On ternary square-free circular words
循环字是循环有序的有限字母序列。我们给出了Currie的一个无计算机证明：三进制字母表上的无平方循环字对于除5、7、9、10、14和17以外的所有长度$l$都存在。我们的证明揭示了一个有趣的三元平方无循环词和封闭的散步之间的连接在$K_{3{,}3}$图。此外，我们的证明意味着一个指数下界的长度$l$，并允许列出所有的长度$l$，这样的循环字是唯一的同构。
2010-09-29 cs.DM cs.FL math.CO
Borders, Palindrome Prefixes, and Square Prefixes
我们表明，长度为n的单词的数量在一个k字母表，甚至没有回文前缀是相同的长度为n的无边框的单词的数量，通过构建一个明确的双射之间的两个集合。一个稍有不同但类似的结果适用于那些没有奇数回文前缀的单词。利用边界上的已知结果，我们得到了没有偶数的单词的数量的渐近枚举（分别为，奇数）回文前缀。我们得到一个类似的结果，没有非平凡的回文前缀的话。最后，我们得到了类似的结果，没有平方前缀的话，从而证明了2013年Chaffin，Linderman，Sloane和Wilks的猜想。
2020-06-03 cs.DM cs.FL math.CO
No extremal square-free words over large alphabets
如果一个字不包含任何方块（形式为$XX$的字），则它是无方块的;如果它不能通过在任何位置插入一个字母来扩展成一个新的无方块的字，则它是极端无方块的。Grytczuk、Kordulewski和Niewiadomski证明了存在无穷多个三元极值无平方词。我们建立，有没有极值平方自由的话超过任何字母表的大小至少为17。
2021-09-09 cs.DM math.CO
Critical factorisation in square-free words
如果$p$处的最小局部周期等于$w$的全局周期，则字$w$中的位置$p$是关键的。根据临界因子分解定理，所有长度至少为2的单词都有一个临界点。本文研究了无平方数三进制字$w$的临界点个数$η(w)$，即，三个字母的单词我们证明了足够长的无方块字$w$满足$η(w) \le |w|-5$，其中$|w|$表示$w$的长度。此外，通过无限多个单词可以达到界限$|w|-5$。另一方面，每个无平方词$w$至少有$|w|/4$临界点，并且有一个接近这个界限的这些词的序列。
2021-07-20 cs.DM math.CO
p-complete square-free Word-representation of Word-representable Graphs
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
本文研究了p-完全平方自由的词表示法，证明了特定图类的表示性质并给出了构造方法。
2025-12-24 cs.DM math.CO
Avoiding large squares in infinite binary words
我们考虑三个方面，避免大广场无限二进制字。首先，我们构造一个无限二进制字，避免立方xxx和平方yy，|y| >= 4;我们的构造比Dekking的原始构造简单一些。第二，我们构造一个无限二进制字，避免除了00、11和0101之外的所有方块;我们的构造比Fraenkel和Simpson的原始构造简单一些。在这两种情况下，我们还展示了如何修改我们的建设，以获得指数许多字的长度为n与给定的避免属性。最后，我们通过证明存在两个无限二进制字，每个字都避免任意大的方块，使得它们的完美洗牌具有任意大的方块，来回答1979年的Dupinger和Urbanek的一个公开问题。
2003-06-04 cs.DM math.CO
A Note on Squares in Binary Words
我们考虑二进制字母表上的单词。如果一个词$w$不具有非空$u$的$uvuvu$形式的因子（连续字母块），则该词是无尾的。令$M(w)$表示作为$w$中的正方形的中间位置的位置的数目。我们表明，对于无干扰二进制字，$2M(w) \le |w|+3$，并有无限多的无干扰二进制字，其中$2M(w)=|w|+3$。
2021-08-10 cs.DM math.CO
On infinite words avoiding a finite set of squares
通过一次添加一个字母同时避免创建正方形来构建一个无限的无正方形单词是最有可能失败的。当字母表有两个字母时，这种方法是不可能的。当字母表有三个或更多的字母时，人们很可能会创造一个单词，其中任何字母的添加都不可避免地产生一个正方形。当一个人限制的集合不需要的广场有限的一个，这是可能的。我们研究的字母表和一组允许这种方法工作的广场上的限制。
2013-10-26 cs.DM math.CO
Maximum Number of Distinct and Nonequivalent Nonstandard Squares in a Word
一个词中的平方的组合学取决于平方的两半的等价是如何定义的。我们考虑阿贝尔平方，参数化的平方和订单保持平方。如果$u$和$v$在阿贝尔（参数化的，保序的）意义上等价，则单词$uv$是阿贝尔（参数化的，保序的）平方。已知一个字中最大的普通平方数是渐近线性的，但精确的界仍在研究中。我们提出了几个结果的最大数目不同的平方非标准的子字等价关系。令$\mathit{SQ}_{\mathrm{Abel}}(n,σ)$和$\mathit{SQ}'_{\mathrm{Abel}}(n,σ)$分别表示长度为$n$的字在大小为$σ$的字母表上的最大阿贝尔平方数，它们作为字是不同的，在阿贝尔意义上是不等价的。对于$σ\ge 2$，我们证明了$\mathit{SQ}_{\mathrm{Abel}}(n,σ)=Θ(n^2)$，$\mathit{SQ}'_{\mathrm{Abel}}(n,σ)=Ω(n^{3/2})$和$\mathit{SQ}'_{\mathrm{Abel}}(n,σ) = O(n^{11/6})$。我们还给出了线性边界参数化和保序广场的字母表的恒定大小：$\mathit{SQ}_{\mathrm{param}}(n,O(1))=Θ(n)$，$\mathit{SQ}_{\mathrm{op}}(n,O(1))=Θ(n)$。对于保序正方形，上界对字母表大小有二次依赖性，对于参数化正方形，上界对字…
2016-04-08 cs.DM cs.FL
Simultaneous avoidance of large squares and fractional powers in infinite binary words
1976年，Dekking证明了存在一个无限二进制字，它既不包含y >= 4的平方yy，也不包含立方xxx。我们证明了“立方”可以被任何> 5/2的分数幂所取代。我们也考虑类似的问题，其中“4”被替换为任何整数。这导致了一个有趣而微妙的层次结构。
2003-04-29 cs.DM math.CO
Binary Words Containing Few Abelian Squares
Akita University（秋田大学）；Loughborough University（拉夫堡大学）
本文扩展了Fici和Saarela的猜想，证明在某些特殊情况下该猜想成立，并提出在其他情况下通过Parikh向量构造词以最小化阿贝尔平方数量。
2026-04-25 cs.DM math.CO
Subword complexity and power avoidance
本文系统地研究了无限词的子词复杂度与其幂回避之间的关系。除其他事项外，我们表明，-Thue-Morse字具有最小可能的子字复杂度超过所有的二进制字和所有$(\frac 73)$ -功率免费的二进制字，但不是所有的$(\frac 73)^+$ -功率免费的二进制字;--扭曲的Thue-Morse字在所有无符号二进制字中具有最大可能的子字复杂度，但是没有字具有超过所有$(\frac 73)$ -无幂二进制字的最大子字复杂度; -如果某个字达到超过所有无平方的三进制字的最小可能子字复杂度，则一个这样的字是三进制Thue字;--最近构造的1-2-bonacci字在所有\textit{symmetric}无平方的三进制字中具有最小可能的子字复杂度。
2018-01-16 cs.DM cs.FL math.CO
Cubefree binary words avoiding long squares
Entringer、Jackson和Schatz在1974年提出，每个无限无立方二进制字都包含任意长的平方。本文证明了这一猜想是错误的：存在无限个避开所有正方形xx且|x| >= 4的无立方二进制字，且数字4是最可能的.然而，如果用“无立方”代替“无立方”，则Entringer-Jackson-Schatz猜想成立。
2003-04-07 cs.DM math.CO
Parikh Motivated Study on Repetitions in Words
我们引入的概念，一般打印的一个字，这是充实的某些典型的分解，研究重复的话。这些相关的分解，当递归地应用于一个单词时，会产生我们所说的单词的核心印记。获得一个普通单词的核心印记的路径的长度是仔细检查的。本文还研究了关于Parikh矩阵映射的无平方三元词类，Parikh矩阵映射是经典Parikh映射的推广。它表明，只有许多矩阵等价类的三元词，使所有的话，在每个类是平方免费的。最后，我们采用无平方态射生成无限多对无平方三进制字，共享相同的Parikh矩阵。
2018-07-17 cs.DM math.CO
On Avoiding Sufficiently Long Abelian Squares
有限字$w$是阿贝尔平方，如果$w = xx^\prime$，其中$x^\prime$是$x$的置换。在1972年，Entringer、Jackson和Schatz证明了每个长度为$k^2 + 6k$的二进制字都包含一个长度为$\geq 2k$的阿贝尔平方。我们使用笛卡尔格路径的特征阿贝尔平方在二进制序列，并构建一个二进制字的长度$q(q+1)$避免阿贝尔平方的长度$\geq 2\sqrt{2q(q+1)}$或更大。因此，我们证明了避免长度为$2k$的阿贝尔平方的最长二进制字的长度是$Θ(k^2)$。
2010-12-02 cs.DM math.CO
Avoiding squares over words with lists of size three amongst four symbols
在2007年，Grytczuk猜想对于任何大小为$3$的字母序列$(\ell_i)_{i\ge1}$，存在一个无平方的无限字$w$，使得对于所有$i$，$w$的第$i$个字母属于$\ell_i$。1906年Thue的结果意味着，如果所有的$\ell_i$都相同，则存在无限无平方字。另一方面，Grytczuk、Przybyzio和Zhu在2011年证明，如果$\ell_i$的大小是$4$而不是$3$，则它也成立。在这篇文章中，我们首先证明，如果列表的大小为$4$，则无平方词的数量至少为$2.45^n$（以前的类似界限为$2^n$）。然后，我们展示了我们的主要结果：我们可以构建这样一个无平方的字，如果列表的大小$3$的大小相同的字母表的大小$4$的子集。我们的证明也意味着，至少有$1.25^n$平方无字的长度$n$任何这样的列表分配。这个证明依赖于一组用计算机验证的系数的存在。我们猜想，通过这种方法，可以用一台功能更强大的计算机来解决整个猜想（但我们可能需要等待几十年才能得到这样的计算机）。
2021-05-11 cs.DM math.CO
The lexicographically least square-free word with a given prefix
本文研究给定前缀的字典序最小无平方无限单词，证明其与标尺序列的结构关联，并给出生成特定字母及双字母前缀对应单词的态射。
2022-11-02 cs.DM math.CO
A square root map on Sturmian words
我们在Sturmian词上引入了一个平方根映射，并研究了它的性质。给定一个斜率为$α$的Sturmian词，在它的语言中正好存在六个最小平方（一个最小平方没有一个平方作为适当的前缀）。斜率为$α$的Sturmian词$s$可以写成这六个最小平方的乘积：$s = X_1^2 X_2^2 X_3^2 \cdots$。$s$的平方根定义为单词$\sqrt{s} = X_1 X_2 X_3 \cdots$。本文的主要结果是：$\sqrt{s}$也是斜率$α$的Sturmian字。此外，我们的平方根映射的Sturmian不动点的特点，我们描述了如何找到截距的$\sqrt{s}$和任何前缀的$\sqrt{s}$在$s$的出现。与平方根映射相关，我们描述了字方程$X_1^2 X_2^2 \cdots X_n^2 = (X_1 X_2 \cdots X_n)^2$的斜率$α$的Sturmian字的语言的解决方案，其中字$X_i^2$是斜率$α$的最小平方。我们还研究了平方根映射在一个更一般的设置。我们明确地构造了平方根映射的非Sturmian不动点的无限集合。我们表明，这些话产生的子移位$Ω$有一个奇怪的属性：所有的$w \in Ω$无论是$\sqrt{w} \in Ω$或$\sqrt{w}$是周期性的。特别地，平方根映射可以将非周期性字映射到周期性字。
2015-09-21 cs.DM
Lyndon Words, the Three Squares Lemma, and Primitive Squares
我们重新审视所谓的“三个正方形引理”的Crochemore和Rytter [Eschermica 1995]，并使用参数的基础上林登的话，得出一个更一般的变种，认为三个重叠的广场不一定有一个共同的前缀。我们还给出了一个改进的上界$n\log_2 n$上的最大数量（出现）连续根广场的长度$n$，也使用参数的基础上林登字。据我们所知，唯一已知的上限是$n \log_ϕn \approx 1.441n\log_2 n$，其中$ϕ$是黄金比例，由Fraenkel和Simpson [TCS 1999]通过三平方引理获得。
2020-07-22 cs.DM
Avoidability of long $k$-abelian repetitions
我们研究了长$k$ -阿贝尔平方和$k$ -阿贝尔立方体在二进制和三进制字母表上的可避免性。对于$k=1$来说，这些都是Mäkelä的问题。我们表明，一个人不能避免阿贝尔立方体的阿贝尔周期至少$2$在无限二进制的话，因此回答否定的一个问题从Mäkelä。然后，我们可以避免$3$ -阿贝尔平方周期至少$3$在无限二进制字和$2$ -阿贝尔平方周期至少2在无限三进制字。最后，我们研究了不同的$k$ -阿贝尔平方，必须出现在一个无限的二进制字的最小数目。
2015-07-09 cs.DM math.CO
On the maximal number of cubic subwords in a string
我们调查的最大数量的立方子字（形式$www$）在一个给定的词的问题。我们还考虑正方形子字（形式为$ww$）。一个单词中最大平方数的问题还没有很好地理解。文中给出了与此问题有关的几个新结果。我们考虑两个简单的问题，这是平方或高度重复的子字的最大数量，然后我们提供了一个非平凡的估计立方体的数量。我们表明，最大数量的平方$xx$，$x$是不是一个原始的字（非原始平方）在一个字的长度$n$正是$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor - 1$，和最大数量的子字的形式$x^k$，为$k\ge 3$，正是$n-2$。特别地，字中的立方体的最大数量也不大于$n-2$。使用非常技术性能的出现立方体，我们提高了这个界限显着。我们表明，在一个字的长度$n$的立方体的最大数量是$(1/2)n$和$(4/5)n$之间。(In特别是，我们从会议版本的文件中改进了下界。
2009-11-06 cs.DM cs.FL
Fewest repetitions in infinite binary words
一个正方形是一个非空单词与它自身的连接。一个单词有周期p，如果它的字母在距离p匹配。非空字的指数是其长度除以其最小周期的商。本文证明了存在一个无限二进制字，它包含2/4个平方，同时避免了指数大于7/3的字。我们的无限字包含12个平方，这是获得该属性的最小可能平方数，以及2个指数7/3的因子。这些是指数大于2的唯一因子。值7/3引入了我们所说的二进制字母表的有限重复阈值。我们推测它是7/4的三进制字母表，就像它的重复阈值。
2012-07-24 cs.DM
Tight bounds on the number of non-equivalent parameterized squares in a word
Kyushu University（九州大学）；Institute of Science Tokyo（东京科学大学）；University of Warsaw（华沙大学）
本文针对单词中非同余参数化平方数的上界问题，将原有上界2σ!n改进为小于σn，并构造实例证明该上界渐近紧。
2026-09-03 cs.DM cs.DS
Decision Algorithms for Fibonacci-Automatic Words, with Applications to Pattern Avoidance
我们实现了一个决策过程，回答一类无限的话，可能被称为（缺乏一个更好的名字）“斐波那契自动”的问题。例如，这个类包括著名的斐波那契数列f = 01001010...，态射0 -> 01和1 -> 0的不动点。然后，我们从文献中恢复了许多关于斐波那契词的结果（并改进了其中一些结果），例如关于正方形、立方体、回文等在f中出现的断言。作为该方法的一个应用，我们证明了一个新的结果：存在一个非周期的无限二进制字，它避开了模式x x x^R。这是第一个关于非一致态射的可避免性结果，它被纯机械地证明了。
2014-07-27 cs.DM cs.FL math.CO
Cross-bifix-free sets in two dimensions
一个方阵T的二维双固定（简称双固定）是T的一个正方形子矩阵，它出现在T的左上角和右下角。这使我们能够扩展的定义的bifix-free词和交叉bifix-free的词集的二维结构。在本文中，我们穷举生成所有的双双固定自由的方阵，我们构造了一个特殊的不可扩展的交叉双双固定自由的方阵集。此外，我们提供了一个格雷码列出这个集合。
2015-02-18 cs.DM math.CO
Avoiding Abelian powers in binary words with bounded Abelian complexity
无限词的阿贝尔复杂性的概念最近被最后三位作者用来研究词的各种阿贝尔性质。特别地，他们利用范德瓦尔登定理证明了，如果一个词避免了某个整数$k$的阿贝尔$k$ -幂，那么它的阿贝尔复杂度是无界的。这就提出了下面的问题：在一个具有有限阿贝尔复杂度的词中，阿贝尔$k$ -幂出现的频率有多高？特别是，是否每个具有有界阿贝尔复杂度的一致递归字都以阿贝尔$k$幂开始？虽然这是真实的各种类的均匀经常性的话，包括例如类的所有Sturmian的话，在本文中，我们表明存在的均匀经常性的二进制字，有界阿贝尔复杂性，其中承认无限数量的后缀不开始在阿贝尔广场。我们还表明，任何无限的二进制无符号字的移位轨道闭包包含一个字，避免阿贝尔立方体在开始。我们还考虑了态射对阿贝尔复杂度的影响，并证明了具有有界阿贝尔复杂度的词的态射图像也具有有界阿贝尔复杂度。最后，我们给出了无限二进制字中阿贝尔平方的可避免性的一个公开问题，并证明了它等价于Pirillo-Varricchio和Halbeisen-Hungerbühler的一个著名的公开问题.
2010-05-14 cs.DM math.CO
Another Way to Lower the Bound for Distinct Squares
Kyushu Institute of Technology（九州工业大学）
本文通过另一种方法证明了单词中不同平方数的上限为n - Θ(log n)
2026-03-01 cs.DM
A Generalization of the Fibonacci Word Fractal and the Fibonacci Snowflake
在本文中，我们引入了一个家庭的无限字，推广了斐波那契字，我们研究其组合性质。此外，我们与这个家庭的话一个家庭的曲线，它具有分形性质，特别是这些曲线吸引了斐波那契字分形。最后，我们描述了一个无限家庭的polyominoes（双平方）从广义Fibonacci字，我们研究了他们的一些几何性质。这些最后的多项式推广了斐波那契雪花。
2014-02-04 cs.DM math.CO
More properties of the Fibonacci word on an infinite alphabet
最近斐波那契字$W$在一个无限的字母表介绍了[张等人，Electronic J. Combinatorics 24-2（2017）#P2.52]作为所有$i \in \mathbb{N}$上的态射$ϕ: (2i) \mapsto (2i)(2i+ 1),\ (2i+ 1) \mapsto (2i+ 2)$的不动点。在本文中，我们调查的发生广场，回文，林登因素在这个无限的词。
2018-05-27 cs.DM math.CO
