The quintic NLS as the mean field limit of a Boson gas with three-body interactions
本文研究了$d=1,2$维中具有三体相互作用的玻色子气体的动力学。我们证明了在无限粒子数的极限下，$k$ -粒子边缘的BBGKY族收敛到一个极限（Gross-Pitaevskii（GP））族，并证明了解的存在唯一性. GP族的因式分解的解决方案被证明是由一个五次非线性薛定谔方程的解决方案。我们的证明是基于和扩展的方法Erdös-Schlein-Yau，Klainerman-Machedon和Kirkpatrick-Schlein-Staffilani。
2010-05-02 math-ph math.AP math.MP
Existence and Large Time Behavior for a Dissipative Variant of the Rotational NLS Equation
研究带旋转的Gross-Pitaevskii方程耗散变体，证明其局部与整体适定性，并分析解的渐近行为：线性情形收敛到最小特征值特征空间，非线性情形弱收敛到稳态，特定能量范围内基态解强渐近稳定。
2023-05-23 math-ph math.AP math.MP
The Derivation of the $\mathbb{T}^{3}$ Energy-critical NLS from Quantum Many-body Dynamics
我们从具有三体相互作用的量子多体动力学出发，在T^3（周期）背景下导出了三维能量临界五次NLS。由于已知的能量临界设置的复杂性，以前的进展是有限的，相比2体相互作用的情况下，产生能量亚临界立方NLS。以前，三维能量临界情况下的唯一结果是HTX，它证明了小解情况下的唯一性。在本文的主要部分，我们开发的方法来证明BBGKY族的收敛到无限的Gross-Pitaevskii（GP）族，并分别，大GP解决方案的唯一性。由于在前面的收敛性证明中使用的迹估计是我们设置中的假尖锐迹估计，因此我们引入了一个新的频率相互作用分析并应用有限维量子de Finetti定理。对于大解的唯一性问题，我们发现了GP族的新的HUFL（层次均匀频率局部化）性质，并利用它证明了一个新的唯一性定理。即使对于NLS，HUFL属性也可以简化为一个新的语句。借助于CKSTT，IP证明了五次NLS的整体适定性，这个新的唯一性定理建立了整体唯一性。
2019-03-01 math-ph math.AP math.MP
The NLS limit for bosons in a quantum waveguide
我们考虑一个限制在薄波导中的$N$玻色子系统，即在$\mathbb{R}^3$中的曲线周围的$\varepsilon$管内的空间区域。当同时考虑NLS极限$N\to \infty$和强约束极限$\varepsilon\to 0$时，在接近于玻色-爱因斯坦凝聚体的状态下，系统的时间演化近似地被一维非线性薛定谔方程所捕获.该Gross-Pitaevskii型方程中的非线性的强度取决于波导的横截面的形状，而波导的“弯曲”和“扭曲”贡献了势项。我们的分析是基于Pickl开发的平均场限制的方法。
2016-03-09 math-ph math.MP
NLS approximation for wavepackets in periodic cubically nonlinear wave problems in $\mathbb{R}^d$
在周期结构上的非线性波动问题中，单载波波包的动力学通常可以用常系数非线性薛定谔方程（NLS）作为波包包络的有效模型来形式化地近似。我们提供了一个详细的证明Gross-Pitaevskii方程（GP）和半线性波动方程，周期系数在$\mathbb{N}\ni d$空间维度和立方非线性的近似结果。的证明进行布洛赫展开变量的估计在$L^1$型规范，这转化为估计的上确界范数的错误。讨论了为保证小残差和小误差所要求的周期系数的正则性。我们还提出了一个数值例子，在两个空间维确认的近似结果，并提出了一个近似的行孤波的GP与周期系数。
2018-09-18 math-ph math.AP math.MP
Derivation of Hartree theory for two-dimensional attractive Bose gases in almost Gross-Pitaevskii regime
本文研究二维吸引性平均场 Bose 气体，证明近 Gross–Pitaevskii 标度下的第二类稳定性、基态能量向 NLS 泛函收敛及更宽参数范围内的 BEC。
2025-10-04 math-ph math.MP
Hamiltonian Hopf bifurcations and chaos of NLS/GP standing-wave modes
我们研究了由于Hamilton Hopf（HH）分叉-虚轴上特征值对的碰撞而产生的非线性薛定谔/Gross-Pitaevskii方程的解的动力学。为此，我们使用逆散射来构建该模型的局部势，从而以可预测的方式导致HH分叉。我们执行一个正式的减少从偏微分方程（PDE）的一个小系统的常微分方程（ODE）。我们数值计算表明，PDE的行为是很好的近似的ODE和都显示哈密顿混沌。我们分析的常微分方程推导出HH分叉的条件，并使用平均来解释我们观察到的数值动力学的某些功能。
2011-01-31 math-ph math.MP nlin.CD
Coding of nonlinear states for the Gross-Pitaevskii equation with periodic potential
研究了具有附加周期势U（x）的NLS型方程（在玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）理论中称为Gross-Pitaevskii方程，GPE）的非线性态.我们证明了，如果非线性是散焦（排斥，在BEC上下文中），那么在一定的条件下，存在一个同胚之间的非线性状态的集合GPE（即一些非线性常微分方程的实有界解）和从1到N的双无限序列的集合，对于某个整数N。这些序列可以看作是非线性状态的编码。以三个假设的形式给出了同胚存在的充分条件。对于给定的U（x），假设的验证应该用数值来完成。我们报告的情况下，GPE与余弦电位的数值结果和描述的区域中的平面参数，这种编码是可能的。
2012-11-05 cond-mat.quant-gas math-ph math.MP
Localized States and Dynamics in the Nonlinear Schroedinger / Gross-Pitaevskii Equation
本文综述了非线性Schroedinger / Gross-Pitaevskii方程（NLS / GP）的研究结果。从变分和分歧的角度讨论了非线性束缚态及其稳定性理论。详细讨论了单势阱、双势阱和周期势等特殊情况下的非线性束缚态。然后，我们讨论了孤立波的解决方案与潜在的相互作用在一个大的，但有限的时间间隔的粒子动力学。最后，我们转向解的长时间行为。我们专注于重要的共振辐射阻尼机制，驱动系统的非线性基态的松弛和{ \it基态选择}和{ \it能量均分}现象的基础。我们还分析了线性和非线性的“玩具极小模型“，说明这些机制。关于本文的整体风格，我们试图强调关键思想，因此不提供所有技术细节，将其留给参考文献。
2015-04-21 cond-mat.mes-hall math-ph math.AP
Derivation of the 1d Gross-Pitaevskii equation from the 3d quantum many-body dynamics of strongly confined bosons
我们考虑了$N$相互作用玻色子最初形成玻色-爱因斯坦凝聚体的动力学。由于外部的俘获势，玻色子被强烈地限制在二维中，其中陷阱的横向延伸是$\varepsilon$阶。非负相互作用势被标度，使得其范围和散射长度都是$(N/\varepsilon^2)^{-1}$阶，对应于稀释玻色气体的Gross-Pitaevskii标度。我们证明了在$N\rightarrow\infty$和$\varepsilon\rightarrow 0$的同时极限下，动力学保持凝聚，时间演化由一维Gross-Pitaevskii方程渐近描述。非线性的强度由未标度相互作用的散射长度乘以取决于约束势形状的因子给出。对于我们的分析，我们适应Pickl的方法与降维的问题，并依赖于推导的一维NLS方程的相互作用与软标度行为。
2018-10-24 math-ph math.MP quant-ph
The Rigorous Derivation of the 2D Cubic Focusing NLS from Quantum Many-body Evolution
考虑了在Gross-Pitaevskii标度下，具有简谐外约束和\emph{attractive}粒子间相互作用的二维含时$N$ -玻色子量子系统.我们得到的物质类型的估计表明，$k$ -次幂的能量控制的$H^{1}$ Sobolev范数的解决方案超过$k$ -粒子的稳定性。这种估计是新的，而且对于吸引相互作用比排斥相互作用更困难。为了证明，我们使用了[49]中的有限维量子di Finetti定理的一个版本。一个高的粒子数平均效应在证明中起作用，这是不需要在排斥的情况下相应的估计。这一先验界使我们能够证明，相应的BBGKY层次收敛到GP限制，在许多以前的作品治疗排斥相互作用的情况下。结果表明，具有吸引相互作用和渐近因式分解初始数据的二维含时量子多体系统的平均场极限是\emph{focusing}非线性薛定谔方程.需要对原子间相互作用势的$L^{1}$范数的大小进行假设，该假设对应于2D Gagliardo-Nirenberg不等式中的锐常数，尽管该不等式并不直接相关，因为我们处理的是迹而不是幂。
2015-10-02 math-ph math.AP math.MP
Nonlinear Schrödinger Equations for Bose-Einstein Condensates
Gross-Pitaevskii方程，或者更一般的非线性薛定谔方程，模拟了超低温下宏观气态超流波物质态的玻色-爱因斯坦凝聚体。我们提供了分析研究的NLS与$L^2$的初始数据，以了解传播的散焦和聚焦波的BEC机制中存在的电磁场。对具有各向异性二次势的二维GPE进行了数值模拟。
2019-08-06 math-ph math.AP math.MP
Derivation of a Nonlinear Schrödinger Equation with a General power-type nonlinerity
本文研究了从玻色粒子的多体相互作用导出一类非线性光学系统。考虑一个具有有限线性$n$ -体相互作用组合的模型，其中$n \geq 2$为整数.我们证明了BBGKY族的$k$ -粒子边缘密度在粒子数趋于无穷大时收敛，极限解为相应的无穷大Gross-Pitaevskii族.基于先验时空估计，证明了Gross-Pitaevskii方程族分解解的唯一性.通过调整\cite{ESY}、\cite{KSS}和\cite{CPquintic}中产生或发展的参数来建立收敛。对于唯一性的一部分，我们扩大了\cite{KM}中的程序，通过引入不同的棋盘游戏参数来处理新的收缩算子。这个新的棋盘游戏的论点帮助我们获得一个很好的估计的Duhamel条款。在\cite{KM}中，我们假设相关的时空估计为真，并给出了证明。
2013-07-17 math-ph math.AP math.MP
Derivation of the 1d NLS equation from the 3d quantum many-body dynamics of strongly confined bosons
我们考虑了$N$相互作用玻色子的动力学，初始表现为玻色-爱因斯坦凝聚。由于一个外部的俘获势，玻色子在两个空间方向上被强烈限制，陷阱的横向延伸为$\varepsilon$阶。对非负相互作用势进行标度，使其散射长度为正且为$(N/\varepsilon^2)^{-1}$阶，对于$β\in(0,1)$，相互作用范围标度为$(N/\varepsilon^2)^{-β}$。我们证明了在$N\rightarrow\infty$和$\varepsilon\rightarrow 0$的同时极限下，凝聚被动力学所保持，时间演化由一维立方散焦非线性薛定谔方程渐近描述，其中非线性的强度取决于相互作用和约束势.这是利用$β\geq\frac12$首次推导出奇异势标度的低维有效演化方程，为推导物理相关的一维Gross-Pitaevskii方程（$β=1$）奠定了基础.对于我们的分析，我们采用Pickl的方法来解决强约束问题。
2018-03-29 math-ph math.MP quant-ph
Derivation of the two dimensional nonlinear Schrodinger equation from many body quantum dynamics
对于R^2和[-L，L]^2，我们严格地导出了具有短尺度排斥对相互作用的二维多体玻色系统在适当标度极限下的立方非线性薛定谔方程.我们首先证明收敛的BBGKY层次的解决方案，对应于多体系统，解决方案的无限Gross-Pitaevskii层次，对应于立方NLS;然后，我们证明了唯一性的无限层次，这需要数论技术在周期性的情况下。
2009-04-13 math-ph math.AP math.MP
Collapsing Estimates and the Rigorous Derivation of the 2d Cubic Nonlinear Schrödinger Equation with Anisotropic Switchable Quadratic Traps
本文研究了各向异性可开关二次型势阱下的二维和三维多体薛定谔方程。我们推广并改进了Klainerman-Machedon [24]和Kirkpatrick-Schlein-Staffilani [23]中的塌缩估计。结合Carles [3]中广义透镜变换的各向异性版本，我们通过修改的Elgart-Erdös-Schlein-Yau过程严格推导了具有各向异性可切换二次陷阱的2d立方NLS。对于3D的情况下，我们建立了相应的Gross-Pitaevskii层次的唯一性，而无需假设的因式分解的初始数据。
2012-01-08 math-ph math.AP math.MP
Resonance-induced nonlinear bound states
该研究针对带紧支集线性势的一维NLS/GP方程，证明非线性束缚态不仅可从薛定谔算符的$L^2$束缚态分岔，还能从对应反射系数极点、零点的散射/透射共振态分岔，且后者始于正$L^2$阈值。
2025-10-22 math-ph math.AP math.MP
Uniqueness in a Navier-Stokes-nonlinear-Schrödinger model of superfluidity
在以前的论文[Jayanti，P.C.，特里维萨湾一个Navier-Stokes非线性薛定谔超流模型解的局部存在性。J. Math. Fluid Mech.24，46（2022）]中，作者证明了超流模型的局部时间弱解的存在性。控制方程组由Pitaevskii于1959年导出，耦合了非线性薛定谔方程（NLS）和Navier-斯托克斯方程（NSE）。本文证明了这些弱解的一个弱-强型唯一性定理。只使用了它们的一些正则性，为将来改进存在性定理提供了空间，并得到了相容的唯一性结果。
2022-03-31 cond-mat.other math-ph math.AP
Obstruction to ergodicity in nonlinear Schrödinger equations with resonant potentials
本文识别了一类使立方非线性薛定谔方程不可积但阻碍遍历性出现的等距能谱捕获势，通过解析和数值方法揭示了在弱非线性与强非线性下功率谱呈准离散尖峰的机制，并指出其在Gross-Pitaevskii方程中的物理相关性。
2023-08-11 cond-mat.quant-gas math-ph math.AP
Focusing Quantum Many-body Dynamics II: The Rigorous Derivation of the 1D Focusing Cubic Nonlinear Schrödinger Equation from 3D
我们考虑聚焦的三维量子多体动力学，它模拟了在两个空间方向上强烈受限的稀玻色气体。我们假设微观对相互作用是吸引的，由$a^{3β-1}V(a^β\cdot)$给出，其中$\int V\leqslant 0$和$a$匹配Gross-Pitaevskii标度条件。我们仔细研究了约束势的强度和粒子数之间的精细相互作用对三维$N$体动力学的影响。我们克服了3D吸引相互作用产生的困难，并建立了新的聚焦能量估计。我们研究了相应的BBGKY族，当束缚势强度趋于$\infty $时，BBGKY族包含一个发散系数。我们证明了密度矩阵的极限结构抵消了这个发散系数。我们建立了BBGKY序列的收敛性，从而对聚焦量子多体系统的混沌传播。我们严格推导了一维聚焦立方NLS作为三维聚焦量子多体动力学的平均场极限，并得到了精确的三维到一维耦合常数。
2014-07-31 math-ph math.AP math.MP
A rigorous derivation of the defocusing cubic nonlinear Schrödinger equation on $\mathbb{T}^3$ from the dynamics of many-body quantum systems
本文从相互作用玻色子系统的多体极限出发，严格推导了三维环面$\mathbb{T}^3$上的三次散焦非线性薛定谔方程。这种类型的结果以前在Erdlys、Schlein和Yau \cite{ESY2,ESY3,ESY4,ESY5}的工作中在$\mathbb{R}^3$上获得，在Kirkpatrick、Schlein和Staffilani \cite{KSS}的工作中在$\mathbb{T}^2$和$\mathbb{R}^2$上获得。我们的证明依赖于Gross-Pitaevskii层次在正则性$α=1$水平上的无条件唯一性结果，这是通过使用T. Chen、Hainzl、Pavlović和Seiringer \cite{ChHaPavSei}对周期性设置的修正。这些技术基于Ammari和Nier \cite{AmmariNier1,AmmariNier2}以及Lewin、Nam和Rougerie \cite{LewinNamRougerie}公式中的量子de Finetti定理。为了在周期性设置中应用这种方法，我们需要回顾Herr，Tataru和Tzvetkov \cite{HTT}获得的多线性估计。在正则性$α=1$水平上证明了无条件唯一性结果之后，我们将应用它在$\mathbb{T}^3$上完成离焦三次非线性薛定谔方程的推导，这一工作始于Elgart，Erdés，Schlein和Yau…
2014-05-13 math-ph math.AP math.MP
Stability and instability analysis of resonance-induced nonlinear bound states
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文针对紧支撑势的聚焦一维三次NLS-GP方程，建立了共振诱导非线性束缚态在分叉点附近的轨道稳定性与不稳定性精确判据，并指出在共振频率足够小且本征模严格正时态是稳定的，辅以数值模拟验证。
2026-10-02 math-ph math.AP math.DS
