Minimum Degree-Weighted Distance Decoding for Polynomial Residue Codes with Non-Pairwise Coprime Moduli
本文提出了一种新的多项式剩余码译码方法，称为最小度加权距离译码。新提出的解码是基于度加权距离，不同于传统的最小汉明距离解码。它表明，对于两种类型的最小距离解码器，即，最小度加权距离译码和最小汉明距离译码并不是一个绝对强于另一个，但从不同的角度来看，它们可以相互补充。
2017-03-25 cs.IT math.IT
Hamming and simplex codes for the sum-rank metric
在这项工作中引入和秩汉明码。它们基本上被定义为最长码（因此具有最高信息速率），对于固定冗余$ 3 $、基本字段大小$ q $和字段扩展度$ m $（即，矩阵行数）。基于这些参数，得到了它们的码长、子长度和平均子长度的一般上界。当域扩张度为$ 1 $时，证明了和秩汉明码的和秩等距类与最大部分扩展是双射对应的.在这种情况下，它也表明，和秩汉明码是完美的代码的和秩度量。也在这种情况下，估计的参数（长度和拍摄数）的和秩汉明码，连同一个有效的伴随式解码算法。对偶的和秩汉明码，称为和秩单纯形码，然后介绍。基于已知的部分扩展大小的界，给出了和秩单纯码的最小和秩距离的界。作为应用，和秩汉明码被提出用于多次矩阵乘法信道中的纠错，以及在包括二进制在内的小域上构造局部可修复码。
2021-01-12 cs.IT math.IT
New Asymptotic Metrics for Relative Generalized Hamming Weight
最近的研究表明，相对广义汉明重量（RGHW）准确地表达了线性斜坡秘密共享方案的安全性。在本文中，我们确定了之前由Zhuang等人在2013年提出的RGHW的渐近度量的真值。然后，我们提出了新的渐近度量有用的研究线性斜坡秘密共享方案的最优性能构造的线性码对。在许多情况下，我们还确定了所提出的指标的真实值。
2014-04-02 cs.IT math.CO math.IT
Complete b-symbol weight distribution of some irreducible cyclic codes
最近，提出了$b$符号码以防止$b$符号读取信道中的$b$符号错误。由于$b$ -符号度量是Hamming度量的推广，因此研究循环码的完全$b$ -符号重量分布是一个有趣的课题。不可约码的完全$b$ -符号汉明重量分布仅在少数情况下是已知的。本文给出了一类具有两个非零$b$-符号Hamming重量的不可约码的完全$b$-符号Hamming重量分布。
2021-10-02 cs.IT math.IT
Generic Decoding in the Cover Metric
本文研究了具有覆盖度量的随机码的译码困难性。由于覆盖度量介于汉明度量和秩度量之间，因此它是基于码的密码学的一个很有前途的候选者。我们给出了经典Hamming度量译码问题的多项式时间约化，证明了在覆盖度量下译码问题的NP-困难性。然后，我们遵循海明度量中Prange算法的信息集解码思想，提供了一个通用解码器。然后，其成本的研究表明，复杂性是指数的行数和列数，这是在相反的行为在汉明度量，其中的复杂性增长指数的代码符号的数量。
2022-05-25 cs.CR cs.IT math.IT
Symmetry Group of Ordered Hamming Block Space
设$P = (\{1,2,\ldots,n,\leq)$是一个偏序集，它是等长的不相交链的并，$V=\mathbb{F}_q^N$是有限域$\mathbb{F}_q$上的$N$ -元组空间.设$V_i = \mathbb{F}_q^{k_i}$，$1 \leq i \leq n$是一类有限维线性空间，使得$k_1+k_2+\ldots +k_n = N$和$V = V_1 \oplus V_2 \oplus \ldots \oplus V_n$赋予由偏序集$P$和划分$π=(k_1,k_2,\ldots,k_n)$诱导的偏序集块度量$d_{(P,π)}$，包含Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman度量和错误块度量.本文给出了度量空间$(V,d_{(P,π)})$的对称群的一个完整描述，称之为序Hamming块空间.特别地，我们重新获得了Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman空间的对称群，并获得了错误块度量空间的对称群。
2017-05-28 cs.IT math.IT
MacWilliams Identity for the Rank Metric
本文研究了线性码的秩重分布与其对偶码的秩重分布之间的关系。本文的主要结果是，类似于Hamming度量的MacWilliams恒等式，任何线性码的秩重分布都可以表示为它的对偶码的秩重分布的解析表达式。值得注意的是，我们的新恒等式与汉明度量的麦克威廉姆斯恒等式具有相似的形式。新的恒等式为线性码的秩重分布分析提供了一个重要的分析工具。我们使用一个线性空间为基础的方法在证明我们的新身份，并适应这种方法提供了一个替代证明的汉明度量的麦克威廉姆斯身份。最后，我们确定了线性码的秩分布的矩与其对偶码的秩分布的矩之间的关系，并给出了最大秩距离码的秩重量分布的另一种推导方法。
2007-01-16 cs.IT math.IT
Multipermutation Codes in the Ulam Metric for Nonvolatile Memories
我们解决的问题，多置换码设计的乌拉姆度量的新的存储应用。多排列码适用于单元电荷可能共享相同等级的闪存。细胞电荷的变化表现为误差，其对检索信号的影响可以通过乌拉姆距离来测量。作为我们分析的一部分，我们研究多置换码的汉明度量，被称为常数组合码。然后，我们提出的多置换码的大小和它们的容量的界限，为乌拉姆和汉明度量。最后，我们提出了在乌拉姆度量的多置换码的结构和相应的解码器。
2013-12-08 cs.IT math.IT
The Sequence Reconstruction of Permutations under Hamming Metric with Small Errors
University of Isfahan（伊斯法罕大学）
本文提出基于群作用技术的新公式，用于计算排列序列在小误差下的汉明度量最大交集大小，并开发算法以高效计算相关参数。
2026-01-07 cs.IT math.CO math.GR
Codes with Weighted Poset Block Metrics
加权偏序集块度量是Panek等人提出的加权偏序集度量（[ \ref{panek} ]）和Feng等人提出的线性错误分组码度量（[ \ref{FENG} ]）的推广。这类度量包括许多经典的度量，如Hamming度量、Lee度量、偏序集块度量、偏序集块度量等，本文主要研究在加权偏序集块度量下构造新的码。确定了最小距离和覆盖半径等基本性质。
2023-03-03 cs.IT math.IT
Constant-Weight Array Codes
二元等重码由于其广泛的应用和重要的理论意义而得到了广泛的研究。特别地，已经提出了用于存储转发中的纠错的等重码。在本文中，我们介绍了恒定重量的阵列码（CWAC），它提供了一般的恒定重量的代码和提升的低解码复杂度的速率增益之间的折衷。CWAC既可以用于前面介绍的触发设置，也可以用于多触发方法，其中一个码字由几个消息组成。多触发方法概括了单触发方法，因此允许更高的速率增益。首先给出了基于级联的CWAC的构造，它推广了传统的纠删码，并给出了这些码的译码算法。由于CWAC可以被看作是二进制等重码和非限制汉明度量码的推广，CWAC因此提供了一个额外的自由度，以确定最大基数的等重码和非限制汉明度量码的问题。然后，我们研究其理论意义。首先，我们推广了许多经典的界限推导汉明度量码或常重码的CWAC框架。最后，我们涉及的CWAC的最大基数的一个恒定重量的代码，一个非限制性汉明度量码，和一个球形码。
2017-09-11 cs.IT math.IT
Obtaining binary perfect codes out of tilings
如果基本瓦片是公制球，则$n$维汉明立方体的瓦片化产生完美码（根据给定的公制）。我们关心的是度量的$n$维汉明立方体是由一个权重，尊重支持向量（TS-度量）。我们认为已知的平铺的汉明立方体，并首先确定其中产生一个完美的代码。在序列中，对于那些满足这个条件的平铺，我们确定所有的TS-度量，将其变成一个完美的代码。我们还提出了新的完美码的建设所获得的两个较小的级联。
2019-05-21 cs.IT math.CO math.IT
Optimal anticodes, MSRD codes, and generalized weights in the sum-rank metric
和秩度量码由于其在许多应用中的重要性，近年来引起了许多研究者的关注。在数学上，和秩度量是汉明度量和秩度量的自然推广。在本文中，我们提供了一个反码界的和秩度量，它扩展了相应的汉明和秩度量的反码界。然后我们对最优反码进行分类，即，达到秩和度量反码界的码。我们使用这些最佳的反码来定义广义和秩权重，我们研究他们的主要性质。特别地，我们证明了一个MSRD码的广义重量是由它的参数。作为一个应用，在附录中，我们解释了广义权重如何测量多点网络编码中的信息泄漏。
2021-12-21 cs.IT math.IT
Linear Cutting Blocking Sets and Minimal Codes in the Rank Metric
这项工作调查的结构秩度量码的概念，从有限几何，最显着的$q$ -类似物的投影系统和阻塞集。我们还说明了如何将一个经典的汉明度量码的秩度量之一，在这样一种方式，各种秩度量性质自然转化为hommandy汉明度量的概念下，这种对应关系。最有趣的应用，我们的结果在于理论的最小秩度量码，我们介绍和研究从几个角度。我们的主要贡献是一个最小的秩度量码，一般存在的组合参数的基础上的结果，和一个明确的代码建设的一些参数集，使用的概念，分散的线性集的参数范围。在整个文件中，我们还显示和评论奇怪的类比/分歧之间的理论纠错码的秩和汉明度量。
2021-06-23 cs.IT math.CO math.IT
On metric properties of maps between Hamming spaces and related graph homomorphisms
如果$k$ -位串的间隔大于$αk$，则将$k$ -位串映射到$n$-位串，这种从$k$-位串到$n$ -位串的映射称为$(α,β)$ -映射.这是构造纠错码的经典问题的放松，其对应于$α=0$。$(α,β)$ -映射的存在性等价于图同态$\bar H(k,αk)\to \bar H(n,βn)$的存在性，其中$H(n,d)$是一个Hamming图，其顶点集为$\{0,1\}^n$，连接顶点的边的$d$不同或更少.本文证明了在具有固定比率${n\over k}= ρ$的$n,k\to\infty$区域中关于可达参数$(α,β)$的不可能结果。这是通过开发一个一般的标准存在的图形同态的基础上半定松弛的独立数的一个图（称为Schrijver的$θ$ -功能）。该标准，然后评估使用一些已知的和一些新的结果，从编码理论有关的$θ$ -功能的汉明图。作为一个例子，它表明，如果$β>1/2$和$n\over k$ -整数，${n\over k}$倍重复映射实现$α=β$是渐近最优的。最后，给出了$\mathbb{F}_2$上射影空间中点和超平面的构型约束。
2016-04-30 cs.IT math.CO math.IT
Enhanced Algebraic Error Control for Random Linear Network Coding
差错控制对网络编码具有重要意义，因为如果不加以控制，差错会极大地降低网络编码的吞吐量增益，并严重破坏数据的可靠性和安全性。两个家庭的代码，子空间和秩度量码，已被用来提供随机线性网络编码的错误控制。在本文中，我们提高了这两个家庭的代码的纠错能力，通过使用一种新的双层解码方案。虽然子空间和秩度量码的解码服务于第二层解码，我们建议通过利用子空间和秩度量码的汉明距离特性在分组级上执行第一层解码。这种分组级解码也可以由中间结点实现以减少错误传播。为了支持第一层解码，我们还研究了三个重要的家庭的子空间和秩度量码，Gabidulin码，Kotter-Kschischang码，Mahdavifar-Vardy码的汉明距离性质。据我们所知，这些代码的两层解码方案和海明距离属性都是新颖的。
2012-05-03 cs.IT math.IT
Quaternary Preparata codes are quasi-perfect covering codes in the Hamming metric
Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute（罗摩克里希那传教士维韦卡南达教育研究机构）
该论文证明四元Preparata码在汉明度量下对奇数长度参数为准完全覆盖码，覆盖半径为2、最小距离为4，并改进覆盖数上界，如$K_4(8,2)\le 256$。
2026-10-06 cs.IT math.IT
Twisted Linearized Reed-Solomon Codes: A Skew Polynomial Framework
本文给出了秩和度量码的一个代数描述，即作为斜多项式环的商空间。这种方法同时推广了秩度量码的斜群代数设置和汉明度量码的多项式设置。这允许构造扭曲的线性Reed-Solomon码，一个新的家庭的最大和秩距离码扩展在同一时间Sheekey的扭曲Gabidulin码的秩度量和扭曲Reed-Solomon码的汉明度量。此外，我们还提供了Trombetti-Zhou构造的和秩度量的类似物，它也提供了一族最大和秩距离码。作为一个副产品，在极端情况下的汉明度量，我们得到了一个新的家庭加MDS码在二次域。
2021-05-21 cs.IT math.CO math.IT
Channel Metrization
我们提出了一种算法，给定一个通道，确定是否有一个距离，使最大似然解码器与最小距离解码器相一致。我们还表明，任何度量，直到解码等价，可以等距嵌入到超立方体的汉明度量，因此，在解码方面，汉明度量是普遍的。
2016-02-25 cs.IT math.CO math.IT
MacWilliams identities for poset level weight enumerators of linear codes
已经考虑了各种度量上的代码，例如Rosenbloom-Tsfasman（RT）、Lee等。最近，偏序集度量上的码得到了研究。偏序集度量是许多度量的一个很好的推广，特别是著名的度量如RT和Hamming度量。偏序集度量可以在具有局部错误发生的信道上实现。已经证明，MacWilliams恒等式对于一般偏序集度量上的码是不可接受的[Kim and Oh，2005]。最近，为了克服这个问题，一些进一步的研究偏序集度量上的MacWilliams恒等式已经提出。本文引入了Frobenius交换环上线性码的偏序集水平权计数元。我们推导出MacWilliams型的身份为每个给定的枚举，在很大程度上推广了以前的文献中讨论的结果。大多数的重量枚举在文献中，如汉明，Rosenbloom-Tsfasman和完整的m-spotty重量枚举遵循这些身份的推论。
2014-08-07 cs.IT math.IT
Information Set Decoding for Lee-Metric Codes using Restricted Balls
李度量伴随式解码问题是一个NP难问题，已经提出了几种通用的解码器。观察到这样的解码器比它们的汉明度量对应物具有更大的成本，使得Lee度量成为经典基于代码的密码学的有希望的替代方案。与Hamming度量不同，随机选择的给定Lee权重均匀的误差向量预期仅具有少数具有大Lee权重的条目。使用这种预期的条目分布，我们能够通过将原始问题减少到一个较小的实例来大幅降低Lee度量中通用解码器的成本，该实例的解决方案存在于受限球中。
2022-05-25 cs.CR cs.IT math.IT
Griesmer Bound and Constructions of Linear Codes in $b$-Symbol Metric
本文通过拼接线性码和单纯形码推导出$b$-符号度量下的Griesmer界，并基于循环码和扩展循环码构造了两个距离最优的线性码族。
2024-01-10 cs.IT math.IT
Bounds and Constructions of $\ell$-Read Codes under the Hamming Metric
本文研究Hamming度量下$\ell$-读码的界与构造，改进已有结果，给出$2$-读码在最小距离3、4、5时的最优冗余度，并建立与经典重建码的等价关系。
2024-03-18 cs.IT math.IT
Groups of linear isometries on weighted poset block spaces
本文引入了一类新的度量--加权偏序集块度量，它结合了Panek等人提出的加权坐标偏序集度量[（\ref{panek}）]和Feng等人提出的线性错误分组码度量[（\ref{FENG}）].这类度量包含了许多经典的度量，如Hamming度量、Lee度量、偏序集度量、偏序集块度量、偏序集块度量等，我们用半直积给出了这些度量空间的线性等距群的完整刻画.进一步，我们得到了具有加权偏序集块度量的码的Singleton型界，并定义了MDS码。作为偏序集是链的特殊情况，我们证明了MDS码与完全码是等价的。
2023-03-03 cs.IT math.IT
Information set decoding of Lee-metric codes over finite rings
信息集译码（ISD）算法是解决一般线性码译码问题的最佳方法。因此，这些算法被用于没有可见结构的代码，或者用于利用代码结构的高效解码器是未知的。经典地，ISD算法已经被研究用于汉明度量中的码。本文从Hamming度量转向Lee度量，研究了有限环上以Lee度量的码的ISD算法及其复杂度。
2021-02-18 cs.CR cs.IT math.IT
Construction and Fast Decoding of Binary Linear Sum-Rank-Metric Codes
本文基于BCH码、Goppa码和加性四元汉明度量码构造矩阵大小为2×2的二元线性秩和度量码，并给出至多O(t²)运算的快速译码算法，同时构造出渐近性能良好的二次时间可编码译码码序列。
2024-04-04 cs.IT math.IT
The geometry of one-weight codes in the sum-rank metric
给出了$k$维$\mathbb{F}_{q^m}$线性和秩度量码作为$\mathbb{F}_{q^m}^k$的$\mathbb{F}_q$ -子空间的元组的几何刻画.然后，我们使用这个特征来研究单重码的和秩度量。这导致我们扩展的家庭的线性里德-所罗门码，以获得一个双重扩展的版本。我们证明了这些代码仍然是最大秩和距离（MSRD）的代码，当$k=2$，他们是一个重量，在汉明度量的情况下。然后，我们专注于常数秩轮廓码的秩和度量，这是一个特殊的家庭的一个重量码，并推导出其参数的限制与援助的相关的汉明度量码。此外，我们还引入了秩和度量下的$n$ -单纯形码，它是作为$\mathrm{GL}(k,q^m)$的Singer子群的轨道而得到的。他们原来是常数秩配置文件-因此一个重量-和推广的单纯形码在汉明和秩度量。最后，我们重点研究了$2$ -维单权码，导出了对那些也是MSRD码的参数的约束条件，并在$q=2$的情况下得到了一种新的单权MSRD码的构造。
2021-12-09 cs.IT math.CO math.IT
Fast metric embedding into the Hamming cube
考虑了将$\mathbb{R}^n$的一个子集以几乎等距的方式嵌入到一个低维Hamming立方体中的问题。我们构建了一个简单的，数据无关的，计算效率高的映射，以高概率实现这一任务：我们首先应用一个特定的结构化随机矩阵，我们称之为双循环矩阵;使用该矩阵需要线性存储，矩阵向量乘法可以在近线性时间内执行。然后，我们将每个向量的每个条目与一个随机阈值进行比较，将每个向量二值化，该阈值是从一个精心选择的区间中随机均匀选择的。我们估计这个编码方案所需的比特数方面的两个自然的几何复杂性参数的集合-其欧几里德覆盖数和其本地化高斯复杂性。我们得到的估计结果是人们所能期望的最好的--直到对数项。证明的关键是一个独立感兴趣的现象：我们证明了双循环矩阵在两个重要方面模仿高斯矩阵的行为。首先，它将$\mathbb{R}^n$中的任意集合映射到一组良好传播的向量。其次，它产生一个快速的近等距嵌入的任何有限子集的$\ell_2^n$到$\ell_1^m$。这种嵌入在接近线性时间内实现了与高斯矩阵相同的降维，在最佳条件下-高达对数因子-要嵌入的点的数量。这改进了由于Ailon和Chazelle而著名的构造。
2022-09-06 cs.IT math.IT math.PR
Constant Rate Isometric Embeddings of Hamming Metric into Edit Metric
Computer Science Institute of Charles University, Prague（查理大学计算机科学研究所）；UMONS – Université de Mons（蒙斯大学）；The Academic College of Tel Aviv-Yaffo（特拉维夫雅法学术学院）；Rutgers University（罗格斯大学）；INSAIT, Sofia University ”St. Kliment Ohridski” & ETH Zürich（索菲亚大学“圣克利门特奥赫里德斯基”研究所（INSAIT）及苏黎世联邦理工学院）
本文提出了一种恒定速率的汉明度量到编辑度量的等距嵌入方法，通过引入misaligners框架，改进了编辑度量中优化问题的下界，并揭示了汉明到编辑等距嵌入的结构特性。
2026-04-22 cs.CC cs.DM cs.DS
Convolutional Codes with Maximum Column Sum Rank for Network Streaming
卷积码的列汉明距离确定在一类分组擦除信道上进行流传输时的纠错能力。我们引入了一个度量称为列和秩，平行列汉明距离时，通过网络流与链路故障。我们证明了几个已知的列汉明距离属性的秩类似物，并引入了一个新的家庭的卷积码，最大限度地提高列和秩的代码存储器。我们的建设涉及到寻找一类超正则矩阵，保持这个属性后，乘法与非奇异块对角矩阵在地面领域。
2016-04-16 cs.IT math.IT
Bounds on List Decoding of Rank-Metric Codes
到目前为止，还没有多项式时间的列表解码算法（超过一半的最小距离）的Gabidulin码。这些码可以被看作是秩度量等效的里德-所罗门码。在本文中，我们提供的秩度量码的列表大小的界限，以了解是否多项式时间列表解码是可能的，或者它是否只适用于指数时间复杂度。证明了列表大小的三个界限。第一个是Gabidulin码的指数下界，并表明对于这些代码，没有多项式时间列表解码超出约翰逊半径存在。其次，指数上界推导出，这适用于任何秩度量码的长度$n$和最小秩距离$d$。第三个界限证明，存在一个秩度量码在$\Fqm$的长度$n \leq m$，使列表的大小是指数的长度为任何半径大于一半的最小秩距离。这意味着不存在类似于Hamming度量中Johnson界的仅依赖于$n$和$d$的多项式上界。这三种秩度量界与汉明度量下的码界都有很大的不同。
2013-07-18 cs.IT math.IT
Efficient Encryption from Random Quasi-Cyclic Codes
我们提出了一个框架，构建有效的基于代码的加密方案的代码，不隐藏任何结构在其公共矩阵。该框架是在精神的计划首先提出的Alekhnovich在2003年和基于解码随机线性码的困难，从随机错误的低权重。我们离开有点从Aleknovich的方法，并提出了一个加密方案的基础上解码随机准循环码的难度。我们提出了两个新的密码系统实例化在我们的框架：汉明准循环密码系统（HQC），基于汉明度量，和秩准循环密码系统（RQC），基于秩度量。我们给出了一个安全性证明，这减少了我们的系统的IND-CPA安全性的一个决定性的版本的著名的问题解码随机家庭的准循环码的汉明和秩度量（相应的QCSD和RQCSD问题）。我们还提供了一个分析我们的计划在汉明度量的情况下的解密失败概率：对于秩度量没有解密失败。我们的计划受益于一个非常快的解密算法，连同小的密钥大小只有几千位。该密码系统对于低加密速率是非常有效的，并且非常适合于密钥交换和认证。渐近地，对于安全参数λ，公钥大小分别为HQC的$O(λ^{2})$和RQC的$O(λ^{4/3})$。实际参数比较以及基于环LPN或最近的MDPC系统的系统。
2016-12-16 cs.CR cs.IT math.IT
Rank error-correcting pairs
纠错对是由Pellikaan和Kötter独立引入的，作为一种使用向量的坐标乘积对汉明度量的线性码进行解码的一般方法，并用于许多著名的码族。本文定义了一类新的向量积，推广了坐标积，其中有些保持了线性化多项式的符号积，有些与通常的矩阵积一致.然后，我们定义秩纠错对的代码是线性的扩展字段和代码是线性的基本字段，并涉及这两种类型。给出了码的最小秩距离的界和MRD条件。最后，我们证明了一些著名的秩度量码的家庭承认秩纠错对，并表明给定的算法推广了经典的算法使用的汉明度量的纠错对。
2015-12-26 cs.IT math.IT
Optimal Combinatorial Neural Codes with Matched Metric $δ_{r}$: Characterization and Constructions
以神经科学理论为基础，G. Cotardo和A. Ravagnavi在\cite{CR}中引入了一种称为组合神经码（简称CN码）的非对称二进制码，其中的“匹配度量”$δ_{r}$称为非对称差异，而不是通常纠错码的汉明距离$d_{H}$。他们还提出了汉明，Singleton和Plotkin界限CN码相对于$δ_{r}$，并询问如何构建CN码$\cC$与大尺寸$|\cC|$和$δ_{r}(\cC).$在本文中，我们首先表明，一个二进制码$\cC$达到上述界限之一为$δ_{r}(\cC)$当且仅当$\cC$达到相应的界限为$d_H$和$r$是充分接近1。这意味着所有最佳CN码都来自通常的最佳码。%（完美码、MDS码或满足通常Plotkin界的码）。其次，我们利用Bent函数构造了几种参数$(n,K, δ_r(\cC))$灵活的CN码。
2021-12-15 cs.IT math.IT
A standard form for generator matrices with respect to the Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman metric
在本说明中，我们提出了一个类似的代码在向量空间中的Rosenbloom-Tsfasman度量的著名的标准形式的生成矩阵的代码在空间中的汉明度量。
2011-05-12 cs.IT math.IT math.NT
Skew and linearized Reed-Solomon codes and maximum sum rank distance codes over any division ring
Reed-Solomon码和Gabidulin码分别具有最大汉明距离和最大秩距离。使用斜多项式的一般构造，称为斜Reed-Solomon码，已经在文献中介绍。在这项工作中，我们介绍了一个线性化的版本，这样的代码，称为线性里德-所罗门码。我们证明了它们具有最大秩和距离。这种距离在多镜头网络编码或单镜头多网络编码中是有意义的。为了证明我们的结果，我们引入了新的度量定义的斜多项式，我们称之为斜度量，我们证明了斜Reed-Solomon码有最大的斜距离，然后我们把这种情况下的线性Reed-Solomon码和秩度量。Reed-Solomon码和Gabidulin码的理论是我们理论的特例，和秩度量推广了Hamming度量和秩度量。我们在任何除环（交换或非交换域）上发展我们的理论。我们还考虑了非零导子，这给了新的最大秩距离码在无限域上没有考虑过。
2018-02-08 cs.IT math.IT
$r$-Minimal Poset Codes
Fudan University（复旦大学）；Yiwu Research Institute of Fudan University（复旦大学义乌研究院）；The University of Hong Kong（香港大学）
研究关于$\mathbf{P}$-支撑的$r$-极小码，通过切割$r$-阻塞映射等刻画，给出$r$-极小性条件，证明存在性结果，在$\mathbf{P}$分层时用$r$-极小汉明度量码刻画，还刻画相关切割$r$-阻塞集并回答问题。
2026-10-09 cs.IT math.IT
Codes over Hurwitz integers
在这项研究中，我们得到了新的类线性码在Hurwitz整数配备了一个新的度量。我们把这个度量称为Hurwitz度量。基于正交幅度调制（QAM）型星座的编码调制方案中使用了与Hurwitz度量有关的码，对于该码，既没有Hamming度量，也没有Lee度量。此外，我们定义这些代码的解码算法时，发送的代码矢量的两个坐标的任意赫维茨重量的错误的影响。
2012-01-13 cs.IT math.IT
Generalized rank weights : a duality statement
我们考虑任意有限域上的固定有限域扩张上的线性码。Gabidulin通过赋予扩域上的线性码在基域上的秩权，引入了秩度量码，并类比线性码和经典的Hamming距离，研究了它们的基本性质。受Wei用广义Hamming权重描述wiretap II码的启发，Kurihara等人定义了一些广义秩权重，并证明了它们与安全网络编码的相关性。在本文中，我们推导出一个声明的广义秩权重的对偶码，完全类似于魏的广义汉明重量和我们的特点的平等情况下的r-广义Singleton界的广义秩权重的对偶码的秩权重。
2013-10-31 cs.IT math.IT
Improved Bounds for Codes Correcting Insertions and Deletions
本文研究纠插入删除错误码的基数，提出基于列表译码非对称特性的改进上下界，非渐近上界在大Levenshtein距离下更优，渐近上界超改编的Elias与MRRW界，下界小幅改进Levenshtein界但渐近效果消失。
2023-12-13 cs.IT math.IT
On the Hardness of the Lee Syndrome Decoding Problem
本文研究了赋Lee度量的有限环上伴随式译码问题的困难性。我们首先证明了决策版本的问题是NP-完全的，减少从$3$维匹配问题。然后，我们研究了解决问题的复杂性，通过翻译的最佳已知的解决方案在有限域上的汉明度量有限环上的李度量，以及提出一些新的解决方案。对于分析的算法，我们评估的计算复杂性的渐近制度，并比较它的汉明度量的相应算法。
2022-04-01 cs.CR cs.IT math.IT
Two-Step Decoding of Binary $2\times2$ Sum-Rank-Metric Codes
South China University of Technology（华南理工大学）；Suqian University（宿迁学院）；Central China Normal University（华中师范大学）
本文提出一种两步解码方法，将二元求和-秩度量码的解码转化为对构成的汉明码的解码，无需额外的d₁≥2/3d_sr假设，且在黑盒模型下渐近最优。
2026-03-29 cs.IT math.IT
On the Density of Codes over Finite Chain Rings
我们确定了具有良好距离性质的有限链环上自由模的渐近比例，并分别处理了码长n和剩余域大小q的渐近性。然后，我们专门研究并应用我们的技术来对度量码进行排名和汉明度量码。
2022-12-19 cs.IT math.IT
The Typical Non-Linear Code over Large Alphabets
我们考虑的问题，描述典型的（可能的）非线性代码的最小距离有界从下面超过一个大的字母表。我们专注于分组码的汉明度量和子空间码的注入度量。与线性分组码的行为形成鲜明对比，我们表明，在基数的汉明度量$q^{n-d+1}$中，典型的非线性码远没有最小距离$d$，即，变成MDS我们也给出了更精确的结果的渐近比例的分组码具有良好的距离性质的代码集具有一定的基数。然后，我们建立了类似的结果与注入度量的子空间码，也显示了应用程序的理论在有限几何的部分蔓延。
2021-11-22 cs.IT math.CO math.IT
Strong Singleton-Like Bounds, Quasi-Perfect Codes and Distance-Optimal Codes in the Sum-Rank Metric
Hubei University（湖北大学）；Jinan University（暨南大学）；Hubei University of Education（湖北教育学院）；Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；South-Central Minzu University（中南民族大学）
本文在求和-rank度量中提出强单体类界限、准完美码和距离最优码的构造方法，改进了经典单体界限并展示了更优的码构造。
2026-02-17 cs.IT math.IT
Function-Correcting RT Codes: A Coding Framework for Parallel Channels
Central China Normal University（华中师范大学）；LAGA, Department of Mathematics, Universities of Paris VIII and Paris XIII, CNRS, UMR 7539 and Telecom ParisTech（巴黎第八大学和巴黎第十三大学数学系 LAGA，CNRS，UMR 7539 和巴黎电信学院）
本文受函数校正码和RT度量启发，引入函数校正RT码，通过建立与不规则RT距离码的联系推导冗余界，对任意函数及特定函数类分析最优冗余界，给出RT权重分布函数的显式构造，扩展了函数校正码理论，为并行信道通信提供新工具。
2026-07-22 cs.IT math.IT
Linear rank-metric intersecting codes
本文提出并研究了秩度量相交码，从编码理论与几何角度分析其与极小码、MRD码等的关系，推导了结构性质、上下界及构造方法，并关联了分离系统与无陷害码。
2025-07-01 cs.IT math.CO math.IT
MacWilliams Identity for Codes with the Rank Metric
麦克威廉姆斯恒等式将码的重量分布与其对偶码的重量分布联系起来，在确定码的重量分布时很有用。本文给出了具有秩度量的线性码的MacWilliams恒等式，该恒等式与Delsarte的恒等式具有不同的形式.使用我们的MacWilliams身份，我们也得到相关的身份秩度量码。这些身份平行的二项式和幂矩的身份与汉明度量的代码。
2007-11-28 cs.IT math.IT
A geometric invariant of linear rank-metric codes
本文受Schur积启发，为线性秩度量码提出几何不变量，通过Schur幂维数序列区分Gabidulin码与随机码。
2025-10-07 cs.IT math.CO math.IT
Generalized weights: an anticode approach
在本文中，我们研究广义重量作为一个代数不变的代码。我们首先描述的汉明和秩度量的反码，证明特别是最佳的反码的秩度量符合Frobenius闭空间。然后，我们描述了广义汉明和秩权重的代码的交叉点的代码与最佳的反码在各自的度量。受这种描述的启发，我们提出了一个新的代数不变式，我们称之为“Delsarte广义权重”，Delsarte秩度量码的基础上的最佳反码的矩阵。我们证明了我们的不变量精化了Kurihara，Matsumoto和Uyematsu提出的Gabidulin码的广义秩权，并建立了Delsarte广义权的一系列性质.特别是，我们刻画Delsarte最优码和反码的广义权重。我们还提出了一个新的代数不变量的对偶理论，证明了一个码的Delsarte广义重量完全确定的Delsarte广义重量的对偶码。我们的结果推广了Gabidulin码的广义秩权理论。最后，我们证明了类似的Gabidulin码的一个定理魏，证明了他们的广义秩重量的特点的Gabidulin秩度量码的最坏情况下的安全下降。
2015-10-15 cs.IT math.IT
Structure of weighted projective Reed-Muller codes
Univ Rennes, CNRS, IRMAR - UMR 6625（雷恩大学）；Department of Mathematics Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学数学系）
本文研究加权投射雷德-穆尔码的结构特性，提出递归构造方法，并推导广义汉明重量界限，同时探讨其子域子码和对偶码的构造及对偶码的更一般性研究。
2026-03-25 cs.IT math.AC math.IT
On the non-existence of perfect codes in the sum-rank metric
本文研究和秩度量下线性完美码的存在性，通过分析度量球几何与体积界，给出两块空间的参数约束，并在多块空间中基于最小距离、整除性和码维数建立多类不存在性结果。
2025-08-28 cs.IT math.CO math.IT
Antipodal two-weight rank metric codes
本文研究了一类线性对映双权秩度量码，并利用$t$ -扩展讨论了它们的性质和特征。结果表明，这种码的维数为$2$，最小秩距离至少为长度的一半。我们从某些MRD码构造了对跖双权秩度量码。当最小秩距离等于码长的一半时，得到了这类码的完全分类。作为构造双重量秩度量码的结果，我们得到了一些显式双重量Hamming度量码。
2022-08-17 cs.IT math.IT
Properties of Rank Metric Codes
本文研究了具有秩度量的码的一般性质。本文首先研究了秩度量码的渐近填充性质。然后，我们研究了秩度量码的球面覆盖性质，推导了它们的参数界，并研究了它们的渐进覆盖性质。最后，我们建立了几个恒等式，这些恒等式将线性码的秩重分布与其对偶码的秩重分布联系起来。我们的一个恒等式是汉明度量的麦克威廉斯恒等式的对应物，它与德尔萨特的恒等式有不同的形式。
2007-06-12 cs.IT math.IT
