A family of diameter perfect constant-weight codes from Steiner systems
本文基于 Steiner 系统构造了一族达到码-反码界的直径完美等重码，并研究了使该码存在的最小 $q$ 值。
2023-07-31 cs.DM cs.IT math.CO
Product Constructions for Perfect Lee Codes
Golomb和Welch的一个著名猜想是，Lee和Manhattan度量中唯一的非平凡完美码具有长度2或最小距离3。在过去的四十年里，这个问题和相关的主题得到了广泛的研究。本文给出了完全Lee码和直径完全Lee码的两种乘积结构。这些结构产生了大量的非线性完美码和非线性直径完美码的李和曼哈顿度量。本文还讨论了Lee度量和Manhattan度量中关于完美码的一个简短的综述和其它相关问题。
2011-06-22 cs.IT math.IT
On weight distributions of perfect colorings and completely regular codes
一个图的顶点着色称为“完美”，如果对于任何两个颜色$a$和$b$，一个颜色-$a$顶点$x$的颜色-$b$邻居的数量不依赖于$x$的选择，也就是说，只依赖于$a$和$b$（顶点集的相应划分称为“公平”）。一个顶点集被称为“完全正则”，如果根据距离这个集合的着色是完美的。所谓染色关于集合的“权重分布“是指每种颜色在距离集合的每一个距离上的顶点数的信息。研究了图关于完全正则集（特别是距离正则图关于顶点）的完美染色（公平划分）的权重分布。我们展示了如何计算这个分布的知识的颜色组成的集合。对于完全正则集的某些部分情形，我们导出了权重分布的显式公式。由于任何（其他）完全正则集本身生成完美着色，这给出了从其参数计算任何完全正则集的权重分布的通用公式。在Hamming图的情况下，我们证明了一个非常简单的公式的重量计数器的任意完美染色。暗号：完全正规码公平分割;分区设计;完美的着色;结构完善;规则划分;权重分布;重量计数器
2011-05-02 cs.IT math.CO math.IT
Perfect Mannheim, Lipschitz and Hurwitz weight codes
本文给出了Gauss整数、Lipschitz整数和Hurwitz整数上码关于Mannheim度量、Lipschitz度量和Hurwitz度量的上界.
2012-01-13 cs.IT math.IT
Weight Spectrum of Quasi-Perfect Binary Codes with Distance 4
本文研究了一类码距为4的拟完美二元线性码的重量谱。例如，扩展汉明码和Panchenko码是该类的已知成员。此外，已知在许多情况下Panchenko码具有最小数量的权重为4的码字。给出了拟完美码及其对偶码的重量谱的精确递推公式。作为应用的权重谱的一个例子，我们推导出一个较低的估计的条件概率校正的擦除模式的高权重（等于或大于代码的距离）。
2017-06-12 cs.IT math.IT
Weighted Hamming Metric Structures
文[4]中引入了加权汉明度量，证明了二元广义Goppa码在某种加权汉明度量下是完美码。本文研究了在加权汉明码度量下，允许二元汉明码和扩展二元汉明码成为完美码的权结构。同时，我们也给出了2-完美码的一些结构，以及在某种加权Hamming度量下如何构造2-完美码。
2018-02-04 cs.IT math.IT
The Weight Distributions of Two Classes of Linear Codes From Perfect Nonlinear Functions
本文提出统一方法，利用完全非线性函数的值分布和群作用，确定两类线性码的重量分布，适用于奇素数域。
2023-11-16 cs.IT math.IT
On the nonexistence of linear perfect Lee codes
1968年，Golomb和Welch证明了半径为$r\ge2$，维数为$n\ge3$的$\mathbb{Z}^{n}$中不存在完美Lee码.除了它自己的兴趣在编码理论和离散几何，这个猜想也密切相关的度直径问题的交换凯莱图。虽然关于这个问题的论文很多，但是Golomb-Welch猜想还远没有得到解决。本文通过引入一些新的代数方法证明了线性完美Lee码的不存在性。利用这些新的方法，我们证明了在$\mathbb{Z}^n$中，对于无穷多个维数值$n$，不存在半径为$r=2,3$的线性完美Lee码.特别地，除8例外，所有$3\le n\le 100$的$\mathbb{Z}^n$都不存在半径为$2$的线性完全Lee码。
2019-02-27 cs.IT math.CO math.IT
On the binary codes with parameters of triply-shortened 1-perfect codes
研究了参数接近1-完全码参数的二元码的性质。任意二进制$(n=2^m-3, 2^{n-m-1}, 4)$码$C$，即，具有三倍缩短的扩展汉明码参数的代码是将$n$立方体公平划分为六个单元的单元。任意二进制$(n=2^m-4, 2^{n-m}, 3)$代码$D$，即，具有三进制缩短汉明码的参数的码是来自六个单元的公平族（但不是分区）的单元。作为推论，码$C$和$D$是完全半正则的;即，这种码的权重分布仅取决于最小和最大码字权重以及码参数。此外，如果$D$是自补的，那么它是完全正则的。作为一个中间结果，我们证明，在距离分布方面，一个一般的标准划分的顶点的图（从相当一般的一类图，包括距离正则图）是公平的。关键词：1-完全码; Triling-shortened 1-完全码;公平划分;完全着色;重量分布;距离分布
2011-03-31 cs.IT math.CO math.IT
Properties of Codes in the Johnson Scheme
达到球填充界的码被称为完美码。编码理论中定义完美码的最重要的度量是汉明度量和约翰逊度量。对于Hamming度量，有限域上的所有完美码都是已知的，而在Johnson度量中，Delsarte在20世纪70年代证明了不存在非平凡的完美码。一般不存在性的证明仍然是一个悬而未决的问题。在这项工作中，我们研究等重码以及双重等重码，并减少完美的代码可能存在于这两种情况下的参数范围。我们从等重码开始。利用Johnson图J（n，w）中的完美码与块设计之间的联系，对单完美码的Roos界进行了改进，并给出了一些新的可除性条件.接下来，我们考虑完美码的二项式矩。我们展示了哪些参数可以排除一完美码。我们研究了J（2 w，w）中的两个完美码，并提出了存在这样的代码的必要条件。证明了在J（2 w，w）中不存在长度小于2.5*10^{15}的二完美码。接下来，我们研究完美双等重码。本文提出了一种码的参数族，其码的球的大小能整除整个空间的大小。然后，我们证明了这样的码的长度的一个界，类似于Roos的约翰逊图中的完美码的界。最后，我们描述了Steiner系统和双Steiner系统，它们分别与等重码和双等重码强连通。给出了Steiner系统长度上界的一个基于反码的证明，证明了双Steiner系统是直径完美码，并给出了双Steiner系统长度上界的一个估计。
2010-04-27 cs.IT math.IT
Bounds on the Size of Permutation Codes with the Kendall $τ$-Metric
为了在非易失性存储器中有效地写入和存储数据，已经提出了秩调制方案。秩调制方案中的纠错通过考虑置换码来完成。本文考虑$n$元素上所有置换的集合$S_n$中的码，使用Kendall $τ$ -度量.本文的主要目标是得到新的界限，这样的代码的大小。为了这个目的，我们也考虑完美的代码，直径完美的代码，和最佳的反码的大小在肯德尔$τ$度量，结构有自己的相当大的兴趣。本文证明了$S_n$中不存在完美的单纠错码，其中$n>4$是素数或$4\leq n\leq 10$。我们提出了最佳的反码奇直径的大小的下界。作为结果，我们得到了一个新的上限的代码的大小在$S_n$甚至最小的Kendall $τ$ -距离。我们提出了比$S_5$和$S_7$中已知的更大的单纠错码。
2022-05-02 cs.IT math.IT
On non-full-rank perfect codes over finite fields
本文研究了有限域上具有$q$元素的完美1-纠错码（简称$q$ -ary 1-完美码）.证明了长度为$n = (q^{m}-1)/(q-1)$的$q$元非满秩1-完美码的正交码是汉明重量等于$q^{m - 1}$的$q$元常重码，其中$m$是不小于2的任意自然数.本文给出了非满秩$q$ -ary 1-完美码的充要条件。我们提出了一个推广的级联结构的$q$ -ary的情况下，并构建了三元1-完美码的长度为13和秩为12。
2017-04-09 cs.IT math.IT
Constructing MRD codes by switching
本文定义了MRD码中的切换操作，并利用打孔扭曲Gabidulin码和直积码构造了基数随m双重指数增长的一大类MRD码，同时构造了不同仿射秩和非周期的MRD码。
2022-11-01 cs.DM cs.IT math.CO
Perfect Permutation Codes with the Kendall's $τ$-Metric
为了在非易失性存储器中有效地写入和存储数据，已经提出了秩调制方案。秩调制方案中的纠错通过考虑置换码来完成。本文考虑$n$元素上所有置换的集合$S_n$中的码，使用Kendall的$τ$ -度量.本文证明了$S_n$中不存在完美的单纠错码，其中$n>4$是素数或$4\leq n\leq 10$。我们还证明了，如果这样的代码存在的$n$这是不是一个素数，然后代码应该有一些统一的结构。我们定义了一些变化的肯德尔的$τ$度量，并考虑相关的代码，特别是我们证明了存在一个完美的单纠错码的$S_5$。最后，我们研究了$S_n$中直径完美码的存在性问题，并得到了$S_n$中具有最小Kendall $τ$ -距离的码的长度的一个新的上界。
2014-04-20 cs.IT math.IT
A Generalization of Lee Codes
受计算机体系结构中的一个问题的启发，我们在图中引入了完美距离-支配集的概念。PDDS构成了完美Lee码、直径完美码以及其他码和控制集的推广。在本文中，我们开始了系统的研究PDDS。将构建与应用程序相关的PDDS，并显示某些PDDS不存在。此外，长期存在的Golomb-Welch猜想的扩展，在PDDS方面，将被陈述。我们注意到，所有构造的PDDS都是格状的，从实用的角度来看，这是一个非常重要的特征，因为在这种情况下，解码算法往往要简单得多。
2013-08-04 cs.DM cs.IT math.CO
Sub-Classifier Construction for Error Correcting Output Code Using Minimum Weight Perfect Matching
Chulalongkorn University（朱拉隆功大学）；Walailak University（瓦莱岚大学）；National Institute of Informatics（国立信息学研究所）
多类分类是解决现实问题的一个重要手段，纠错输出码是多类分类的一种有效方法。我们提出了一种方法，用于构建纠错输出代码，以获得适当的组合的积极和消极的类编码代表二进制分类器。采用最小权完美匹配算法，以泛化性能作为加权准则，寻找最优的类子集对。基于我们的方法，每个子集的类与积极和消极的标签是适当的组合学习的二进制分类器。实验结果表明，我们的技术提供了显着更高的性能相比，传统的方法，包括密集的随机码和稀疏的随机码的准确性和分类时间。此外，与一对一相比，我们的方法需要的二进制分类器数量明显较少，同时保持准确性。
2013-12-27 cs.IT cs.LG math.IT
Fastest Distributed Consensus Averaging Problem on Perfect and Complete n-ary Tree networks
解决最快的分布式共识平均问题（即，在具有不同拓扑结构的网络上找到边上的权重以最小化权重矩阵的第二大特征值模）是传感器网络领域中的主要研究领域之一，并且在这个问题中众所周知的网络之一是树形网络。在这项工作中，我们提出了最快的分布式共识平均算法的分层和半定规划的方法，为两种特殊类型的树网络，即完美和完整的n元树网络的问题的解析解。该方法基于最快分布式共识平均问题的凸性，通过对松弛条件下的特征多项式进行归纳比较，找到最优权值。此外，某些类型的分支（例如完美和完整的n元树分支）的边的最佳权重独立于网络的其余部分来确定。
2010-05-15 cs.DC cs.IT cs.NI
Neural Minimum Weight Perfect Matching for Quantum Error Codes
本文提出神经最小权重完美匹配解码器，结合图神经网络和Transformer预测动态边权重，提升量子纠错性能，实验显示在去极化噪声下阈值达到17.9%和10.95%。
2026-06-28 cs.AI cs.IT cs.LG
