Additive Asymmetric Quantum Codes
Martianus Frederic Ezerman, San Ling, Patrick Sole
给出了基于迹厄米特内积的加性码的非对称量子码的一般构造。$\F_{4}$上的各种加性码族被用于构造$\F_{4}$上的许多非对称量子码。
We present a general construction of asymmetric quantum codes based on additive codes under the trace Hermitian inner product. Various families of additive codes over $\F_{4}$ are used in the construction of many asymmetric quantum codes over $\F_{4}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
From Skew-Cyclic Codes to Asymmetric Quantum Codes
我们引入了一个从$\mathbb{F}_4^{n}$到$\mathbb{F}_4^{2n}$的可加线性映射$S$，并展示了它的一些有趣的结构性质.如果$C$是线性$[n,k,d]_4$码，则$S(C)$是加法$(2n,2^{2k},2d)_4$码.如果$C$是加性循环码，则$S(C)$是索引为$2$的加性准循环码。此外，如果$C$是模块$θ$ -循环码，这是一种最近引入的代码类型，将在下面进行解释，那么如果$n$是奇数，则$S(C)$等效于加性循环码，如果$n$是偶数，则等效于索引为$2$的加性准循环码。给定任何$(n,M,d)_4$ -码$C$，码$S(C)$在迹厄米特内积下自正交。由于映射$S$保持了嵌套性，因此可以作为构造加性非对称量子码的工具。
Trace duality and additive complementary pairs of additive cyclic codes over finite chain rings
本文研究有限交换环上加性循环码互补对的代数结构，证明其组成码均为自由模，给出构成互补对的充要条件，还构造了有限链环上的互补对并证明两码满足迹对偶的置换等价关系。
Relative two-weight $\mathbb{Z}_2 \mathbb{Z}_4$-additive Codes
本文研究了一类相对双权$\mathbb{Z}_2 \mathbb{Z}_4$ -可加码。证明了二进制距离$\mathbb{Z}_2 \mathbb{Z}_4$ -可加码的Gray像是二进制二距离码，二进制部分非平凡的相对二权$\mathbb{Z}_2 \mathbb{Z}_4$ -可加码的Gray像是线性二进制相对二权码.描述了相对双权$\mathbb{Z}_2 \mathbb{Z}_4$ -加性码的结构。最后讨论了一类$\mathbb{Z}_2 \mathbb{Z}_4$ -可加码的置换自同构群。
New Constructions of Additive MDS TRS Codes
本文研究加法TRS码，建立扭量t=2及扭量向量t=(1,2)的加法TRS码为加法MDS码的充要条件，证明相关码的存在性，确定奇偶校验矩阵，并通过舒尔平方技术得到其与加法RS码不等价的条件。
Additive Tridiagonal Codes over $\mathbb{F}_{4}$
本文引入了$\mathbb{F}_4$上的可加三对角码和双三对角码，并研究了这类码的性质。最后，我们研究了双三对角码在基于矩阵投影的秘密共享方案中的应用。
Binary Images of Z2Z4-Additive Cyclic Codes
Z2 Z4-加法码C称为循环码，如果坐标集可以划分为两个子集，Z_2坐标集和Z_4坐标集，使得两个子集的坐标的任何循环移位都保持码不变。研究了Z2 Z4-可加循环码的二元象。本文确定了所有具有奇beta的Z2 Z4-可加循环码，其Gray像是线性二元码。
Combinatorial Constructions of Optimal Quaternary Additive Codes
本文通过组合构造和广义构造X，构造了十类最优四元非整数维加法码，并确定了除t=6,7,12外的最优加法[n,3.5,n-t]_4码。
On the equivalence between additive and linear codes
研究通过确定性测试区分严格加法码与等价于线性码的码，验证了几种四元加法码的严格加性，并证明了已知的加法互补双码等价于线性Hermitian LCD码，改进了相关线性码的界。
On $\ell$-rank additive intersection pairs (RAIP) of codes
本文研究有限域上码的ℓ秩加法相交对（RAIP），建立其充要条件，证明q>2时任意加法码对单项式等价于ACP、q>3时任意加法码单项式等价于ACD，提出由自正交加法码构造ℓ-RAIP的通用方法并给出显式构造。
Secret sharing schemes based on additive codes over $GF(4)$
Shamir在1979年利用多项式插值提出了一种秘密共享方案。后来证明它相当于基于Reed-Solomon码的SSS。基于线性码的扩频系统已经被许多研究者所研究。然而，目前对基于加性码的扩频系统的研究还很少。本文研究了基于$GF(4)$上的加性码的SSSS，证明了它们至少需要两步计算才能揭示秘密。我们还定义了由$GF(4)$上的加性码生成的SSS的最小访问结构，并描述了由$GF(4)$上的一些有趣的加性码生成的包含广义2-设计的SSS.
Some quaternary additive codes outperform linear counterparts
本文基于准循环码和组合方法构造四元加性码，提出辛距离下界，获得优于已知最佳线性码的加性码，并部分确定最优3.5维码参数及构造良好加性互补对偶码。
Improved Quantum Codes from Metacirculant Graphs via Self-Dual Additive $\mathbb{F}_4$-Codes
利用从亚循环图中得到的$\mathbb{F}_4$上的辛自对偶加性码，首次构造了参数为$(\ell,d) \in \{(78, 20), (90, 21), (91, 22), (93,21),(96,21)\}$的$[[\ell, 0, d ]]$量子比特码.应用于量子位码的二级构造导致许多量子位码的性能优于先前最知名的量子位码。
Multivariable codes in principal ideal polynomial quotient rings with applications to additive modular bivariate codes over $\mathbb{F}_4$
本文研究了有限链环上多变量模码的结构，当其周围空间是主理想环时。我们还提供了有限域$\mathbb{F}_4$上的加法模码的一些应用。
Additive Polycyclic Codes over $\mathbb{F}_{4}$ Induced by Binary Vectors and Some Optimal Codes
本文研究了$\mathbb{F}_{2}^{n}.$中二元向量$a$诱导的加法右、左多环码的结构和性质，得到了这类码的生成多项式和基数.我们还研究了这些代码的不同类型。特别地，我们证明了如果$C$是由向量$a\in \mathbb{F}_{2}^{n}$诱导的右多环码，则$C$的Hermitian对偶是由$a.$诱导的序列码。我们给出了$\mathbb{F}_{4}$上的加性右多环码的例子，这些加性右多环码比相应的最优线性码具有更多的码字，以及由加性右多环码得到的最优二元线性码和最优量子码在$\mathbb{F}_{4}.$上
On Z2Z4-additive complementary dual codes and related LCD codes
Massey于1992年定义了线性互补对偶码，并利用它给出了两用户二进制加法器信道的最佳线性编码方案。在本文中，我们定义了模拟的LCD码域在周围空间中的混合二进制和四进制字母。这些码是加法的，在某种意义上它们是加法子群，而不是线性的，因为它们不是某个有限域上的向量空间。我们研究了这些码的结构，并在一定的情况下利用从这个空间到汉明空间的正则Gray映射构造了二进制LCD码。
The Structure of Z_2[u]Z_2[u, v]-additive Codes
本文研究了Z_2 [u，v]-可加码的代数结构，这类码是Z_2 [u，v]-子模，其中u^2 = v^2 = 0，uv = vu.特别地，我们确定了从Z_2[u]Z_2 [u，v]到Z_2^{2α+8 \b{eta} }的Gray映射，并研究了这些码的生成矩阵和奇偶检验矩阵。进一步研究了Z_2[u]Z_2[u，v]-可加循环码和常循环码的结构。
On the Construction of Optimal Asymmetric Quantum Codes
常循环码是一类重要的线性码，已被应用于量子码的构造。本文构造了六类新的由常循环码导出的非对称量子码。此外，所构造的非对称量子码是最优的，并且与文献中的码不同。
Additive Conjucyclic Codes over $\F_{q^2}$: Trace Correspondence and Applications to Quantum Codes
本文通过建立迹基的线性同构，将二元加法共轭循环码与二元线性循环码联系起来，从而统一并推广了之前关于四元加法共轭循环码的研究，并提出从加法共轭循环码构造q-ary量子纠错码的方法。
Additive perfect codes in Doob graphs
Doob图$D(m,n)$是Shrikhande图的$m>0$副本和$4$阶完全图的$n$副本的笛卡尔积。自然地，$D(m,n)$可以表示为加法群$(Z_4^2)^m \times (Z_2^2)^{n'} \times Z_4^{n''}$上的凯莱图，其中$n'+n''=n$。如果$D(m,n)$的一组顶点构成该组的一个子群，则称该组顶点为加性码。我们构造了Doob图中的可加完美码的$3$ -参数类，并证明了在$D(m,n'+n'')$中存在可加$1$ -完美码的已知必要条件是充分的.另外，在$D(155,0+31)$和$D(2667,0+127)$中构造了两个准循环加性$1$ -完美码.
Z2Z4Z8-Cyclic Codes
本文研究了Z2 Z4 Z 8-可加码，它是最近引入的Z2 Z4-可加码的推广。我们确定了Z2 Z4 Z 8-可加码的生成矩阵和校验矩阵的标准形式。此外，我们还研究了Z2 Z4 Z 8-循环码，给出了它们的生成多项式和生成集。我们还给出了Z2 Z4 Z 8-加法码和Z2 Z4 Z 8-循环码的一些例子。
Quasi-twisted codes and their connection with additive constacyclic codes over finite fields
本文研究了准循环码与有限域上加性常循环码的关系，通过多项式方法建立了两者之间的对应关系，并探讨了它们的对偶性质。
$\prod\limits_{i=1}^{n} \mathbb{Z}_{2^i}$-Additive Cyclic Codes
本文研究了$\prod\limits_{i=1}^{n} \mathbb{Z}_{2^i}$ -加性循环码。这些码被标识为$\mathbb{Z}_{2^n}[x]$ -$\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}_{2^i}[x]/ \langle x^{α_i}-1\rangle$的子模; $α_i$和$\rm{i}$对于每个$i=1,2,\ldots,n.$是互质的。我们首先定义一个具有一定长度的$\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}_{2^i}$ -加性循环码。然后，我们定义两个码字之间的距离和这样的代码的最小距离。此外，我们将这些二进制码使用广义格雷映射。我们定义了这类码的对偶，并证明了$\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}_{2^i}$ -可加循环码的对偶也是循环的。然后给出了一定长度的$\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}_{2^i}$ -可加循环码的多项式定义。然后，我们确定这样的代码的结构，并推导出一个最小的生成集。我们还确定了这个代码中码字的总数。最后给出了一个$\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}_{2^i}$ -加性循环码的例子.
Probabilistic Shaping for Asymmetric Channels and Low-Density Parity-Check Codes
提出一种将LDPC码编码为非均匀分布码字的算法，实现非对称信道功率高效传输，在5G LDPC码的AWGN信道下获得0.9 dB增益。
Rank and Kernel of $\mathbb{F}_p$-Additive Generalised Hadamard Codes
如果向量空间$\mathbb{F}_q^n$的子集是子域$K\subseteq \mathbb{F}_q$上的线性空间，则它是$K$ -可加的。设$q=p^e$、$p$和$e>1$为素数。给出了广义Hadamard（GH）码的$\mathbb{F}_p$ -可加核的秩和维数的界.对于特定的秩和维数的内核在这些范围内，$\mathbb{F}_p$ -加性GH码的构造。此外，对于$e=2$的情况下，它表明，给定的界限是紧的，它是可能的，以构建一个$\mathbb{F}_p$添加剂GH代码的所有允许的行列和尺寸的内核之间的这些界限。最后，我们还证明了这些码关于迹厄米特内积是自正交的，并生成纯量子码。
The geometry of non-additive stabiliser codes
我们提出了一个几何框架，用于构建添加剂和非添加剂稳定码，其中包括稳定码和图形非添加剂稳定码。
On the intersection of additive perfect codes
研究了加性（扩展和非扩展）完美码的交问题，即两个相同长度的加性码C1和C2的交中码字个数的可能性.计算交集数的上下界，对于这些界之间的任何值，构造具有该给定交集值的代码。对于所有这些代码的阿贝尔群结构的交集的特点。这个阿贝尔群结构对应的相交码的参数计算和下限和上限，这些参数的建立。最后，给出了这些界限之间的任何参数的交集都适合的码的构造。
New Symmetric and Asymmetric Quantum Codes
构造了新的量子对称和非对称码的无限族。其中一些是MDS。所获得的代码示出的参数比以前已知的更好。许多已知的代码是这里给出的代码的特殊情况。
Quantum Codes from additive constacyclic codes over a mixed alphabet and the MacWilliams identities
设$\mathbb{Z}_p$是模素数$p$的整数环，其中$p-1$是模$p$的二次剩余。本文研究了链环$\mathcal{R}=\frac{\mathbb{Z}_p[u]}{\langle u^2\rangle}$和$\mathcal{S}=\frac{\mathbb{Z}_p[u]}{\langle u^3\rangle}$上的常循环码.利用环$\mathcal{R}$和环$\mathcal{S},$上的生成多项式分别研究了环$\mathcal{R}\mathcal{S}$和环$\mathbb{Z}_p\mathcal{R}\mathcal{S}$上的加法常循环码.进一步，通过定义$\mathcal{R}$，$\mathcal{S}$和$\mathbb{Z}_p\mathcal{R}\mathcal{S},$上的Gray映射，得到了加性码的Gray象的一些结果.然后给出了$\mathbb{Z}_p\mathcal{R}\mathcal{S}$上加法码的重量计数和MacWilliams恒等式.最后，作为所得码的一个应用，我们给出了基于CSS构造的量子码。
$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-Additive Cyclic Codes Are Asymptotically Good
构造了一类由多项式对生成的$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$ -可加循环码，研究了它们的代数结构，得到了该类码的生成矩阵。利用概率论方法证明了：对于任意正实数$δ<1/3$，使得在$3δ/2$处的熵小于$1/2$，类中随机码的相对最小距离大于$δ$的概率几乎是$1$，随机码的速率等于$1/3$的概率也几乎是$1$ .作为一个明显的结果，$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$ -可加循环码是渐近好的。
$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_p[u]$-additive codes
本文研究了$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_p[u]$ -可加码，其中$p$是素数，$u^{2}=0$是可加码.特别地，我们确定了从$ \mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_p[u]$到$\mathbb{Z}_p^{ α+2 β}$的Gray映射，并研究了这些码的生成矩阵和奇偶检验矩阵。证明了Gray映射$Φ$是从（$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_p[u]$，Gray距离）到（$\mathbb{Z}_p^{α+2β}$，Hamming距离）的保距离映射，也是保权映射.进一步研究了$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_p[u]$ -可加循环码的结构。
On the Kernel of $\Z_{2^s}$-Linear Simplex and MacDonald Codes
$\Z_{2^s}$ -加性码是$\Z^n_{2^s}$的子群，并且可以被看作是$\Z_2$和$\Z_4$上的线性码的推广。$\Z_{2^s}$线性码是二进制码，其是$\Z_{2^s}$加性码的格雷映射图像。本文研究了$\Z_{2^s}$-$α$型和$β$型加法单工码，它们是二元单工码的$\Z_{2^s}$的推广.这些$\Z_{2^s}$ -加性单工码与$\Z_{2^s}$ -加性Hadamard码相关。本文利用这种关系建立了它们的二值映象的核，在Gray映射下，得到了$\Z_{2^s}$ -线性单纯形码。对于$\Z_{2^s}$ -加性MacDonald码的二进制Gray映射图像可以获得类似的结果。
$\mathbb{F}_{2}\mathbb{F}_{4}$-Additive Complementary Dual Codes
本文研究F2F4上加法互补对偶码的结构与性质，给出其为ACD码的充分条件，并证明其二元像是LCD码时原码必为ACD码，且可构造距离最优二元LCD码。
MacWilliams Extension Theorem for MDS additive codes
MacWilliams扩张定理指出，线性码的每个线性等距都可以扩张到单项式映射。与线性码不同，加法码一般不具有扩张性质。本文在可加MDS码的情形下证明了可加码扩张定理的一个类似定理。更准确地说，它表明，几乎所有的添加剂MDS码的添加剂等距扩展到周围空间的等距。
Coset codes for communicating over non-additive channels
我们提出了一种情况下使用具有代数封闭特性的代码-陪集码-在开发编码技术和通用多终端信道的特征可实现的速率区域。特别是，我们考虑三种不同的通信场景- $3-$用户干扰信道（多对多），$3-$用户广播信道（一对多），和多址与分布式状态（多对一）-并确定非添加剂的例子陪集代码分析证明产生严格更大的可实现的速率区域比那些可实现的使用iid码。一方面，我们的发现激发了多终端信息论超越iid码的需求。另一方面，它鼓励当前基于线性码的技术的研究超越特定的附加通信信道。文[1]-[3]给出了我们结果的详细证明。
Computing efficiently a parity-check matrix for Zps-additive codes
本文针对 Zps-加性码，提出两种从标准生成矩阵高效计算校验矩阵的方法，并在 Magma 中进行性能比较与时间复杂度分析。
Polynomial representation of additive cyclic codes and new quantum codes
给出了$\mathbb{F}_{p^2}$上加性循环码的多项式表示。该表示将被应用于通过至多两个生成多项式唯一地表示每个加性循环码。我们确定了所有不同的加性循环码的生成多项式。还将使用$\mathbb{F}_p$上的线性循环码来提供加性循环码的最小距离下界。我们对$\mathbb{F}_{p^2}$上的辛自对偶、自正交和近自正交可加循环码进行了分类。最后，我们提出了十个破纪录的二进制量子码后，应用量子结构的自正交和近自正交添加循环码在$\mathbb{F}_{4}$。
Z2Z4-Additive Cyclic Codes: Kernel and Rank
Z_2 ^alpha x Z_4 ^beta的Z2 Z4-加性码C子集称为循环的，如果坐标集可以被划分为两个子集，Z_2坐标集和Z_4坐标集，使得两个子集的坐标的任何循环移位都保持码不变。设Phi（C）为C的二值Gray像。本文研究了Z ~ 2 Z ~ 4-可加循环码C的核的秩和维数，即二元线性码<Phi（C）>和ker（Phi（C））的维数。我们给出了这些参数的上界和下界。已知码<Phi（C）>和ker（Phi（C））分别是Z2 Z4-加法码R（C）和K（C）的二进制图像。证明了R（C）和K（C）也是循环码，并利用C的生成多项式确定了这两个码的生成多项式。
Additive codes from linear codes
本文提出两种从q元域上的线性码构造q^h元域上加性码的方法，并证明所得加性码具有良好的最小距离。
On the Existence of Perfect Codes for Asymmetric Limited-Magnitude Errors
研究了一种纠正有限大小非对称错误的分组码。这些代码最近已被应用于闪存中的纠错。代码将表示为格和结构将基于西顿序列的推广。特别是，我们将考虑这些类型的错误的完美代码。
Nonbinary Quantum Cyclic and Subsystem Codes Over Asymmetrically-decohered Quantum Channels
量子计算机理论上能够比任何确定性或概率计算机更快地解决某些问题。量子计算机利用量子力学的规则来加速计算。然而，人们必须减轻由此产生的噪声和退相干效应，以避免计算错误，以便成功地构建量子计算机。本文构造了非对称量子码$\Pr Z \geq \Pr X$，用于在非对称量子信道上保护量子信息。给出了利用生成多项式和定义经典循环码集合导出非对称量子循环码的两种一般方法。因此，该方法允许我们在非对称量子信道上构造几个量子BCH、RS和RM码族。最后，利用这些方法构造了非对称子系统码族。
$\mathbb{F}_q\mathbb{F}_{q^2}$-additive cyclic codes and their Gray images
本文研究了 $\mathbb{F}_q\mathbb{F}_{q^2}$ 上的加性循环码，确定了其生成多项式与极小生成集，并利用 Gray 映射构造了满足 Singleton 界的最优线性码及三元 LCD 码。
Pure Asymmetric Quantum MDS Codes from CSS Construction: A Complete Characterization
利用Calderbank-Shor-Steane（CSS）构造方法，构造了达到量子Singleton界的纯$q$元非对称量子纠错码.这样的码被称为纯CSS非对称量子最大距离可分离（AQMDS）码。在经典MDS猜想成立的前提下，考虑了所有可能参数的纯CSS AQMDS码。
On $\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$-$(1+u)$-additive constacyclic
本文研究了任意长度的$\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$ - $(1+u)$ -可加常循环码.首先，我们研究了这类码的代数结构和作为环$R_{α,β}$的$(\mathbb{Z}_{2}+u\mathbb{Z}_{2})[x]$ -子模的生成多项式。其次，给出了这类码的最小生成元集，确定了$\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$ - $(1+u)$ -加法常循环码与其对偶码的生成元之间的关系，并给出了这类码的生成元多项式次数的参数。最后，我们还研究了基于灰度图像的$\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$ - $(1+u)$ -加性常循环码.
New Constructions of Codes for Asymmetric Channels via Concatenation
我们提出了新的建设的代码为二进制和非二进制字母表的非对称通道，广义代码级联的方法的基础上。对于二进制非对称信道，我们的方法从三进制外码构造非线性单纠错码。我们表明，一些Varshamov-Tenengol'ts-Constantin-Rao码，一类二进制非线性码的信道，有一个很好的结构时，被视为三元码。在许多情况下，我们的三进制结构产生更好的代码。对于非二进制的非对称信道，我们的方法构造的线性码的许多长度和距离，这是优于线性码的相同长度能够纠正相同数量的对称错误。在二进制的情况下，Varshamov已经表明，几乎所有好的线性码的非对称信道也是好的对称信道。我们的结果表明，Varshamov的论点并不延伸到非二进制的情况下，即，对于非对称信道可以找到比对称信道更好的线性码。
Nonuniform Codes for Correcting Asymmetric Errors in Data Storage
非对称纠错码的构造是一个被广泛研究的课题，然而，现有的码构造方法假设每个码字都应该容忍$t$非对称错误。我们的主要观察结果是，与对称错误相反，非对称错误是内容相关的。例如，在Z信道中，全1码字倾向于具有比全0码字更多的错误。这促使我们开发非均匀码，其码字可以容忍不同数量的非对称错误，这取决于它们的汉明重量。非均匀码构造的思想是以依赖于内容的方式增加冗余，并在最大化码长的同时保证最坏情况下的可靠性。在本文中，我们首先研究了Z信道的非均匀码，即它们只遭受一种类型的错误，比如1到0。具体来说，我们推导出它们的上界，分析它们的渐近性能，并介绍了两个一般结构。然后，我们将非均匀码的概念和结果推广到一般的二元非对称信道，其中每个比特从0到1的错误概率小于从1到0的错误概率。
Construction of Additive Reed-Muller Codes
本文推广了Plotkin构造，并利用它得到了一类新的Z2 Z4-可加码，研究了它们的长度、维数以及最小距离。这些新的构造使我们能够得到Z2 Z4-可加码族，使得在Gray映射下，相应的二元码具有与通常的二元线性Reed-Muller码相同的参数和性质。此外，第一族是通常的二元线性Reed-Muller族。
$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}\dots\mathbb{Z}_{p^s}$-Additive Generalized Hadamard Codes
$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}\dots\mathbb{Z}_{p^s}$ -加性码是$\mathbb{Z}_p^{α_1} \times \mathbb{Z}_{p^2}^{α_2} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{p^s}^{α_s}$的子群，并且当$α_i=0$用于所有$i \in \{2,\dots, s\}$时可以被看作是$\mathbb{Z}_p$上的线性码，当$α_i=0$用于所有$i \in \{1,\dots, s-1\}$时可以被看作是$\mathbb{Z}_{p^s}$ -加性码，或者当$s=2$时可以被看作是$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}$ -加性码，或者当$p=2$和$s=2$时可以被看作是$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$ -加性码。$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}\dots\mathbb{Z}_{p^s}$ -线性广义Hadamard（GH）码是$\mathbb{Z}_p$上的GH码，$\mathbb{Z}_p$是$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}\dots\mathbb{Z}_{p^s}$ -加性码的Gray映射像.本文推广了关于具有$p$素数和$s\geq 2$的$\mathbb{Z}_p\m…
Non-Additive Quantum Codes from Goethals and Preparata Codes
我们将稳定子形式推广到一类由非线性经典码构造的非加性量子码。作为一个例子，我们给出了由Goethals码和Gander-Cod码导出的非可加码的无限族。
Computing the generator polynomials of $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-additive cyclic codes
${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -加性码${\cal C}\subseteq{\mathbb{Z}}_2^α\times{\mathbb{Z}}_4^β$被称为循环的，如果坐标集可以被划分为两个子集，即${\mathbb{Z}}_2$集和${\mathbb{Z}}_4$坐标集，使得两个子集的坐标的任何同时循环移位都使码保持不变。这些代码可被识别为$\mathbb{Z}_4[x]$ -模块$\mathbb{Z}_2[x]/(x^α-1)\times\mathbb{Z}_4[x]/(x^β-1)$的子模块。对于某些$b(x), \ell(x)\in\mathbb{Z}_2[x]/(x^α-1)$和$f(x),h(x)\in {\mathbb{Z}}_4[x]/(x^β-1)$，任何$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$ -加性循环码${\cal C}$具有$\langle (b(x)\mid{ 0}), (\ell(x) \mid f(x)h(x) +2f(x)) \rangle$的形式。提出了一种计算${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -加性循环码生成多项式的新算法。
On $Z_pZ_{p^k}$-additive codes and their duality
本文给出了从$Z_p^α\times Z_{p^k}^β$到$Z_p^n$，$n={α+βp^{k-1}}$的两个不同的类格雷映射，其中$p$是素数，分别记为$ϕ$和$Φ$.在这两种映射下，我们确定了象码的权枚举数之间的联系。证明了如果$C$是一个$Z_p Z_{p^k}$ -可加码，而$C^\bot$是它的对偶码，则图像$p$ -元码$ϕ(C)$和$Φ(C^\bot)$的权枚举数是形式对偶的.这是[On $Z_{2^k}$ -dual binary codes，arXiv：math/0509325]的部分推广，并将结果推广到奇特征$p$和混合字母表.此外，还给出了混合$Z_p Z_{p^2} ... Z_{p^k}$字母表中$1$ -完美加法码的构造.
Additive codes attaining the Griesmer bound
本文研究了加法码在大最小距离下的参数优化，证明了格里斯默界限可被达到，并提出了一系列超越线性码的加法码。
$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4\mathbb{Z}_8$-Additive Hadamard Codes
$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4\mathbb{Z}_8$ -加性码是$\mathbb{Z}_2^{α_1} \times \mathbb{Z}_4^{α_2} \times \mathbb{Z}_8^{α_3}$的子群，并且当$α_2=α_3=0$时可以被看作是$\mathbb{Z}_2$上的线性码，当$α_1=α_3=0$或$α_1=α_2=0$时可以被看作是$\mathbb{Z}_4$ -加性码或$\mathbb{Z}_8$ -加性码，或者当$α_3=0$时可以被看作是$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$ -加性码。$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4\mathbb{Z}_8$ -线性Hadamard码是Hadamard码，其是$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4\mathbb{Z}_8$ -加性码的Gray映射图像。本文将$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$ -线性Hadamard码的一些已知结果推广到具有$α_1 \neq 0$，$α_2 \neq 0$，$α_3 \neq 0$的$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4\mathbb{Z}_8$ -线性Hadamard码.首先，我们给出了$(α_1,α_2, α_3;t_1,t_2, t_3)$型$\mathbb{Z}_2\mathb…
Asymptotically Good Additive Cyclic Codes Exist
任意固定指数$>1$的长准循环码已被证明是渐近好的，这取决于（A.阿拉赫马迪角Güneri，H. Shoaib，P. Solé，2017）。我们利用这个结果在基域的任意固定度扩张上构造了好的长可加循环码。类似地，自对偶双循环码和自对偶四循环码也被证明是好的，这也取决于（A. Alahmadi，F.Özdemir，P. Solé，2017）and（M. Shi，H. Zhu，P. Solé，2017）。基于这些最近的结果，我们可以证明，长循环码是好的$\F_q,$的许多类的$q$的。这是对一个50年前的开放问题的部分解决方案。
Complete Weight Distribution and MacWilliams Identities for Asymmetric Quantum Codes
1997年，Shor和Laflamme定义了量子纠错码的重量计数子，并导出了一个MacWilliams恒等式。我们通过引入我们的双权枚举数和完全权枚举数来扩展他们的工作。这些枚举数的MacWilliams恒等式可以类似地获得。借助MacWilliams恒等式，我们得到了非对称量子码的各种上界.
Constructions of Pure Asymmetric Quantum Alternant Codes Based on Subclasses of Alternant Codes
本文基于Alternant码的子类构造了非对称量子纠错码。首先，我们提出了一个新的Alternant码子类，它可以达到经典的Gilbert-Varshamov界来构造AQC。结果表明，当$d_x=2$，$Z$ -部分的AQC能达到经典的Gilbert-Varshamov界.然后，我们构造AQC的基础上著名的子类的交替码称为Goppa码。作为说明性示例，我们从众所周知的$[55,16,19]$二进制Goppa代码中获得三个$[[55,6,19/4]],[[55,10,19/3]],[[55,15,19/2]]$ AQC。最后，我们得到了非对称量子GRS码的渐近好的二元展开式，它们是Retter经典结果的量子推广。本文所构造的AQC都是纯的。
Minimal additive codes and additive strong blocking sets
本文引入最小加法码的概念，通过建立与加法强阻塞集的一一对应关系，从几何角度研究其性质，并给出构造、存在性结果以及最小长度的上、下界和渐近界。
New quantum codes constructed from some self-dual additive $\mathbb{F}_4$-codes
对于$(n,d)= (66,17),(78,19)$和$(94,21)$，我们构造了量子$[[n,0,d]]$码，改进了先前已知的量子码中最大最小权值的下界.这些码是从基于循环矩阵对的自对偶加性$\mathbb{F}_4$码构造的。
Parameters of Codes for the Binary Asymmetric Channel
我们引入了两个概念之间的差异二进制向量，这不是度量函数一般，但仍然捕获的数学结构的二进制非对称信道。反过来，这些导致两个新的基本参数的二进制纠错码，这两个措施的概率，最大似然解码器失败。然后，我们根据这些新参数推导出二进制码的基数和权重分布的各种界限，并给出满足相等界限的码的例子。
Design of Protograph Codes for Additive White Symmetric Alpha-Stable Noise Channels
原型图低密度奇偶校验（LDPC）码具有编解码复杂度低、错误平层性能好等优点，已成功应用于各种通信和数据存储信道中。在本文中，我们设计的原模图LDPC码的通信系统中的脉冲噪声，这是建模为加性白对称α稳定噪声（AWSaSN）信道。首先，我们提出了一种新的基于模拟的原模图外部信息传输（P-EXIT）分析，推导出迭代解码阈值的原模图代码。通过进一步应用渐近权重分布（AWD）分析，我们设计了新的原型码的AWSaSN信道。理论分析和仿真结果都表明，与现有的AR 4JA码、针对AWGN信道优化的非规则码以及针对AWSaSN信道优化的非规则码相比，所提出的原模图码具有更好的出错率性能。
On polycyclic linear and additive codes associated to a trinomial over a finite chain ring
研究有限链环上任意次数三项式对应的多循环码，推广n-等距与n-等价并分类计数，同时分析特殊三项式及加性码推广。
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