Perfect colorings of hypergraphs
本文建立超图完美着色的基本理论，引入多维矩阵方程定义，证明参数矩阵特征值与多维邻接矩阵特征值的关系，并给出覆盖、k-横截及Fano平面超图完美2-着色的具体结果。
2024-10-24 math.CO
Local distributions for eigenfunctions and for perfect colorings of q-ary hypercube
本文研究了$n$维$q$维Hamming空间的图的特征函数和完美染色。我们得到了两个正交面的本征函数的局部分布的相互依赖性。我们还证明了一个类似的结果完美着色。
2014-12-23 math.CO
The perfect 2-colorings of infinite circulant graphs with a continuous set of odd distances
一个给定的具有$k$颜色的单图$G=(V,E)$的顶点染色（$k$ -染色）是从它的顶点集到整数集$\{1,2,3,\dots, k\}$的映射.一个着色称为完美的，如果出现在任何顶点的邻居上的颜色的多重集只取决于顶点的颜色。考虑正整数$n$的生成集为$\{1,-1,3,-3,5,-5,\dots, 2n-1,1-2n\}$的可加整数群的Cayley图的完美染色.我们列举了完美的$2$ -着色的考虑中的图和国家的猜想推广的主要结果的任意数量的颜色。
2020-05-28 math.CO
A note on kernel-perfect orientations and DP-colorings from derangement assignments
该研究将Bondy-Bopanna-Siegel引理推广至错位排列指派下的DP-着色，并借此推导出无零符号列表着色的定向定理，拓展了相关图论着色结论的适用范围。
2024-07-13 math.CO
On perfect colorings of the halved 24-cube
一个图的点2-染色称为参数为$(a_{ij})_{i,j=1}^k$的完美染色，如果对于每个$i,j\in\{1,...,k\}$，每个颜色为$i$的点恰好与颜色为$j$的点$a_{ij}$相邻.我们考虑24-立方体$\{0,1\}^{24}$的距离-2图的完美2-着色，参数为$((20+c,256-c)(c,276-c))$（即，特征值为20）。我们证明了这样的着色存在于所有的$c$从1到128除了1，2，4，5，7，10，13和不存在于$c=1, 2, 4, 5, 7$。关键词：完美染色，均匀划分，超立方体，半n-立方体
2008-07-17 math.CO
From semi-total to equitable total colorings, and their induced partitions into perfect and total perfect codes
University of Puerto Rico（波多黎各大学）
研究通过改进的Kempe算法获取对称立方图和笼图的公平总着色，探讨总着色猜想的可行性。
2026-11-01 math.CO
Symmetric Perfect $2$-colorings on $J(10,3)$
本研究针对与第三大特征值及对称商矩阵相关的Johnson图J(n,3)完美2-着色，梳理n=6的已知构造，给出n=10时两种已知完美2-着色的新构造并证明其唯一性。
2024-03-06 math.CO
On perfect colorings of infinite multipath graphs
一个图的顶点着色称为完美着色，如果图中每个半径为$1$的球的颜色结构只依赖于球心的颜色.令$n$为正整数。我们考虑无限路图和图$G$的字典序积，图$G$可以是$n$顶点上的完全图或空图。我们给出了一个完整的描述与任意数量的颜色，这样的图产品的完美染色。
2021-08-01 math.CO
Multidimensional convolution matrices and perfect colorings of subspace hypergraphs applied for bent functions and related designs
Sabancı University（萨班奇大学）；Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）
本文通过多维卷积矩阵与子空间超图的完美着色理论，研究了与弯曲函数相关的组合设计及其应用。
2026-10-15 math.CO
On forced periodicity of perfect colorings
我们研究强迫周期性的二维配置在一定的约束条件下，并使用代数方法的多维符号动力学，其中$d$维配置和有限模式的正式幂级数和劳伦多项式，分别在$d$变量。我们考虑的完美着色的配置，使得一个给定的颜色的点在任何点的邻域中的数量只取决于该点的颜色为一些固定的相对邻域，我们表明，通过选择适当的字母表任何完美着色有一个非平凡的零化子，也就是说，存在一个劳伦多项式的形式产品与幂级数表示完美着色为零。利用已有的结果，我们得到了二维完全着色的强迫周期性的一个充分条件。作为这个结果的推论，我们得到简单的新的证明已知的结果强迫周期性的正方形和三角形网格。此外，我们还得到了关于王网格中完美着色的强迫周期性的一个新结果。我们还考虑完美着色的一个特别简单的类型：配置具有低阿贝尔复杂性的一些形状，我们推广的结果，给出了一个充分条件，这样的配置是必要的周期性。此外，一些算法方面的考虑。
2023-01-12 math.CO math.DS
Proof of the List Coloring Conjecture for line perfect multigraphs
证明了线完美重图的色指数等于列表色指数。这是Galvin关于二部多重图的结果的推广。在第一个版本提交给arxiv后不久，我发现Peterson和Woodall在一篇更早的论文中已经实现了同样的结果，采用了类似但不完全相同的方法。
2019-09-05 math.CO
On perfect 2-colorings of the q-ary n-cube
如果对于每个$n$ -元组$x$，$x$的邻居的颜色集合仅依赖于$x$的颜色，则称$q$ -元$n$ -维立方体（超立方体）的着色为完美的。一个布尔值函数被称为$n-m$度相关免疫，如果它对超立方体的每个$m$维面取相同次数的值1。设$f=χ^S$是超立方体的某个子集$S$的特征函数。本文证明了不等式$ρ(S)q({\rm cor}(f)+1)\leq α(S)$，其中${\rm cor}(f)$是$f$的相关免疫度的最大值，$α(S)$是集合$S$中$n$ -元组在集合$S$的补中的邻居的平均数，$ρ(S)=|S|/q^n$是集合$S$的密度.此外，还证明了函数$f$是完全着色的充要条件是得到了上述公式中的等式，并得到了$q>2$情形下完全着色分量和1-完全码分量基数的新下界.关键词：超立方体，完美着色，完美码，MDS码，比特率，公平分割，正交表。
2011-04-07 math.CO
Perfect colorings of the 12-cube that attain the bound on correlation immunity
我们构造了$12$ -超立方体的完美$2$ -着色，达到了我们最近关于任意相关免疫函数维数的界。我们证明了当$x=0$，$2$，$3$时，这种带参数（$(x,12-x,4+x,8-x$）的着色存在，当$x=1$时，这种着色不存在.这是D. G. Fon-Der-Flaass，“Perfect colorings of the $12$ -cube that achieve the bound on correlation immunity”，以俄文发表于Siberian Electronic Mathematical Reports，第4卷（2007）292-295。
2014-03-31 cs.DM math.CO
Perfect precise colorings of plane semiregular tilings
本文研究平面半正镶嵌的完美精确着色问题，为$k\leq 6$的某些$k$价半正镶嵌族构造了满足对称群置换与顶点邻接颜色约束的着色方案。
2023-12-31 math.CO
On extremal properties of perfect 2-colorings
研究完美2-着色与图划分的极值性质，指出多个谱界仅在完美2-着色上达到，并对充分正则图给出固定平均内部度下子集大小的新上界。
2025-05-15 math.CO
Dominated Coloring of Some Classes of Perfect and Unicyclic Graphs
Amrita Vishwa Vidyapeetham, Coimbatore Tamil Nadu, India（印度泰米尔纳德邦哥印拜陀阿弥塔大学）
本文刻画了色支配的完美图，并研究了几类无圈图的支配色数，为图染色理论提供了新结果。
2026-09-29 math.CO
On the connection between correlation-immune functions and perfect 2-colorings of the Boolean n-cube
如果对于每个顶点$x$，$x$的邻居的颜色集合仅取决于$x$的颜色，则布尔$n$立方体的着色称为完美着色。如果布尔函数对于布尔$n$立方体的每个$m$面取相同次数的值1，则该布尔函数被称为$n-m$度相关免疫。本文证明了每一个布尔函数$χ^S$（$S\subset E^n$）满足不等式$${\rm nei}(S)+ 2({\rm cor}(S)+1)(1-ρ(S))\leq n,$$，其中${\rm cor}(S)$是$χ^S$的相关免疫度的最大值，${\rm nei} (S)= \frac{1}{|S|}\sum\limits_{x\in S}|B(x)\cap S|-1$是$S$中顶点在集合$S$中的平均近邻数，$ρ(S)=|S|/2^n$是集合$S$的密度.此外，函数$χ^S$是完美着色当且仅当我们在上面的公式中获得等式。关键词：超立方体，完美染色，完美码，相关免疫函数。
2011-01-19 math.CO
Perfectly Colorable Graphs
我们定义了图$G$的完美染色为$G$的一个恰当染色，使得$G$的每个连通诱导子图$H$恰好使用$ω(H)$许多颜色，其中$ω(H)$是$H$的团数.一个图是完全可着色的，如果它允许一个完美着色。我们证明了完全可着色图类就是完全无爪图类。因此，完全可着色图可以在线性时间内被识别和着色。
2011-08-12 math.CO
On Hypergraph Colorings and Completely Independent Spanning Trees in Chordal Graphs
Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文通过超图全色与双全色着色，研究弦图中完全独立生成树的存在性，推翻一个相关猜想，并给出结构条件。
2026-10-07 cs.DM math.CO
A Polynomial-Time Algorithm for Coloring Perfect Graphs Based on Walk Counting
Princeton University（普林斯顿大学）
该研究提出基于图论操作的多项式时间算法，核心是通过迭代计算加权路径判定完美图是否含给定大小团，权重先统一初始化再依上次迭代路径计数更新，用于对完美图进行最优着色。
2026-07-13 cs.DM cs.DS math.CO
Quorum colorings of maximum cardinality in linear time for a subclass of perfect trees
University of Blida 1（布利达第一大学）；Algiers Higher School of Applied Sciences（阿尔及尔高等应用科学学院）
本文针对一类完美树（同一深度顶点度数相同），设计了线性时间算法，同时求出其最大基数的法定着色（$\psi_q$-着色）及法定着色数，解决了Sahbi提出的开放问题。
2026-09-18 math.CO
Perfect colorings of the infinite square grid: coverings and twin colors
本文研究无限方格图的完美着色与覆盖问题，证明所有此类着色要么对应图自同构群作用下的轨道划分，要么具有合并后仍保持完美着色的孪生颜色，并对孪生颜色情形进行了分类。
2023-04-08 math.CO
On degree-$3$ and $(n-4)$-correlation-immune perfect colorings of $n$-cubes
该研究刻画了n维布尔超立方体Q_n的次数至多为3的完美着色及(n-4)-相关免疫完美着色，分别给出了其商矩阵特征值条件与对应布尔函数的次数、相关免疫性质等价描述。
2024-06-23 cs.DM math.CO
Combinatorial designs, difference sets and bent functions as perfect colorings of graphs and multigraphs
本文建立独立集、超图横截集与完美着色的等价关系，并证明组合设计、$q$-设计、差集、Hadamard 矩阵及 bent 函数可表示为特定图或多重图的完美着色。
2024-03-05 math.CO
Perfect Combinatorial Structures in Coding Theory and Cryptography
本书发展代数与组合方法，研究图的完美着色（等划分）及其与图论、编码理论、傅里叶分析等领域的联系，面向高年级学生和研究人员。
2026-09-14 cs.IT math.CO math.HO
Colorings of hypergraphs, perfect graphs, and associated primes of powers of monomial ideals
通过覆盖理想的构造，无平方单项理想与有限简单超图之间存在着自然的一一对应关系。设H是有限简单超图，J = J（H）是它在多项式环R中的覆盖理想.对于J的任意幂J^s，我们利用由H产生的超图的染色性质，给出了R/J^s的所有相伴素数的一个明确的描述。给出了确定H的色数的一个代数方法，证明了它等价于一个涉及J的幂的单式理想隶属问题。第一个特征是根据集合A ss（R/J^s），而第二个特征是关于相关素数的饱和链条件。
2010-11-02 math.AC math.CO
On completely regular codes of covering radius 1 in the halved hypercubes
我们考虑的覆盖半径1完全正规码，或等价地，公平的2分区（定期2分区，完美的2着色），一半的n-立方体的建设。关键词：完全正则码，公平划分，正则划分，划分设计，完美着色，半超立方体。
2018-12-07 cs.DM math.CO
The threshold for the full perfect matching color profile in a random coloring of random graphs
考虑一个图$G$，它的边集$E(G)$从一个集$Q = \set{c_1,c_2, \ldots, c_q}$着色.令$Q_i$是用$c_i$着色的所有边的集合。最近，Frieze定义了由$\mcp(G)$表示的完美匹配颜色轮廓的概念，其是向量$(m_1, m_2, \ldots, m_q) \in [n]^q$的集合，使得对于所有$i$，在$G$中存在与$|Q_i \cap M| = m_i$完美匹配的$M$。设$\a_1, \a_2, \ldots, \a_q$为正常数，使得$\sum_{i=1}^q \a_i = 1$。设$G$是随机二部图$G_{n,n,p}$。假设$G$的边以概率$α_i$用颜色$c_i$独立着色。我们确定事件$\mcp(G) = \set{(m_1, \ldots, m_q) \in [0,n]^q : m_1 + \cdots + m_q = n}$的阈值，回答Frieze提出的一个问题。我们进一步扩展我们的方法，找到一个随机着色的随机图$G_{n,p}$的同一事件的阈值。
2020-12-04 math.CO
Online coloring a token graph
我们研究了两个玩家之间的组合着色游戏，剧透和算法，谁交替轮流。首先，Spoiler在$G$中的一个顶点放置一个新标记，Algorithm通过为新标记分配颜色来响应。算法必须确保相同或邻顶点上的标记接收不同的颜色。Spoiler必须确保记号图（其中两个记号相邻当且仅当它们在$G$中的距离最多为$1$）的色数最多为$w$。Algorithm希望最小化使用的颜色数量，而Spoiler希望强制使用尽可能多的颜色。令$f(w,G)$为最佳算法策略中所需的最小颜色数。一个图$G$是在线完美的，如果$f(w,G) = w$。给出了一类在线完美图的禁止诱导子图刻画。当$G$不是在线完美的，确定$f(w,G)$似乎具有挑战性，我们建立$f(w,G)$渐近的一些（但不是所有）的最小图，不是在线完美的。该游戏的动机是一个自然的在线着色问题的真实线仍然开放。
2017-12-23 math.CO
Coloring t-perfect graphs with fewer colors
研究t-完美图色数，通过改进证明，利用线性界保证r-算术绳存在及稍弱算术绳概念，将t-完美图色数界从199053提高到186。
2026-10-30 cs.DM math.CO
Algebraic properties of perfect structures
完美结构是具有一致大小的矩阵$M, P$和$S$的三元组$(M,P,S)$，使得$MP = PS$。完美结构包括相似矩阵、特征向量、完美着色（均匀划分）和图覆盖。本文研究了完美结构的一般代数性质，并用单位矩阵$M$刻画了所有完美结构。接下来，我们考虑推广大多数标准产品（例如笛卡尔，张量，正常，字典图产品）的图产品。对于这个产品，我们提出了一个完美的结构建设，并证明它可以被逆转的特征向量。最后，我们应用所得结果计算了几类图的谱，并证明了完美染色的一些性质。
2020-04-19 math.CO
Rainbow Subgraphs in Edge-colored Complete Graphs -- Answering two Questions by Erdős and Tuza
一个具有$C$颜色集的完全图的边染色称为完全平衡的，如果任意顶点与$C$中每种颜色的相同数目的边关联。Erdwors和Tuza问在$1993$是否为任何图形$F$上的$\ell$边缘和任何完全平衡着色的任何足够大的完全图使用$\ell$颜色包含彩虹副本的$F$。这个问题是重申Erdés在他的清单“一些我最喜欢的问题周期和着色”。我们回答这个问题的否定，大多数集团$F=K_q$给出明确的建设各自的完全平衡着色。此外，我们回答了一个相关的问题，关于完全平衡染色的颜色比在图$F$中的边的数量的完全图。
2022-11-28 math.CO
Defective coloring is perfect for minors
该研究证实了子式闭族缺陷色数等于标准构造下界的猜想，得到聚类色数与禁子式树深度的线性关系，改进了此前的指数界。
2023-11-22 math.CO
Defective Coloring on Classes of Perfect Graphs
研究缺陷着色问题在完美图类上的复杂性，证明其在分裂图和余图上为NP-困难，但在固定参数时对余图及平凡完美图有多项式算法，并给出余图的亚指数算法。
2022-01-05 cs.DS math.CO
Distance-2 MDS codes and latin colorings in the Doob graphs
Doob图D（m，n）中的最大独立集类似于Hamming图中的距离为2的MDS码和拉丁超立方体。我们证明了这些集的特征，说明每一个这样的集合是半线性或可约的。作为相关对象，我们研究了D（m，n）中具有最大割（边边界）的顶点集，并证明了它们的结构。我们认为，两个类（最大独立集和最大割集）可以定义为类的完全正则集指定的2 × 2的商矩阵。值得注意的是，对于所考虑的类的集合，商矩阵的特征值是图的最大和最小特征值。对于D（m，0），我们证明了存在第三个，中间，类完全正则集具有相同的性质。
2019-08-27 cs.DM cs.IT math.CO
Solving NP-hard Problems on \textsc{GaTEx} Graphs: Linear-Time Algorithms for Perfect Orderings, Cliques, Colorings, and Independent Sets
本文研究 $\mathsf{GaTEx}$ 图上的 NP-hard 问题，利用 galled-tree 结构作为指导，提出了在线性时间内求解最大团、最优顶点着色、完美排序和最大独立集的算法。
2024-04-26 cs.CC cs.DM cs.DS
Coloring graph classes with no induced fork via perfect divisibility
对于图$G$，$χ(G)$表示它的色数，而$ω(G)$表示它的团数。一个图$G$被称为完全可分的，如果对于$G$的所有导出子图$H$，$V(H)$可以被划分为两个集合$A$，$B$，使得$H[A]$是完全的，并且$ω(H[B]) < ω(H)$ .一个整数值函数$f$称为遗传图类$\cal C$的$χ$ -结合函数，如果对每个图$G\in \cal C$都有$χ(G) \leq f(ω(G))$.叉是完全二部图$K_{1,3}$的一条边细分一次得到的图。找到一个多项式$χ$绑定功能的类fork-free图的问题是开放的。本文研究了几类无叉图的结构，特别是在完全可除性的背景下研究了无（fork，$F$）图类$\cal G$，其中$F$是一个稳定集为3的五点图，并证明了每个$G\in \cal G$都满足$χ(G)\leq ω(G)^2$ .我们还注意到类$\cal G$不允许线性$χ$绑定函数.
2021-04-06 cs.DM math.CO
Coloring of cozero-divisor graphs of commutative von Neumann regular rings
设$R$是具有非零单位元的交换环. $R$的余零因子图，记作$Γ^{\prime}(R)$，是一个顶点在$W^*(R)$中的图，$W^*(R)$是$R$的所有非零和非单位元素的集合，并且$W^*(R)$中两个不同的顶点$a$和$b$相邻当且仅当$a\not\in Rb$和$b\not\in Ra$ .本文证明了团数有限的vonNeumann正则环的余零因子图不仅是弱完美的，而且是完美的。给出了团数的显式表达式。
2018-04-21 math.CO
Intersection Arrays of Completely Regular Codes of Covering Radius One in Generalized Petersen Graphs
Georgia State University（佐治亚州立大学）
研究广义Petersen图GP(n,k)中覆盖半径1的完全正则码的所有可能交数组，通过完美2-着色等价转化为商矩阵枚举，给出存在性的充要算术条件并构造显式周期着色。
2026-06-15 math.CO
Perfect divisibility and coloring of some fork-free graphs
本文证明(奇气球,叉)-自由图是完美可分割的，推广了Karthick等人的结果，并作为应用得出(叉,宝石)-自由或(叉,蝴蝶)-自由图的色数上界为binom(ω(G)+1,2)。
2023-09-04 cs.DM math.CO
Distance Regular Colorings of $n$-Dimensional Rectangular Grid
研究了不具有距离正则性的$n$维矩形网格的无限图以及该图的距离正则染色，定义为关于完全正则码的距离染色.证明了任意距离正则染色的参数矩阵的元素构成两个单调序列。证明了$n$维矩形网格的不可约距离正则染色至多有$2n+1$色.
2014-12-24 math.CO
Injective colorings of Sierpiński-like graphs and Kneser graphs
本文建立单射色数与色数、边色数的关系，确定 Sierpiński 图及根积的单射色数，并刻画 Sierpiński 图与 Kneser 图的完美单射可着色性。
2024-09-16 math.CO
The List Edge-Coloring Conjecture for New Infinite Families
New Uzbekistan University（新乌兹别克斯坦大学）
本文证明了两类全新无限族完全图的列表边着色猜想，通过互补模方法控制1-因子分解的Pfaffian符号，建立行列式-Pfaffian桥梁并发展带符号Burnside-Fourier方法，同时揭示了该方法在高层论证中的赋值障碍。
2026-09-17 math.CO
Quandle Coloring Quivers of general Torus links by dihedral quandles
本研究通过先穷尽着色数再分析着色间关联的方法，完整刻画了一般环面链环的二面体广群着色广群图，明确了其含完全子图且结构随着色数变化的特性。
2024-03-07 math.CO math.GT math.QA
Fall-colorings and b-colorings of graph products
给定图$G$的适当着色$f$，$f$中的b-顶点是与除了它自己的颜色类之外的每个颜色类相邻的顶点。如果每个色类至少包含一个b-顶点，则它是b-染色;如果每个顶点都是b-顶点，则它是落染色。$G$的b-色数是$G$具有$b(G)$颜色的b-染色的最大整数$b(G)$，而$G$的落色数和落色数分别是$G$具有落染色的最小和最大整数$f_1(G),f_2(G)$。本文研究了b-同态和II型同态的概念，它们推广了b-染色和落染色的概念，并给出了关于乘积图的一些元定理。因此，我们得出一些以前已知的事实，这些指标的图形产品。我们也给出了一个否定的答案所提出的一个问题，考尔和Mitillos关于完美图的秋天着色。
2016-08-30 math.CO
Total coloring of (sub)cubic Halin graphs
LaBRI, CNRS, University of Bordeaux（拉布里实验室，法国国家科学研究中心，波尔多大学）；Department of Computer Science, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics, Comenius University（布拉迪斯拉发康斯坦丁神学院数学物理与信息学院计算机科学系）
研究了(sub)cubic Halin图的完全着色问题，证明此类图仅有限个需要五种颜色，解决了四色猜想在该类图中的难题。
2026-03-24 math.CO
On lifting perfect codes
在本文中，我们考虑完全正规码，从完美（汉明码）码通过提升地面领域。更确切地说，对于给定的具有奇偶校验矩阵H_m的F_q上的长度为n=（q^m-1）/（q-1）的完美码C，我们定义了具有该奇偶检验矩阵H_m的F_{q^r}上的长度为n的新码C_{(m,r)}，r > 1。得到的码C_{(m,r)}是完全正则的，覆盖半径R = min{r，m}。我们计算这些代码的交集数，最后，我们证明了汉明码是唯一的代码，提升地面领域后，导致完全正规的代码。
2010-02-01 cs.DM cs.IT math.CO
On Acyclic Edge-Coloring of Complete Bipartite Graphs
图的无圈边染色是指不含双色圈的正常边染色。图$G$的无圈色指数，记为$a'(G)$，是使得$G$允许用$k$颜色进行无圈边染色的最小整数。设$Δ= Δ(G)$表示图$G$中顶点的最大度。每边都有$n$顶点的完全二部图记为$K_{n,n}$。Basavaraju，Kumran和Kummini证明了当$n$是奇数时，$a'(K_{n,n}) \ge n+2 = Δ+ 2$是奇数。Basavaraju和Rumran使用$p+2$颜色给出了$K_{p,p}$的非循环边着色，从而当$p$是奇素数时建立了$a'(K_{p,p}) = p+2 = Δ+ 2$。他们的方法中的主要工具是完美的$1$-$K_{p,p}$的因子分解。最近，Venkateswarlu和Sarkar遵循他们的方法证明了$K_{2p-1,2p-1}$允许使用$2p+1$颜色的非循环边着色，这意味着$a'(K_{2p-1,2p-1}) = 2p+1 = Δ+ 2$，其中$p$是奇素数。在本文中，我们推广了这种方法，并提出了一个一般的框架，可能得到一个非循环边着色的$K_{n,n}$，具有一个完美的$1$ -因子分解使用$n+2 = Δ+2$颜色。在这个一般的框架中，我们表明，$K_{p^2,p^2}$承认一个非循环边着色使用$p^2+2$颜色，从而建立$a'(K_{p^2,p^2}) = p^2+2 = Δ+ 2$时，$p\g…
2015-03-11 cs.DM math.CO
On the binary codes with parameters of doubly-shortened 1-perfect codes
我们表明，任何二进制$(n=2^m-3, 2^{n-m}, 3)$代码$C_1$是一个公平的分区（完美着色）$\{C_1,C_2,C_3,C_4\}$的$n$立方体的参数$((0,1,n-1,0)(1,0,n-1,0)(1,1,n-4,2)(0,0,n-1,1))$的一部分。现在，将码$C_1$延长为长度为$n+2$的1-完美码的可能性等同于将部分$C_4$分割为两个距离为3的码的可能性，或者等同于$C_4$的距离1和2的图的二粒子性。在任何情况下，$C_1$都可以唯一地嵌入到长度为$n+2$的二重1-完美码中，并具有一些结构限制，其中二重1-完美码意味着空间的任何顶点都在恰好两个码字的半径1内。
2009-07-01 cs.IT math.CO math.IT
Graphes parfaits : structure et algorithmes
这项工作是Nicolas Trotignon的博士论文，在Frédéric Maffray的监督下于2004年撰写。它的动机是为了更好地理解完美图。2002年Chudnovsky，Robertson，Seymour和Thomas对Claude Berge的完美图猜想的证明为组合数学的这一领域提供了新的思路。但仍有一些问题尚未解决，特别是完美图着色的组合算法的存在性。图的偶数对是一对顶点，使得连接它们的每一条路都具有偶数长度。正如Fonlupt和Uhry所证明的，偶数对的收缩保持了色数，并且当递归地应用时可能导致最优着色。我们证明了一个猜想的Everett和里德说，这种方法适用于一类完美的图：Artemis图。这产生了一个复杂度为$O(n^2m)$的Artemis图着色算法。我们给出了一个识别Artemis图的$O(n^9)$算法。其他识别算法也给出了，他们每个人的基础上的子图检测例程的Berge图。我们表明，这些子图检测问题是NP-完全扩展到一般的图形。
2013-08-31 math.CO
Structure, Coloring, and Perfect Divisibility of $(P_2\cup P_4, C_3)$-Free Graphs
Nanjing Institute of Technology（南京工程学院）；East China Normal University（华东师范大学）
本文研究了($P_2\cup P_4, C_3$)-无环图的结构分解，证明了猜想成立，并确定了该类图的着色数。
2026-09-10 math.CO
On multifold perfect codes and some other completely regular codes in the Doob graphs and quaternary Hamming graphs
本文研究 Doob 图与四元 Hamming 图中的完全 2-着色，刻画多重 1-完全码参数，并在标准条件下证明大参数时完全 (b,c)-着色存在，同时构造覆盖半径为 2 的完全正则码。
2023-12-12 math.CO
Regular colorings and factors of regular graphs
$r$ -正则图$G$的$(r-1,1)$ -染色是一种边染色，使得每个顶点与一种颜色的$r-1$边和另一种颜色的$1$边关联.本文完全刻画了所有不具有$(3,1)$ -着色的$4$ -正则伪图（可能包含平行边和环的图）。一个$r$ -正则图的$\{r-1,1\}$ -因子是一个生成子图，其中每个顶点的度是$r-1$或$1$ .我们证明了各种条件，必须持有任何顶点最小$5$ -正则伪图没有$(4,1)$ -着色或没有$\{4,1\}$ -因素。最后，对于每个$r\geq 6$，我们构造的图是不$(r-1,1)$ -可着色的，更一般地，是不$(r-t,t)$ -可着色的小$t$。
2016-03-30 math.CO
Quantum state systems that count perfect matchings
本文利用拓扑量子场论将基于 Penrose 公式的 $n$-色顶点多项式范畴化为大分次同调，并证明其滤过版本由面着色生成，在 $n=2$ 时对应完美匹配，从而赋予该多项式新的图不变量意义。
2024-01-15 math.CO math.GT
