因子普遍性的概念：单词$w$与$\letters(w)=Σ$一起被称为$k$ -如果它的$k$ -谱包括字母表$Σ$上长度为$k$的所有单词，则它是普遍的;我们将这个概念扩展到$k$ -循环普遍性。经过一系列的初步组合结果，我们提出了一个算法计算，对于一个给定的$k'$ -通用字$w$的最小$i$，$w^i$是$k$ -通用的一些$k>k'$。其他几个相关的问题也被考虑。
Exact Dominion of the Prism Graph: Enumeration by Congruence Class via Cyclic Words
该研究通过循环词方法，提出了一种按同余类分层计算棱柱图支配数的显式公式，并揭示了支配问题在不同算术领域的特性。
New results on pseudosquare avoidance
我们首先考虑包含最小可能数量的平方和反平方的二进制字（其中反平方是一个形式为$x \overline{x}$的字），我们完全分类可能发生的可能性。我们考虑避免使用$x p(x)$和$x t(x)$，其中$p$是底层字母表的任意排列，而$t$是底层字母表的任意变换。最后，我们证明了存在一个无限的二进制字，同时避免所有的出现$x h(x)$的每一个非擦除态射$h$和所有足够大的字$x$。
The prefix palindromic length $\mathrm{PPL}_{\mathbf{u}}(n)$ of an infinite word $\mathbf{u}$ is the minimal number of concatenated palindromes needed to express the prefix of length $n$ of $\mathbf{u}$. Since 2013, it is still unknown if $\mathrm{PPL}_{\mathbf{u}}(n)$ is unbounded for every aperiodic infinite word $\mathbf{u}$, even though this has been proven for almost all aperiodic words. At the same time, the only well-known nontrivial infinite word for which the function $\mathrm{PPL}_{\mathbf{u}}(n)$ has been precisely computed is the Thue-Morse word $\mathbf{t}$. This word is $2$-autom…
Perfect Necklaces
我们引入德布鲁因的一个变体，我们称之为完美的项链。固定一个有限的字母表。回想一下，单词是字母表中符号的有限序列，而循环单词或项链是单词在旋转下的等价类。对于正整数k和n，我们称项链（k，n）-完美，如果每个长度为k的字在起始点上的任何约定都不同的模n的位置上正好出现n次。我们称一条项链是完美的，如果它是（k，k）-完美的某个k。证明了每个差与字母表大小互质的等差数列诱导出一条完美项链。特别是，所有相同长度的单词按照词典顺序连接起来，会产生一条完美的项链。对于每个k和n，我们给出了（k，n）-完美项链个数的闭公式。最后，我们证明，每一个无限的周期序列，其周期符合一些（k，n）完美的项链，任何n，通过所有的统计测试的大小为k，但不是所有更大的测试。这最后一个定理激发了这项工作。
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