The Derivation of the $\mathbb{T}^{3}$ Energy-critical NLS from Quantum Many-body Dynamics
我们从具有三体相互作用的量子多体动力学出发，在T^3（周期）背景下导出了三维能量临界五次NLS。由于已知的能量临界设置的复杂性，以前的进展是有限的，相比2体相互作用的情况下，产生能量亚临界立方NLS。以前，三维能量临界情况下的唯一结果是HTX，它证明了小解情况下的唯一性。在本文的主要部分，我们开发的方法来证明BBGKY族的收敛到无限的Gross-Pitaevskii（GP）族，并分别，大GP解决方案的唯一性。由于在前面的收敛性证明中使用的迹估计是我们设置中的假尖锐迹估计，因此我们引入了一个新的频率相互作用分析并应用有限维量子de Finetti定理。对于大解的唯一性问题，我们发现了GP族的新的HUFL（层次均匀频率局部化）性质，并利用它证明了一个新的唯一性定理。即使对于NLS，HUFL属性也可以简化为一个新的语句。借助于CKSTT，IP证明了五次NLS的整体适定性，这个新的唯一性定理建立了整体唯一性。
2019-03-01 math-ph math.AP math.MP
A microscopic derivation of Gibbs measures for the 1D focusing quintic nonlinear Schrödinger equation
本文从多体量子吉布斯态出发，利用微扰展开方法，在质量与粒子数截断下首次给出了环面上一维聚焦五次非线性薛定谔方程吉布斯测度及其时间相关关联函数的微观推导，填补了三体相互作用情形的空白。
2024-01-11 math-ph math.AP math.MP
On scattering for the defocusing quintic nonlinear Schrödinger equation on the two-dimensional cylinder
本文证明了五次离焦非线性薛定谔方程在$H^1$中的圆柱$\mathbb{R} \times \mathbb{T}$上的散射。基于质量临界薛定谔方程在$L^2(\mathbb{R}^d )$，$d\ge 1$中的线性剖面分解，我们在$L^2_x h^α$中建立了一个抽象的线性剖面分解，$0 < α\le 1$.然后利用一个离散分量五次共振非线性薛定谔系统的解，利用B. Dodson，为了近似非线性轮廓，我们可以通过使用浓度-紧致性/刚性方法来证明$H^1$中的散射。作为证明单离散分量五次共振非线性薛定谔系统散射性的一个副产品，我们还证明了Z. Hani和B. Pausader [Comm. Pure Appl. Math. 67（2014）]。
2018-09-05 math-ph math.AP math.MP
Cancellations of Resonances and Long Time Dynamics of Cubic Schrödinger Equation on $\mathbb{T}$
证明了在$[0,L]$上具有周期边界条件的一维立方非线性薛定谔方程的规范形变换的一个消失性质.我们应用这个属性的五次共振相互作用，并获得一个描述的动力学时间高达$T=\frac{L^2}{ε^4}$，如果$L$是足够大的初始数据$ε$的大小是足够小的。由于$T$是波动湍流的特征时间，这一结果意味着一维立方NLS不存在波动湍流行为。我们的方法可以适用于其他可积系统没有太多的困难。在证明中，我们开发了费曼图和正规形式的项之间的对应关系，这使得我们能够归纳地计算系数。
2019-10-15 math-ph math.AP math.MP
Dynamical classical-field limit of Bosonic Gibbs states: Renormalized Hartree NLS correlations in 2D and 3D
LMU Munich（慕尼黑大学）；Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
该研究推导了二维和三维环面上重整化哈特雷斯非线性薛定谔方程的时变关联函数，其证明结合了量子生成元收敛性与刘维尔方程正解唯一性，填补了高维玻色吉布斯态经典场极限研究的空白。
2026-10-12 math-ph math.AP math.MP
Dynamics of Large Boson Systems with Attractive Interaction and a Derivation of the Cubic Focusing NLS in $\mathbb{R}^3$
考虑一个$N$玻色子系统，其中粒子经历由$N^{-1}v_N(x)=N^{3β-1}v(N^βx)$给出的短程两体相互作用，其中$v \in C^\infty_c(\mathbb{R}^3)$在$v$上没有明确的符号。推广了M. Grillakis和M. Machedon，Comm. Math. Phys.，$\textbf{324}$，601（2013）和E.库兹，迪弗。积分方程，$\textbf{137}$，1613（2015）关于$0<β<\frac{1}{2}$的排斥相互作用系统到吸引相互作用系统的平均场演化的二阶校正。我们的扩展允许一组更一般的初始数据，其中包括相干态。灵感来自X的作品。Chen和J. Holmer，Arch. Ration。机械分析：$\textbf{221}$，631（2016）和Int. Math. Res. Not.，$\textbf{2017}$，4173（2017）和P. T. Nam和M. Napiórkowski，Adv. Theor.数学物理，$\textbf{21}$，683（2017），我们还提供了$3$ D中聚焦非线性薛定谔方程（NLS）从多体系统的推导及其向$0<β<\frac{1}{3}$平均场的收敛速率。特别是，我们给出了两个推导的聚焦NLS，一个基于$N$ -范数近似的工作中的南和Napiórkowski和其他通过一个方法中…
2020-07-29 math-ph math.AP math.MP
The NLS limit for bosons in a quantum waveguide
我们考虑一个限制在薄波导中的$N$玻色子系统，即在$\mathbb{R}^3$中的曲线周围的$\varepsilon$管内的空间区域。当同时考虑NLS极限$N\to \infty$和强约束极限$\varepsilon\to 0$时，在接近于玻色-爱因斯坦凝聚体的状态下，系统的时间演化近似地被一维非线性薛定谔方程所捕获.该Gross-Pitaevskii型方程中的非线性的强度取决于波导的横截面的形状，而波导的“弯曲”和“扭曲”贡献了势项。我们的分析是基于Pickl开发的平均场限制的方法。
2016-03-09 math-ph math.MP
Rate of convergence towards mean-field evolution for weakly interacting bosons with singular three-body interactions
本文研究了三维空间中具有奇异三体相互作用的$N$弱相互作用玻色子系统的动力学。通过假定初始数据为因子分解后的$Ψ_{N,0}=φ_{0}^{\otimes N}$和三重碰撞，我们证明了在多粒子极限下，其平均场近似收敛于五次Hartree动力学.此外，我们还证明了对于$φ_{0}\in H^{(3/2)+a}(\mathbb{R}^{3})$，向着平均场五次Hartree演化的收敛速度是$O(N^{-(1+4a)/(3+2a)})$，其中对于$a>1$，$0\leq a<1/2$和$O(N^{-1})$.我们的证明是基于和扩展的Fock空间的方法。
2021-08-23 math-ph math.MP
Finite lattice kinetic equations for bosons, fermions, and discrete NLS
University of Helsinki（赫尔辛基大学）
本文提出有限格 kinetic 方程用于描述玻色子、费米子和离散 NLS 的演化，通过截断累积层次来近似协方差函数的演化，并证明了解的衰减性和对能量守恒的鲁棒性。
2026-01-15 math-ph math.MP
Derivation of the 1d NLS equation from the 3d quantum many-body dynamics of strongly confined bosons
我们考虑了$N$相互作用玻色子的动力学，初始表现为玻色-爱因斯坦凝聚。由于一个外部的俘获势，玻色子在两个空间方向上被强烈限制，陷阱的横向延伸为$\varepsilon$阶。对非负相互作用势进行标度，使其散射长度为正且为$(N/\varepsilon^2)^{-1}$阶，对于$β\in(0,1)$，相互作用范围标度为$(N/\varepsilon^2)^{-β}$。我们证明了在$N\rightarrow\infty$和$\varepsilon\rightarrow 0$的同时极限下，凝聚被动力学所保持，时间演化由一维立方散焦非线性薛定谔方程渐近描述，其中非线性的强度取决于相互作用和约束势.这是利用$β\geq\frac12$首次推导出奇异势标度的低维有效演化方程，为推导物理相关的一维Gross-Pitaevskii方程（$β=1$）奠定了基础.对于我们的分析，我们采用Pickl的方法来解决强约束问题。
2018-03-29 math-ph math.MP quant-ph
From Bosonic Grand-Canonical Ensembles to Nonlinear Gibbs Measures
在最近的一篇论文中，与Mathieu Lewin和Phan Th{à}nh Nam合作，我们证明了基于Gross-Pitaevskii类泛函的非线性吉布斯测度可以在平均场极限下从多体量子力学中导出。本文总结了这些调查结果。它侧重于最简单的，但最物理相关的情况下，我们可以治疗到目前为止，即散焦立方NLS功能的1D间隔。在极限中得到的测度（几乎）存在于H^{1/2}上，先前已经由Bourgain证明了在NLS流下是不变的。
2015-07-06 math-ph math.AP math.FA
Stochastic Hartree NLS in 3d coming from a Many-Body Quantum System with White Noise Potential
本文研究T^3上具白噪声外势的defocusing Hartree NLS，建立Anderson Hamiltonian的Strichartz型估计并证明NLS的局部和整体适定性，同时将其确立为多体Bosonic系统的有效方程，证明了向BBGKY hierarchy的收敛性。
2025-05-02 math-ph math.AP math.MP
Derivation of the cubic NLS and Gross-Pitaevskii hierarchy from manybody dynamics in $d=3$ based on spacetime norms
本文从描述气体相互作用玻色子的$N$ -体薛定谔方程出发，在极限$N\rightarrow\infty$下，导出了三维$d=3$中的散焦Gross-Pitaevskii（GP）族.本文的主要结果是证明了相应的BBGKY族收敛到GP族的空间中介绍了我们以前的工作的柯西问题的适定性GP族，\cite{chpa2,chpa3,chpa4}，这是由Klainerman和Machedon在\cite{klma}中介绍的时空范数的基础上的解决方案空间的启发。我们注意到，在$d=3$中，这是该领域中众所周知的开放问题。虽然我们的结果不假设因式分解的解决方案，考虑因式分解的解决方案产生一个新的推导立方，散焦非线性薛定谔方程（NLS）在$d=3$。
2013-02-22 math-ph math.AP math.MP
The 2D Chern-Simons-Schr{ö}dinger system reduced to 1D
Ecole Normale Supérieure de Lyon（里昂高等师范学院）；CNRS, UMPA (UMR 5669)（法国国家科学研究中心，数学与理论物理分析实验室（UMR 5669））
该研究通过引入强各向异性陷阱势，将二维Chern-Simons-薛定谔系统简化为一维五次非线性薛定谔方程，揭示了二维任意子系统在波导中的有效动力学行为。
2026-01-26 cond-mat.mes-hall cond-mat.quant-gas math-ph
Improved stability for 2D attractive Bose gases
研究了平面内N个吸引玻色子的基态能量。相互作用是按比例的气体是稀释的，因此相应的平均场问题是一个局部非线性薛定谔（NLS）方程。我们改进了证明多体问题稳定的条件。这意味着，使用以前的结果，多体基态和动力学收敛到NLS的稀释度参数的扩展范围。
2020-01-27 math-ph math.AP math.MP
Second order corrections to mean field evolution for weakly interacting Bosons in the case of 3-body interactions
本文研究了N个弱相互作用玻色子的哈密顿演化。假设三重碰撞，它的平均场近似由五次Hartree方程给出。我们构造了一个二阶修正的平均场近似使用核k（t，x，y），并推导出一个发展方程的k。我们证明了所得到的演化方程的校正的整体存在性，并建立了一个先验估计比较近似的精确哈密顿演化。我们的误差估计是全球性的和统一的时间。与[22，12，13]中的误差估计随时间增长的工作相比，我们的近似跟踪所有时间的精确动态，误差为O（1/$\sqrt{N}$）。
2011-07-24 math-ph math.AP math.MP
Derivation of the Time Dependent Two Dimensional Focusing NLS Equation
本文从一个相互作用的玻色子$N$ -粒子系统出发，给出了二维聚焦立方非线性薛定谔方程的微观推导。我们所考虑的相互作用势由$W_β(x)=N^{-1+2 β}W(N^βx)$给出，对于某些有界紧支撑的$W$。我们假设$N$ -粒子哈密顿量满足第二类稳定性。选择初始波函数的类别，使得能量的方差小。然后，我们证明了收敛的约化密度矩阵对应的精确的时间演化投影到相应的非线性薛定谔方程的解决方案，无论是在Sobolev迹范数，如果外部潜力是在一些$L^p$空间，$p \in ]2, \infty]$，或在迹范数，更一般的外部潜力。
2018-04-17 math-ph math.MP
Propagation of chaos for many-boson systems in one dimension with a point pair-interaction
研究了一维空间中具有δ势的非相对论量子多玻色子系统的半经典极限。通过Bogoliubov含时仿射变换，证明了时间演化相干态具有压缩态的半经典性质。这使我们能够获得与Hepp和Ginibre-Velo（\cite{Hep}，\cite{GiVe1,GiVe2}）证明的性质类似的性质，并且还显示了薛定谔动力学在平均场极限下的混沌传播。因此，我们提供了一个在一维立方NLS方程的推导。
2009-06-17 math-ph math.MP
The Rigorous Derivation of the 2D Cubic Focusing NLS from Quantum Many-body Evolution
考虑了在Gross-Pitaevskii标度下，具有简谐外约束和\emph{attractive}粒子间相互作用的二维含时$N$ -玻色子量子系统.我们得到的物质类型的估计表明，$k$ -次幂的能量控制的$H^{1}$ Sobolev范数的解决方案超过$k$ -粒子的稳定性。这种估计是新的，而且对于吸引相互作用比排斥相互作用更困难。为了证明，我们使用了[49]中的有限维量子di Finetti定理的一个版本。一个高的粒子数平均效应在证明中起作用，这是不需要在排斥的情况下相应的估计。这一先验界使我们能够证明，相应的BBGKY层次收敛到GP限制，在许多以前的作品治疗排斥相互作用的情况下。结果表明，具有吸引相互作用和渐近因式分解初始数据的二维含时量子多体系统的平均场极限是\emph{focusing}非线性薛定谔方程.需要对原子间相互作用势的$L^{1}$范数的大小进行假设，该假设对应于2D Gagliardo-Nirenberg不等式中的锐常数，尽管该不等式并不直接相关，因为我们处理的是迹而不是幂。
2015-10-02 math-ph math.AP math.MP
On one-dimensional Bose gases with two- and (critical) attractive three-body interactions
本文研究含两体与临界吸引三体作用的一维聚焦 Bose 气体，证明不同强度标度下向三次–五次或五次 NLS 基态的完全凝聚及能量收敛。
2023-11-10 cond-mat.quant-gas math-ph math.MP
The Mean-Field Limit of the Lieb-Liniger Model
我们考虑了在平均场标度区中$N$玻色子通过$δ$ -势两两相互作用的Lieb-Liniger（LL）模型.假设初始波函数的渐近分解和每个粒子的微观能量的收敛性，我们证明了系统的含时约化密度矩阵以迹范数收敛到一维三次非线性薛定谔方程（NLS）的解所给出的纯态，并具有显式的收敛速度.与之前的工作arXiv：0906.3047依赖于量子场论，没有明确的速率相比，我们的证明受到Pickl arXiv：0907.4464和Knowles and Pickl arXiv：0907.4313的计数方法的启发。为了克服困难所产生的奇异性的$δ$ -潜在的，我们引入了一个新的短程近似的论点，利用的Hölder连续性的$N$体波函数在一个单一的粒子变量。通过进一步利用一维立方NLS的$L^2$ -亚临界适定性理论，我们证明了仅假设NLS的极限解具有有限质量的平均场收敛性。
2020-10-20 math-ph math.AP math.MP
Condensation and Collapse in the Mean-Field Limit of Rotating 2D Bose Gases with Two-Body and Three-Body Interactions
School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, Zhejiang Normal University（浙江师范大学数学系）
研究旋转二维玻色气体在吸引二体和排斥三体相互作用下的平均场极限，证明坍缩区域中基态能量渐近一致且发生完全玻色-爱因斯坦凝聚。
2026-09-09 math-ph math.MP
A note on 2D focusing many-boson systems
本文考虑一个二维量子系统，该系统由$N$玻色子组成，在一个囚禁势$|x|^s$中，通过一个形式为$N^{2β-1} w(N^βx)$的对势相互作用。结果表明，对于所有的$0 \textless{} β\textless{} (s+1)/(s+2)$，在大$N$极限下，多体系统基态的首阶行为都可用相应的立方非线性薛定谔能量泛函来描述.我们的结果涵盖了聚焦的情况下（$w \leq 0$），即使是多体系统的稳定性是不明显的。这回答了X提到的一个开放性问题。Chen和J.~ Holmer谐波陷阱（$s=2$）。结合BBGKY层次方法，我们的结果表明对于所有的$0 \textless{} β\textless{} 3/4$，多体量子动力学收敛于具有谐波陷阱的聚焦NLS方程.
2015-10-22 cond-mat.quant-gas math-ph math.AP
2D attractive almost-bosonic anyon gases
本文研究二维空间中 N 个任意子在短程吸引相互作用下的多体量子系统，在稳定区域推导出平均场泡利泛函，并分析了吸引强度趋于临界值且自生磁场趋于零时的坍缩现象。
2024-08-31 cond-mat.quant-gas math-ph math.MP
Dimensional reduction for anyons in the average-field approximation
Ecole Normale Supérieure de Lyon（里昂高等师范学院）
本文基于平均场近似研究任何子的维度约简，通过各向异性囚禁势推导出有效1D模型，并在H²适定性下严格建立基态能量和时间依赖解。
2026-06-05 cond-mat.mes-hall cond-mat.quant-gas math-ph
Homogeneous attractive Bose-Einstein condensates with repulsive three-body interactions: the one-dimensional case
Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Science（理科大学数学与计算机学院）；Vietnam National University（越南国立大学）
该研究针对受吸引两体与排斥三体相互作用的均匀一维玻色气体，借助中间哈特利理论推导平均场极限对应的非线性薛定谔泛函，分析排斥三体项对基态能量估计及质量聚集特性的影响。
2026-09-01 cond-mat.quant-gas math-ph math.MP
Homogeneous attractive Bose-Einstein condensates with repulsive three-body interactions: the two-dimensional case
Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Science（自然科学大学数学与计算机科学学院）；Vietnam National University（越南国立大学）
研究由N个全同玻色子组成的、兼具吸引两体与排斥三体相互作用的均匀二维玻色气体，借助哈特利理论推导其平均场极限对应的非线性薛定谔泛函，聚焦系统与两体相互作用的行为。
2026-09-01 cond-mat.quant-gas math-ph math.MP
Derivation of the 1d Gross-Pitaevskii equation from the 3d quantum many-body dynamics of strongly confined bosons
我们考虑了$N$相互作用玻色子最初形成玻色-爱因斯坦凝聚体的动力学。由于外部的俘获势，玻色子被强烈地限制在二维中，其中陷阱的横向延伸是$\varepsilon$阶。非负相互作用势被标度，使得其范围和散射长度都是$(N/\varepsilon^2)^{-1}$阶，对应于稀释玻色气体的Gross-Pitaevskii标度。我们证明了在$N\rightarrow\infty$和$\varepsilon\rightarrow 0$的同时极限下，动力学保持凝聚，时间演化由一维Gross-Pitaevskii方程渐近描述。非线性的强度由未标度相互作用的散射长度乘以取决于约束势形状的因子给出。对于我们的分析，我们适应Pickl的方法与降维的问题，并依赖于推导的一维NLS方程的相互作用与软标度行为。
2018-10-24 math-ph math.MP quant-ph
