Decoding binary Reed-Muller codes via Groebner bases
二元Reed-Muller码可以刻画为模代数的根幂。我们用格罗布纳密码破译这些密码。
2018-08-29 cs.IT math.IT
Recursive decoding of projective Reed-Muller codes
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；Universidad de Valladolid（巴利亚多利德大学）
本文提出了一种基于仿射Reed-Muller码解码器的递归解码算法，实现了投影Reed-Muller码的最高纠错能力。
2026-02-26 cs.IT math.IT
Quantum error-correcting codes from projective Reed-Muller codes and their hull variation problem
本文利用射影Reed-Muller码构造长量子码，通过CSS和Hermitian构造获得非对称与对称量子码，并借助等价码提供灵活纠缠量的纠缠辅助量子码，同时构造子域子码量子码。
2025-02-28 cs.IT math.IT
On the second Hamming weight of some Reed-Muller type codes
本文研究了仿射Carnel码，它是一种Reed-Muller型求值码，其中多项式在有限域F_q的n个子集的Carnel积上求值。这些代码最近出现在H.洛佩斯角Renteria-Marquez和R. Villareal和O. Geil和C.我是杰森利用格罗布纳基理论的方法，我们确定了仿射码的第二Hamming重量（也称为次极小重量）以及这类码的一些更高的Hamming重量。
2013-08-26 cs.IT math.AC math.IT
On the generalized Hamming weights of hyperbolic codes
本文研究双曲码的广义汉明重量，给出其与里德-穆勒码重合的条件，并证明其第r个广义汉明重量与足迹一致，同时给出足迹的上下界。
2022-12-31 cs.IT math.AC math.IT
The Generalized Reed-Muller codes and the radical powers of a modular algebra
首先，给出了二元域或任意素域上的Reed-Muller码的Berman和Charpin特征的一个新的证明。这些码被认为是模代数的根的幂。第二，用同样的方法研究了非素域上的广义Reed-Muller码。
2016-01-28 cs.IT math.IT
On the third weight of generalized Reed-Muller codes
本文研究了广义Reed-Muller码的第三重。在一定的限制条件下，证明了广义Reed-Muller码的第三重依赖于二元低阶广义Reed-Muller码的第三重.在某些情况下，我们能够确定广义Reed-Muller码的第三重量和第三重量码字。
2014-01-21 cs.IT math.IT math.NT
On the weight distribution of second order Reed-Muller codes and their relatives
二阶$q$元Reed-Muller码的权重分布已经由Sloane和Berlekamp（IEEE Trans. Inform. Theory，vol. IT-16，1970）和McEliece（JPL Space Programs Summary，vol.3，1969）对于一般素数幂$q$。不幸的是，在计算后者时出现了一些错误。本文的目的是精确地计算二阶$q$元Reed-Muller码的码重分布。此外，还确定了二阶$q$元齐次Reed-Muller码和二阶$q$元投射Reed-Muller码的重量分布.
2019-03-19 cs.IT math.IT
A note on the generalized Hamming weights of Reed-Muller codes
本文给出了Reed-Muller码的广义Hamming重量的一个非常简单的描述。为此，我们推广了著名的麦考利表示的非负整数和状态的一些基本性质。
2018-07-03 cs.IT math.IT
On a Group Under Which Symmetric Reed-Muller Codes are Invariant
本文研究对称 Reed-Muller 码的自同构群，证明其线性映射构成一般线性群的子群，并给出特殊情形下显式确定全部自同构的方法。
2024-01-21 cs.IT math.IT
Subfield subcodes of projective Reed-Muller codes
本文研究了射影 Reed-Muller 码的子域子码，求得了其显式基与维数公式，推广了射影空间中的 Gröbner 基工具，从而在小有限域上获得了具有良好参数的长线性码。
2023-12-20 cs.IT math.AC math.IT
Constituent automorphism decoding of Reed-Muller codes
针对Reed-Muller码，提出将自同构集成译码用于Plotkin构成部分的新软判决算法，实现最优性能-复杂度权衡。
2024-09-05 cs.IT math.IT
On the Purity of Resolutions of Stanley-Reisner Rings Associated to Reed-Muller Codes
根据Johnsen和Verdure（2013），我们可以将任何线性码$C$与抽象单纯复形相关联，进而与斯坦利-赖斯纳环$R_C$相关联。环$R_C$是域上的标准分次代数，它的投射维数正好是$C$的维数.因此，$R_C$允许一个分次极小自由分解，由此得到的分次贝蒂数可以确定$C$的广义Hamming权.当$C$是广义Reed-Muller码时，Ghorpade和Singh（2020）考虑了$R_C$的最小自由分解的纯度问题。他们表明，决议是纯的，在某些情况下，它是不纯的，在许多其他情况下。本文给出了任意阶广义Reed-Muller码的Stanley-Reisner环的分次极小自由分解的纯性的一个完整刻画.
2021-01-30 cs.IT math.AC math.IT
Second weight codewords of generalized Reed-Muller codes
本文给出了r阶、码长为$q^m$的广义Reed-Muller码的第二重量码字。
2012-10-22 cs.IT math.IT math.NT
A new proof of Delsarte, Goethals and Mac Williams theorem on minimal weight codewords of generalized Reed-Muller code
本文给出了1970年发表的关于广义Reed-Muller码的最小重量码字的Delsarte、Goethals和MacWilliams定理的一个新的证明。为了证明这个定理，我们考虑最小权重码字的支持与仿射超平面的交集，并通过递归进行。
2010-01-14 cs.IT math.IT
On the Covering Radius of the Second Order Reed-Muller Code of Length 128
1981年，Schatz证明了二元Reed-Muller码$RM(2,6)$的覆盖半径为18。对于$RM(2,7)$，我们只知道它的覆盖半径在40到44之间。本文证明了二元Reed-Muller码$RM(2,7)$的覆盖半径不超过42。此外，我们给出了一个充分必要条件，使7元布尔函数达到二阶非线性42。
2015-10-29 cs.IT math.IT
On the covering radius of first order generalized Reed-Muller codes
本文将Helleseth，Klove和Mykkelvit证明的关于线性码覆盖半径的一个定理推广到任意q。然后确定了一阶广义Reed-Muller码在二阶广义Reed-Muller码中的覆盖半径。利用这些结果，我们能够给出一阶广义Reed-Muller码的覆盖半径的界。最后，使用Magma，我们得到了q=3的一些改进。
2011-02-10 cs.IT math.IT math.NT
Weighted Reed-Muller codes revisited
我们考虑点系综$S_1 \times...\times S_m$上的加权Reed-Muller码，其中$S_i$不需要与$S_j$具有相同的大小。对于$m = 2$，我们确定最佳权重，并详细分析了比率$|S_1|/|S_2|$对最小距离的影响。总之，加权Reed-Muller码的构造比它的声誉好得多。对于一类含有加权Reed-Muller码的仿射簇码，我们给出了两种列表译码算法。通过一个小的修改，这些算法之一能够纠正多达31个错误的[49，11，28]乔伊纳码。
2011-08-31 cs.IT math.IT
The List-Decoding Size of Reed-Muller Codes
本文研究了Reed-Muller码的列表译码长度。给定接收到的字和距离参数，我们感兴趣的是限制距离接收到的字在该距离内的Reed-Muller码字的列表的大小。Gopalan、Klivans和Zuckerman \cite{GKZ08}关于Reed-Muller码的链表长度的上界仅适用于码的最小距离。在这项工作中，我们为适用于{ \em all}距离的Reed-Muller码的列表解码大小提供了渐进界。此外，我们还研究了Reed-Muller码的重量分布。Kasami和Tokura \cite{KT70}关于Reed-Muller码字结构的先前结果达到最小距离的两倍，意味着代码的权重分布上的界限仅适用于最小距离的两倍。我们提供的Reed-Muller码，适用于{ \em所有}距离的重量分布的累积界限。
2008-11-14 cs.DM cs.IT math.IT
Extended Cyclic Codes Sandwiched Between Reed-Muller Codes
本文推广了Hu和Nebe的构造D(cyc)方法至广义里德-穆勒码，并确定了夹层码的最小向量，从而构造了新的普遍强完美格。
2022-08-26 cs.IT math.IT
Batch Codes from Hamming and Reed-Müller Codes
Ishai等人引入的批处理代码将字符串$x \in Σ^{k}$编码为$m$ -字符串元组，称为桶。在本文中，我们考虑多集批处理代码，其中一组$t$ -用户希望从原始字符串中访问一位信息。我们引入了最优批处理码的概念。我们首先证明了二进制汉明码是最优批处理码。本文主要研究Reed-Müller码的批处理性质。我们看看在任何有限域上的一阶Reed-Müller码的局部性和可用性。然后，我们证明了二进制一阶Reed-Müller码是最优批码时，用户数为4和推广我们的研究家庭的二进制Reed-Müller码的顺序小于一半的长度。
2017-10-20 cs.IT math.IT
Error-Correction Capability of Reed-Muller codes
本文给出了任意阶Reed-Muller码的可纠正错误和不可纠正错误之间的一个渐近极限。这个限制是理论上的，不依赖于任何解码算法。
2015-02-02 cs.IT math.IT math.NT
Enhanced Recursive Reed-Muller Erasure Decoding
最近的工作表明，Reed-Muller（RM）码实现了擦除信道容量。然而，这种性能是通过最大似然解码获得的，这对于实际应用来说可能是昂贵的。本文提出了一种基于Plotkin构造的Reed-Muller码在包删除信道上的编解码方案。我们提出了几个改进的通用解码。它们允许以较低的成本与最大似然解码性能竞争，特别是在高速率代码上，同时在速度方面显着优于它。
2016-01-26 cs.IT math.IT
On Cusick-Cheon's Conjecture About Balanced Boolean Functions in the Cosets of the Binary Reed-Muller Code
本文证明了Cusick-Cheon关于平衡布尔函数猜想在k阶、长度为2^m的二元Reed-Muller码RM（k，m）的陪集上的一个推广，其中k = 1或k >=（m-1）/2.
2008-04-14 cs.IT math.IT
The Generalized Reed-Muller codes in a modular group algebra
首先研究了模群代数$\mathbb{F}_{p^r}[G]$的一些性质，其中$G$是特征$p^r$的Galois环的加法群，$\mathbb{F}_{p^r}$是$p^r$元素的域.其次给出了$\mathbb{F}_{p^r}$上广义Reed-Muller码在$\mathbb{F}_{p^r}[G]$中的描述。
2016-09-29 cs.IT math.IT
Hull's Parameters of Projective Reed-Muller Code
该研究拓展了前人关于射影Reed-Muller码的工作，完全确定其hull的最小距离，在更大范围计算hull维数，并补充分析了两类未被研究过的特殊PRM码。
2024-09-29 cs.IT math.IT
Quantum Convolutional Codes Derived From Reed-Solomon and Reed-Muller Codes
卷积稳定器码有望使量子通信更可靠，具有吸引力的在线编码和解码算法。本文提出了一种基于直接极限构造的卷积稳定码的新方法。本文从广义Reed-Solomon码和Reed-Muller码出发，导出了两类量子卷积码。给出了纯卷积稳定码的Singleton界。
2007-01-22 cs.IT math.IT quant-ph
Reed-Muller codes in the sum-rank metric
CNRS（法国国家科学研究中心）；IMB, Université de Bordeaux（波尔多大学数学研究所）
本文利用多元 Ore 多项式构造和秩度量下的线性化 Reed-Muller 码，分析其维数与最小距离下界，并证明其可嵌入线性化代数几何码以利于译码。
2025-09-29 cs.IT math.IT
Generalized Reed-Muller codes: A new construction of information sets
本文针对一阶和二阶q元Generalized Reed-Muller码的信息集构造问题展开研究，验证了一阶码可沿用二元Reed-Muller码的结论，推导了二阶码（q>2）的不同信息集构造方式，还给出了示例与开放问题。
2024-01-30 cs.IT math.IT
A New Permutation Decoding Method for Reed-Muller Codes
提出了一种新的Reed-Muller码置换译码方法。所建议的置换译码方法的复杂度和纠错性能与递归列表译码器相似。它表明，所提出的解码技术可以利用几个提前终止的方法，导致解码所需的操作数量显着减少，纠错性能是相同的。
2019-01-14 cs.IT math.IT
Recursive Decoding and Its Performance for Low-Rate Reed-Muller Codes
本文研究了长度增长的$n$和定阶$r.$的Reed-Muller（RM）码的递归译码技术。设计了一种复杂度为$n\log n$阶的算法，当$\varepsilon$超过$n^{-1/2^{r}}.$时，该算法能纠正大多数权值不超过$n(1/2-\varepsilon)$的错误模式。
2017-03-14 cs.IT math.IT
Construction of Z4-linear Reed-Muller codes
给出了新的四元Plotkin构造，并利用它得到了新的四元码族。研究了编码的长度、维数和最小距离等参数。利用这些构造构造了新的四元Reed-Muller码族，其特点是利用Gray映射得到的Z4-线性码与通常的二元线性Reed-Muller码族具有相同的参数和基本性质.为了使所构造的族中的对偶关系更加明显，引入了Kronecker内积的概念。
2008-01-19 cs.IT math.IT
Determining the Generalized Hamming Weight Hierarchy of the Binary Projective Reed-Muller Code
投影Reed-Muller码对应于Reed-Muller码的子码，其中被评估以产生码字的多项式被限制为齐次的。码${\cal C}$的广义汉明权重（GHW）为每个维度$ν$标识维度$ν$的${\cal C}$的子码的支持的最小大小。代码的GHW在评估窃听通道设置中代码的脆弱性方面很有意义。它也是使用在边界的状态复杂度的网格表示的代码。在以前的工作中，由相同的作者，代码缩短算法推导出上界的GHW的二进制投影，Reed-Muller（PRM）码。在本文中，我们得到了一个匹配的下界，通过调整原来使用的证明技术的Reed-Muller（RM）码魏。这导致GHW层次的二进制PRM码的表征。
2018-06-06 cs.IT math.IT
Redundancies of Correction-Capability-Optimized Reed-Muller Codes
本文重点介绍了Reed-Muller码的一些变体，这些变体在Berlekamp-Massey-Sakata算法的多数表决下提高了指定解码性能的速率。给出了新码的冗余度的显式计算公式。
2006-09-29 cs.DM cs.IT math.IT
On the Minimum Distance, Minimum Weight Codewords, and the Dimension of Projective Reed-Muller Codes
本文通过另一种证明刻画任意阶射影 Reed-Muller 码的最小距离与最小重量码字，给出其数量并讨论维数公式的等价性。
2023-09-27 cs.IT math.CO math.IT
Indicator functions, v-numbers and Gorenstein rings in the theory of projective Reed-Muller-type codes
本文研究射影Reed-Muller型码的对偶性，利用v-数、Hilbert函数和指示函数给出全局对偶判据，推广了Gorenstein消失理想上的对偶定理，并分类了自对偶码及计算广义Hamming权函数的正则度指标。
2024-05-25 cs.IT math.AC math.AG
On the Service Rate Region of Reed-Muller Codes
Rutgers, the State University of New Jersey（新泽西州立罗格斯大学）；IIIT Hyderabad（印度信息技术研究所海得拉巴分校）
研究雷德-穆尔码的服务速率区域，通过分析恢复集与最小重量码字的关系，推导出数据对象最大需求的紧致界限。
2026-01-12 cs.IT math.IT
New advances in permutation decoding of first-order Reed-Muller codes
在本文中，我们描述了一个变化的经典置换译码算法，可以适用于任何仿射不变码相对于某些类型的信息集。特别地，我们可以将其应用于关于[2]中引入的信息集的一阶Reed-Muller码族。使用此算法，我们大大提高了我们可以纠正的错误的数量与本主题中的已知结果相比。
2023-02-10 cs.IT math.IT
Decoding of Projective Reed-Muller Codes by Dividing a Projective Space into Affine Spaces
投影Reed-Muller（PRM）码是通过将（经典）Reed-Muller码关于投影空间进行修改而得到的，当相关投影空间的维数等于1时，PRM码是双重扩展的Reed-Solomon码。PRM码的最小距离和对偶码是已知的，并且已经在低维射影空间中给出了一些解码示例。在这项研究中，我们构造了一个解码算法的所有PRM码划分成仿射空间的联合投影空间。此外，我们确定了我们的算法的计算复杂性和可纠正的错误的数量。最后，我们比较了我们的算法与最小距离译码的码字出错率。
2015-12-08 cs.IT math.IT
The second weight of generalized Reed-Muller codes in most cases
对于$d <q$和$d>(n-1)(q-1)$，已知在具有$q$元素的有限域上的$d$阶广义Reed-Muller码的第二权.在本文中，我们确定了第二个权重的其他值的$d$，这不是$q-1$加1的倍数。对于特殊情况$d=a(q-1)+1$，我们给出了一个估计。
2009-06-30 cs.IT math.IT
Polarization-Adjusted Convolutional (PAC) Codes as a Concatenation of Inner Cyclic and Outer Polar- and Reed-Muller-like Codes
本研究证明极化调整卷积（PAC）码等价于内循环码与外极化及类Reed-Muller码的级联，并利用循环码性质证明其在最小距离上优于后两者。
2023-08-02 cs.IT math.IT
Reed-Muller Codes Achieve Capacity on the Binary Erasure Channel under MAP Decoding
我们表明，里德-穆勒码实现容量下的最大后验比特解码传输的二进制擦除信道的所有速率$0 < R < 1$。证明是通用的，并适用于其他代码具有足够的对称性。主要想法是将以下观察结果结合起来：（i）单调函数经历尖锐的阈值行为，（ii）外部信息传递（EXIT）函数是单调的，（iii）Reed-Muller码是2-传递的，因此与它们的码字比特相关联的EXIT函数都是相等的，以及（iv）因此平均EXIT函数的面积定理意味着RM码的阈值是信道容量。
2015-05-21 cs.IT math.IT
A new upper bound on the query complexity for testing generalized Reed-Muller codes
在有限域$\F_q$上，$(n,d,q)$ -Reed-Muller码是通过在（$\F_q^n$的）所有点上对总次数至多为$d$的$n$ -变量多项式求值而给出的码。测试函数$f:\F_q^n \to \F_q$是否接近于$(n,d,q)$ -Reed-Muller码的码字的任务一直是复杂性理论和性质测试的中心兴趣。该任务的查询复杂度是测试人员可以进行的最小查询次数（所有随机选择的最大查询次数的所有测试人员中的最小值），同时接受所有Reed-Muller码字并拒绝$δ$的单词-远离概率为$Ω(δ)$的代码。(In在这项工作中，我们允许$Ω$中的常数依赖于$d$。）在这项工作中，我们给出了一个新的上界的$(c q)^{(d+1)/q}$的查询复杂性，其中$c$是一个通用的常数。在这个过程中，我们还给出了新的上界的Reed-Muller码（这也是一个Reed-Muller码）的对偶的“生成重量”。码的生成权重是最小整数$w$，使得汉明权重至多为$w$的码字生成码。
2012-04-24 cs.IT math.IT
Pruned Collapsed Projection-Aggregation Decoding of Reed-Muller Codes
本文提出了解码Reed-Muller（RM）码投影到只有少数几个子空间，使投影的数量显着减少。它揭示了错误对在两个不同的投影中同时被抵消的概率取决于它们的相交大小。然后，在子空间集合中引入相关系数来表示集合中两个子空间的交集大小。仿真结果表明，我们提出的方法与少量的投影到收集的子空间执行接近原来的方法。
2021-05-25 cs.IT math.IT
Minimum Distance of New Generalizations of the Punctured Binary Reed-Muller Codes
受组合设计理论和构造LCD代码应用的启发，C。Ding等人的\cite{DLX}在$\mathbb{F}_q$上引入了循环码$\mho(q,m,h)$和$\bar\mho(q,m,h)$作为删余二进制Reed-Muller码的新推广和版本。本文给出了关于$\mho(q,m,h)$和$\bar\mho(q,m,h)$的最小距离的几个新结果，它们是\cite{DLX}中已有结果的推广或改进.
2018-05-27 cs.IT math.IT
Recursive List Decoding for Reed-Muller Codes
本文研究了Reed-Muller（RM）码及其子码的递归译码。描述了两种新的递归技术。我们分析了这些算法的渐近性质，并表明，他们大大优于其他解码算法的非指数复杂度已知的RM码。通过使用中间代码列表和置换过程，进一步增强了解码性能。对于高达512的中等长度，获得了具有可行复杂度的近最佳解码。
2017-03-14 cs.IT math.IT
Sparse Reconstruction via The Reed-Muller Sieve
介绍了一种用于压缩感知的确定性测量矩阵Reed Muller Sieve。该矩阵的列通过对长度为$N$的四进制二阶Reed Muller码中的码字取幂而获得。对于$k=O(N)$，Reed Muller Sieve通过去除信号项独立的要求来改进用于识别$k$稀疏向量的支持的现有方法。该筛还能够进行局部检测;提出了一种复杂度为$N^2 \log N$的算法，该算法检测数据域中任何给定位置处信号的存在或不存在，而无需明确地重建整个信号。重建被证明是有弹性的噪声在测量和数据域中，本文推导出的$\ell_2 / \ell_2$误差界比随机合奏产生的$\ell_2 / \ell_1$界和扩展器为基础的合奏产生的$\ell_1 /\ell_1$界更紧。
2010-04-16 cs.IT math.IT
CSS-T Codes from Reed Muller Codes
本文系统研究利用Reed-Muller码构造非退化CSS-T码，证明可获得速率最高达1/2且最小距离可能发散的量子容错码族。
2025-01-21 cs.IT math.IT
Remarks on low weight codewords of generalized affine and projective Reed-Muller codes
我们提出了新的结果，低重量码字的仿射和投影广义Reed-Muller码。在仿射的情况下，我们证明，如果工作的有限域的大小是大的程度相比，代码，低重量码字的产品仿射函数。然后在一般情况下，我们研究了一些类型的码字，并证明了它们不能是第二，第三或第四重量取决于假设。在射影情形下，估计了广义Reed-Muller码的第二距离，即给出了该码的第二距离的一个上界和一个下界。
2013-04-07 cs.IT math.IT
Information sets from defining sets for Reed-Muller codes of first and second order
本文将循环群码视为多维阿贝尔码，基于定义集并借助文献中的技术，为一阶和二阶 Reed-Muller 码提出由基本参数构造信息集的直接方法。
2024-01-18 cs.IT math.IT
Evaluation of iterated Ore polynomials and skew Reed-Muller codes
Université Artois（阿尔图瓦大学）；USTHB, Faculté de Mathématiques（阿尔及利亚科技大学数学学院）
本文通过比较两种评估方式，利用其构造Reed-Muller码并计算相关数据。
2026-03-01 cs.IT math.IT math.RA
On the Generalized Covering Radii of Reed-Muller Codes
我们研究了广义覆盖半径，线性代码的基本属性，其特征在于存储，延迟和访问之间的权衡在线性数据查询协议，如PIR。我们证明了Reed-Muller码的广义覆盖半径的上下界，以及在某些极端情况下找到它们的精确值。考虑到线性数据查询协议的应用，我们还构建了一个覆盖算法，作为输入的一组点在空间中，并找到一个相应的一组码字的Reed-Muller代码，共同不远离输入比上界的广义覆盖半径的代码。我们证明了该算法的运行时间是多项式的代码参数。
2021-07-21 cs.IT math.IT
The Covering Radius of the Reed--Muller Code $RM(2,7)$ is 40
J. Schatz证明了二阶Reed-Muller码$RM(2, 6)$的覆盖半径为18（IEEE Trans Inf Theory 27：529--530，1985）。然而，$RM(2,7)$的覆盖半径问题多年来一直是一个悬而未决的问题。本文证明了$RM(2,7)$的覆盖半径为40，与$RM(3,7)$中$RM(2,7)$的覆盖半径相同。作为推论，我们还发现了$RM(2,n)$，$n=8,9,10$的新的上界。
2018-09-13 cs.IT math.IT
Permutation decoding of first-order Generalized Reed-Muller codes
本文研究了一阶广义Reed-Muller码族的经典置换译码算法变体实现，通过示例证明其改进了可纠正的错误数量，并从概率角度分析了算法何时仅需使用较小类PD集合的问题。
2025-09-15 cs.IT math.IT
