$\mathbb{F}_q\mathbb{F}_{q^2}$-additive cyclic codes and their Gray images
Indian Institute of Technology Delhi（印度理工学院德里分校）
本文研究了 $\mathbb{F}_q\mathbb{F}_{q^2}$ 上的加性循环码，确定了其生成多项式与极小生成集，并利用 Gray 映射构造了满足 Singleton 界的最优线性码及三元 LCD 码。
2025-11-04 cs.IT math.IT
Rank and Kernel of $\mathbb{F}_p$-Additive Generalised Hadamard Codes
如果向量空间$\mathbb{F}_q^n$的子集是子域$K\subseteq \mathbb{F}_q$上的线性空间，则它是$K$ -可加的。设$q=p^e$、$p$和$e>1$为素数。给出了广义Hadamard（GH）码的$\mathbb{F}_p$ -可加核的秩和维数的界.对于特定的秩和维数的内核在这些范围内，$\mathbb{F}_p$ -加性GH码的构造。此外，对于$e=2$的情况下，它表明，给定的界限是紧的，它是可能的，以构建一个$\mathbb{F}_p$添加剂GH代码的所有允许的行列和尺寸的内核之间的这些界限。最后，我们还证明了这些码关于迹厄米特内积是自正交的，并生成纯量子码。
2020-01-30 cs.IT math.IT
$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4\mathbb{Z}_8$-Additive Hadamard Codes
$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4\mathbb{Z}_8$ -加性码是$\mathbb{Z}_2^{α_1} \times \mathbb{Z}_4^{α_2} \times \mathbb{Z}_8^{α_3}$的子群，并且当$α_2=α_3=0$时可以被看作是$\mathbb{Z}_2$上的线性码，当$α_1=α_3=0$或$α_1=α_2=0$时可以被看作是$\mathbb{Z}_4$ -加性码或$\mathbb{Z}_8$ -加性码，或者当$α_3=0$时可以被看作是$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$ -加性码。$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4\mathbb{Z}_8$ -线性Hadamard码是Hadamard码，其是$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4\mathbb{Z}_8$ -加性码的Gray映射图像。本文将$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$ -线性Hadamard码的一些已知结果推广到具有$α_1 \neq 0$，$α_2 \neq 0$，$α_3 \neq 0$的$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4\mathbb{Z}_8$ -线性Hadamard码.首先，我们给出了$(α_1,α_2, α_3;t_1,t_2, t_3)$型$\mathbb{Z}_2\mathb…
2023-01-23 cs.IT math.IT
$\mathbb{F}_{2}\mathbb{F}_{4}$-Additive Complementary Dual Codes
本文研究F2F4上加法互补对偶码的结构与性质，给出其为ACD码的充分条件，并证明其二元像是LCD码时原码必为ACD码，且可构造距离最优二元LCD码。
2025-08-07 cs.IT math.IT
Multivariable codes in principal ideal polynomial quotient rings with applications to additive modular bivariate codes over $\mathbb{F}_4$
本文研究了有限链环上多变量模码的结构，当其周围空间是主理想环时。我们还提供了有限域$\mathbb{F}_4$上的加法模码的一些应用。
2017-09-16 cs.IT math.IT
Improved Quantum Codes from Metacirculant Graphs via Self-Dual Additive $\mathbb{F}_4$-Codes
利用从亚循环图中得到的$\mathbb{F}_4$上的辛自对偶加性码，首次构造了参数为$(\ell,d) \in \{(78, 20), (90, 21), (91, 22), (93,21),(96,21)\}$的$[[\ell, 0, d ]]$量子比特码.应用于量子位码的二级构造导致许多量子位码的性能优于先前最知名的量子位码。
2021-05-26 cs.IT math.IT
Additive Polycyclic Codes over $\mathbb{F}_{4}$ Induced by Binary Vectors and Some Optimal Codes
本文研究了$\mathbb{F}_{2}^{n}.$中二元向量$a$诱导的加法右、左多环码的结构和性质，得到了这类码的生成多项式和基数.我们还研究了这些代码的不同类型。特别地，我们证明了如果$C$是由向量$a\in \mathbb{F}_{2}^{n}$诱导的右多环码，则$C$的Hermitian对偶是由$a.$诱导的序列码。我们给出了$\mathbb{F}_{4}$上的加性右多环码的例子，这些加性右多环码比相应的最优线性码具有更多的码字，以及由加性右多环码得到的最优二元线性码和最优量子码在$\mathbb{F}_{4}.$上
2021-08-20 cs.IT math.IT
$\prod\limits_{i=1}^{n} \mathbb{Z}_{2^i}$-Additive Cyclic Codes
本文研究了$\prod\limits_{i=1}^{n} \mathbb{Z}_{2^i}$ -加性循环码。这些码被标识为$\mathbb{Z}_{2^n}[x]$ -$\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}_{2^i}[x]/ \langle x^{α_i}-1\rangle$的子模; $α_i$和$\rm{i}$对于每个$i=1,2,\ldots,n.$是互质的。我们首先定义一个具有一定长度的$\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}_{2^i}$ -加性循环码。然后，我们定义两个码字之间的距离和这样的代码的最小距离。此外，我们将这些二进制码使用广义格雷映射。我们定义了这类码的对偶，并证明了$\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}_{2^i}$ -可加循环码的对偶也是循环的。然后给出了一定长度的$\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}_{2^i}$ -可加循环码的多项式定义。然后，我们确定这样的代码的结构，并推导出一个最小的生成集。我们还确定了这个代码中码字的总数。最后给出了一个$\prod\limits_{i=1}^{n}\mathbb{Z}_{2^i}$ -加性循环码的例子.
2017-08-23 cs.IT math.IT
One-Lee weight and two-Lee weight $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_2[u]$-additive codes
本文研究了$\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$上的单Lee重量码和双Lee重量码，其中$u^{2}=0$ .给出了单Lee重量$\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$ -可加码的一些性质，并得到了单Lee重量$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_2[u]$ -可加形式自对偶码的一个完全分类.确定了双Lee权投影$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_2[u]$码的结构。利用扩展的Gray映射直接从单Lee重量和双Lee重量$\mathbb{Z}_{2}\mathbb{Z}_{2}[u]$ -可加码中得到了一些最优二元线性码.
2018-02-02 cs.IT math.IT math.RA
$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}$-additive cyclic codes: kernel and rank
如果码$C = Φ(\mathcal{C})$是$\mathcal{C}$-加性码$\mathbb{Z}_p \mathbb{Z}_{p^2}$的格雷像，则称之为$\mathbb{Z}_p \mathbb{Z}_{p^2}$ -线性码。本文研究了$\mathcal{C}$核的秩和维数。证明了码$\langle Φ(\mathcal{C}) \rangle$和$\ker(Φ(\mathcal{C}))$都是$\mathbb{Z}_p \mathbb{Z}_{p^2}$ -加性循环码，并确定了它们的生成多项式.最后，我们研究了几类$\mathbb{Z}_p \mathbb{Z}_{p^2}$ -可加循环码的秩和核维数的精确值。
2022-06-28 cs.CR cs.IT math.IT
Quantum Codes from additive constacyclic codes over a mixed alphabet and the MacWilliams identities
设$\mathbb{Z}_p$是模素数$p$的整数环，其中$p-1$是模$p$的二次剩余。本文研究了链环$\mathcal{R}=\frac{\mathbb{Z}_p[u]}{\langle u^2\rangle}$和$\mathcal{S}=\frac{\mathbb{Z}_p[u]}{\langle u^3\rangle}$上的常循环码.利用环$\mathcal{R}$和环$\mathcal{S},$上的生成多项式分别研究了环$\mathcal{R}\mathcal{S}$和环$\mathbb{Z}_p\mathcal{R}\mathcal{S}$上的加法常循环码.进一步，通过定义$\mathcal{R}$，$\mathcal{S}$和$\mathbb{Z}_p\mathcal{R}\mathcal{S},$上的Gray映射，得到了加性码的Gray象的一些结果.然后给出了$\mathbb{Z}_p\mathcal{R}\mathcal{S}$上加法码的重量计数和MacWilliams恒等式.最后，作为所得码的一个应用，我们给出了基于CSS构造的量子码。
2022-12-26 cs.IT math.IT
Z2Z4-additive cyclic codes, generator polynomials and dual codes
${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -加性码${\cal C}\subseteq{\mathbb{Z}}_2^α\times{\mathbb{Z}}_4^β$被称为循环的，如果坐标集可以被划分为两个子集，即${\mathbb{Z}}_2$集和${\mathbb{Z}}_4$坐标集，使得两个子集的坐标的任何循环移位都使码不变。这些代码可被识别为$\mathbb{Z}_4[x]$ -模块$\mathbb{Z}_2[x]/(x^α-1)\times\mathbb{Z}_4[x]/(x^β-1)$的子模块。${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -加性循环码的参数以码的生成多项式的次数来表示。根据码${\cal C}$的生成多项式确定${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -加性循环码的对偶码的生成多项式。
2016-05-19 cs.DM cs.IT math.IT
On ZpZp[u, v]-additive cyclic and constacyclic codes
本文研究了$\mathbb{Z}_{p}\mathbb{Z}_{p}[u,v]$-加性循环码与常循环码，推导了其生成多项式和最小生成集，并证明了其Gray像为QC码或广义QC码。
2023-04-08 cs.IT math.IT
New quantum codes constructed from some self-dual additive $\mathbb{F}_4$-codes
对于$(n,d)= (66,17),(78,19)$和$(94,21)$，我们构造了量子$[[n,0,d]]$码，改进了先前已知的量子码中最大最小权值的下界.这些码是从基于循环矩阵对的自对偶加性$\mathbb{F}_4$码构造的。
2018-05-30 cs.IT math.CO math.IT
On additive MDS codes over small fields
令$C$是在${\mathbb F}_q$上线性的$(n,q^{2k},n-k+1)_{q^2}$加性MDS码。证明了如果$C$的投影的$n \geqslant q+k$和$k+1$在${\mathbb F}_{q^2}$上线性，则$C$在${\mathbb F}_{q^2}$上线性.我们利用这个几何定理、其他几何参数和一些计算，对$q \in \{4,8,9\}$的${\mathbb F}_q$上的所有可加MDS码进行了分类。我们还分类了${\mathbb F}_{16}$上的最长可加MDS码，这些码在${\mathbb F}_4$上是线性的。在这些情况下，分类不仅验证了MDS猜想加性码，但也确认没有加性非线性MDS码，以及他们的线性同行。这些结果表明量子MDS猜想对$q \in \{ 2,3\}$成立.
2020-12-11 cs.IT math.CO math.IT
Polynomial representation of additive cyclic codes and new quantum codes
给出了$\mathbb{F}_{p^2}$上加性循环码的多项式表示。该表示将被应用于通过至多两个生成多项式唯一地表示每个加性循环码。我们确定了所有不同的加性循环码的生成多项式。还将使用$\mathbb{F}_p$上的线性循环码来提供加性循环码的最小距离下界。我们对$\mathbb{F}_{p^2}$上的辛自对偶、自正交和近自正交可加循环码进行了分类。最后，我们提出了十个破纪录的二进制量子码后，应用量子结构的自正交和近自正交添加循环码在$\mathbb{F}_{4}$。
2023-01-02 cs.IT math.AC math.IT
Additive Complementary Pairs of Codes
本文研究了 $\mathbb{F}_{q^m}$ 上码的加性互补对（ACP）的代数结构，利用生成矩阵和校验矩阵进行刻画，给出必要条件与多种构造方法，并探讨了常循环 ACP 码及其计数。
2024-09-25 cs.IT math.IT
On $Z_{p^r}Z_{p^r}Z_{p^s}$-Additive Cyclic Codes
本文引入了$r\leq s$的$\mathbb{Z}_{p^r}\mathbb{Z}_{p^r}\mathbb{Z}_{p^s}$ -加性循环码。这些代码可以被识别为$\mathbb{Z}_{p^s}[x]$ -$\mathbb{Z}_{p^r}[x]/\langle x^α-1\rangle \times \mathbb{Z}_{p^r}[x]/\langle x^β-1\rangle\times \mathbb{Z}_{p^s}[x]/\langle x^γ-1\rangle$的子模块。我们确定了这类码的生成多项式和最小生成集。以前的一些工作已经完成的情况下$p=2$与$r=s=1$，$r=s=2$，和$r=1,s=2$。然而，我们表明，在这些以前的作品中，这些代码的分类是不完整的，本文中的语句完成这样的分类。讨论了可分$\mathbb{Z}_{p^r}\mathbb{Z}_{p^r}\mathbb{Z}_{p^s}$ -可加循环码的结构，确定了它们的生成多项式.进一步，我们还研究了$\mathbb{Z}_{p^s}[x]$ -子模的对偶性.作为应用，我们给出了一些例子，并构造了一些最优二进制码。
2022-02-23 cs.DM cs.IT math.IT
Construction of Additive Complementary Dual Codes Over Finite Fields
Indian Institute of Technology Delhi（印度德里理工学院）；South Asian University（南亚大学）
本文研究有限域 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上关于迹内积的 ACD 码，利用生成矩阵刻画并由线性码及已有 ACD 码构造新码，得到参数优于已知最佳线性码的多类 ACD 码。
2025-10-20 cs.IT math.IT
New self-dual additive $\mathbb{F}_4$-codes constructed from circulant graphs
为了构造$(n,d)=(56,15)$，$(57,15)$，$(58,16)$，$(63,16)$，$(67,17)$，$(70,18)$，$(71,18)$，$(79,19)$，$(83,20)$，$(87,20)$，$(89,21)$，$(95,20)$的量子$[[n,0,d]]$码，我们从循环图中构造了长度为$n$和最小重量为$d$的自对偶可加$\mathbb{F}_4$码.首次构造了具有这些参数的量子码。
2016-06-24 cs.IT math.CO math.IT
From Skew-Cyclic Codes to Asymmetric Quantum Codes
我们引入了一个从$\mathbb{F}_4^{n}$到$\mathbb{F}_4^{2n}$的可加线性映射$S$，并展示了它的一些有趣的结构性质.如果$C$是线性$[n,k,d]_4$码，则$S(C)$是加法$(2n,2^{2k},2d)_4$码.如果$C$是加性循环码，则$S(C)$是索引为$2$的加性准循环码。此外，如果$C$是模块$θ$ -循环码，这是一种最近引入的代码类型，将在下面进行解释，那么如果$n$是奇数，则$S(C)$等效于加性循环码，如果$n$是偶数，则等效于索引为$2$的加性准循环码。给定任何$(n,M,d)_4$ -码$C$，码$S(C)$在迹厄米特内积下自正交。由于映射$S$保持了嵌套性，因此可以作为构造加性非对称量子码的工具。
2010-05-06 cs.IT math.IT
On Eisenstein additive codes over chain rings and linear codes over mixed alphabets
本文建立了有限交换链环$\u211b_e$上的Eisenstein加性码与混合字母表$\u2124_{p^e}\u2124_{p^{e-1}}$上线性码的保对偶一一对应，给出加性码构造方法，并构造出达到齐次重量Plotkin界的加性码实例。
2024-12-13 cs.IT math.IT
Gray Images of Cyclic Codes over $\mathbb{Z}_{p^2}$ and $\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}
本文首先研究了$\mathbb{Z}_p \mathbb{Z}_{p^k}$ -可加循环码的代数结构，给出了这类码的生成多项式和最小生成集。其次，给出了一类$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}$ -可加码在$\mathbb{Z}_p$上的Gray像是线性的（不一定是循环的）的充要条件.此外，对于$\mathbb{Z}_{9}$和$\mathbb{Z}_3 \mathbb{Z}_{9}$上的某些特殊循环码族，确定了Gray象的线性性.
2022-10-21 cs.CR cs.IT math.IT
Minimal additive codes and additive strong blocking sets
Université de Rennes（雷恩大学）
本文引入最小加法码的概念，通过建立与加法强阻塞集的一一对应关系，从几何角度研究其性质，并给出构造、存在性结果以及最小长度的上、下界和渐近界。
2026-06-24 cs.IT math.CO math.IT
There is exactly one Z2Z4-cyclic 1-perfect code
令${\cal C}$是长度为$n > 3$的${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -加性码。证明了如果${\cal C}$的二进制Gray像$C=Φ({\cal C})$是1-完美非线性码，则除了长度为$n=15$的一种情况外，${\cal C}$不可能是${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -循环码.此外，我们还给出了这种循环码的一个奇偶校验矩阵。将偶数奇偶校验坐标添加到${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -加性1-完美码给出扩展的1-完美码。我们还证明了任何这样的码不能是${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -循环的。
2015-10-21 cs.IT math.CO math.IT
