BBGKY Hierarchy and Dynamics of Correlations
D. O. Polishchuk
我们推导出BBGKY层次的费米和玻色多粒子系统，使用冯诺依曼层次的相关算子。在迹类算子序列的空间中构造了n体相互作用势情形下的柯西问题的解。
We derive the BBGKY hierarchy for the Fermi and Bose many-particle systems, using the von Neumann hierarchy for the correlation operators. The solution of the Cauchy problem of the formulated hierarchy for the case of a n-body interaction potential is constructed in the space of sequences of trace-class operators.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Convergence to the Landau equation from the truncated BBGKY hierarchy in the weak-coupling limit
我们认为在弱耦合极限在三维空间中的单粒子函数的演变，通过截断的BBGKY系列下的传播混沌近似。对于这种动态，我们严格显示的朗道方程的解决方案的收敛，保持完整的奇异朗道内核。这解决了[10]中出现的问题，其中奇异区域被人为地移除。由于粒子相互作用的几何形状导致朗道方程中出现奇异性，因此奇异性是弱耦合极限的一个内在物理性质，这对于理解从粒子系统到朗道方程的过渡至关重要。
On the Integrated Form of the BBGKY Hierarchy for Hard Spheres
在我的书《相互作用粒子的大尺度动力学》中，我提到了1985年初关于硬球BBGKY层次的一个未发表的注释。我的主要观点是为时间积分的层次结构提供一个直接的概率证明。近年来，人们对这一推导一再感兴趣，这促使我将我的笔记公之于众。我决定保留它的原始形式，包括可能的不准确之处。R. Illner和M. Pulvirenti [IP]出现在1985年9月，也可参见C.切尔奇尼亚尼河Illner和M. Pulvirenti [CIP]，他们使用特殊的流表示和微分算子理论的方法证明了相同的结果。[S]H.李文，粒子动力学，国立台湾科技大学，1996。[IP]R. Illner和M. Pulvirenti，一个推导的BBGKY-层次的硬球粒子系统，输运理论和统计。物理\textbf{16}，997- 1012（1987），预印本DM-388-IR，1985年9月。[CIP]C.切尔奇尼亚尼河Illner和M.李文，气体动力学理论与应用，北京：科学出版社，1994。
On Regularized Solution for BBGKY Hierarchy of One-Dimensional Infinite System
我们构造了一个正则化的累积量（半不变）表示的解决方案的初始值问题的BBGKY系列的硬球相互作用，通过一个短程潜力的一维无限系统。证明了有界函数序列空间中初始数据的存在性定理。
On the stationary BBGKY hierarchy for equilibrium states
本文建立了一种新的直接积分方法，在假定平衡关联函数为通常形式的情况下，构造了通过光滑、稳定、规则的二体势相互作用的无限大经典粒子系统的定态BBGKY族解。证明了相应的无穷族与Kirkwood-Salsburg方程的等价性。因此，在低密度下，在适当的边界条件下，解决了该族解的存在唯一性问题。结果是在一个温和的意义上扩展到系统的硬核相互作用。比较提供了不同的集成技术。
A BBGKY-like Hierarchy for Quantum Field Theories
本文提出一种哈密顿方法，为量子场论构建类BBGKY层级结构，通过在有限阶闭合约化密度矩阵演化方程，获得非微扰近似，从而为量子效应显著的高能环境提供解析可处理的建模途径。
On the Initial-Value Problem to the Quantum Dual BBGKY Hierarchy
我们开发了一个严格的形式主义的描述的量子系统中的粒子的可观测量的演变。我们构造了量子对偶BBGKY方程族的初值问题的一个解，作为粒子团簇的扩展，其演化由多个粒子的演化算子的相应阶的对偶累积量（对偶半不变）控制。对于有界算子序列空间中的初值，证明了存在唯一性定理。
From BBGKY Hierarchy to Non-Markovian Evolution Equations
讨论了微观相密度演化的描述问题及其推广。为此，引入了边缘微观相密度序列，并为这些微观分布及其平均值制定了适当的BBGKY等级。给出了微观相密度平均值的广义演化方程的微观推导，导出了Fokker-Planck碰撞积分的非马尔可夫推广。
A new truncation scheme for BBGKY hierarchy: conservation of energy and time reversibility
提出了一种新的Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon（BBGKY）族的截断格式.我们用$f_{2}(1,2,t)$、$f_{1}(3,t)$和两点关联函数$\left\lbrace g_{2}(1,3,t), g_{2}(2,3,t)\right\rbrace $来近似三粒子分布函数$f_{3}(1,2,3,t)$。进一步将$f_{2}$表示为$f_{1}(1,t)$和$g_{2}(1,2,t)$以封闭层次，从而得到一组$f_{1}$和$g_{2}$的耦合动力学方程。在本文中，我们表明，速度无关的相关性，动力学方程$f_{1}$减少到Martys[Martys N S 1999 \textit{IJMPC} \textbf{10} 1367-1382]提出的模型。在稳态极限下，$g_{2}$的动力学方程简化为均匀密度下的Born-Green-Yvon（BGY）族。我们还证明了本方案尊重能量守恒和在特定情况下，时间对称\textit{i.e.,} $\displaystyle \frac{dH(t)}{dt} = 0$其中$H(t)$是指玻尔兹曼的H-函数。
Correlation structures, Many-body Scattering Processes and the Derivation of the Gross-Pitaevskii Hierarchy
我们考虑三维空间中$N$玻色子的动力学。我们假设电子对相互作用由$N^{3β-1}V(N^{β}\cdot )$给出。通过研究一个关联的多体波算子，我们引入了一个BBGKY族，它考虑了从一开始就由多体演化发展的所有粒子间奇异关联结构。假设能量条件的$N$体波函数，对于$β\in \left( 0,1\right] $，我们推导出的Gross-Pitaevskii的层次与$2$体相互作用。特别是，我们建立，在$N\rightarrow \infty $限制，所有的$k$体散射过程消失，如果$k\geqslant 3$，从而提供了一个直接的答案，提出了一个问题的埃尔德什，Schlein和丘在[31]。此外，这个新的BBGKY层次共享的极限点与普通的BBGKY层次强烈的$β\in \left( 0,1\right) $和弱的$β=1$。由于这个新的BBGKY层次将问题从两体估计转换为较弱的三体估计，我们有估计来实现$β<1$，因此它允许我们证明普通BBGKY层次的所有极限点满足Klainerman和Machedon在[47]中为$β\in \left( 0,1\right) $提出的时空界。
On the Klainerman-Machedon Conjecture of the Quantum BBGKY Hierarchy with Self-interaction
我们考虑了三维量子BBGKY族，它对应于$N$ -粒子薛定谔方程。我们假设对相互作用是$N^{3β-1}V(N^β\bullet).$对于相互作用参数$β\in(0,\frac23)$，我们证明，作为$N\rightarrow \infty ,$，BBGKY族解的极限点满足Klainerman-Machedon在2008年推测的时空界。这允许应用的Klainerman-Machedon唯一性定理，因此意味着，该限制是唯一确定为一个张量积的解决方案的Gross-Pitaevski方程时，$N$体的初始数据是因式分解。T. Chen和N. Pavlović（2011）为$β\in (0,\frac14)$，随后由X. Chen（2012）for $β\in (0,\frac27]$ .我们建立在X的方法上。Chen的方法，但在势部分的估计中应用了频率局部化的Klainerman-Machedon塌缩估计和端点的Klainerman-Machedon塌缩估计，从而将范围扩展到$β\in (0,\frac23)$。总的来说，这为Erdös-Schlein-Yau（2007）的平均场程序提供了另一种方法，其唯一性证明基于费曼图组合学。
Classical and Quantum Ensembles via Multiresolution. I. BBGKY Hierarchy
提出了一种快速有效的数值分析方法，用于模拟BBGKY动力学方程体系中的复杂行为。利用变分方法和高定域态多项式张量代数的多分辨分解，构造了约化分布函数族的多尺度表示。数值模拟显示，从本地化模式，这是本地化或混乱类型的行为和相应的模式（waveletons）的形成相关的各种内部结构的创建。定域斑图是等离子体中能量约束态（聚变）的模型。
Quantum Kinetic Equations and Evolution of Many-Particle Systems
在本文中，我们讨论了可能的途径问题的严格推导量子动力学方程的基础多粒子动力学。为了描述多粒子演化，我们在适当的Banach空间中构造了BBGKY族和对偶BBGKY族的Cauchy问题的解。在动力学演化描述的传统方法的框架下，构造了量子BBGKY族解的平均场渐近性。我们还开发了替代方法。一种方法是基于量子对偶BBGKY族初值问题解的渐近性的构造。另一种方法是基于广义量子动力学方程，这是这样的演化方程和BBGKY系列的柯西问题的等价性的结果，初始数据由单粒子密度算子确定。
Evolution Equations in Functional Derivatives of Many-Particle Systems
将经典多粒子系统的演化方程族表示为泛函导数形式的演化方程。特别是BBGKY层次的边缘分布函数，双BBGKY层次的边缘观测，刘维层次的关联函数和非线性BBGKY层次的边缘关联函数被认为是。这些族的柯西问题的非微扰解展开的基础上建立相应的功能之间的生成泛函的关系。所得结果推广到通过多体势相互作用的粒子系统。
BBGKY Dynamics: from Localization to Pattern Formation
提出了一种快速有效的数值分析方法，用于模拟BBGKY-动力学方程层次中的复杂行为。我们的计算是基于变分和多分辨方法的基础上多项式张量代数的广义相干态/小波。通过对高度局域化本征模的多尺度分解，我们构造了约化分布函数的层次表示。数值模拟显示，从本地化模式，这是本地化或混乱类型的行为和相应的模式（waveletons）的形成相关的各种内部结构的创建。定域斑图是等离子体中能量约束态（聚变）的模型。
From a non-Markovian system to the Landau equation
本文证明了在一阶宏观时间内，截断BBGKY族（到二阶）的解在弱耦合极限内收敛到非线性空间齐次Landau方程的解.截断问题描述了底层粒子动力学的形式领先阶行为，可以重新表述为一个非马尔可夫双曲方程，它收敛到抛物朗道方程描述的马尔可夫演化。在本文中的分析是出于Bogolyubov的动力学方程的推导通过BBGKY层次的多时间尺度分析。
On Semigroups of Large Particle Systems and their Scaling Asymptotic Behavior
我们考虑算子半群的大粒子系统的发展方程的层次结构，即，边缘观测和边缘分布函数的BBGKY层次的双BBGKY层次。我们建立了这些层次的单参数算子族的展开式的生成算子是相应的序累积量（半不变量）的刘维方程的半群。我们还应用构造的半群相互作用的随机马尔可夫过程的动力学演化的描述，建模软活性物质的微观演化。为此目的，我们考虑由对偶BBGKY族生成的半群的平均场渐近行为的边缘可观。构造的标度极限由一组递归演化方程，即由Vlasov型对偶层次。此外，这一系列的发展方程与Vlasov型动力学方程的初始关联的关系建立。
On Evolution Equations for Marginal Correlation Operators
本文研究量子多粒子系统中非平衡关联的描述问题。边缘相关算子的非线性量子BBGKY层次结构是严格地从相关算子的冯诺依曼层次结构推导出来的，与密度算子相比，冯诺依曼层次结构给出了描述状态的另一种方法。构造了非线性量子BBGKY族边缘关联算子Cauchy问题的一个非微扰解。
Groups of Operators for Evolution Equations of Quantum Many-Particle Systems
本文研究了量子多粒子系统演化方程的算子群的性质，即关联算子的von Neumann族、边缘密度算子的BBGKY族和边缘观测量的对偶BBGKY族。我们表明，累积量的概念（半不变量）的运营商的冯诺依曼方程组形成的基础上的扩展为一个参数的家庭运营商的演化方程的无限多个粒子。
On the rigorous derivation of the 2D cubic nonlinear Schrödinger equation from 3D quantum many-body dynamics
本文研究了在一个方向上具有强约束的稀玻色气体的三维量子多体动力学。我们研究了当束缚势强度趋于$\infty$时，含有发散系数的BBGKY族。我们发现，这个发散系数是平衡的密度矩阵的极限结构，并建立BBGKY系列的收敛性。此外，我们证明了该极限是完全描述的二维立方NLS，并获得精确的三维到二维耦合常数。
Symmetries of a mean-field spin model
通过对运动方程的所有对称性进行分类，刻画了具有平均场相互作用的封闭量子海森堡自旋模型的热力学极限演化。结果表明，该模型的参数诱导希尔伯特空间中的结构划分成不变的子空间，解耦的基础Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon（BBGKY）的层次。所有可能的分区分类的有效，热力学极限耦合常数的$3\times3$矩阵。我们发现存在1，2，4或O（N）个不变子空间。BBGKY层次结构在每个子空间上分解成相应数量的反埃尔米特算子。这些发现意味着该模型中的平衡和平衡依赖于初始条件。
Dynamics of Correlations of Bose and Fermi Particles
讨论了服从费米-狄拉克和玻色-爱因斯坦统计的量子多粒子系统中关联的微观描述的起源。对于给出玻色和费米粒子量子态演化的另一种描述的关联算符，我们推导了非线性方程的von Neumann族，并在相应的迹类算符序列空间中构造了其初值问题的解。讨论了所构造的解与量子BBGKY族解和非线性BBGKY族解之间的联系。对于满足混沌性质的初始数据，构造了这些方程族的柯西问题的解。
Non-perturbative solutions of hierarchies of evolution equations for colliding particles
针对多碰撞粒子基本演化方程层级，本文利用可观测量与状态的 Liouville 方程算子群簇展开，构造了 BBGKY 层级及其对偶层级 Cauchy 问题解的生成算子。
A Leibniz rule of distributional pairing and hyperforce sum rule
本文通过莱布尼茨法则推广了超力求和规则，应用于 tempered 分布和施瓦茨函数的配对，并推导了周期边界条件下的超力求和规则。
On the Weak Coupling Limit of Quantum Many-body Dynamics and the Quantum Boltzmann Equation
从更基本的量子多粒子系统严格推导Uehling-Uhlenbeck方程是数学中一个具有挑战性的公开问题。本文研究了量子N粒子动力学的弱耦合极限。我们假设微观相互作用的积分为零，我们假设相应的BBGKY序列上的每粒子正则性为W^{4，1}，这样我们就可以严格地交换极限和积分。我们证明了，如果BBGKY序列确实在某种弱意义上收敛，那么这个弱耦合极限必须满足无限量子Maxwell-Boltzmann族，而不是预期的无限Uehling-Uhlenbeck族，不管粒子服从的统计。我们的结果表明，为了导出Uehling-Uhlenbeck方程，必须在W^{4，1}以下的每粒子正则性约束下工作。
Empirical Measures and Vlasov Hierarchies
本文综述了具有Lipschitz连续相互作用核的Vlasov型方程的平均场极限的某些方面。我们特别讨论的方法，涉及N粒子的经验措施和制定BBGKY层次结构的基础上之间的连接。这导致了对[S. Mischler，C.穆奥湾Wennberg，arXiv：1101.4727].我们的主要结果是一个稳定性估计的BBGKY系列均匀的粒子数，这意味着一个稳定性估计的意义上的Monge-Kantorovich距离指数为1的无限平均场系列。最后一个结果推广了Spohn的唯一性定理[H.斯波，数学。冰毒。应用科学3（1981），445 - 455]。
On the size of chaos via Glauber calculus in the classical mean-field dynamics
我们认为一个系统的经典粒子，通过一个光滑的，长程的潜力，在平均场制度的相互作用，我们最佳地分析了混沌的传播形式的多粒子相关函数的尖锐估计。虽然BBGKY层次结构的基础上的方法注定由不受控制的损失的衍生物，我们提出了一种新的非层次的方法，专注于系统的经验措施，并利用Glauber型演算相对于初始数据的形式高阶庞加莱不等式的累积量。这一主要结果允许严格截断BBGKY层次的任意精度上的平均场时间尺度，从而证明Bogolyubov校正平均场。作为推论，我们还推导出一个定量的中心极限定理波动的经验措施，我们部分证明Lenard-Balescu极限的空间均匀系统远离热平衡。
The von Neumann Hierarchy for Correlation Operators of Quantum Many-Particle Systems
研究了一类非线性方程族的Cauchy问题。一种是用关联算符描述量子多粒子系统所有可能态的演化。这样的非线性方程的解构造在粒子团簇的扩展的形式，其演化是由相应的阶累积量（半不变）的冯诺依曼方程的演化算子描述。对于迹类算子序列空间的初值，证明了Cauchy问题的强解和弱解的存在性。我们讨论了这个解与$s$ -粒子统计算符（BBGKY族的解）以及与量子系统的$s$ -粒子关联算符的关系。
Gross-Pitaevskii Equation as the Mean Field Limit of Weakly Coupled Bosons
研究了$N$玻色子系统通过一对势$N^{-1} V_a(x_i-x_j)$相互作用的动力学，其中$V_a (x) = a^{-3} V (x/a)$ .我们用$ψ_{N, t}$表示$N$粒子薛定谔方程的解.回想一下，Gross-Pitaevskii（GP）方程是一个非线性薛定谔方程，而GP族是一个无限BBGKY方程族，因此如果$u_t$解GP方程，那么$k$ -粒子密度矩阵族$\{\otimes_k u_t, k\ge 1 \}$解GP族。在假设$a = N^{-\eps}$为$0 < \eps < 3/5$的条件下，证明了当$N\to \infty$为$N\to \infty$时，$ψ_{N,t}$的$k$ -粒子密度矩阵的极限点是GP族的解，其中耦合常数在由$\int V(x) dx$给出的GP方程的非线性项中.这个层次结构的解决方案的唯一性仍然是一个悬而未决的问题。
The quintic NLS as the mean field limit of a Boson gas with three-body interactions
本文研究了$d=1,2$维中具有三体相互作用的玻色子气体的动力学。我们证明了在无限粒子数的极限下，$k$ -粒子边缘的BBGKY族收敛到一个极限（Gross-Pitaevskii（GP））族，并证明了解的存在唯一性. GP族的因式分解的解决方案被证明是由一个五次非线性薛定谔方程的解决方案。我们的证明是基于和扩展的方法Erdös-Schlein-Yau，Klainerman-Machedon和Kirkpatrick-Schlein-Staffilani。
Derivation of the two dimensional nonlinear Schrodinger equation from many body quantum dynamics
对于R^2和[-L，L]^2，我们严格地导出了具有短尺度排斥对相互作用的二维多体玻色系统在适当标度极限下的立方非线性薛定谔方程.我们首先证明收敛的BBGKY层次的解决方案，对应于多体系统，解决方案的无限Gross-Pitaevskii层次，对应于立方NLS;然后，我们证明了唯一性的无限层次，这需要数论技术在周期性的情况下。
Kinetic hierarchy and propagation of chaos in biological swarm models
我们考虑两种模型的生物群体行为。在这些模型中，成对的粒子相互作用以调整彼此的速度。在第一个过程中，称为“BDG”，他们加入他们的平均速度一些噪音。在第二个过程中，称为“CL”，两个粒子中的一个试图加入另一个的速度。本文建立了这两个过程的主方程和BBGKY族。它研究了大时间尺度下的无穷粒子极限。结果表明，CL过程的动力学级数不满足混沌的传播。数值模拟表明，BDG过程具有类似的CL过程的行为。
Derivation of the cubic NLS and Gross-Pitaevskii hierarchy from manybody dynamics in $d=3$ based on spacetime norms
本文从描述气体相互作用玻色子的$N$ -体薛定谔方程出发，在极限$N\rightarrow\infty$下，导出了三维$d=3$中的散焦Gross-Pitaevskii（GP）族.本文的主要结果是证明了相应的BBGKY族收敛到GP族的空间中介绍了我们以前的工作的柯西问题的适定性GP族，\cite{chpa2,chpa3,chpa4}，这是由Klainerman和Machedon在\cite{klma}中介绍的时空范数的基础上的解决方案空间的启发。我们注意到，在$d=3$中，这是该领域中众所周知的开放问题。虽然我们的结果不假设因式分解的解决方案，考虑因式分解的解决方案产生一个新的推导立方，散焦非线性薛定谔方程（NLS）在$d=3$。
Derivation of Vlasov equations for multi-species fermions
本文研究双组分费米子系统，通过建立双组分 Husimi 测度和含误差项的 BBGKY 层级并证明误差小性与唯一性，推导出其 Vlasov 方程。
Derivation of the Gross-Pitaevskii Hierarchy for the Dynamics of Bose-Einstein Condensate
考虑三维单位环面上的$N$玻色子系统通过对势$N^2V(N(x_i-x_j))$相互作用，其中$\bx=(x_1, ..., x_N)$表示粒子的位置。假设初始数据$ψ_{N,0}$满足条件\[ < ψ_{N,0}, H_N^2 ψ_{N,0} > \leq C N^2 \]，其中$H_N$是玻色系统的哈密顿量。如果$ψ_{N,0}= W_N ϕ_{N,0}$满足该条件，其中$W_N$是$H_N$的近似基态，并且$ϕ_{N,0}$是正则的。令$ψ_{N,t}$表示具有哈密顿量$H_N$的薛定谔方程的解。Gross和Pitaevskii提出用非线性薛定谔方程Gross-Pitaevskii（GP）方程来模拟这种系统的动力学。GP族是无限BBGKY方程族，因此如果$u_t$求解GP方程，则$k$ -粒子密度矩阵族$\{\otimes_k u_t, k\ge 1 \}$求解GP族。我们证明了当$N\to \infty$时，$ψ_{N,t}$的$k$ -粒子密度矩阵的极限点是GP族的解.这个层次结构的解决方案的唯一性仍然是一个悬而未决的问题。我们的分析要求，$N$玻色子动力学描述的修改后的哈密顿量，切断对相互作用时，至少有三个粒子进入一个区域的直径远小于典型的粒子间的距离。我们的证明可以扩展到一个修改的哈密顿量，它只禁止至少$n$粒子接近在一起，任何固定的$n$。
Propagation processes of correlations of hard spheres
本文发展了一种方法来描述的相关性的演变为许多硬球的基础上的层次的发展方程的概率分布函数的累积量由刘维尔方程。它是建立在所构建的动力学的相关性描述的BBGKY系列减少的分布函数或减少的关联函数的非线性演化方程的层次描述的许多硬球的状态的演变。作为一个应用程序的开发方法来描述的许多硬球的动态框架内的相关性的状态的演变，动力学方程的推导的挑战进行了讨论。
A lemma about molecular chaos
本文研究了理想气体中分子布朗粒子的BBGKY方程族的解，导出了粒子路径概率分布及其对气体密度的导数与气体原子与路径的不可约多粒子关联之间的精确关系，表明各种关联对路径分布的演化总是有同等重要的贡献，因此精确的统计力学理论即使在低密度极限下也不能简化为经典动力学。
Derivation of the nonlinear Schrödinger equation from a many body Coulomb system
本文研究了N玻色粒子通过平均场库仑势相互作用的时间演化。假设初始状态是一个乘积波函数。我们表明，在任何有限时间的关联函数分解的限制$N \to \infty$。此外，极限单粒子密度矩阵满足非线性Hartree方程.关键的成分是关联函数的BBGKY族的唯一性和一个新的先验估计的多体薛定谔方程。
Cluster expansions of particle system state with topological nearest-neighbor interaction
本文提出了一种用于描述具有拓扑最近邻相互作用的多粒子系统状态的累积表示，并建立了该系统与BBGKY层次方程解的级数展开结构之间的联系。
Vlasov equation and $N$-body dynamics - How central is particle dynamics to our understanding of plasmas?
在微观上建立库伦相互作用粒子的弗拉索夫方程的困难回顾了统计方法（BBGKY层次和相空间上的刘维方程）和动力学方法（单粒子$(\mathbf{r},\mathbf{v})$ -空间上的单经验测量）。本文强调了粒子轨迹（特征）在偏微分Vlasov-Poisson系统分析中的作用。从多体动力学出发，概述了德拜屏蔽和集体行为的直接推导。
Evolution of correlation functions in the hard sphere dynamics
在对初始测度密度作最小正则性假设的情况下，由Liouville方程解的直接积分导出了有限硬球系统的关联函数演化的级数展开式.然后恢复通常的BBGKY方程族。一个图形语言的基础上的概念碰撞历史最初介绍了Spohn的开发，作为一个有用的工具，用于描述的扩展和消除的自由度。
From particle systems to the Landau equation: a consistency result
我们考虑一个N个经典粒子的系统，通过一个光滑的，短程势相互作用，在弱耦合制度。这意味着当相互作用被适当地重新缩放时，N趋于无穷大。服从通常BBGKY层次的j粒子边缘被分解为两个贡献：一个小但强烈振荡，另一个希望光滑。消除第一个，我们到达建立一个新的层次（平滑部分）涉及的记忆项的动力学问题。我们表明，一阶修正的自由流收敛，作为N \rightarrow \infty，相应的长期相关的朗道方程。我们还展示了相关的混沌传播。
On the Dynamics of Large Particle Systems in the Mean Field Limit
本课程解释了统计物理学中常见的平均场演化偏微分方程（PDE）-例如Vlasov-Poisson系统，不可压缩流体的二维欧拉方程的涡度公式，或量子力学中的时间相关Hartree方程-如何严格地从第一原理推导出来，即从控制大尺度演化的基本微观方程，相互作用的粒子系统重点是放在这些推导中使用的数学方法，如Dobrushin的稳定性估计在蒙格-康托洛维奇距离的经验措施建立在解决的N-粒子运动方程在经典力学，或理论的BBGKY层次结构的情况下，经典以及量子问题。我们详细解释这些不同的方法是如何相关的，特别是我们坚持的概念，混沌序列和BBGKY层次结构中的混沌传播的粒子数趋于无穷大。
A Rigorous Derivation of a Boltzmann System for a Mixture of Hard-Sphere Gases
本文从两类硬球气体的多体动力学出发，严格导出了混合气体的玻尔兹曼方程。我们证明了具有不同质量和直径的两种气体的微观动力学是很好地定义的，并引入了一个双参数BBGKY层次的概念来处理这些气体的非对称相互作用。作为推导的一个推论，我们证明了玻尔兹曼关于混合气体的混沌传播假设。
Effective Evolution Equations in Quantum Physics
本文综述了从多体量子力学导出有效演化方程的一些最新数学结果。特别是，我们讨论了出现的Hartree方程在所谓的平均场制度（例如，系统的引力玻色子），我们表明，Gross-Pitaevskii方程近似的动力学最初被困的玻色-爱因斯坦凝聚体。我们解释如何有效的演化方程可以得到，一方面，通过分析所谓的BBGKY系列，描述约化密度矩阵的时间演化，另一方面，通过研究相干初始态的动力学在Fock空间表示的多体系统。
Derivation of a Nonlinear Schrödinger Equation with a General power-type nonlinerity
本文研究了从玻色粒子的多体相互作用导出一类非线性光学系统。考虑一个具有有限线性$n$ -体相互作用组合的模型，其中$n \geq 2$为整数.我们证明了BBGKY族的$k$ -粒子边缘密度在粒子数趋于无穷大时收敛，极限解为相应的无穷大Gross-Pitaevskii族.基于先验时空估计，证明了Gross-Pitaevskii方程族分解解的唯一性.通过调整\cite{ESY}、\cite{KSS}和\cite{CPquintic}中产生或发展的参数来建立收敛。对于唯一性的一部分，我们扩大了\cite{KM}中的程序，通过引入不同的棋盘游戏参数来处理新的收缩算子。这个新的棋盘游戏的论点帮助我们获得一个很好的估计的Duhamel条款。在\cite{KM}中，我们假设相关的时空估计为真，并给出了证明。
Apriori Estimates for Many-Body Hamiltonian Evolution of Interacting Boson System
研究了波函数服从玻色对称性下N体薛定谔方程的多粒子系统的演化。系统哈密顿量描述了在没有外部势的情况下两两粒子的相互作用。我们推导出先验色散估计，表示粒子相互作用的整体排斥性质。这些估计适用于与粒子数N无关的广泛的两体相互作用势。我们讨论了应用这些估计BBGKY层次的约化密度矩阵分析Elgart，鄂尔多斯，Schlein和丘。
Focusing Quantum Many-body Dynamics II: The Rigorous Derivation of the 1D Focusing Cubic Nonlinear Schrödinger Equation from 3D
我们考虑聚焦的三维量子多体动力学，它模拟了在两个空间方向上强烈受限的稀玻色气体。我们假设微观对相互作用是吸引的，由$a^{3β-1}V(a^β\cdot)$给出，其中$\int V\leqslant 0$和$a$匹配Gross-Pitaevskii标度条件。我们仔细研究了约束势的强度和粒子数之间的精细相互作用对三维$N$体动力学的影响。我们克服了3D吸引相互作用产生的困难，并建立了新的聚焦能量估计。我们研究了相应的BBGKY族，当束缚势强度趋于$\infty $时，BBGKY族包含一个发散系数。我们证明了密度矩阵的极限结构抵消了这个发散系数。我们建立了BBGKY序列的收敛性，从而对聚焦量子多体系统的混沌传播。我们严格推导了一维聚焦立方NLS作为三维聚焦量子多体动力学的平均场极限，并得到了精确的三维到一维耦合常数。
Fusion modeling in plasma physics: Vlasov-like systems
作者开发的方法被施加到BBGKY层次的一些减少，即，Vlasov类系统的各种例子，这是重要的融合建模和特定的物理问题相关的等离子体/束物理。我们主要集中在局部化和斑图形成的现象。
Tau functions and correlation functions of the bosonic universal character hierarchy
研究玻色子通用特征层次的构建，核心方法是在带电自由玻色子框架内，通过有序指数算子表示Tau函数并推导关联函数，主要贡献是明确了其与广义相位模型关联函数的关系。
Derivation of the Enskog--Enskog System from a Particle System
本文从硬球 BBGKY 层级正式推导出气体-粒子混合物的耦合 Enskog 系统，保留了碰撞中心有限分离，明确碰撞算子细节，为两相流提供动力学基础，并推导了平衡定律和熵不等式。
The Derivation of the $\mathbb{T}^{3}$ Energy-critical NLS from Quantum Many-body Dynamics
我们从具有三体相互作用的量子多体动力学出发，在T^3（周期）背景下导出了三维能量临界五次NLS。由于已知的能量临界设置的复杂性，以前的进展是有限的，相比2体相互作用的情况下，产生能量亚临界立方NLS。以前，三维能量临界情况下的唯一结果是HTX，它证明了小解情况下的唯一性。在本文的主要部分，我们开发的方法来证明BBGKY族的收敛到无限的Gross-Pitaevskii（GP）族，并分别，大GP解决方案的唯一性。由于在前面的收敛性证明中使用的迹估计是我们设置中的假尖锐迹估计，因此我们引入了一个新的频率相互作用分析并应用有限维量子de Finetti定理。对于大解的唯一性问题，我们发现了GP族的新的HUFL（层次均匀频率局部化）性质，并利用它证明了一个新的唯一性定理。即使对于NLS，HUFL属性也可以简化为一个新的语句。借助于CKSTT，IP证明了五次NLS的整体适定性，这个新的唯一性定理建立了整体唯一性。
Towards Rigorous Derivation of Quantum Kinetic Equations
我们发展了一个严格的形式主义的描述量子多粒子系统的状态演化的单粒子密度算符。对于用单粒子密度算符表示的初态，在迹类算符空间中，证明了量子BBGKY族的Cauchy问题和广义量子动力学方程的Cauchy问题以及所述动力学方程的解的显式定义的泛函序列描述量子多粒子态演化的等价性.讨论了具体量子动力学方程与广义量子动力学方程之间的联系。
Correlation functions of the KdV hierarchy and applications to intersection numbers over $\overline{\mathcal M}_{g,n}$
我们推导出一个显式的生成函数的相关函数的任意tau函数的KdV的层次。在特定的应用中，我们的配方给出了一个新的类型的生成系列的交叉数的$ψ$类以及混合$ψ$ -和$κ$ -类在全属封闭的formulaims。
On the size of chaos in the mean field dynamics
我们考虑的误差所产生的近似N粒子动力学与其描述的单粒子动力学方程。我们估计系统的j-边际和因式分解状态之间的距离，在平均场极限中获得为N $\rightarrow$ $\infty$。我们的分析依赖于“相关误差”的发展方程，而不是通常的BBGKY层次。的收敛速率示出为O（j 2 N）在任何有界的时间间隔（大小的混乱），预期从启发式参数。我们的形式适用于一个抽象的层次平均场模型与有界碰撞算子和一个大类的初始数据，包括（a）随机跳跃过程收敛到齐次玻尔兹曼和Povzner方程和（b）量子系统产生的Hartree方程。
The statistical dynamics of a spatial logistic model and the related kinetic equation
研究了$\mathbb{R}^d$中的一个点实体的无限系统，该系统也是由于竞争而自我复制并死亡。系统的状态是实体配置空间上的概率测度。它们的演变是通过相应的相关（矩）函数的BBGKY型方程。事实证明：（a）这些函数在一个有界的时间间隔上演化，由于竞争，它们保持亚泊松性;（b）在Vlasov标度极限下，它们收敛于含时泊松点场的关联函数，其密度求解了在标度极限下由关联函数方程得到的动力学方程。还建立了动力学方程的解的一些性质。
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