发表机构
Universidad Técnica Federico Santa María; Universidad de Los Lagos（智利弗雷德里克·萨曼纳技术大学; 洛斯拉戈斯大学）
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针对半线性椭圆PDE控制的逐点跟踪双线性最优控制问题，提出半离散与全离散有限元方案，证明收敛性及误差界，二维下误差改进，数值实验验证性能。
AI 中文摘要
我们研究了一个由半线性椭圆偏微分方程控制的具有逐点跟踪的最优控制问题的有限元逼近。控制变量作为反应系数进入状态方程，从而产生双线性控制，且代价泛函包含状态变量的点评估。我们提出了两种离散化方案：一种半离散方案，其中控制变量不被离散化；以及一种全离散方案，其中控制变量使用分片常数函数进行离散化。在二维和三维中，对于这两种方案，我们建立了离散解的收敛性，并证明了在$L^2(\Omega)$范数下逼近局部最优控制时表现为$\mathcal{O}(h|\log h|)$的先验误差界。在二维中，这些界对于全离散方案改进为$\mathcal{O}(h)$，对于半离散方案改进为$\mathcal{O}(h^{2}|\log h|^2)$。最后，我们通过数值实验展示了所提出方案的性能。
英文摘要
We study finite element approximations for an optimal control problem with pointwise tracking governed by a semilinear elliptic PDE. The control variable enters the state equation as a reaction coefficient, resulting in a bilinear control, and the cost functional includes point evaluations of the state variable. We propose two discretization schemes: a semidiscrete scheme, where the control variable is not discretized, and a fully discrete scheme, where the control variable is discretized using piecewise constant functions. In two and three dimensions, for both schemes, we establish convergence of discrete solutions and prove a priori error bounds that behave as $\mathcal{O}(h|\log h|)$ in the $L^2(Ω)$-norm for approximating a locally optimal control. In two dimensions, these bounds are improved to $\mathcal{O}(h)$ for the fully discrete scheme and $\mathcal{O}(h^{2}|\log h|^2)$ for the semidiscrete scheme. We conclude with numerical experiments that demonstrate the performance of the proposed schemes.
