A Lifting Construction for Scalar Linear Index Codes
本文讨论了标量线性索引码的规范多单播索引编码问题，其中有一个源与K个消息，有K个接收器，每个人都想要一个唯一的消息，并有对称的（相对于接收器索引）解毒剂（边信息）。在\cite{MRRarXiv}中已经报道了这类问题的几个这样的实例的最佳标量线性索引码。这些代码可以被视为\cite{MCJ}中讨论的对称单播索引编码问题的特殊情况。本文给出了一个提升构造，它从一个给定的多个单播索引编码问题出发，构造一个多个单播索引问题的序列。此外，它表明，如果一个最佳的标量线性索引代码是已知的问题给定的起始问题，然后最佳的标量线性索引代码可以从已知的代码所产生的所有问题，从建议的提升建设。对于几类已知的多单播问题，我们的构造被用来获得几个序列的多单播问题的最佳标量线性索引码。
2015-10-29 cs.IT math.IT
Lower bounds on the lifting degree of single-edge and multiple-edge QC-LDPC codes by difference matrices
本文定义了两个称为“差分矩阵”的矩阵，分别记为$D$和$DD$，它们对实现具有最短长度和一定围长的规则单边QC-LDPC码以及规则和不规则多边QC-LDPC码有重要意义。利用这些矩阵，我们得到了具有围长为6，10和12的单边$(m,n)$ -正则QC-LDPC码的充分必要条件。此外，对于围长为6，我们实现了所有非同构码的最小提升度，$N$，$m=4$和$5\leq n\leq 11$，并提出了一个指数矩阵为每个最小距离。对于围长10，我们提供了一个提升度的下界，它比现有的界更紧。更重要的是，对于第一行和第一列都为零的指数矩阵，我们证明了8-圈的不存在性也证明了与指数矩阵的第一行相关的6-圈的不存在性。给出了所有围长为10的非同构QC-LDPC码和比文献中更多的$n=5,6$。对于$n=7,8$，我们将提升度分别从159和219降低到145和211。对于围长12，实现了提升度的下限。对于多边类，首次给出了围长为6的规则和非规则QC-LDPC码的提升度下界。我们还证明了所实现的下界的多边缘$(4,n)$ -正则QC-LDPC码的周长为6是紧的，所得到的代码具有较短的长度相比，他们的同行在单边码。此外，差分矩阵有助于将考虑6个循环的条件从7个状态减少到5个状态。得到了围长为8的多边$(4,n)$ -正则QC-LDPC码和最短码长的$n=4,6,8$。
2017-09-04 cs.IT math.IT
Properties of perfect transitive binary codes of length 15 and extended perfect transitive binary codes of length 16
给出了长度为15的完全传递二元码和长度为16的扩展的完全传递二元码的一些性质，以供参考。
2012-10-27 cs.DM cs.IT math.CO
On the lifting degree of girth-8 QC-LDPC codes
本文研究（3,L）全连接QC-LDPC码实现围长8的提升度，改进经典下界并提出接近新下界的确定性构造方法，其提升度阶数达已知最小水平。
2024-12-03 cs.IT math.IT
Quasi-Cyclic LDPC Codes based on Pre-Lifted Protographs
基于原模图的准循环低密度奇偶校验（QC-LDPC）码由于其原模图的结构和原模图提升的循环置换矩阵的使用，使得其分析和实现变得非常容易，因而引起了码设计者的极大兴趣。然而，这些限制对重要的规范参数（例如最小距离和围长）施加了不期望的固定上限。在本文中，我们考虑一种方法来构造QC-LDPC码，使用两步提升过程的基础上的原型图，并通过遵循这种方法，而不是通常的一步程序，我们得到了改进的最小距离和围长属性。我们还提出了两个新的设计规则，用于构建良好的QC-LDPC码使用这两步提升过程，在每种情况下，我们获得了显着增加的最小距离，并实现一定的保证围长相比，一步循环为基础的提升。仿真结果验证了预期的性能改善。
2014-07-21 cs.IT math.IT
Design of Finite-Length Irregular Protograph Codes with Low Error Floors over the Binary-Input AWGN Channel Using Cyclic Liftings
提出了一种在二进制输入加性高斯白噪声（AWGN）信道下设计有限长度非规则低密度奇偶校验（LDPC）码的方法，该方法在瀑布域和错误平层域均具有良好的性能.设计过程从一个体现理想度分布的原型图开始。然后将该原型图循环提升到感兴趣的特定块长度。该升力被精心设计以满足一定的近似周期外部信息度（ACE）谱。目标ACE谱具有极值特性，这意味着所设计的码具有良好的错误平层性能。建议的建设结果在准循环码，这是有吸引力的，在实践中，由于简单的编码器和解码器的实现。仿真结果表明，与现有的类似结构相比，所提出的结构的有效性。
2011-02-02 cs.IT math.IT
New affine-invariant codes from lifting
在这项工作中，我们探讨纠错码来自“提升”的“仿射不变”的代码。仿射不变码是简单的线性码，其坐标是域上的向量空间，并且在坐标空间的仿射变换下不变。提升采用在小维度的向量空间上定义的代码，并且通过要求它们对原始维度的每个子空间的限制是被提升的代码的码字来将它们提升到更高维度。虽然操作本身是感兴趣的，这项工作集中在新的参数范围内，可以通过这样的代码，在本地校正和测试的背景下。特别是，我们提出了四个有趣的参数范围，可以实现这样的升降机，所有这些都是新的仿射不变性的背景下，有些甚至可能是新的一般。主要的亮点是高速率码的建设与次线性时间解码。这类准则以前唯一的编制工作是由Kopparty、Saraf和Yekhanin \cite{KSY}完成的。我们所有的代码都非常简单，只是各种奇偶检验代码（具有一个冗余符号的代码）的提升，在最后一种情况下，是里德-所罗门代码的提升。我们还提出了一个简单的连接某些解除代码和下界的大小“Nikodym集”。粗略地说，一个在$\mathbb{F}_q^m$中的Nikodym集是一个集合$S$，它的性质是每个点都有一条线穿过它，这条线几乎完全包含在$S$中。虽然以前的Nikodym集的下界大致增长为$q^m/2^m$，我们使用我们的提升代码来证明恒定特征的字段的$(1 - o(1))q^m$的下界。
2012-11-08 cs.CC cs.IT math.IT
Construction and Covering Properties of Constant-Dimension Codes
研究了用于随机网络编码中非相干纠错的恒维码。尽管提升Gabidulin码（简称KK码）得到的CDC是接近最优的，但给定最小距离的CDC的最大基数以及如何构造最优CDC都是一个悬而未决的问题。在本文中，我们首先构造了一类新的CDCs的基础上KK码，称为增广KK码，其基数大于以前提出的CDCs。然后，我们提出了一个低复杂度的解码算法，我们的增广KK码使用的KK码。我们的解码算法纠正更多的错误比有界子空间距离解码器利用我们的增广KK码的结构。在本文的其余部分，我们研究的覆盖性质的CDC。我们首先推导出一个覆盖半径给定的CDC的最小基数的界限，然后确定这个数量的渐近行为。此外，我们还证明了秩度量码的提升具有最大可能的覆盖半径，因此秩度量码的提升不是最优的填充CDC。最后，我们通过置换提升秩度量码来构造覆盖良好的CDC。
2009-03-15 cs.IT math.IT
Multifold 1-perfect codes
该研究针对q元Hamming图，刻画了多重1-完美码与加性多重1-完美码的全部参数，证明加性多重1-完美码与multispreads相关且对应参数的multispreads恒存在。
2023-12-15 cs.DM cs.IT math.CO
On the Automorphism Groups of the Z2Z4-Linear 1-Perfect and Preparata-Like Codes
我们考虑一个$Z_2Z_4$ -线性码的对称群的参数的$1$ -完美，扩展的$1$ -完美，或类似的代码。我们表明，提供的代码长度大于$16$，这组只包括对称性，保持$Z_2Z_4$结构。我们找到了$Z_2Z_4$ -线性（扩展）$1$ -完美码的对称群的阶.关键词：加法码，$Z_2Z_4$ -线性码，$1$ -完美码，类卡塔码，自同构群，对称群.
2016-01-29 cs.DM cs.IT math.CO
Embedding in $q$-ary $1$-perfect codes and partitions
证明了有限域上的所有$1$ -纠错码都可以嵌入到更长的$1$ -完美码中.在这种情况下，嵌入意味着原始代码是所得到的$1$ -完美代码的子代码，并且可以通过重复缩短从其获得。进一步，我们推广的结果分区：每一个分区的汉明空间的$1$ -纠错码可以嵌入到一个分区的空间的一些更大的维度到$1$ -完美的代码。对于分区，嵌入长度接近理论界的一般情况下，最佳的二元情况。关键词：纠错码，$1$ -完美码，$1$ -完美划分，嵌入
2014-12-15 cs.DM cs.IT math.CO
Propelinear 1-perfect codes from quadratic functions
由线性基码和二次开关函数的Vasil'ev-Schönheim构造得到的完美码是传递的，而且是propelinear的。这至少给出了任意有限域上长度为$N$的$\exp(cN^2)$ propelinear $1$ -完美码，而传递码的个数的上界是$\exp(C(N\ln N)^2)$ .关键词：完美码，准线性码，传递码，自同构群，布尔函数。
2014-02-20 cs.DM cs.IT math.CO
On the Girth of (3,L) Quasi-Cyclic LDPC Codes based on Complete Protographs
研究了由完全原模图构造$(3,L)$准循环低密度奇偶校验码的问题。一个完全原型图是一个小的二部图，它有两个不相交的顶点集，使得可变节点集中的每个顶点都通过唯一的边连接到校验节点集中的每个顶点。本文分析了所需的提升因子，以实现六个或八个围长在所得到的准循环码与提升的限制。所需的提升因子提供了这种代码的块长度的下限。
2015-05-30 cs.IT math.IT
Finite-Length Construction of High Performance Spatially-Coupled Codes via Optimized Partitioning and Lifting
空间耦合（SC）码是一类基于图的码，由于其容量接近性能和低解码延迟而引起了人们的极大关注。SC码是通过将底层块码划分为多个分量并将它们的副本耦合在一起来构造的。在本文中，我们首先介绍了一个一般的方法，在有限长SC码的图中的有害组合对象的计数。我们的方法是一般的意义上说，它有效地为SC码与各种列的权重和记忆。接下来，我们提出了一个两阶段的框架，用于建设高性能的二进制SC码优化的加性高斯白噪声信道，我们的目标是在错误平层制度中的有害组合对象的数量最小化。在第一阶段，我们部署了一种新的分区方案，称为最佳重叠分区，产生最佳分区对应的最小数量的有害对象。在第二阶段，我们应用一个新的循环功率优化器，以进一步减少提升图中的有害对象的数量。由我们的新框架构造的SC码与非耦合设置相比具有近5个数量级的错误地板性能改善。
2018-02-19 cs.IT math.IT
The existence of perfect codes in Doob graphs
我们解决了Doob图中完美码的存在性问题。证明了Doob图D（m，n）中的1-完美码存在当且仅当6 m +3 n +1是2的幂，即1-球的大小整除顶点数.关键词：完美码，距离正则图，Doob图，Eisenstein-Jacobi整数。
2022-02-17 cs.DM cs.IT math.CO
Spectrum of Sizes for Perfect Deletion-Correcting Codes
删除校正码的一个特点是，在相同字母表上具有相同长度的完美$t$删除校正码可以具有不同数量的码字，因为半径为$t$的球相对于Levenshte \u <$n距离可以具有不同的大小。因此，在给定长度$n$和字母表大小~ $q$的情况下，确定完美的$t$删除校正码的所有可能大小是有意义的。在本文中，我们完全确定了长度为3的完美$q$ -元1-删除校正码的可能大小的谱，长度为3的所有$q$，和完美$q$ -元2-删除校正码的长度为4的几乎所有$q$，只留下一个小的有限数量的情况下的怀疑。
2010-08-07 cs.DM cs.IT math.CO
Lifting an $[n,k,d]$ Binary Linear Code to an $[[n,k,d]]$ Quantum Stabilizer Code
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本研究探讨利用码字稳定子（CWS）框架将任意[n,k,d]二元线性码提升为[[n,k,d]]量子稳定子码的条件，通过概率分析得出保证存在对应图的参数条件。
2026-10-14 cs.IT math.IT quant-ph
Mathematical LoRE: Local Recovery of Erasures using Polynomials, Curves, Surfaces, and Liftings
本文综述利用几何与代数结构（如射影空间中的直线、曲线及曲线乘积）构造擦除局部恢复的定制码，以提升数据可用性。
2024-02-04 cs.IT math.AC math.AG
Lifting iso-dual algebraic geometry codes
CONICET（国家科学研究委员会）；Facultad de Ingeniería Química, Universidad Nacional del Litoral（国立里奥内格罗大学化工学院）；FaMAF – CIEM (CONICET), Universidad Nacional de Córdoba（科尔多瓦大学数学与物理系-阿根廷国家科研中心）；Universidade Federal do Rio de Janeiro（里约热内卢联邦大学）
本文研究如何生成有限域上的等双代数几何码，通过扩展函数场和特定除数条件，提出方法将等双AG码提升到更高扩张域，并应用于多项式扩展生成长二进制和三进制等双AG码。
2026-04-15 cs.IT math.IT math.NT
A digital interface for Gaussian relay and interference networks: Lifting codes from the discrete superposition model
对于每个高斯网络，都存在一个对应的确定性网络，称为离散叠加网络。我们表明，这种离散叠加网络提供了一个接近最佳的数字接口，用于操作一个由许多高斯网络组成的类，在这个意义上，任何代码的离散叠加网络可以自然地提升到相应的代码的高斯网络，同时实现的速率是不超过一个恒定的比特数小于它实现的离散叠加网络的速率。该常数仅取决于网络中的节点数量，而不取决于信道增益或SNR。此外，这两个网络的容量在彼此的常数内，再次独立于信道增益和SNR。我们表明，这类接口属性的高斯网络，包括中继网络与一个单一的源-目的地对，干扰网络，组播网络，以及这些网络的多个发射和接收天线的同行。高斯中继网络的代码可以从任何离散叠加网络的代码中简单地通过修剪它来获得。这种提升方案建立了叠加模型确实可以潜在地作为高斯中继网络设计代码的强代理。我们提出了类似的结果为K × K高斯干扰网络，MIMO高斯干扰网络，MIMO高斯中继网络，和多播网络，与恒定的间隙取决于天线的数量在MIMO网络的情况下。
2011-05-20 cs.IT math.IT
On diameter perfect constant-weight ternary codes
从陪集的二进制汉明码，我们构造直径完美的等重三元码的重量$n-1$（其中$n$是代码的长度）和距离3和5。距离5码的类具有未知的参数。关键词：等重码，三进制码，完美码，直径完美码，完美匹配，二进制码
2009-08-03 cs.IT math.CO math.IT
Linear and group perfect codes over skew fields and quasi skew fields
本文给出了无限体和具有右（左）单位的拟体上线性完美码的一般构造。给出了结合斜域上这类码的一个完整分类。由于所考虑的斜域的基数是无限的，所构造的码具有无限长。在以前的工作中，我们考虑了无限可数域上的码，其长度也是可数的。现在我们去掉这个限制，考虑斜域的基数和码的长度可以是任意的（不一定是可数的）。
2022-12-08 cs.DM cs.IT math.CO
Perfect Multi Deletion Codes Achieve the Asymptotic Optimality of Code Size
本文研究了最佳多删除二元码的基数。给出了具有固定码长和删除数的完美删除码的下界，以及Levenshtein的上界的渐近可达性.
2019-10-13 cs.IT math.CO math.IT
A digital interface for Gaussian relay networks: lifting codes from the discrete superposition model to Gaussian relay networks
对于具有单个源-目的地对的每个高斯中继网络，已知存在被称为离散叠加网络的对应的确定性网络，该网络在所有SNR上将其容量均匀地近似到有界比特数内。该严格近似程序的下一步是确定离散叠加模型的编码方案是否可以提升到具有与SNR无关的有界速率损失的高斯中继网络。我们精确地建立了这个属性，并表明叠加模型可以作为一个强有力的替代设计代码高斯中继网络。我们证明了一个高斯中继网络的代码，具有一个单一的源-目的地对和多个中继节点，可以设计从相应的离散叠加网络的任何代码简单地通过修剪它。在比较离散叠加网络的代码的速率，高斯网络编码的速率最多只降低一个常数，该常数仅是网络中节点数量的函数，与信道增益无关。这一结果也适用于MIMO高斯中继网络的编码方案，减少额外取决于天线的数量。因此，离散叠加模型可以作为操作高斯中继网络的数字接口。
2010-01-17 cs.IT math.IT
Quasi-perfect Lee Codes of Radius 2 and Arbitrarily Large Dimension
在空间$\mathbb Z_p^n$上，对$p$素数，$p\equiv \pm 5\pmod{12}$和$n=2[\frac{p}{4}]$给出了2-拟完美Lee码的构造.已知有无穷多个这样的素数。Golomb和Welch指出，对于维数$n\geq 3$和半径$r\geq 2$，不存在李度量的完美码。这个猜想被证明是正确的大半径以及低维。发现的代码是非常接近完美的，这表明了猜想的难度。一系列的计算表明，相关的图是Ramanujan，这可能提供编码和图论之间的进一步联系。
2017-06-23 cs.DM cs.IT math.CO
List Decoding of Direct Sum Codes
我们认为家庭的代码通过“提升”的基本代码$\mathcal{C}$通过操作，如$k$ -异或应用到“本地视图”的码字的$\mathcal{C}$，根据一个合适的$k$ -均匀超图。$k$ -XOR运算产生[Ta-Shma，STOC 2017]和[Dinur and Kaufman，FOCS 2017]工作中使用的直和编码。我们给出了一个一般的框架列表解码提升码，只要基码承认一个唯一的解码算法，并用于提升超图满足一定的扩展性质。我们表明，这些属性是满足的长度$k$散步的扩张图的集合，并对应于高维扩张超图。实例化我们的框架，我们得到了上述超图族上直和提升的列表解码算法。使用直和与直积之间的已知联系，我们还恢复了Dinur等人[SODA 2019]关于直积提升的列表解码的最新结果。我们的框架依赖于松弛的平方和（SOS）SDP层次结构解决各种约束满足问题（CSP）。我们认为，恢复最接近的码字到一个给定的字的问题，作为找到一个CSP的最佳解决方案。实例中的约束对应于提升超图的边，并且解被限制在基代码$\mathcal{C}$中。我们表明，最近的算法（近似）解决CSP在某些扩展超图也产生这样的提升码的解码算法。我们扩展的框架列表解码，通过要求SOS解决方案，以尽量减少一个凸代理负熵。我们表明，这确保了覆盖属性的SOS解决方案，并在几个SOS算法中使用的“条件和轮”的方法，然后可以用来恢复所需的…
2020-11-11 cs.DS cs.IT math.IT
Embedding in a perfect code
一个二进制1-纠错码总是可以嵌入到一个1-完美码的一些更大的长度
2016-04-30 cs.IT math.CO math.IT
Codes parameterized by the edges of a bipartite graph with a perfect matching
本文研究了由具有完美匹配的二部图的边参数化的一些评价码的主要特征。
2022-10-02 cs.IT math.CO math.IT
On maximum components of a class of perfect codes
本文证明了一类含有最大ij-分量的扩展完美二元码的存在性。
2015-12-10 cs.IT math.CO math.IT
Non-Binary Diameter Perfect Constant-Weight Codes
直径完美码形成完美码的自然推广。它们是基于码-逆码界的推广球包装界。Delsarte证明了距离正则图的码-反码界，它也适用于其他一些度量。本文利用Hamming度量证明了非二元等重码的上界，并刻画了这类码的直径完美码和最大码长。我们区分六个家庭的非二进制直径等重码和四个家庭的最大尺寸的非二进制等重反码。这些直径完美码族中的每一个都提出了一些不同的问题。我们考虑了其中的一些问题，并为进一步的研究留下了很多基础。最后，作为结果，构造了与著名的Erdös-Ko-Rado定理相关的一些t-交族.
2021-09-25 cs.IT math.CO math.IT
There is exactly one Z2Z4-cyclic 1-perfect code
令${\cal C}$是长度为$n > 3$的${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -加性码。证明了如果${\cal C}$的二进制Gray像$C=Φ({\cal C})$是1-完美非线性码，则除了长度为$n=15$的一种情况外，${\cal C}$不可能是${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -循环码.此外，我们还给出了这种循环码的一个奇偶校验矩阵。将偶数奇偶校验坐标添加到${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -加性1-完美码给出扩展的1-完美码。我们还证明了任何这样的码不能是${\mathbb{Z}}_2{\mathbb{Z}}_4$ -循环的。
2015-10-21 cs.IT math.CO math.IT
Code Annealing and the Suppressing Effect of the Cyclically Lifted LDPC Code Ensemble
提出了一种新的设计短块长好码的方法--码退火，然后将其与循环提升相结合，生成具有低帧出错率（FER）错误平层且无性能异常值的有限码。在均匀随机提升序列的假设下，对循环提升码系综进行了停止集分析，首次确定了循环提升码的抑制效果/权重，并在此基础上解析确定了系综误码率平层，推导了缩放定律.一阶和高阶抑制效果进行了讨论，并通过不同的方法，包括显式表达式，算法的上限，和代数下限量化。抑制权重和停止距离之间的不匹配解释了当底层基码具有2度变量节点或不具有2度变量节点时，不同循环提升码之间的显著性能差异。对于前一种情况，进一步引入了一种度增强方法来缓解这种度量失配，并给出了一种构造低FER错误平层的非规则码的系统方法。报告了具有非常低的FER错误平层的规则和不规则代码，与经典的基于图的代码集成相比，其改进因子范围为10^6-10^4。
2006-08-29 cs.IT math.IT
Metrics which turn tilings into binary perfect codes
在这项工作中，我们考虑平铺的汉明立方体，并寻找指标，把平铺成一个完美的代码。我们认为家庭的度量，这是由一个权重，并与支持向量（TS-度量）兼容。我们确定的小瓦片或高秩的平铺可以是一个完美的代码的一些TS-度量，我们所有这样的指标的特点。最后，我们展示了一些程序，以获得新的完美的代码（相对于TS度量）现有的。
2019-05-08 cs.IT math.CO math.IT
On linear diameter perfect Lee codes with diameter 6
1968年，Golomb和Welch证明了不存在半径为$r\ge2$维数为$n\ge3$的完美Lee码.直径完美码是完美码的自然推广。2011年，Etzion（IEEE Trans. Inform. Theory，57（11）：7473- 7481，2011）提出了以下问题：除了$DPL(3,6)$码之外，是否存在直径大于4的直径完美Lee（简称DPL）码？后来，Horak和AlBdaiwi（IEEE Trans. Inform. Theory，58（8）：5490--5499，2012）证实，除$(n,d)=(3,6)$外，尺寸$n\ge3$和直径$d>4$没有$DPL(n,d)$代码。本文给出了这个猜想的一个反例。证明了对于$n\ge3$，存在线性$DPL(n,6)$码当且仅当$n=3,11$ .
2022-12-23 cs.IT math.CO math.IT
Perfect codes in the lp metric
在$\ell_p$度量下研究了$\mathbb{Z}^n$中的完美码.利用度量参数$p$和维数$n$导出了线性完美码的填充半径$r$的上界.对于$p = 2$和$n = 2, 3$，我们确定所有的半径，有线性完美的代码。本文给出的$\mathbb{Z}^n$中的码的不存在性结果暗示了有限字母表$\mathbb{Z}_q$上的码的不存在性结果，当字母表足够大时，这一结果对最近一些球码的构造具有启示意义.
2015-11-10 cs.IT math.CO math.IT
On the binary codes with parameters of doubly-shortened 1-perfect codes
我们表明，任何二进制$(n=2^m-3, 2^{n-m}, 3)$代码$C_1$是一个公平的分区（完美着色）$\{C_1,C_2,C_3,C_4\}$的$n$立方体的参数$((0,1,n-1,0)(1,0,n-1,0)(1,1,n-4,2)(0,0,n-1,1))$的一部分。现在，将码$C_1$延长为长度为$n+2$的1-完美码的可能性等同于将部分$C_4$分割为两个距离为3的码的可能性，或者等同于$C_4$的距离1和2的图的二粒子性。在任何情况下，$C_1$都可以唯一地嵌入到长度为$n+2$的二重1-完美码中，并具有一些结构限制，其中二重1-完美码意味着空间的任何顶点都在恰好两个码字的半径1内。
2009-07-01 cs.IT math.CO math.IT
On Nearly-Perfect Covering Codes Beyond Radius One
McMaster University（麦克马斯特大学）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
本文研究二元近完备覆盖码，修正原Van Wee界以纳入最小距离，确定R=2、3的此类码等价于构造的码，且R≥3时此类码数量有限。
2026-08-14 cs.IT math.CO math.IT
q-ary Propelinear Perfect Codes from the Regular Subgroups of the GA(r,q) and Their Ranks
提出了一种构造q元推进线性完美码的新方法。该方法利用固定长度的q元向量的置换，所述q元向量产生于仿射群的正则子群的自同构。对于任何素数q，它表明，新的类包含一个无穷级数的q元propelinear完美码的增长长度的不同的行列。
2021-12-16 cs.IT math.CO math.IT
Obtaining binary perfect codes out of tilings
如果基本瓦片是公制球，则$n$维汉明立方体的瓦片化产生完美码（根据给定的公制）。我们关心的是度量的$n$维汉明立方体是由一个权重，尊重支持向量（TS-度量）。我们认为已知的平铺的汉明立方体，并首先确定其中产生一个完美的代码。在序列中，对于那些满足这个条件的平铺，我们确定所有的TS-度量，将其变成一个完美的代码。我们还提出了新的完美码的建设所获得的两个较小的级联。
2019-05-21 cs.IT math.CO math.IT
Diameter Perfect Lee Codes
Lee码已经被深入研究了40多年。Golomb-Welch猜想关于完美纠错Lee码的存在性引起了人们对这些码的兴趣。本文讨论了直径完全Lee码的存在性和计数问题。作为主要结果，我们确定了所有$q$，对它存在$Z_{q},$上的字长为$n$的线性直径为4的完美Lee码，并证明了对于每个$n\geq 3$，存在可数个$Z.$上的字长为$n$的直径为4的完美Lee码。这与$Z\,$上的字长为$n$的完美纠错Lee码形成了严格的对比。因为对于$n=3,$存在唯一的这样的代码，并且必须说明的是，当$2n+1$是素数时总是这种情况。我们通过一个基于群同态的代数构造产生直径完美Lee码。这将使我们能够设计一个有效的算法，他们的解码。我们希望，这一解释的作用将远远超出本文件的范围。
2012-04-13 cs.IT math.CO math.IT
Perfect codes in Doob graphs
研究了Doob图$D(m,n)$中的$1$ -完美码.证明了$GR(4^2)$上线性码存在的充要条件是对某些整数$g \ge 0$和$d>0$，$n=(4^{g+d}-1)/3$和$m=(4^{g+2d}-4^{g+d})/6$是线性码.我们还证明了必要条件$(m,n)$的$1$ -完美的代码是线性的$Z_4$（我们称这种代码添加剂）存在于$D(m,n)$图，对于这些参数中的一些，我们显示的代码的存在。对于满足$2m+n=(4^t-1)/3$和$m \le (4^t-5\cdot 2^{t-1}+1)/9$的$m$和$n$，我们证明了在$D(m,n)$中存在$1$ -完美码，而不受允许某种群结构的限制.关键词：完美码，Doob图，距离正则图。
2014-07-23 cs.IT math.CO math.IT
Perfect Codes in the Discrete Simplex
研究了离散$ n $ -单纯形$ Δ_{\ell}^n := \left\{ \begin{pmatrix} x_0, \ldots, x_n \end{pmatrix} : x_i \in \mathbb{Z}_{+}, \sum_i x_i = \ell \right\} $在$ \ell_1 $度量下的（非平凡）完美码的存在性问题.这个问题的动机是由所谓的多集码，这是最近推出的作者作为适当的结构，在置换通道的纠错。证明了对于任何$ \ell \geq 2e + 1 $，$ 1 $ -单纯形$ Δ_{\ell}^1 $中的$ e $ -完美码都存在，$ 2 $ -单纯形$ Δ_{\ell}^2 $允许$ e $ -完美码当且仅当$ \ell = 3e + 1 $，而在高维单纯形中不存在完美码.换句话说，完美多集码只存在于二进制和三进制字母表上。
2013-11-05 cs.DM cs.IT math.IT
On the non-existence of perfect codes in the sum-rank metric
本文研究和秩度量下线性完美码的存在性，通过分析度量球几何与体积界，给出两块空间的参数约束，并在多块空间中基于最小距离、整除性和码维数建立多类不存在性结果。
2025-08-28 cs.IT math.CO math.IT
On perfect symmetric rank-metric codes
本文研究对称秩距离码的覆盖性质，刻画了在类似球填充界中取等号的完美码及若干拟完美码族，并证明存在非平凡完美码。
2024-06-18 cs.IT math.CO math.IT
On the binary codes with parameters of triply-shortened 1-perfect codes
研究了参数接近1-完全码参数的二元码的性质。任意二进制$(n=2^m-3, 2^{n-m-1}, 4)$码$C$，即，具有三倍缩短的扩展汉明码参数的代码是将$n$立方体公平划分为六个单元的单元。任意二进制$(n=2^m-4, 2^{n-m}, 3)$代码$D$，即，具有三进制缩短汉明码的参数的码是来自六个单元的公平族（但不是分区）的单元。作为推论，码$C$和$D$是完全半正则的;即，这种码的权重分布仅取决于最小和最大码字权重以及码参数。此外，如果$D$是自补的，那么它是完全正则的。作为一个中间结果，我们证明，在距离分布方面，一个一般的标准划分的顶点的图（从相当一般的一类图，包括距离正则图）是公平的。关键词：1-完全码; Triling-shortened 1-完全码;公平划分;完全着色;重量分布;距离分布
2011-03-31 cs.IT math.CO math.IT
Perfect Codes for Uniform Chains Poset Metrics
偏序集度量的类非常大，并且包含一些有趣的度量族。一个家庭的度量，偏序集的基础上形成的不相交的链具有相同的大小，检查。证明了这种偏序集度量存在完美单纠错码的一个充要条件。
2011-11-11 cs.IT math.CO math.IT
Ranks of propelinear perfect binary codes
本文证明了：对任意数n=2^m-1，m ≥ 4，r，使得n-log（n+1）<= r <= n，除n = r = 63，n = 127，r在{126，127}和n = r = 2047之外，存在一个长度为n，秩为r的拟线性完美二元码.
2012-10-31 cs.IT math.CO math.IT
The Last Seven Open Radii for Perfect Codes in the Johnson Scheme
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文证明 Johnson 方案中七个特定半径下不存在非平凡完美码，补充先前工作，完整证明了 Delsarte 猜想。
2026-09-22 cs.IT math.CO math.IT
No More Perfect Codes: Classification of Perfect Quantum Codes
我们解决了完美量子码的分类问题。我们证明了唯一的非平凡完美量子码是那些参数。不存在其他非平凡的完美量子码。
2009-07-01 cs.IT math.IT quant-ph
A concatenation construction for propelinear perfect codes from regular subgroups of GA(r,2)
如果存在阶为$|C|$的$Aut(C)$的子群传递地作用于$C$的码字，则码$C$被称为propelinear。本文利用Solov'eva级联构造的一种特殊情况--1981和$GF(2)$上向量空间的一般仿射群的正则子群，得到了新的长度大于$7$的准线性完全二元码.
2019-12-16 cs.IT math.CO math.IT
Coordinate transitivity of extended perfect codes and their SQS
我们继续研究在前一篇文章中构造的二元扩展完美propelinear码类，并考虑它们的置换自同构（对称）群和Steiner四重系统。我们表明，自同构群的SQS的任何这样的代码符合置换自同构群的代码。特别地，这些代码的SQS是这些代码的同构类的完全不变量。我们根据GL-等价性（类似于F^r置换的EA-型等价性）得到了所提出码的SQS的自同构群的点传递性的一个判据。基于这些结果，我们提出了一个新的构造协调传递和邻居传递扩展完美码。
2020-09-17 cs.IT math.CO math.IT
Lifted Reed-Solomon Codes with Application to Batch Codes
Guo、Kopparty和Sudan等人首先研究了仿射不变码提升后的纠错码。提升的Reed-Solomon（RS）码被定义为通过要求将空间中的每一行限制为RS码的码字来对域上的向量空间中的多项式求值。在本文中，我们调查解除RS码，并讨论其应用程序批量代码，一个概念引入的背景下，私人信息检索和分布式存储系统中的负载平衡。首先，我们改进了提升参数$m\ge 3$和大字段尺寸的提升RS码的码率估计。其次，提出了一种新的显式构造批码的方法。对于某些参数制度，我们的代码有一个更好的权衡参数比以前已知的批处理代码。
2020-02-04 cs.IT math.IT
Two Optimal One-Error-Correcting Codes of Length 13 That Are Not Doubly Shortened Perfect Codes
长度为13的双缩短完美码利用[PRJ Östergård and O. Pottonen，长度为15的完美二进制1-纠错码：第一部分-分类，IEEE Trans. Inform。理论，出现];有117821个这样的（13，512，3）代码。通过对这些码进行切换操作，得到另外两个（13，512，3）码，它们不是双倍缩短的完美码。
2011-02-28 cs.IT math.IT
Reconstructing Extended Perfect Binary One-Error-Correcting Codes from Their Minimum Distance Graphs
当两个码字之间的汉明距离等于码的最小距离时，码的最小距离图将码字作为顶点和边。本文给出了一个构造性的证明，证明了一个扩展的完美二进制一-纠错码从其最小距离图的可重构性。因此，不等价的这样的代码有非同构的最小距离图。此外，还证明了最小距离图的自同构群与相应码的自同构群是同构的。
2009-02-12 cs.IT math.CO math.IT
