An approximation trichotomy for Boolean #CSP
我们给出了布尔CSP实例的满意赋值数目的近似计数的复杂性的一个截分定理。这样的问题是参数化的约束语言指定的关系，可以使用的约束。如果约束语言中的每一个关系都是仿射的，那么满足赋值的数目可以在多项式时间内精确计数。否则，如果约束语言中的每个关系都在Post格的共克隆IM_2中，则计算满足赋值的问题对于复杂度类#RH_l中的近似保持约简是完全的。这意味着近似计数满足这样的CSP实例的分配的问题在复杂性上等同于其他几个已知的计数问题，包括近似计数二分图中的独立集的数量的问题。对于所有其他固定约束语言，问题对于#P关于近似保持约简是完全的，这意味着除非NP=RP，否则没有完全多项式随机近似方案来计数满足的分配。
2009-07-22 cs.CC
Approximate Counting for Complex-Weighted Boolean Constraint Satisfaction Problems
约束满足问题（或CSP）已经在例如人工智能、数据库理论、图论和统计物理学中被广泛研究。从实用的角度来看，近似求解这些CSP是有益的。当一个人试图近似的总数的真值分配，满足所有布尔值的约束（未加权）布尔CSP，有一个已知的分割定理，所有这样的计数问题整齐地分为三个类别下多项式时间（随机）近似保持减少。与此相反，我们得到了一个二分法定理的近似计数复加权布尔CSP，提供了所有复值一元约束可以自由使用。正是自由一元约束的表达能力使我们能够证明这样一个更强、更完备的分类定理。这一发现使所有计数CSP的近似复杂性分类的追求向前迈进了一步。为了处理复杂的权重，我们采用证明技术的因式分解和arity减少沿线解决Holant问题。此外，我们引入了一个新的概念的T-可构造性，自然会导致近似保持约简。我们的结果也给出了一个近似模拟的二分法定理的复杂性的精确计数复加权布尔CSP。
2012-08-23 cs.CC
The complexity of counting locally maximal satisfying assignments of Boolean CSPs
研究了布尔域{0，1}上约束满足问题（CSP）的最大满足指派计数问题的计算复杂性.一个令人满意的分配是极大的，如果从它得到的任何新的分配是不令人满意的，通过改变0到1。对于每个约束语言Gamma，#MaximalCSP（Gamma）表示计算最大满意分配的问题，给定一个带有Gamma约束的输入CSP。对于最大满意指派的精确计数问题，我们给出了一个复杂性二分法;对于最大满意指派的近似计数问题，我们给出了一个复杂性二分法。相对于问题#CSP（Gamma），这是计算所有满意分配的问题，最大版本有时可能更容易，但从来没有更难。这一发现与最近的发现，大约计数最大独立集的二分图是困难的（在通常的复杂性理论的假设下）比计数所有独立集。
2016-04-06 cs.CC
The Exponential-Time Complexity of the complex weighted #CSP
在计数版本（#ETH）的指数时间假设下，考虑了布尔计数约束满足问题（#CSP）的细粒度二分法.设$\mathscr{F}$是布尔域上代数复值函数的有限集合。当$\mathscr{F}$是任意两个特殊函数集的子集时，证明了#CSP（$\mathscr{F}$）是多项式时间可解的，否则它不能在次指数时间内计算，除非#ETH失败.我还通过证明相同的二分法对具有有界度的#CSP（每个变量出现在最多常数约束下），甚至对#R $_3$ -CSP也成立来改进结果。证明结果之前的一个重要准备是证明钉扎（两个特殊的一元函数$[1,0]$和$[0,1]$用于减少arity）也可以保持布尔#CSP问题的次指数下界。本文利用计数问题的P-困难性的一些常用证明方法来讨论这个问题。证明说明了这些常用方法之间的内在联系。
2022-02-06 cs.CC
The expressibility of functions on the Boolean domain, with applications to Counting CSPs
An important tool in the study of the complexity of Constraint Satisfaction Problems (CSPs) is the notion of a relational clone, which is the set of all relations expressible using primitive positive formulas over a particular set of base relations. Post's lattice gives a complete classification of all Boolean relational clones, and this has been used to classify the computational difficulty of CSPs. Motivated by a desire to understand the computational complexity of (weighted) counting CSPs, we develop an analogous notion of functional clones and study the landscape of these clones. One of th…
2012-06-13 cs.CC
The complexity of approximating conservative counting CSPs
研究了近似求解加权计数约束满足问题CSP（F）的复杂性.在保守的情况下，其中F包含所有一元函数，有一个分类已知的情况下，在F中的功能域是布尔的。本文对F中函数具有任意有限区域的更一般问题给出了一个分类。我们定义了弱对数-模和弱对数-超模的概念。证明了若F是弱对数模，则#CSP（F）在FP中.否则，它至少和#BIS一样难以近似，即在二分图中计数独立集的问题。#BIS对于逻辑定义的复杂度类#RHPi1的近似保持约简是完备的，并且被认为是难以处理的。我们进一步细分了#BIS-硬案例。如果F是弱对数超模的，那么我们证明了#CSP（F）和（布尔）对数超模加权#CSP一样简单。否则，我们证明它是NP-难近似。最后，我们给出了arity-2情况下的完全可分性，其中#CSP（F）在FP中，或者是#BIS等价的，或者在难度上等价于#SAT，即近似计数合取范式中布尔公式的满足赋值的问题。我们还讨论了我们的分类算法方面。
2014-05-29 cs.CC
Approximability of all Boolean CSPs with linear sketches
在这项工作中，我们认为$\textsf{Max-CSP}(f)$的可近似性的背景下，草图算法和完整的特征的可近似性的所有布尔CSP。具体地说，给定$f$，$γ$和$β$，我们证明：（1）$\textsf{Max-CSP}(f)$的$(γ,β)$ -近似版本具有使用$O(\log n)$空间的线性草图算法，或者（2）对于每个$ε> 0$，$\textsf{Max-CSP}(f)$的$(γ-ε,β+ε)$ -近似版本对于任何草图算法都需要$Ω(\sqrt{n})$空间。我们还证明了几个CSP的流算法的下限。特别是，我们恢复的流二分法[CGV 20]的$k=2$和显示流近似阻力的所有CSP的$f^{-1}(1)$支持均匀的边缘分布。我们的积极结果表明，[GVV 17]和[CGV 20]以前使用的基于偏差的算法通过提供系统的方法来发现偏差，具有更广泛的适用性。我们的否定结果结合了[KKS 15]的傅立叶分析方法，我们将其扩展到更广泛的CSP类，并在否定结果的核心通信复杂性问题中收集了丰富的减少。
2022-02-11 cs.CC cs.DS
ETH-Hardness of Approximating 2-CSPs and Directed Steiner Network
我们研究二元约束满足问题（2-CSP），它可以表述如下：给定一个约束图$G=(V,E)$，一个字母集$Σ$，对于每个$\{u, v\}\in E$，一个约束$C_{uv} \subseteq Σ\timesΣ$，目标是找到一个满足尽可能多约束的分配$σ: V \to Σ$，如果$(σ(u),σ(v))\in C_{uv}$满足约束$C_{uv}$.虽然当$|Σ|$为常数时，2-CSP的可逼近性已得到很好的理解，但当$|Σ|$变为超常数时，许多问题仍有待解决。一个这样的问题是是否难以将2-CSP近似到$|Σ| |V|$的多项式因子内。Bellare等人（1993）认为，这个问题的答案可能是肯定的。唉，尽管努力解决这个猜想，它仍然开放到今天。在这项工作中，我们分开的$|V|$和$|Σ|$，并提出一个相关的，但较弱的问题：它很难近似2-CSP内的$|V|$的多项式因子（而$|Σ|$可能是超多项式的$|V|$）？假设指数时间假设（ETH），我们肯定地回答这个问题，表明没有多项式时间算法可以近似2-CSP到$|V|^{1 - o(1)}$的一个因素。请注意，我们的比率几乎是线性的，这几乎是最佳的，因为平凡算法给出了2-CSP的$|V|$近似。由于一个已知的减少，我们的结果意味着一个ETH-硬度近似有向斯坦纳网络的比例$k^{1/4 - o(1)}$，其中$k$是需求对的数量。该比率大致是通过…
2018-05-10 cs.CC
The approximability of three-valued MAX CSP
在最大约束满足问题（Max CSP）中，给定一个有限的集合（可能加权）约束重叠的变量集，目标是从一个给定的域分配值的变量，以最大限度地满足约束的数量（或总重量，加权的情况下）。这个问题一般是NP难的，因此，研究限制允许的约束类型如何影响问题的可逼近性是很自然的。众所周知，每个布尔（即，二值）Max CSP问题与允许的约束类型的有限集是精确地在多项式时间内可解的，或者是APX完全的（因此，除非P=NP，否则没有多项式时间近似方案）。这是一个开放的问题，几年来，这一结果是否可以扩展到非布尔最大CSP，这是更难以分析比布尔情况。在本文中，我们在这个方向上的第一步，建立这个结果的最大CSP在一个三元域。此外，我们提出了一个简单的描述，我们的问题的所有多项式时间可解的情况下。这种描述使用了著名的超模块性的代数组合性质。我们还证明了每个三值硬MaxCSP问题在某种特定意义下包含两个基本硬MaxCSP问题之一，这两个基本硬MaxCSP问题是k= 2，3的最大k列子图问题.
2004-12-10 cs.CC
Optimal polynomial-time compression for Boolean Max CSP
在布尔最大约束满足问题- Max CSP $(Γ)$ -中，给定来自有限约束语言$Γ$的约束的加权应用的集合，在公共变量集上，并且目标是将布尔值分配给变量，使得满足的约束的总权重最大化。有一个优雅的二分法定理提供了一个标准$Γ$的问题是多项式时间可解的，并指出，否则它成为NP难。我们研究NP硬情况下，通过内核化的镜头，并提供了一个完整的表征最大CSP $(Γ)$的最佳压缩大小。也就是说，我们证明了最大CSP $(Γ)$参数化的变量$n$的数量是多项式时间可解的，或者存在一个整数$d \ge 2$依赖于$Γ$，使得1。\textsc{Max CSP$(Γ)$}的实例可以在多项式时间内压缩为具有$O(n^d\log n)$位的等效实例，2. Max CSP $(Γ)$不允许对$O(n^{d-ε})$位进行此类压缩，除非$\text{NP} \subseteq \text{co-NP} / \text{poly}$。我们的减少是基于解释约束多线性多项式结合框架的约束实现。作为我们的减少的另一个应用程序，我们揭示了解决最大CSP $(Γ)$的最佳运行时间之间的紧密联系。更确切地说，我们表明，获得的运行时间的形式$O(2^{(1-ε)n})$的特定类别的最大CSP是一样难突破这一障碍的最大$d$ -SAT的一些$d$。
2020-02-09 cs.CC cs.DS
Almost Optimal Time Lower Bound for Approximating Parameterized Clique, CSP, and More, under ETH
本文在ETH下证明了近似稀疏参数化CSP、参数化团、k-ExactCover和Max k-Coverage等问题需要几乎最优的n^{k^{1-o(1)}}时间下界，通过构造向量结构化的ETH困难CSP和基于Reed-Muller码的并行PCP实现。
2024-06-11 cs.CC
Best-case and Worst-case Sparsifiability of Boolean CSPs
我们继续研究NP完全布尔约束满足问题的多项式时间稀疏化。稀疏化的目标是在不改变答案的情况下减少问题实例中的约束数量，从而可以根据变量的数量n给出结果约束数量的界限。我们调查如何最坏情况下的稀疏化大小取决于类型的限制，允许在问题的制定（约束语言）。给出了两个算法结果。第一个结果基本上表明，对于任何元数k，唯一的约束类型，其中没有非平凡的稀疏是可能的，只有一个伪造的分配，并对应于逻辑或（否定）。我们的第二个结果涉及线性稀疏化，也就是说，减少到一个等价的实例，O（n）的约束。使用线性代数环的整数模素数的权力，我们给出了一个优雅的必要和充分条件的约束类型被捕获的一个度-1多项式在这样的一个环，这产生线性稀疏。这些算法的结果相结合，使我们能够证明两个特征，捕捉最佳稀疏化的大小范围内的布尔CSP。对于NP-完全布尔CSP的约束是对称的（满意度只取决于1值的数量在分配，而不是他们的位置），我们给出了一个完整的特征，其中的约束语言允许线性稀疏化。对于布尔CSP中，每个约束的arity在最多三个，我们的特点是最大的或，可以表示的约束语言的最佳大小的稀疏化。
2018-09-17 cs.CC cs.DS
A Birthday Repetition Theorem and Complexity of Approximating Dense CSPs
两个证明者游戏$\mathcal{G}$的$(k \times l)$ -生日重复$\mathcal{G}^{k \times l}$是其中两个证明者分别从大小为$k$和$l$的$\mathcal{G}$发送随机问题集的游戏。这两个集合是在这些特定大小的所有问题集合中独立均匀抽样的。我们证明了如下生日重复定理：当$\mathcal{G}$满足一些温和的条件时，$val(\mathcal{G}^{k \times l})$在$Ω(kl/n)$中呈指数下降，其中PDMATHAMT是问题的总数.我们的结果积极地解决了Aaronson，Impagliazzo和Moshkovitz（CCC 2014）提出的一个悬而未决的问题。作为生日重复定理的一个应用，我们得到了稠密CSP的新的细粒度的逼近结果的硬度。具体来说，我们建立了一个紧密的权衡运行时间和近似比密集CSP的条件下界，完整性差距和近似算法。特别是，对于任何足够大的$i$和每个$k \geq 2$，我们显示了以下结果：-我们展示了一个$O(q^{1/i})$ -近似算法密集的最大$k$ -CSP与字母大小$q$通过$O_k(i)$ -水平的Sherali-亚当斯松弛。- 通过生日重复定理，我们得到了全稠密Max $k$ -CSP的$\tildeΩ_k(i)$ -level Lasserre松弛的$q^{1/i}$的完整性间隙. - 假设有…
2016-07-11 cs.CC
Sandwiches for Promise Constraint Satisfaction
承诺约束满足问题（Promise Constraint Satisfaction Problems，PCSP）是Brakensiek和Guruswami arXiv：1704.01937提出的一个研究约束满足问题（Constraint Satisfaction Problems，CSP）近似解的框架。非正式地，PCSP要求区分CSP的给定实例是否有解，或者甚至不能满足指定的松弛。所有目前已知的易处理的PCSP可以以自然的方式减少到易处理的CSP。Barto arXiv：1909.04878给出了一个布尔结构上的PCSP的例子，对于这个简化需要求解无限结构上的CSP。我们给出了第一个例子的PCSP的布尔结构，减少到一个易于处理的CSP的大小为$3$，但不是更小的结构。此外，我们研究的PCSP的属性，减少到系统的线性方程组或CSP的结构与半格或多数多态性。
2020-03-17 cs.CC
Fine-grained dichotomies for the Tutte plane and Boolean #CSP
Jaeger，Vertigan和Welsh [15]证明了在固定点处计算Tutte多项式的复杂性的二分法：几乎在任何地方都是#P-hard，其余点允许多项式时间算法。Dell、Husfeldt和Wahlén [9]以及Husfeldt和Taslaman [12]结合Curticapean [7]，在计数指数时间假设#ETH下，将#P-硬度结果扩展到严格的下限，但线$y=1$除外，该线保持开放。通过证明一个给定的$n$-顶点图的所有非循环子图的个数不能在时间$exp(o(n))$中确定，除非#ETH失败，我们完成了Tutte多项式在#ETH下的二分法定理。我们加强的另一个二分法定理是Creamusu和Hermann [6]的二分法定理，用于计算布尔域上约束满足问题实例的满足分配的数量。我们证明了所有的#P-hard情况在#ETH下也是困难的。主要内容是证明了在具有$n$顶点的二部图中，除非#ETH失败，否则独立集的数目不能在时间$exp(o(n))$中计算。为了证明我们的结果，我们使用Curticapean [7]的块插值思想，并将其转化为可能不直接对应于插值的线性方程组。
2016-06-21 cs.CC
The Complexity of Approximating Bounded-Degree Boolean \sharp CSP
CSP实例的度是任何变量在约束范围中出现的最大次数。我们考虑了约束语言中包含两个一元常数关系{0}和{1}的有界度实例的布尔CSP的近似计数问题。当最大允许度足够大（至少6）时，我们得到了这个问题的复杂性的完整分类。如果约束语言中的每一个关系都是仿射的，则它在多项式时间内是精确可解的。如果每一个关系都可以表示为{0}、{1}和二元蕴涵的合取，则它等价于二部图中独立集的近似计数问题。否则，没有FPRAS，除非NP=RP。对于较低的度界，出现了其他情况，其中的复杂性与近似计数超图中的独立集的复杂性有关。
2011-09-16 cs.CC cs.DM
The Complexity of Weighted Boolean #CSP
本文给出了加权布尔约束满足问题实例的配分函数计算复杂性的一个二分法。该问题由非负函数的有限集合F参数化，该非负函数可以用于将权重分配给问题实例的配置（可行解）。经典的约束满足问题对应于0，1值函数的特殊情况。我们证明了配分函数，即所有配置的权重之和，可以在多项式时间内计算，如果（1）F中的每个函数都是"乘积型“，或（2）F中的每个函数都是"纯仿射”。对于每一个其他的固定集合F，计算配分函数是FP^{#P}-完全的。
2008-06-19 cs.CC math.CO
Approximating partition functions of bounded-degree Boolean counting Constraint Satisfaction Problems
研究了有限度下近似计数约束满足问题的复杂性.具体地说，给定一个布尔约束语言$Γ$和一个度界$Δ$，我们研究了#CSP $_Δ(Γ)$的复杂性，即计算满足$Γ$约束且其变量最多出现$Δ$次的CSP实例的赋值问题.我们的主要结果表明：（i）如果$Γ$中的每个函数都是仿射的，则#CSP $_Δ(Γ)$对于所有$Δ$都在FP中，（ii）否则，如果$Γ$中的每个函数都在称为IM $_2$的类中，则对于所有足够大的$Δ$，#CSP $_Δ(Γ)$在近似保持（AP）约简下等价于计数问题#BIS（二分图中独立集的计数问题）（iii）否则，对于所有足够大的$Δ$，即使在指数因子内，也是NP-困难的，以近似#CSP $_Δ(Γ)$的实例的满意分配的数目。我们的结果扩展了以前的结果，只适用于所谓的“保守”的情况。
2020-08-20 cs.CC cs.DS
Near Optimal Hardness of Approximating $k$-CSP
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本研究证明大字母表下$k$-CSP的近似求解具有近乎最优的NP难解性，改进了先前结果，核心创新是Grassmann图伪随机集超边计数引理。
2025-10-28 cs.CC
The complexity of Boolean surjective general-valued CSPs
值约束满足问题（VCSPs）是离散优化问题，其目标函数为固定值函数之和的$(\mathbb{Q}\cup\{\infty\})$值。在布尔满射VCSP中，变量采用来自$D=\{0,1\}$的标签，并且需要最优分配来使用来自$D$的两个标签。例子包括经典的全局最小割问题和编码理论中研究的最小距离问题。我们建立了一个二分法定理，从而给出了一个完整的布尔满射VCSP的精确可解性的复杂性分类。我们的工作推广的二分法的$\{0,\infty\}$值约束语言（对应满射决策CSP）得到的Creameru和Hébrard。对于$\mathbb{Q}_{\geq 0}$ -值满射VCSP的最大化问题，我们还建立了一个关于可逼近性的二分法。与布尔满射（决策）CSP的情况不同，出现了一种新的易处理的语言类，在非满射设置中是平凡的。这个新发现的易处理类有一个有趣的数学结构，与沮丧和沮丧有关。我们的主要贡献是识别这个类，并证明它位于易处理的边界上。我们的证明的一个关键部分是一个多项式时间算法枚举所有接近最优的解决方案的广义最小割问题，这可能是独立的利益。
2018-09-09 cs.CC cs.DM
The Complexity of Planar Boolean #CSP with Complex Weights
当输入的约束图必须是平面时，我们证明了对称复加权布尔CSP的复杂性二分法。在一般图上是P-困难的但在平面图上是易处理的问题正是那些具有全息还原到匹配门的问题。这推广了蔡，陆，夏定理的情况下，真正的重量。在平面Holant框架下，我们还得到了具有复权重的对称arity 4签名的二分法定理，我们使用它来证明我们的#CSP二分法。特别地，我们将平面图在点（3，3）处的Tutte多项式的计算问题归结为计算平面4-正则图上欧拉方向的个数，证明了平面4-正则图是P-困难的.这加强了黄和陆的一个定理的平面设置。我们的证明技术结合了新的想法与现有技术的改进和扩展。这些包括平面配对，递归一元结构，反小工具技术，并钉在阿达玛基础。
2013-08-06 cs.CC cs.DS
Gap theorems for robust satisfiability: Boolean CSPs and beyond
当两个不相交的实例集之间没有易处理的边界时，计算问题表现出“间隙性质”。我们建立了一个缺口三分定理的家庭的约束问题的变种，完全分类的复杂性可能的${\bf NP}$ -硬缺口的情况下，布尔域。因此，我们得到了一些二分法的约束满足问题的特定变体的复杂性：所有的多项式时间易处理或$\mathbf{NP}$完成。Schaefer最初对$\textsf{SAT}$变体的二分法是一个值得注意的特例。通用代数方法已中央最近的努力，在分类的复杂性约束满足问题。第二个贡献的文章是发展方面的代数方法的上下文中的一些变种的约束满足问题。特别是，这使我们能够将我们在布尔域上的结果提升到非布尔域上的许多模板。
2017-03-26 cs.CC math.CO math.LO
The Complexity of Weighted Boolean #CSP with Mixed Signs
对加权布尔约束满足问题的配分函数的计算问题给出了一个复杂性二分法。这样的问题是参数化的一组合理值的功能，推广的约束。每个函数为一组布尔变量的每次赋值都分配一个权重。我们的二分法扩展了以前的工作，其中的权重函数被限制为非负的。我们将权重函数表示为形式（-1）^s g的乘积，其中多项式s确定权重的符号，非负函数g确定其大小。我们表明，问题的计算分区函数（所有可能的变量分配的权重的总和）是在多项式时间，如果每个权重函数可以定义为一个“纯仿射”的幅度与二次符号多项式或每个功能可以定义的幅度的“产品类型”与线性符号多项式。在所有其他情况下，计算配分函数是FP^#P-完全的。
2009-06-03 cs.CC cs.DM
Algorithms and Certificates for Boolean CSP Refutation: "Smoothed is no harder than Random"
本文提出一种算法，强反驳所有布尔CSP的平滑实例，其运行时间与约束数量的权衡匹配随机情形，并利用超图偶覆盖解决了Feige 2008猜想，证明低于谱阈值时存在多项式大小反驳见证。
2023-09-03 cs.CC cs.DS
The complexity of conservative finite-valued CSPs
研究了有值约束满足问题（VCSP）的复杂性.一个问题，从VCSP的特点是一个\emph{constraint language}，一个固定的成本函数在有限域。问题的一个实例由语言中的成本函数之和指定，目标是最小化该和。我们考虑的情况下，所谓的\emph{conservative}语言，也就是说，语言包含所有的一元成本函数，从而允许任意限制域的变量。Bulatov [LICS'03]研究了$\{0,\infty\}$值语言（即CSP），Cohen~ \etal \（AIJ'06）研究了布尔域，Deineko等人（JACM'08）研究了$\{0,1\}$值代价函数（即Max-CSP），Takhanov（STACS'10）研究了包含所有有限值一元代价函数的$\{0,\infty\}$值语言（即Min-Cost-Hom）。我们给出了保守有限值语言的一个完全复杂性分类的初等证明：我们证明了每一个保守有限值语言要么是易处理的，要么是NP-难的。这是非布尔域上有限值VCSP的\emph{first}二分法结果。
2010-08-09 cs.CC
Boolean approximate counting CSPs with weak conservativity, and implications for ferromagnetic two-spin
本文分析了近似计数约束满足问题$\mathrm{\#CSP}(\mathcal{F})$的复杂性，其中$\mathcal{F}$是布尔变量的一组非负有理值函数.一个完整的分类是已知的保守的情况下，其中$\mathcal{F}$被假定为包含任意一元函数。我们通过固定任何允许的严格增加的一元函数和任何允许的严格减少的一元函数，并仅将它们添加到$\mathcal{F}$来加强这一结果：这是弱保守性。由此产生的分类是用来解释各种各样的双自旋问题的复杂性，完全分类的铁磁情况。为了进一步削弱保守性，我们还考虑了如果只假设钉扎函数在$\mathcal{F}$中（而不是两个允许的一元数）会发生什么。我们表明，任何一组功能的钉扎是不足以恢复两种许可的一元数必须有一个非常简单的范围，或必须满足一定的单调性条件。我们展示了一组函数满足单调性条件的非平凡的例子。
2019-12-15 cs.CC cs.DM
Optimal PSPACE-hardness of Approximating $q$-CSP Reconfiguration
National Institute of Informatics（信息学国立研究所）；CyberAgent, Inc.（CyberAgent公司）
本文证明了对任意q≥2和ε>0，Maxmin q-CSP重配置问题在因子1/(2^(q-1))+ε下近似是PSPACE-难的，且完美完备情形下其1/(2^(q-1))-ε因子近似属于NP，确立了该问题近似的最优PSPACE-难度。
2026-07-31 cs.CC cs.DM cs.DS
On the Approximability of Boolean Max-$k$-CSP
NYU（纽约大学）
针对布尔Max-$k$-CSP问题，本文提出多项式时间算法将近似比提升至$k/2^k$，并结合前人结果明确了其近似比的NP困难阈值，核心技术为推广的高斯比较不等式。
2026-08-07 cs.CC cs.DS
Approximating Rectangles by Juntas and Weakly-Exponential Lower Bounds for LP Relaxations of CSPs
我们表明，约束满足问题（CSP），次指数大小的线性规划松弛是强大的$n^{Ω(1)}$轮的Sherali-Adams线性规划层次。作为一个推论，我们获得了次指数大小的下界线性规划松弛击败随机猜测许多CSP，如MAX-CUT和MAX-3SAT。这是一个接近指数级的改进，以前的结果，它是唯一已知的大小为$n^{o(\log n)}$的线性程序不能击败任何CSP的随机猜测（Chan-Lee-Raghavendra-Steurer 2013）。我们的界限是通过利用和扩展最近的进展，通信复杂性的“提升”查询下界通信问题。在我们的结果的主要成分是一个新的结构结果“高熵矩形”，可能独立的兴趣在通信复杂性。
2017-12-30 cs.CC cs.DM cs.DS
Near-Optimal UGC-hardness of Approximating Max k-CSP_R
在本文中，我们证明了一个几乎最佳的硬度最大$k$ -CSP $_R$基于Khot的唯一游戏猜想（UGC）。在Max $k$ -CSP $_R$中，我们给出了一组谓词，每个谓词都依赖于$k$变量。每个变量都可以从$1, 2, \dots, R$中取任何值。我们的目标是找到一个分配给变量，最大限度地满足谓词的数量。假设唯一博弈猜想，我们表明，它是NP-困难的近似最大$k$-CSP $_R$内的因素$2^{O(k \log k)}(\log R)^{k/2}/R^{k - 1}$任何$k, R$。据我们所知，这一结果改善了所有已知的硬度近似结果时，$3 \leq k = o(\log R/\log \log R)$。在这种情况下，先前的最佳硬度结果是在Chan的系数$O(k/R^{k-2})$内近似的NP硬度。当$k = 2$时，我们的结果与Khot、Kindler、Mossel和O 'Donnell的最著名的UGC硬度结果相匹配。此外，通过扩展Kindler、Kolla和Trevisan提出的Max 2-CSP $_R$算法，我们提供了Max $k$-CSP $_R$的$Ω(\log R/R^{k - 1})$近似算法。该算法意味着我们的不可逼近性结果紧到$2^{O(k \log k)}(\log R)^{k/2 - 1}$的因子。相比之下，当$3 \leq k$为常数时，先前已知的间…
2015-11-20 cs.CC cs.DS
A Topological Version of Schaefer's Dichotomy Theorem
本文通过为布尔CSP解集赋予拓扑空间并引入投影泛性概念，证明Schaefer二分定理中的NP完全分类与拓扑复杂度分类完全对应，并将类似二分性推广到SAT变体与同伦泛性。
2023-07-07 cs.CC math.AT
The Role of Regularity in (Hyper-)Clique Detection and Implications for Optimizing Boolean CSPs
INSAIT, Sofia University “St. Kliment Ohridski”（索菲亚大学“圣克利门特·奥赫里德斯基”研究所）；Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究探讨了正则性在超图团检测中的影响，并证明了其在优化布尔约束满足问题中的复杂性，指出不同度数下问题的时间复杂度差异。
2025-05-22 cs.CC
The Complexity of Holant Problems over Boolean Domain with Non-negative Weights
Holant问题是研究计数问题计算复杂性的一般框架。证明了布尔域上具有非负权的Holant问题的复杂性二分法。它是第一个完整的Holant二分法，其中约束函数不一定是对称的。Holant问题实际上是读取两次的$\#$ CSP。直观地说，当限制为读取两次实例时，某些$\#$ CSP（$\#$ P-hard）变得易于处理。为了捕获它们，我们引入块秩一条件。事实证明，这种情况导致了明显的分离。如果函数集$\mathcal{F}$满足该条件，则$\mathcal{F}$是仿射型或乘积型。否则（a）$\mathrm{Holant}(\mathcal{F})$是$\#$ P-hard的;或者（b）$\mathcal{F}$中的每个函数都是元数至多为2的函数的张量积;或者（c）$\mathcal{F}$可通过某个实正交矩阵变换为乘积类型。全息变换在硬度证明和易加工性表征中起着重要的作用。
2017-02-18 cs.CC
Strongly refuting all semi-random Boolean CSPs
我们给出了一个有效的算法，强烈反驳所有布尔约束满足问题的\emph{semi-random}实例。我们的算法所需的约束的数量匹配（多对数因子）最知名的界限，有效反驳完全随机的情况。我们的主要技术贡献是一个算法，强烈反驳半随机的情况下，布尔$k$ -异或问题的$n$变量有$\widetilde{O}(n^{k/2})$约束。(In半随机$k$ -XOR实例，方程可以是任意的，并且只有右手边是随机的。）我们的关键见解之一是确定一个简单的随机XOR实例，使谱反驳工作的组合属性。我们的方法涉及到一个不满足此属性的实例（即，是\emph{not}伪随机的），并将其缩减为$2$ -XOR实例的分区集合。我们分析这些子实例使用精心选择的二次型作为代理，这反过来又是有界的谱方法和半定规划的组合。我们的谱界的分析只依赖于一个现成的矩阵伯恩斯坦不等式。即使对于纯随机的情况下，这导致一个较短的证明相比，在文献中，依赖于特定问题的迹矩计算。
2020-09-17 cs.CC cs.DS
From Holant To #CSP And Back: Dichotomy For Holant$^c$ Problems
我们探讨了复杂的相互依存的关系计数问题，考虑从三个框架，这样的问题：Holant问题，计数CSP和加权H-着色。我们考虑这些问题的一般复值函数，布尔输入。我们表明，从一个框架的结果可以用来推导结果在另一个，这发生在两个方向。全息约简发现了一个潜在的统一性，这只有在复域$\mathbb{C}$中研究这些计数问题时才能发现。我们证明了三个复杂性二分法定理，导致Holant $^c$问题的一般定理。这是Holant问题的自然类，其中可以分配常数0或1。更具体地说，给定对称函数集合${\mathscr F}$上的$G=(V,E)$上的任何签名网格，我们根据${\mathscr F}$将\[\sum_{σ: E \rightarrow \{0,1\}} \prod_{v\in V} f_v(σ\mid_{E(v)}),\]的复杂度完全分类为P或#P-hard，其中$f_v \in {\mathscr F} \cup \{{\bf 0}, {\bf 1}\}$（{\bf 0}，{\bf 1}是一元常数0，1函数）。全息还原不仅是主要的工具，而且最终的二分法只能用全息变换的语言自然地陈述。证明通过布尔复加权#CSP上的另一个二分法定理。
2010-04-06 cs.CC
Promise Constraint Satisfaction: Algebraic Structure and a Symmetric Boolean Dichotomy
Schaefer（1978）的一个经典结果将布尔域上的所有约束满足问题（CSP）分类为$\mathsf{P}$或$\mathsf{NP}$ -难问题。本文考虑了一个承诺问题的变种CSP称为PCSP。在约束对$Γ$的有限集合上的PCSP由具有相同变量集合的CSP对$(Ψ_P, Ψ_Q)$组成，使得对于每个$(P, Q) \in Γ$，当且仅当$Q(x_{i_1}, ..., x_{i_k})$是$Ψ_Q$的子句时，$P(x_{i_1}, ..., x_{i_k})$是$Ψ_P$的子句。承诺问题$\operatorname{PCSP}(Γ)$是在给定$(Ψ_P, Ψ_Q)$的情况下，区分$Ψ_P$可满足和$Ψ_Q$不可满足的情况。许多自然界的问题，包括近似图和超图着色，都可以放在这个框架中。本文的动机是追求理解布尔承诺CSP的计算复杂性。作为我们的主要结果，我们表明，$\operatorname{PCSP}(Γ)$表现出二分法（它是多项式时间可解或$\mathsf{NP}$硬）时，在$Γ$的关系是对称的，并允许否定的变量。我们通过扩展Austrin，Guruswami和Håstad [FOCS '14]的弱多态性框架来实现我们的二分法，该框架本身就是研究CSP的代数方法的推广。在我们的证明的算法和硬度部分，我们采用了新的想法和技术没有利用在CSP的情况下。此外，我们表明，任何承诺CSP…
2021-05-06 cs.CC cs.DM cs.LO
Dichotomies for \#CSP on graphs that forbid a clique as a minor
本文证明了在禁止完全图作为子式的子式封闭图类上布尔域复数取值 #CSP 问题的复杂性二分法，完整刻画了其复杂性，并首次发现顶点最大度数是否受限会影响特定图类上的复杂性。
2025-04-02 cs.CC
Strongly Refuting Random CSP without Literals
Bocconi University（博科尼大学）；Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田技术研究所）
研究提出随机CSP的反驳条件并非t-wise uniformity，而是t-wise independence，扩展了最优三重权衡，无需假设布尔域或随机字句。
2026-04-30 cs.CC
Beyond #CSP: A Dichotomy for Counting Weighted Eulerian Orientations with ARS
我们定义并探索了约束函数的唯一素分解的概念，并以此作为一个新的工具来证明计数加权欧拉方向问题的复杂性分类与箭头反转对称（ARS）。我们证明了所有这样的问题要么是多项式时间可计算的，要么是#P-hard的。我们证明了一类加权欧拉方向问题包含了布尔变量上的所有加权计数约束满足问题（#CSP）。更重要的是，我们建立了一个新的连接#CSP和计数加权欧拉方向问题，是全球性的。这种连接是基于$\mathbb{Z}_2$上所有半权仿射线性子空间的结构决定，这是使用莫比乌斯反演证明。
2020-06-02 cs.CC
Non-Redundancy of Low-Arity Symmetric Boolean CSPs
University of Michigan（密歇根大学）；Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田技术研究所）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
研究了对称布尔 CSPs 的非冗余性，分类了 arity 至多 5 的谓词的非冗余性渐进行为，通过计算实验和代数上界下界准则，解决了 arity 至多 4 的所有谓词和 arity 5 的大部分谓词。
2026-05-13 cs.CC cs.DS
Certifying solution geometry in random CSPs: counts, clusters and balance
随机约束满足问题（CSP）研究中的一个活跃话题是满足或几乎满足指派的空间的几何形状作为密度的函数，通过基于统计物理的几何学已经对该几何形状进行了精确的预测。与此同时，最近有一系列的工作反驳随机约束满足问题，通过钉反驳阈值谱和半定规划为基础的算法，也对计数解决方案CSP。受此启发，我们的工作的出发点是以下问题：什么是一个随机CSP的解决方案空间看起来像一个有效的算法？在追求这一调查，我们专注于以下问题的随机布尔CSP的密度，他们是不可满足的，但没有反驳算法是已知的。1.道理对于每一个布尔CSP，我们给出的算法，以高概率证明一个次指数上界的解决方案的数量。我们也给出了算法，以证明在高斯加权图的大割的数量上的界限，并在随机$d$ -正则图的大独立集的数量。2.集群对于布尔$3$ CSP，我们给出了算法，以高概率证明的解决方案的集群的数量上界。3.平衡我们还给出了算法，以高概率证明没有“不平衡”的解决方案，即，其中$+1$ s的分数显著偏离$50\%$的溶液。最后，我们还提供了硬度的证据表明，我们的算法计数是最佳的。
2021-06-24 cs.CC cs.DM cs.DS
Optimal Single-Pass Streaming Lower Bounds for Approximating CSPs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Toyota Technological Institute（丰田技术研究所）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
研究单次流下界，针对Max-CSPs的近似问题，提出线性空间下界，涵盖更广泛的问题类，并优化了之前的结果。
2026-04-09 cs.CC cs.DS
Linear Space Streaming Lower Bounds for Approximating CSPs
Flatiron Institute（平顿研究所）；Georgetown University（乔治城大学）；Harvard University（哈佛大学）；Google Research（谷歌研究院）；Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田技术研究所）
研究在流模型下近似约束满足问题的可行性，证明改进近似因子需线性空间，针对Max k-LIN mod q问题提出最优近似下界。
2026-04-02 cs.CC cs.DS
Satisfying assignments of Random Boolean CSP: Clusters and Overlaps
随机CSP的解的重叠分布是其解空间的整体几何的指示器。对于随机$k$ -SAT，统计物理学的非严格方法支持“一步复制对称破缺”方法的有效性。其中一些预测在\cite{cond-mat/0504070/prl} \cite{cond-mat/0506053}中得到了严格的证实。证明了随机$k$的重叠分布$k\geq 9$具有不连续支撑.此外，Achlioptas和Ricci-Tersenghi证明，对于随机$k$，$k\geq 8$。当约束密度足够接近相变点时，满足赋值的簇的个数为指数级，且不同簇中满足赋值之间的距离为线性.我们的目标是了解随机CSP的结构特性，导致解决方案聚类。为此，我们证明了两个结果的集群结构的解决方案的随机模型下，从Molloy（STOC 2002）1。对于所有约束集$S$（在Creamou和Daude（2004），Istrate（2005）中明确描述），$SAT(S)$具有一个尖锐的阈值，并且所有的$q\in (0,1]$、$q$ -重叠- $SAT(S)$都具有一个尖锐的阈值（即，Mora等人的方法的第一步在所有非平凡情况下都有效）。2.对于任何约束密度值$c<1$，2-SAT形式的随机实例w. h. p.，一个单一的集群。而且，对于和任何$q\in (0,1]$，这样的实例具有w. h. p.两个满足重叠分配的$\sim q$。因此，正如统计物理学预测所预…
2007-03-13 cond-mat.dis-nn cs.CC cs.DM
When Does Sparsity Help for k-Independent Set in Hypergraphs and Other Boolean CSPs?
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究稀疏性对超图k-独立集问题及布尔CSPs时间复杂性的影响，提出基于稀疏性的算法，并发现约束组合可能比单个约束更复杂。
2026-05-11 cs.CC
Approximating Constraint Satisfaction Problems on High-Dimensional Expanders
我们考虑的问题，近似解决约束满足问题的arity $k > 2$（$k$ -CSP）的情况下，满足一定的扩展属性，被视为超图。众所周知，$k$ -CSP的随机实例也是高度扩展的，难以使用已知的算法技术来近似（并且被广泛认为难以在多项式时间内近似）。然而，我们表明，这是不一定的情况下，超图是一个高维扩展。我们考虑了Dinur和Kaufman [FOCS 2017]用于构建与PCP相关的某些基元的高维扩展的谱定义。他们衡量的扩展方面的一个参数$γ$，这是模拟的第二奇异值扩展图。扩展Barak，Raghavendra和Steurer [FOCS 2011]对2-CSP的结果，我们表明，如果字母表$[q]$上的MAX k-CSP的实例是具有参数$γ$的高维扩展器，则可以使用平方和SDP层次的$q^{O(k)} \cdot (k/ε)^{O(1)}$水平来近似可满足约束的最大分数，直到添加性误差$ε$，提供$γ\leq ε^{O(1)} \cdot (1/(kq))^{O(k)}$。基于我们的分析，我们还提出了超图的阈值秩的概念，它可以用来扩展低阈值秩图上的2-CSP近似结果。我们表明，如果一个实例的最大k-CSP的阈值秩$r$为一个阈值$τ= (ε/k)^{O(1)} \cdot (1/q)^{O(k)}$，那么它是可能的近似解决的实例添加剂错误$ε$，使用$r \cdot q^{O(k)…
2019-07-18 cs.CC cs.DS
Sketching Approximability of (Weak) Monarchy Predicates
我们分析了布尔域上约束满足问题的草图逼近性，其中约束是应用于文字的平衡线性阈值函数。特别是，我们探讨了君主式函数的近似性，其中函数的值由第一个变量（总统）的投票和所有剩余变量的投票之和的加权组合决定。这个函数的纯版本是当总统只能被推翻时，所有剩余的变量都同意。对于每一个$k \geq 5$，我们表明，CSP的基础谓词是一个纯君主制函数的$k$变量没有非平凡的草图近似算法在$o(\sqrt{n})$空间。我们还展示了无穷多个较弱的君主制函数，其中CSP使用这样的约束是非平凡的近似$O(\log(n))$空间素描算法。此外，我们给出了第一个例子，素描近似非对称布尔CSP。我们的研究结果在Chou，Golovnev，Sudan和Velusamy（FOCS 2021）的框架内工作，该框架描述了所有CSP的草图近似性。他们的框架可以自然地应用于任何特定的约束满足问题的近似性的计算机辅助分析。我们的工作的新颖之处在于利用他们的工作来获得同时适用于无限多个问题的分析。
2022-07-15 cs.CC
Approximation for Maximum Surjective Constraint Satisfaction Problems
最大满射约束满足问题（Max-Sur-CSPs）是一种计算问题，其中给定一组表示有限域B中的值的变量和对变量的一组约束。这样的问题的解决方案是从变量集合到B的满射映射，使得满足的约束的数量最大化。我们研究的逼近性能，可以acccchieved这些问题的算法，主要是通过调查他们与Max-CSP（这是相应的问题，没有满射性要求）的关系。在Max-CSP（B）存在PO和APX-完备的复杂性二分法的假设下，我们给出了Max-Sur-CSP（B）在PTAS和APX-完备之间的复杂性二分法，这一点已经在布尔域和三元域上得到了证明.
2011-10-13 cs.CC
Approximating Boolean Functions with Disjunctive Normal Form
该定理指出：每个布尔函数都可以通过大小为$O_ε(2^{n}/\log{n})$的析取范式（DNF）成为$ε-approximated$。本文将通过展示这个定理是如何产生的并证明它的正确性来详细地论证这个定理。我们还将深入研究一些特定的布尔函数，并探索如何用大小在通用范围$O_ε(2^{n}/\log{n})$内的DNF来近似这些布尔函数。我们感兴趣的布尔函数是：奇偶校验函数：奇偶校验函数可以是$ε-approximated$，由宽度为$(1 - 2ε)n$、大小为$2^{(1 - 2ε)n}$的DNF表示。此外，我们将探索DNF的大小和宽度的下限。多数函数：对于每个常数$1/2 < ε< 1$，存在大小为$2^{O(\sqrt{n})}$的DNF，其可以$ε-approximated$在n位上执行多数函数。单调函数：每个单调函数f可以是$ε-approximated$，通过大小为$2^{n - Ωε(n)}$的DNF g，对于所有x，满足$g(x) \le f(x)$。
2020-05-12 cs.CC cs.LO
On sketching approximations for symmetric Boolean CSPs
本文针对对称布尔CSP的草图近似问题，给出了多类对称布尔函数近似比率的闭式表达式，并为所有阈值函数提出最优的基于偏差的近似算法，同时指出已有流式下界对3AND不完备。
2022-07-09 cs.CC cs.DS
Holographic Algorithms with Matchgates Capture Precisely Tractable Planar #CSP
Valiant引入了匹配门计算和全息算法。许多看似指数时间的问题，可以解决这个新的算法范式在多项式时间。我们表明，在一个非常强的意义上，匹配门计算和全息算法的基础上，他们提供了一个通用的方法，以广泛的一类统计物理学界研究了几十年的计数问题。它们精确地捕捉到那些在一般图上是P-困难的但在平面图上可以在多项式时间内计算的问题。更确切地说，我们证明了复杂性二分法定理的框架内计数CSP问题。局部约束函数采用布尔输入，并且可以是任意实值对称函数。我们证明了，这类问题中的每一个问题都恰好属于三类：（1）易于处理的问题（即，多项式时间可计算），或（2）在一般图上是P-难的但在平面图上是可计算的，或（3）甚至在平面图上也是P-难的.分类标准是明确的。此外，类（2）中的问题是可处理的平面图精确的全息算法与匹配门。
2010-08-04 cs.CC
Classification of Non-redundancy of Boolean Predicates of Arity 4
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Simons Institute for the Theory of Computing（西蒙斯计算理论研究所）；Harvard University（哈佛大学）
本文对四元布尔谓词的非冗余性进行了近完全分类，通过算法识别了397个谓词，剩余三个中两个通过极值组合学问题解决，最后一个仍为开放问题，发现首个非多项式非冗余渐进行为。
2026-03-22 cs.CC math.CO
Approximating 1-in-3 SAT by linearly ordered hypergraph 3-colouring is NP-hard
针对民间猜想中阻碍进展的线性有序3一致超图3着色对应谓词，证明其问题为NP难，为Promise CSP分类提供依据，且该问题是首个同时体现两种拓扑组合学使用特征的例子。
2025-08-20 cs.CC
Hardness of Approximating Bounded-Degree Max 2-CSP and Independent Set on k-Claw-Free Graphs
本文研究了有界度 Max 2-CSP 和 k-claw-free 图上 Maximum Independent Set 的近似难度，在 UGC 假设和随机化归约下证明了多项式时间内的近似下界。
2023-09-08 cs.CC cs.DS
