On additive MDS codes with linear projections
Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）
该研究证明了加性MDS码在特定条件下等同于线性码，揭示了线性码与加性MDS码之间的关系。
2022-09-20 cs.IT math.CO math.IT
Generalized $b$-symbol weights of Linear Codes and $b$-symbol MDS Codes
线性码的广义码偶权是Liu和Pan \cite{LP}最近提出的最小码偶权的推广。广义对权可以用来表征符号对读II型窃听信道的信息保护能力。本文引入了有限域上线性码的广义$b$ -符号重量的概念，它是广义Hamming重量和广义对重量的推广。我们得到了广义$b$ -符号权的一些基本性质和界，称之为广义$b$ -符号权的类Singleton界.作为例子，我们计算了单纯码和汉明码的广义权矩阵。利用线性码的生成矩阵和奇偶检验矩阵，给出了线性码是$b$ -符号MDS码的充要条件.最后，得到了两个线性码之间保持$b$ -符号权的线性同构的一个充要条件。作为推论，当$b=1$ .
2022-04-16 cs.IT math.IT
On Linear Codes over $\mathbb{Z}_4+v\mathbb{Z}_4$
考虑环$\mathbb{Z}_4+v\mathbb{Z}_4$上的线性码，其中$v^2=v$。定义了线性码的Gray重量和Gray映射，给出了Gray重量计数器的MacWilliams恒等式.研究了$\mathbb{Z}_4+v\mathbb{Z}_4$上的自对偶码、欧几里德等对偶码、幺模复格、MDS码和MGDS码。循环码和二次剩余码也被考虑。最后给出了一些例子来说明本文的主要工作。
2014-12-31 cs.IT math.IT
On pseudo-arcs from normal rational curve and additive MDS codes
本文提出了一种新的非Desarguesian伪弧构造方法，基于正常有理曲线的虚空间，并将其与加法MDS码理论联系起来。
2026-02-26 cs.IT math.CO math.IT
Duality of codes supported on regular lattices, with an application to enumerative combinatorics
本文在有限交换群上引入了一类正则权函数，并研究了具有这类函数的码的组合学、对偶理论和度量性质。权值是通过构造一个合适的支持度映射和满足一定正则性的分次格的秩函数得到的。一个群上的正则权正则地导出一个特征标群上的正则权，并且可逆的麦克威廉姆斯恒等式对于这样一对权总是成立的。此外，相应的MacWilliams变换的Krawtchouk系数具有精确的组合意义，并且可以用底层格的不变量来表示。特别是，它们在许多示例中很容易计算。传统上在编码理论中研究的几种权函数都属于本文所介绍的权类。我们的格理论方法还提供了一个控制度量结构，一个定期的重量诱导的基础组。特别是，它允许表明，每一个有限的阿贝尔群承认的重量功能，同时，引起麦克威廉姆斯身份，并赋予基本组与度量空间结构。我们提出了一个一般性的概念极值（不一定是加性）码的群赋予半正则支持，并建立一个Singleton型界。然后，我们研究组合学和对偶理论的极值码，扩展经典的结果的重量和距离分布的纠错码。最后，我们将MacWilliams恒等式理论应用于计数组合问题，得到了有限域上具有给定秩且满足某些线性条件的矩形矩阵个数的封闭公式.
2017-10-31 cs.IT math.CO math.IT
The equivalence of linear codes implies semi-linear equivalence
我们证明了如果两个线性码是等价的，那么它们是半线性等价的。我们还证明了，如果两个加法MDS码在一个域上是等价的，那么他们是加法等价的。
2021-07-16 cs.IT math.CO math.IT
Graph-Based Classification of Self-Dual Additive Codes over Finite Fields
GF（m）上的量子稳定子态可以表示为GF（m^2）上的自对偶加性码。这些码可以表示为加权图，图在广义局部互补运算下的轨道对应于码的等价类。我们以前使用这个事实来分类GF（4）上的自对偶加法码。本文对GF（9）、GF（16）和GF（25）上的自对偶加性码进行了分类。假设经典的MDS猜想成立，我们可以通过使用扩展技术对GF（9）上所有自对偶可加性MDS码进行分类。我们证明了自对偶加性码的最小距离与伴随图轨道中的最小顶点度有关。循环图码的介绍，并通过计算机搜索发现，这个集合包含许多强码。我们发现，这些代码具有高度正规的图形表示。
2009-10-03 cs.IT math.CO math.IT
Twisted and Twisted Linearized Reed--Solomon Codes, LCD and ACD MDS constructions
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）；University of Valladolid（巴利亚多利德大学）
本文研究了在求和-秩度量下扭曲线性化Reed-Solomon码的子族，提出了码为线性互补双码的条件，并构造了无限族的加法互补双码和最大距离分离码。
2026-04-28 cs.IT math.IT
Linear codes in the folded Hamming distance and the quasi MDS property
本研究聚焦折叠汉明距离下的线性码（含加性码），定义了满足宽松版Singleton界的准MDS（QMDS）码与对偶QMDS码，推导了其多方面通用性质，还给出显式示例与性能优于MDS码的最优长度二元构造。
2024-06-19 cs.IT math.IT
Some results of linear codes over the ring $\mathbb{Z}_4+u\mathbb{Z}_4+v\mathbb{Z}_4+uv\mathbb{Z}_4$
本文主要研究环$R =\mathbb{Z}_4+u\mathbb{Z}_4+v\mathbb{Z}_4+uv\mathbb{Z}_4$上的线性码理论。利用中国剩余定理，我们得到了$R$同构于四个环的直和$\mathbb{Z}_4$ .我们定义了一个从$R^{n}$到$\mathbb{Z}_4^{4n}$的Gray映射$Φ$，它是一个距离保持映射。$R^{n}$上的循环码的Gray图像是$\mathbb{Z}_4$上的线性码。进一步研究了$R$上线性码的MacWilliams恒等式，并给出了$R$上循环码的生成多项式.最后讨论了$R$上MDS码的一些性质。
2016-01-18 cs.IT math.IT
Lattice Erasure Codes of Low Rank with Noise Margins
我们考虑应用于具有加性噪声的擦除信道的$(n,k)$ MDS码的以下推广。像MDS码一样，我们的码需要在没有噪声的情况下可从任何$k$接收的符号解码。此外，我们要求每个允许的擦除模式的噪声容限尽可能大，并且代码满足功率约束。在本文中，我们推导出性能界限，并提出了一些设计低秩格码的加性噪声信道与擦除。
2018-01-13 cs.DM cs.IT math.IT
Critical pairs for the Product Singleton Bound
我们刻画了线性码的乘积MDS对，即码对$C,D$，其在坐标乘法下的乘积具有作为码长度和维数$\dim C, \dim D$的函数的最大可能最小距离。我们证明，特别是，对于$C=D$，如果平方码$C$有最小距离至少$2$，和$(C,C)$是一个产品MDS对，那么无论是$C$是一个广义里德所罗门码，或$C$是自对偶码的直和。在传递中，我们建立编码理论的加法组合学的经典定理的类似物。
2015-08-20 cs.IT math.IT
Notes on Reed-Muller Codes
本文研究了Reed-Muller（RM）码。对于一阶RM码，我们证明了它是唯一的，即任何具有相同长度、维数和最小距离的线性码都是一阶RM码;对于二阶RM码，当m为偶数时，我们给出了一个构造性的线性子码族.这是MacWilliams和Sloane的编码书中第15章推论17的扩展。此外，我们证明了长度<= 256的指定子码的最小距离等于所有长度和维数相同的线性码的上界或最佳已知下界。作为另一个有趣的结果，我们得到了满秩辛矩阵的可加交换群。
2009-04-30 cs.IT math.IT
Optimal Codes for the Coverage Depth Problem and the Performance of Random Codes
Technion—Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
本文针对DNA存储中的覆盖深度问题，推导期望公式，证明q元单纯码和汉明码的最优性，并分析随机线性码与MDS基准的差距有界。
2026-10-07 cs.IT math.IT
Some MDS and ACD codes over commutative non-unital rings of orders 4 and 9 (Revision)
Sogang University（西江大学）；Kangwon National University（江原国立大学）
本文研究4阶和9阶交换非幺环上的加性互补对偶码，建立其与二元、三元及p元LCD码的联系，分类高最小距离的ACD码并证明其为MDS码，同时更正了先前论文中的定理。
2026-09-18 cs.IT math.IT
Coding Theorem for Generalized Reed-Solomon Codes
本文证明广义 RS 码的子域像可达到 p 元无记忆信道对称容量，并提出利用并行 Lagrange 插值与基变换加速有限码长 ML 译码，仿真验证其在 BEC 及 AWGN 场景下的性能优势。
2025-05-13 cs.IT math.IT
On the Minimum Depth of Circuits with Linear Number of Wires Encoding Good Codes
本研究改进了已有构造与分析，证明编码优质纠错码的电路线数上界，得到线性规模电路的最小深度范围，还提出超集中器诱导码并揭示其与超集中器图的双向紧密联系。
2024-02-01 cs.CC cs.IT math.IT
