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arXiv 2001.116092020-01-30cs.ITmath.IT

$\mathbb{F}_p$ -可加广义Hadamard码的秩与核

Rank and Kernel of $\mathbb{F}_p$-Additive Generalised Hadamard Codes

Steven T. Dougherty, Josep Rifà, Mercè Villanueva

摘要：

如果向量空间$\mathbb{F}_q^n$的子集是子域$K\subseteq \mathbb{F}_q$上的线性空间，则它是$K$ -可加的。设$q=p^e$、$p$和$e>1$为素数。给出了广义Hadamard（GH）码的$\mathbb{F}_p$ -可加核的秩和维数的界.对于特定的秩和维数的内核在这些范围内，$\mathbb{F}_p$ -加性GH码的构造。此外，对于$e=2$的情况下，它表明，给定的界限是紧的，它是可能的，以构建一个$\mathbb{F}_p$添加剂GH代码的所有允许的行列和尺寸的内核之间的这些界限。最后，我们还证明了这些码关于迹厄米特内积是自正交的，并生成纯量子码。

英文摘要：

A subset of a vector space $\mathbb{F}_q^n$ is $K$-additive if it is a linear space over the subfield $K\subseteq \mathbb{F}_q$. Let $q=p^e$, $p$ prime, and $e>1$. Bounds on the rank and dimension of the kernel of generalised Hadamard (GH) codes which are $\mathbb{F}_p$-additive are established. For specific ranks and dimensions of the kernel within these bounds, $\mathbb{F}_p$-additive GH codes are constructed. Moreover, for the case $e=2$, it is shown that the given bounds are tight and it is possible to construct an $\mathbb{F}_p$-additive GH code for all allowable ranks and dimensions of the kernel between these bounds. Finally, we also prove that these codes are self-orthogonal with respect to the trace Hermitian inner product, and generate pure quantum codes.

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