Variational discretization approach applied to an optimal control problem with bounded measure controls
本文考虑了具有初始控制的抛物型最优控制问题。成本函数由对应于在最终时刻的状态的观测的跟踪项组成。代替成本泛函中的正则化项，我们遵循E. Casas和K. Kunisch，并考虑了初始控制的测度范数的一个界.问题的变分离散化与最优性条件一起导致初始控制的最大离散稀疏性，即空间中的Dirac测度。我们提出了数值实验来说明我们的方法。
2020-08-17 math.OC
A New Error Analysis for a Point Tracking Elliptic Distributed Optimal Control Problem with Pointwise Control Constraints
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文针对带点跟踪和点态控制约束的线性二次椭圆型分布最优控制问题，在统一框架下对标准有限元离散与变分离散开展误差分析，其自包含性依托有限元分析标准技术与椭圆型偏微分方程经典结果。
2026-08-06 cs.NA math.NA math.OC
Crank-Nicolson time stepping and variational discretization of control-constrained parabolic optimal control problems
考虑一类控制约束抛物型最优控制问题，并采用变分离散化方法对其进行时间半离散化。状态方程用Petrov-Galerkin格式处理，状态方程采用分段常数Anckle，测试函数采用分段线性、连续的检验函数。这导致状态和伴随状态的Crank-Nicolson方案的变体。利用超收敛的结果，我们证明了二阶收敛的时间误差的控制。此外，分段线性和连续的抛物线投影的离散状态的双重时间网格上提供了一个二阶收敛近似的最佳状态，而无需进一步的数值工作。数值实验证实了我们的分析结果。
2015-03-06 math.OC
Reduced basis methods- an application to variational discretization of parametrized elliptic optimal control problems
考虑一类参数依赖的椭圆型偏微分方程的最优控制问题，其中控制变量具有一般类型的约束。应用变分离散化的概念，[4]，结合缩减基方法的技术，我们构造了控制问题的缩减基代理模型。我们建立了贪婪抽样过程的估计，它只涉及状态和伴随方程的残差，而不涉及最优性系统的梯度方程。该估计器是尖锐的常数，即它们是等价的控制，状态和伴随状态的近似误差。数值实验表明了我们的方法的性能。
2018-08-16 math.OC
Variational discretization of a control-constrained parabolic bang-bang optimal control problem
研究了跟踪泛函中不含Tikhonov项的控制约束抛物型最优控制问题。对于数值处理，我们使用其Tikhonov正则化的变分离散：对于状态和伴随方程，我们在时间上应用[Daniels et al 2015]的Petrov-Galerkin格式，在空间上应用通常的协调有限元。我们证明了离散正则化问题和极限问题之间的误差的先验估计。由于这些估计是不稳健的，如果正则化参数趋于零，我们建立强大的估计，这-取决于问题的规律性-提高以前的。在bang-bang解的特殊情况下，这些估计得到了进一步的改进。一个数值例子证实了我们的分析结果。
2017-07-05 math.OC
A Discretization Method to Solve Fractional Variational Problems with Dependence on Hadamard Derivatives
给出了一种求解依赖于Hadamard分数阶导数的分数阶变分问题的快速简便的方法。利用Hadamard分数阶算子与整数阶导数和之间的关系，将分数阶问题转化为经典的最优控制问题.后者的问题，然后解决了标准的数值技术的应用。我们用一个例子来说明这个过程。
2014-02-15 math.OC
Convex relaxations of integral variational problems: pointwise dual relaxation and sum-of-squares optimization
本文提出点态对偶松弛（PDR）方法，将非凸积分变分问题转化为有限维凸最大化问题以获取全局下界，并结合平方和优化实现可计算松弛，证明其在特征值与最优常数等问题上的精确性及收敛性。
2022-10-25 math.OC
Pointwise second-order necessary conditions for stochastic optimal controls, Part II: The general case
本文是我们建立随机最优控制的逐点二阶必要条件系列工作的第二部分。在这一部分中，我们考虑一般情况，即，允许控制区域是非凸的，并且控制变量进入控制系统的漂移项和扩散项。通过引入四个变分方程和四个伴随方程，得到了随机奇异最优控制在Pontryagin型最大值原理意义下的理想必要条件.
2015-10-19 math.OC
Lagrangian discretization of variational mean field games
本文介绍了利用有限个局中人轨迹集求一类拥挤变分平均场对策问题的近似解的方法。这些轨迹通过求解类似于初始变分问题的最小化问题而获得。在这个离散化的问题中，拥塞是由2-Wasserstein距离的莫罗包络惩罚的。研究这个信封，以及有效的计算其值和变化是使用半离散最优输运。我们表明收敛的离散集的轨迹的平均场游戏的解决方案，在某些条件下的离散化的参数。
2022-01-13 math.DS math.OC
Higher order variational time discretization of optimal control problems
Technische Universität München（慕尼黑工业大学）；University of Paderborn（帕德博恩大学）
针对机械系统最优控制问题，提出基于多项式配点的高阶变分时间离散方法，通过直接离散拉格朗日-达朗贝尔原理保持系统动量映射和能量行为等结构特性，并降低计算成本。
2012-04-27 cs.NA math.NA math.OC
Semismoothness for Solution Operators of Obstacle-Type Variational Inequalities with Applications in Optimal Control
本文证明障碍型变分不等式解算子的 Newton 可微性，并据此构造半光滑 Newton 方法求解带 H1 代价和控制约束的最优控制问题，验证其超线性收敛与网格无关性。
2023-06-08 math.OC
Solving maximally comonotone inclusion problems via an implicit Newton-like inertial dynamical system and its discretization
针对 Hilbert 空间中的极大共单调包含问题，提出隐式类 Newton 惯性动力系统并离散化为快速惯性算法，证明轨迹收敛及估计结果。
2024-05-10 math.OC
Variational Symplectic Accelerated Optimization on Lie Groups
由于Nesterov加速梯度下降算法与标准梯度下降算法相比具有更好的性能保证，并且适用于深度学习中出现的大规模最优化问题，因此对Nesterov加速梯度下降算法的推广产生了极大的兴趣。一个特别富有成效的方法是基于数值离散的微分方程，描述了连续的时间限制的Nesterov算法，并概括涉及时间相关的布雷格曼拉格朗日和哈密顿动力学，收敛在一个任意快的速度到最小值。基于李群上Bregman拉格朗日量的扩展道路空间形式，提出了一种李群变分离散方法，并以姿态确定和基于视觉的定位为例，分析了其计算特性.
2021-03-25 math.OC
Markov control of continuous time Markov processes with long run functionals by time discretization
本文通过离散时间受控 Markov 过程研究连续时间受控 Markov 过程，考虑单位时间平均回报和长期风险敏感泛函，并分析了连续时间泛函在 Markov 控制逐点收敛下的稳定性。
2025-08-10 math.OC math.PR
A pointwise tracking optimal control problem for the stationary Navier--Stokes equations
研究带控制约束的稳态 Navier–Stokes 方程逐点跟踪最优控制问题，分析解的存在性与最优性条件，并提出半离散和全离散两种策略及先验误差估计。
2023-09-25 cs.NA math.NA math.OC
A priori Error Estimates for Space-Time Finite Element Discretization of Parabolic Time-Optimal Control Problems
Technische Universität München（慕尼黑工业大学）；Florida State University（佛罗里达州立大学）
本文研究了由线性抛物偏微分方程 governing 且受点约束控制的最优时间控制问题的空间时间有限元离散方法，基于二阶充分最优性条件获得了控制变量的最优先验误差估计。
2018-09-13 cs.NA math.NA math.OC
Adaptive finite element methods for the pointwise tracking optimal control problem of the Stokes equations
Universidad Técnica Federico Santa María（智利弗雷德里科·圣玛丽亚技术大学）
本文提出并分析了针对斯托克斯方程点跟踪最优控制问题的可靠且高效的后验误差估计器，该问题涉及最小化包含速度场点评估的代价函数，导致伴随问题具有减少的正则性性质，并考虑了控制变量的约束。
2018-10-04 cs.NA math.NA math.OC
Robust pointwise second order necessary conditions for singular stochastic optimal control with model uncertainty
本文提出了一种针对具有模型不确定性的奇异随机最优控制问题的鲁棒点wise二次必要条件，结合凸变分方法和极小极大定理，通过例子验证了方法的有效性。
2025-12-06 math.OC
Optimal Control of Quasistatic Plasticity with Linear Kinematic Hardening Part I: Existence and Discretization in Time
本文考虑了线性随动强化的准静态塑性问题中的一个含时变分不等式所支配的最优控制问题。我们解决某些连续性的向前运营商，这意味着存在的最优控制。此外，在时间上的离散化推导出，我们表明，每一个局部极小的连续问题可以近似修改，时间离散问题的极小。
2012-09-05 math.OC
Discretization of the wave equation on a metric graph
研究了具有离散时间的波动方程在离散图的节点处应设置什么条件的问题。这些条件的推导采用了变分方法。还绘制了与连续情况的平行图。作为一个例子，从边界的形状可控性问题进行了研究。
2022-10-17 math.OC
Control-constrained parabolic optimal control problems on evolving surfaces - theory and variational discretization
Universität Hamburg（汉堡大学）
针对演化曲面上的控制约束线性二次最优控制问题，证明了状态方程弱解的存在唯一性，并提出了变分离散化方法，证明了其收敛性，在弱正则性假设下获得了最优收敛阶。
2011-09-16 cs.NA cs.SY eess.SY
Flexible Complementarity Solvers for Large-Scale Applications
无穷维变分不等式的离散化导致了具有多个自由度的线性和非线性互补性问题。为了在并行计算环境中解决这些问题，我们提出了两种有效集方法，每次迭代只求解一个线性系方程组。线性求解器、预处理器和矩阵结构可以由用户针对特定应用进行选择，以实现高并行性能。这些方法的并行可扩展性证明了一些离散的无穷维变分不等式。
2003-07-22 math.OC
A FE-ADMM algorithm for Lavrentiev-regularized state-constrained elliptic control problem
本文考虑了状态带有逐点盒约束的椭圆控制问题，其中相应的Lagrange乘子一般只表示正则Borel测度函数。为了解决这个问题，Lavrentiev正则化被用来处理状态约束。为了对所得问题进行数值离散，针对变分离散在数值实现上的弱点，采用了全分段线性有限元离散。对正则化和离散化产生的误差进行了估计。由于采用了Lavrentiev正则化，全离散化的误差阶不低于变分离散化的误差阶。考虑到离散化误差，高精度的算法没有多大意义。利用有效的一阶算法来解决离散化问题，以适度的精度是足够的。在此基础上提出了一种非均匀乘子交替方向法（hADMM）。与经典的ADMM不同，我们的hADMM在两个子问题中分别采用了两种不同的加权范数。此外，为了得到更精确的解决方案，两个阶段的策略，其中原始对偶有效集（PDAS）方法被用作后处理的hADMM。数值结果不仅验证了误差估计，而且还显示了hADMM和两阶段策略的有效性。
2017-06-16 math.OC
The variational discretization of the constrained higher-order Lagrange-Poincaré equations
University of Michigan（密歇根大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文研究了具有对称性的机械系统变分离散化，通过引入离散联络得到约束高阶拉格朗日-庞加莱方程，用于描述高阶导数依赖的约束拉格朗日系统动力学，并用于构建最优控制变分积分器。
2018-07-16 cs.DM cs.NA cs.SY
High order spatial discretization for variational time implicit schemes: Wasserstein gradient flows and reaction-diffusion systems
本文为广义最优传输空间中的梯度流构造一阶时间隐式广义JKO变分格式，结合ALG2与高阶有限元实现稳定迭代求解，并通过多类二维PDE验证有效性。
2023-03-15 cs.NA math.NA math.OC
A priori error estimates for optimal control problems governed by the transient Stokes equations and subject to state constraints pointwise in time
University of Connecticut（康涅狄格大学）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文研究由瞬态斯托克斯方程所 governed 的最优控制问题，考虑了空间中的L2函数约束，并在时间点处满足点约束。通过空间中的inf-sup稳定有限元和时间中的不连续伽辽金方法进行离散化，建立了最佳逼近型误差估计，并由此得出离散控制问题的误差估计，同时展示了最优控制的改进正则性。通过数值结果补充了理论分析。
2025-02-11 cs.NA math.NA math.OC
Bilinear optimal control for the fractional Laplacian: analysis and discretization
本文研究 Lipschitz 域上涉及分数阶拉普拉斯算子的双线性最优控制问题，证明了最优解的存在性与最优性条件，并开发了半离散和全离散两种有限元离散化策略及误差估计。
2024-02-12 cs.NA math.NA math.OC
Compressed MRI Reconstruction Exploiting a Rotation-Invariant Total Variation Discretization
University of Tehran（德黑兰大学）
受Malitsky和Pock的一阶方法的启发，我们提出了一种新的压缩MR图像重建变分框架，该框架将旋转不变的全变分泛函离散化引入到MR成像中，同时利用BM 3D框架作为稀疏化变换。在第一步中，我们提供了理论和数值分析，建立特殊的旋转不变性属性的总变分功能，并观察其优越性比其他著名的变分正则化条款在直立和旋转成像设置。因此，建议的MRI重建模型作为一个约束优化问题，然而，我们不使用传统的ADMM型算法设计的约束问题，以获得解决方案，而是我们定制的线搜索装备的方法Malitsky和Pock我们的模型，这是最初提出的无约束问题。正如数值实验所证明的那样，该框架显着优于从变分方法到自适应和学习方法的各种最先进的算法，特别是，它消除了以前在BM 3D-MRI上的工作的停滞行为，该工作超出了一定的迭代。
2020-04-21 cs.CV eess.IV math.OC
Finite Element Methods for One Dimensional Elliptic Distributed Optimal Control Problems with Pointwise Constraints on the Derivative of the State
研究了一维椭圆分布最优控制问题的$C^1$有限元法，该问题的状态导数具有逐点约束，状态变量表示为四阶变分不等式.对于Dirichlet边界条件的问题，我们利用已有的$H^{\frac52-ε}$正则性结果得到了最优状态在$H^2$范数下的近似解的$O(h^{\frac12-ε})$收敛性.对于混合Dirichlet和Neumann边界条件的问题，我们证明了在适当的数据假设下，最优状态属于$H^3$，并得到了最优状态在$H^2$范数下的逼近的$O(h)$收敛性.
2020-01-29 cs.NA math.NA math.OC
Polynomial mechanics and optimal control
University of Washington（华盛顿大学）；Yale University（耶鲁大学）
本文提出一种结合伪谱方法与变分离散化的新算法，用于机械系统轨迹优化，保留动量守恒并提升数值稳定性。
2015-04-01 cs.SY eess.SY math.OC
Adaptive finite element methods for sparse PDE-constrained optimization
Universidad Técnica Federico Santa María（弗雷德里科·圣塔玛丽亚技术大学）
本文提出并分析了用于解决包含非可导成本函数、泊松问题作为状态方程和控制约束的最优控制问题的可靠且高效的后验误差估计器，通过三种不同的策略近似控制变量，并设计了简单的自适应策略以实现数值示例中的最优收敛率。
2019-01-11 cs.NA math.NA math.OC
Finite element error estimates for a bilinear optimal control problem with pointwise tracking governed by a semilinear elliptic PDE
Universidad Técnica Federico Santa María（智利弗雷德里克·萨曼纳技术大学）；Universidad de Los Lagos（洛斯拉戈斯大学）
针对半线性椭圆PDE控制的逐点跟踪双线性最优控制问题，提出半离散与全离散有限元方案，证明收敛性及误差界，二维下误差改进，数值实验验证性能。
2026-09-29 cs.NA math.NA math.OC
A Variational Framework for Residual-Based Adaptivity in Neural PDE Solvers and Operator Learning
Division of Applied Mathematics, Brown University（应用数学系，布朗大学）；School of Engineering, Brown University（工程学院，布朗大学）
本文提出统一变分框架，通过残差凸变换形式化自适应加权，连接离散化与误差度量，提升神经PDE求解器及算子学习的性能。
2025-09-25 cs.LG cs.NA math.NA
Proximal Galerkin: A structure-preserving finite element method for pointwise bound constraints
本文提出近端Galerkin有限元方法，用于求解具有点态约束的变分问题，通过引入LVPP算法和熵泊松方程，实现保结构的高阶离散，并应用于自由边界、离散极大值原理及拓扑优化，提供开源实现。
2024-12-17 cs.NA math.NA math.OC
