Sketching approximability of all finite CSPs
本文研究所有有限约束满足问题在草图算法下的近似性，给出二分结果：要么存在多对数空间的线性草图算法，要么任何草图算法都需要 $\Omega(\sqrt{n})$ 空间，并为无穷多CSP构造了非平凡近似算法。
2024-02-25 cs.CC
On the Approximability of Boolean Max-$k$-CSP
NYU（纽约大学）
针对布尔Max-$k$-CSP问题，本文提出多项式时间算法将近似比提升至$k/2^k$，并结合前人结果明确了其近似比的NP困难阈值，核心技术为推广的高斯比较不等式。
2026-08-07 cs.CC cs.DS
Min CSP on Four Elements: Moving Beyond Submodularity
我们报告的价值约束满足问题（VCSP）的复杂性的新结果。在唯一对策猜想下，有限值VCSP的可逼近性已经得到了很好的理解。然而，目前还没有一个可以在多项式时间内精确求解的VCSP特性。这是不令人满意的，因为这样的结果是有趣的组合优化的角度来看，有深刻的联系，例如，submodular和bisubmodular最小化。我们考虑最小和最大CSP问题（即成本函数仅在{0，1}中获得值）在四元素域上，并确定所有易处理的片段。类似的分类以前已知的两个和三个元素域。在这个过程中，我们引入了一类新的听话的VCSPs的基础上推广的子模块。我们还扩展和修改了Kolmogorov和Zivny（最初由Takhanov介绍）的基于图形的技术，以有效地获得硬度结果。这使我们能够证明结果，而无需依赖计算机辅助的案例分析（在研究VCSP的复杂性和可近似性时，这是相当常见的）。通过引入强大的还原技术，硬度结果进一步简化。
2011-04-28 cs.CC
On the Approximability of Presidential Type Predicates
给定谓词$P: \{-1, 1\}^k \to \{-1, 1\}$，设$CSP(P)$是约束满足问题的集合，其约束具有$P$的形式。我们说$P$是可近似的，如果给定$CSP(P)$的一个几乎可满足的实例，存在一个比随机分配更好的概率多项式时间算法。否则，我们说$P$是近似抵抗的。在本文中，我们分析了总统类型谓词，这是平衡的线性阈值函数，除了第一个变量（总统）的所有变量具有相同的权重。我们证明了几乎所有的总统型谓词$P$都是可近似的。更精确地说，我们证明了以下结果：对于任何$δ_0 > 0$，存在一个$k_0$，使得如果$k \geq k_0$，$δ\in (δ_0,1 - 2/k]$和$δk + k - 1$是一个奇数，那么总统类型谓词$P(x) = sign(δk{x_1} + \sum_{i=2}^{k}{x_i})$是可逼近的。为了证明这一点，我们构建了一个舍入方案，利用偏差和成对偏差。我们还提供证据表明，使用成对偏差是必要的，这样的舍入方案。
2020-04-24 cs.CC
Combinatorial Optimization Algorithms via Polymorphisms
约束满足问题的复杂性的一个优雅的表征已经出现在[BKJ 00]的代数二分法猜想的形式。粗略地说，该特征断言CSP Λ是易处理的，当且仅当存在某些称为多态性的非平凡操作来组合Λ的解以创建新的解。在一个完全独立的工作线，独特的游戏猜想产生的Max-CSP的逼近性的表征。令人惊讶的是，Max-CSP的这种表征也可以用多态性的语言重新表述。在这项工作中，我们研究是否存在非平凡的多态性意味着超出领域的约束满足问题，即在值预言模型的易处理性。具体地说，给定一个值预言模型中的函数f，以及一个永远不会增加f值的适当操作，我们设计算法来最小化f。特别是，我们设计了一个随机算法，以尽量减少一个函数f，承认一个分数多态性，这是措施保持和具有传递对称。我们还重新解释已知的结果MaxCSP，从而重新制定的独特的游戏猜想的近似性的最大-CSP的近似多态性的表征。
2015-01-07 cs.CC
Linear Space Streaming Lower Bounds for Approximating CSPs
Flatiron Institute（平顿研究所）；Georgetown University（乔治城大学）；Harvard University（哈佛大学）；Google Research（谷歌研究院）；Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田技术研究所）
研究在流模型下近似约束满足问题的可行性，证明改进近似因子需线性空间，针对Max k-LIN mod q问题提出最优近似下界。
2026-04-02 cs.CC cs.DS
Approximability Distance in the Space of H-Colourability Problems
图同态是一个顶点映射，它将源图中的边带到目标图中的边。研究了加权最大H-可积子图问题（MAX H-COL）的可逼近性。这个问题的例子是边权图G，目标是找到G的一个具有最大总边权的子图，条件是该子图与H有同态;注意，对于H=K_k，这个问题等价于MAX k-CUT。为此，我们引入了一个度量结构的图形空间，使我们能够扩展以前已知的逼近结果更大的类图。具体地说，近似算法的最大切割由Goemans和Williamson和最大k-CUT由Frieze和Jerrum可以用来产生非平凡的近似结果的最大H-COL。对于各种图，我们显示了近最优性的结果下的唯一游戏猜想。我们还使用我们的方法比较Frieze & Jerrum的算法与Hastad的近似算法的性能一般MAX 2-CSP。这种比较在大多数情况下有利于Frieze & Jerrum。
2008-02-04 cs.CC
Approximation algorithms for noncommutative CSPs
本文研究非交换约束满足问题的可近似性，针对 NC-Max-$3$-Cut 提出 0.864 近似算法，并引入近似等距、相对分布和 *-反对易三个新概念，方法可推广至更广泛的经典与非交换 CSP。
2024-09-28 cs.CC quant-ph
Approximability of Bounded Occurrence Max Ones
我们研究了当变量的出现次数是有界的常数时，最大值的可逼近性。对于保守约束语言（即，当包含一元关系时），当出现次数为3或更多时，我们给出完全分类，当界为2时，我们给出部分分类。对于非保守的情况下，我们证明了它是平凡的或等价于相应的保守问题下多项式时间的多1减少。
2006-06-13 cs.CC
Tight approximability of MAX 2-SAT and relatives, under UGC
本文证明了LLZ算法在MAX 2-SAT上的近似比仅依赖UGC即最优，并为两个受限版本给出紧近似比，完整刻画了MAX 2-SAT及其受限问题的近似性。
2023-11-01 cs.CC cs.DS
On the approximability of robust spanning tree problems
本文讨论了边费用不确定的最小生成树问题。为了模拟的不确定性，一个离散的场景集指定和一个强大的框架，采用选择一个解决方案。讨论了最小-最大、最小-最大后悔和两阶段最小-最大问题。所有这些问题的复杂性和可逼近性进行了探讨。证明了对于任何$ε>0$，具有非负边代价的min-max和min-max后悔方案都很难在$O(\log^{1-ε} n)$内逼近，除非NP问题具有拟多项式时间算法.类似地，2阶段最小-最大问题不能在$O(\log n)$内近似，除非NP中的问题具有准多项式时间算法。本文还提出了求解min-max和两阶段min-max问题的性能比为$O(\log^2 n)$的随机LP基近似算法。
2010-04-16 cs.CC
ETH-Hardness of Approximating 2-CSPs and Directed Steiner Network
我们研究二元约束满足问题（2-CSP），它可以表述如下：给定一个约束图$G=(V,E)$，一个字母集$Σ$，对于每个$\{u, v\}\in E$，一个约束$C_{uv} \subseteq Σ\timesΣ$，目标是找到一个满足尽可能多约束的分配$σ: V \to Σ$，如果$(σ(u),σ(v))\in C_{uv}$满足约束$C_{uv}$.虽然当$|Σ|$为常数时，2-CSP的可逼近性已得到很好的理解，但当$|Σ|$变为超常数时，许多问题仍有待解决。一个这样的问题是是否难以将2-CSP近似到$|Σ| |V|$的多项式因子内。Bellare等人（1993）认为，这个问题的答案可能是肯定的。唉，尽管努力解决这个猜想，它仍然开放到今天。在这项工作中，我们分开的$|V|$和$|Σ|$，并提出一个相关的，但较弱的问题：它很难近似2-CSP内的$|V|$的多项式因子（而$|Σ|$可能是超多项式的$|V|$）？假设指数时间假设（ETH），我们肯定地回答这个问题，表明没有多项式时间算法可以近似2-CSP到$|V|^{1 - o(1)}$的一个因素。请注意，我们的比率几乎是线性的，这几乎是最佳的，因为平凡算法给出了2-CSP的$|V|$近似。由于一个已知的减少，我们的结果意味着一个ETH-硬度近似有向斯坦纳网络的比例$k^{1/4 - o(1)}$，其中$k$是需求对的数量。该比率大致是通过…
2018-05-10 cs.CC
Approximability of Integer Programming with Generalised Constraints
我们研究了一个家庭的问题，称为\prob{Maximum Solution}，其中的目标是最大限度地提高一个线性目标函数的可行整数分配给一组变量的一组约束。当域是布尔的（即限制为$\{0,1\}$）时，最大解问题与充分研究的\prob{Max Ones}问题相同，并且对于对潜在约束的所有限制，完全理解可近似性[Khanna等人，SIAM J. COMPUT.，30（2001），pp. 1863-1920年]。我们继续这条研究路线，考虑域包含两个以上的元素。我们提出了两个主要结果：对基数不大于4的域上的所有极大约束语言的可逼近性进行了完全分类，并对当允许约束集包含所有置换约束时的问题的可逼近性进行了完全分类。在Szczepara猜想成立的假设下，我们给出了所有最大约束语言的完整分类。这类语言在泛代数和计算机科学中得到了很好的研究;例如，它们被认为与机器学习和约束满足有关。我们的结果证明了使用代数结果克隆理论和结果表明，这种方法是非常强大的分类某些优化问题的逼近。
2008-01-11 cs.CC
On the Usefulness of Predicates
由于Max-CSP的强不可逼近性结果的普遍性，我们引入了Max-CSP近似解的一个放松的概念。在这个宽松的版本中，不严格地说，允许算法用一些其他的（可能是实值的）约束来替换实例的约束，然后只需要满足尽可能多的新约束。为了更准确地说，我们引入了以下概念，即谓词$P$是（实值）目标$Q$的\emph{useful}：给定几乎可满足的Max- $P$实例，存在一种算法，该算法击败了应用于相同文字集的相应Max- $Q$实例上的随机分配。具有谓词$P$的Max-CSP的非平凡近似算法的标准概念与说$P$对$P$本身有用完全相同。如果$P$对任何$Q$都没有用，我们就说它是无用的。这证明等价于以下伪随机性性质：给定Max- $P$的几乎可满足的实例，很难找到这样的分配，使得由该实例定义的$k$ -位串上的诱导分布本质上不是均匀的。在唯一博弈猜想下，我们给出了由谓词定义的有用Max-CSP的一个完整而简单的刻画：这样的Max-CSP是无用的当且仅当谓词的满意赋值上支持一个两两独立的分布.很自然地，我们也会考虑CSP实例中不允许否定的情况，并且我们也会在那里得到类似的完整特征（在UGC下）。最后，我们还包括一些结果和例子脱落额外的光某些Max-CSP的近似性。
2012-04-25 cs.CC
On the approximability of the Maximum Agreement SubTree and Maximum Compatible Tree problems
这篇论文已经被相应的作者撤回，因为最新版本现在发表在离散应用数学上。
2010-09-01 cs.CC cs.DM
(In)approximability of Maximum Minimal FVS
研究了NP完全\textsc{Maximum Minimal Feedback Vertex Set}问题的可逼近性。非正式地说，这个自然问题似乎位于两个更好研究的这类问题之间的中间空间：\textsc{Maximum Minimal Vertex Cover}，其中最佳可实现的近似比是$\sqrt{n}$，以及\textsc{Upper Dominating Set}，其中不允许任何$n^{1-ε}$近似。我们确认和量化这种直觉，显示了第一个非平凡的多项式时间近似\textsc{Max Min FVS}的比例为$O(n^{2/3})$，以及匹配的硬度近似界的$n^{2/3-ε}$，提高了以前已知的硬度$n^{1/2-ε}$。近似算法也给出了一个三次内核时，参数化的解决方案的大小。一路上，我们还获得了$O(Δ)$ -近似，并表明这是渐近最好的可能，我们提高了该问题是NP-难从$Δ\ge 9$到$Δ\ge 6$的界限。在解决了多项式时间内问题的可逼近性之后，我们转向超多项式时间的上下文中.我们设计了一个概括我们的近似算法，对于任何所需的近似比$r$，产生一个$r$ -近似的解决方案，在时间$n^{O(n/r^{3/2})}$。这种时间近似的权衡是本质上紧：我们表明，在ETH下，对于任何比例$r$和$ε>0$，没有算法可以$r$ -近似这个问题的时间$n^{O((n/r^{3/2})^…
2021-02-10 cs.CC
Hard constraint satisfaction problems have hard gaps at location 1
Max CSP的实例是一组变量上的有限约束集合，目标是为变量赋值，使满足的约束数量最大化。Max CSP捕获了许多众所周知的问题（例如Max k-SAT和Max Cut），因此是NP难的。因此，研究对允许的约束类型（或约束语言）的限制如何影响Max CSP的复杂性和可逼近性是很自然的。PCP定理等价于存在一种约束语言，对于这种语言，Max CSP在位置1处有一个硬间隙，即区分可满足的实例和至多有一个常数部分约束可满足的实例是NP困难的。所有的约束语言，其中CSP问题（即，决定是否可以满足所有约束的问题）目前已知是NP-难的，具有一定的代数性质。我们证明，任何约束语言与此代数属性使最大CSP有一个硬间隙在位置1，特别是，这意味着这样的问题不能有一个PTAS，除非P = NP。然后，我们将此结果应用于限制为单个约束类型的最大CSP;这类问题包含，例如，最大切割和最大DiCut。假设P $\neq$ NP，我们表明，这样的问题不承认PTAS除了在一些平凡的情况下。即使每个变量的出现次数由一个常数限定，我们的结果也成立。我们使用这些结果来部分回答开放性问题，并加强Engebretsen等人的结果。Comput.科学，312（2004），pp. 17- 45]，Feder等人[离散数学，307（2007），pp. 386- 392]，Krokhin和Larose [Proc. Princip…
2007-12-10 cs.CC
Algebraic approach to promise constraint satisfaction
约束满足问题（CSP）的复杂性和可逼近性在过去的20年中得到了广泛的研究。一个新版本的CSP，承诺CSP（PCSP）最近被提出，动机的可满足性和图形着色的变体的近似性的开放问题。PCSP大大扩展了标准决策CSP。有限域上的固定约束语言的CSP的复杂性最近被完全分类，极大地指导了代数方法，它使用多态性-高维对称性的解决方案空间-分析问题的复杂性。PCSP的相应分类是广泛开放的，包括一些长期存在的开放问题，如近似图着色的复杂性，作为特例。PCSP的基本代数方法是由Brakensiek和Guruswami发起的，在本文中，我们显着扩展它，并将其从多态性的具体属性提升到其抽象属性。我们引入了一类新的问题，可以被视为代数版本的（间隙）标签覆盖问题，并表明，每一个PCSP与固定的约束语言是等价的，这种形式的问题。这使我们能够确定一个“对称性的措施”，这是非常适合于比较和相关的复杂性，不同的PCSP通过代数方法。我们证明了我们的理论可以应用于改善国家的最先进的近似图着色：我们表明，对于任何$k\geq 3$，这是NP-很难找到一个$(2k-1)$ -着色的一个给定的$k$ -coloured图。
2019-06-21 cs.CC cs.LO math.LO
Global Cardinality Constraints Make Approximating Some Max-2-CSPs Harder
在唯一博弈猜想的假设下，我们证明了现有的一些具有基数约束的布尔Max-2-CSP的近似算法是最优的。特别是，我们证明了基数约束的最大切割是UG-难以近似在\approx 0.858内，和基数约束的最大-2-SAT是UG-难以近似在\approx 0.929内。在这两种情况下，之前的最佳硬度结果与相应的无约束Max-2-CSP的硬度相同（Max-Cut的\approx 0.878，Max-2-Sat的\approx 0.940）。对于Max-2-Sat获得的硬度适用于单调Max-2-Sat实例，这意味着我们也获得了Max-k-Vertex-Cover问题的紧密不可逼近性。
2019-09-18 cs.CC
The complexity of counting locally maximal satisfying assignments of Boolean CSPs
研究了布尔域{0，1}上约束满足问题（CSP）的最大满足指派计数问题的计算复杂性.一个令人满意的分配是极大的，如果从它得到的任何新的分配是不令人满意的，通过改变0到1。对于每个约束语言Gamma，#MaximalCSP（Gamma）表示计算最大满意分配的问题，给定一个带有Gamma约束的输入CSP。对于最大满意指派的精确计数问题，我们给出了一个复杂性二分法;对于最大满意指派的近似计数问题，我们给出了一个复杂性二分法。相对于问题#CSP（Gamma），这是计算所有满意分配的问题，最大版本有时可能更容易，但从来没有更难。这一发现与最近的发现，大约计数最大独立集的二分图是困难的（在通常的复杂性理论的假设下）比计数所有独立集。
2016-04-06 cs.CC
The complexity of Boolean surjective general-valued CSPs
值约束满足问题（VCSPs）是离散优化问题，其目标函数为固定值函数之和的$(\mathbb{Q}\cup\{\infty\})$值。在布尔满射VCSP中，变量采用来自$D=\{0,1\}$的标签，并且需要最优分配来使用来自$D$的两个标签。例子包括经典的全局最小割问题和编码理论中研究的最小距离问题。我们建立了一个二分法定理，从而给出了一个完整的布尔满射VCSP的精确可解性的复杂性分类。我们的工作推广的二分法的$\{0,\infty\}$值约束语言（对应满射决策CSP）得到的Creameru和Hébrard。对于$\mathbb{Q}_{\geq 0}$ -值满射VCSP的最大化问题，我们还建立了一个关于可逼近性的二分法。与布尔满射（决策）CSP的情况不同，出现了一种新的易处理的语言类，在非满射设置中是平凡的。这个新发现的易处理类有一个有趣的数学结构，与沮丧和沮丧有关。我们的主要贡献是识别这个类，并证明它位于易处理的边界上。我们的证明的一个关键部分是一个多项式时间算法枚举所有接近最优的解决方案的广义最小割问题，这可能是独立的利益。
2018-09-09 cs.CC cs.DM
Approximation for Maximum Surjective Constraint Satisfaction Problems
最大满射约束满足问题（Max-Sur-CSPs）是一种计算问题，其中给定一组表示有限域B中的值的变量和对变量的一组约束。这样的问题的解决方案是从变量集合到B的满射映射，使得满足的约束的数量最大化。我们研究的逼近性能，可以acccchieved这些问题的算法，主要是通过调查他们与Max-CSP（这是相应的问题，没有满射性要求）的关系。在Max-CSP（B）存在PO和APX-完备的复杂性二分法的假设下，我们给出了Max-Sur-CSP（B）在PTAS和APX-完备之间的复杂性二分法，这一点已经在布尔域和三元域上得到了证明.
2011-10-13 cs.CC
On the Constant-Factor Approximability of Minimum Cost Constraint Satisfaction Problems
通过代数视角研究最小代价约束满足问题，证明了具有对偶判别操作多态的约束语言存在常数近似算法，并在假设下揭示了近一致多态对于常数因子近似的必要性，确立了近似性二分法。
2025-07-11 cs.CC cs.DM cs.DS
Parameterized Complexity of CSP for Infinite Constraint Languages
研究了无限约束语言的参数化约束满足问题。我们研究的参数是令人满意的分配的权重，约束的数量，实例中变量的最大出现次数，以及每个约束中变量的最大出现次数。一个二分法定理是已知的有限约束语言的重量参数。我们证明了一些一般性定理，作为新的结果，一些著名的问题是固定参数易处理的，而另一些问题是在W[1]中。
2017-08-09 cs.CC
Robust algorithms with polynomial loss for near-unanimity CSPs
约束满足问题（CSP）的一个例子是由一个家庭的约束重叠的变量集，目标是从一个固定的域的变量，使所有的约束都得到满足的值。在优化版本中，目标是最大化满足的约束的数量。CSP的近似算法被称为鲁棒的，如果它输出满足任何$(1-\varepsilon)$-可满足实例上的约束的$(1-g(\varepsilon))$分数的分配，其中损失函数$g$使得$g(\varepsilon)\rightarrow 0$为$\varepsilon\rightarrow 0$。我们研究了CSP的鲁棒逼近性如何依赖于实例中允许的约束关系集，即所谓的约束语言。Barto和Kozik已经描述了所有允许鲁棒多项式时间算法（带有一些$g$）的约束语言，其中损失$g$的一般界是双指数的，特别是$g(\varepsilon)=O((\log\log(1/\varepsilon))/\log(1/\varepsilon))$。人们自然会问，什么时候可以实现更好的损失：特别是对于某个常数$k$的多项式损失$g(\varepsilon)=O(\varepsilon^{1/k})$。在本文中，我们认为CSP的约束语言具有近多态性。我们给出了两个具有多项式损失的随机鲁棒算法：一个适用于任何近似多态性，损失中的参数$k$依赖于域的大小和$Γ$中关系的arity，而另一个适用于一种特殊的三元近似操作，称为dual parallel，其…
2018-12-04 cs.CC cs.DS cs.LO
The Power of Linear Programming for Valued CSPs
一类有值约束满足问题（VCSPs）的特征在于一个有值约束语言，一个有限域上的固定的成本函数集。问题的一个实例由语言中的成本函数之和指定，目标是使总和最小化。该框架包括并推广了研究充分的约束满足问题（CSP）和最大约束满足问题（Max-CSP）。我们的主要结果是一个精确的代数特征值约束语言的实例可以解决的基本线性规划松弛。利用这个结果，我们得到了几个新的和以前广泛开放的VCSP类的易处理性，包括值约束语言的问题：（1）任意格上的子模;（2）任意有限域上的双子模（也称为k-子模）;（3）任意树上的弱（因此是强）树-子模。
2012-04-16 cs.CC
The Complexity of Approximating Bounded-Degree Boolean #CSP (Extended Abstract)
CSP实例的度是变量可能出现在约束范围中的最大次数。考虑了约束语言中包含两个一元常数关系{0}和{1}的有界度布尔CSP的近似计数问题。当最大度至少为25时，我们得到了这个问题复杂性的完整分类。如果约束语言中的每一个关系都是仿射的，则它在多项式时间内是精确可解的。如果每一个关系都可以表示为{0}、{1}和二元蕴涵的合取，则它等价于二部图中独立集的近似计数问题。否则，没有FPRAS，除非NP=RP。对于较低的度界限，出现额外的情况下，其中的复杂性是有关的复杂性，近似计数的超图中的独立集。
2010-02-03 cs.CC
Optimal polynomial-time compression for Boolean Max CSP
在布尔最大约束满足问题- Max CSP $(Γ)$ -中，给定来自有限约束语言$Γ$的约束的加权应用的集合，在公共变量集上，并且目标是将布尔值分配给变量，使得满足的约束的总权重最大化。有一个优雅的二分法定理提供了一个标准$Γ$的问题是多项式时间可解的，并指出，否则它成为NP难。我们研究NP硬情况下，通过内核化的镜头，并提供了一个完整的表征最大CSP $(Γ)$的最佳压缩大小。也就是说，我们证明了最大CSP $(Γ)$参数化的变量$n$的数量是多项式时间可解的，或者存在一个整数$d \ge 2$依赖于$Γ$，使得1。\textsc{Max CSP$(Γ)$}的实例可以在多项式时间内压缩为具有$O(n^d\log n)$位的等效实例，2. Max CSP $(Γ)$不允许对$O(n^{d-ε})$位进行此类压缩，除非$\text{NP} \subseteq \text{co-NP} / \text{poly}$。我们的减少是基于解释约束多线性多项式结合框架的约束实现。作为我们的减少的另一个应用程序，我们揭示了解决最大CSP $(Γ)$的最佳运行时间之间的紧密联系。更确切地说，我们表明，获得的运行时间的形式$O(2^{(1-ε)n})$的特定类别的最大CSP是一样难突破这一障碍的最大$d$ -SAT的一些$d$。
2020-02-09 cs.CC cs.DS
On Approximability of Block Sorting
块排序是一个很好的研究问题，其动机是在光学字符识别（OCR）和计算生物学的应用。块排序已被证明是NP困难的，并且已针对该问题设计了两个独立的多项式时间2-近似算法。但是，像是否可以设计出更好的近似算法，以及这个问题是否是APX困难的问题已经有相当长的一段时间了。在这项工作中，我们回答了后一个问题，证明块排序是最大SNP硬（APX-Hard）。APX硬度结果基于Max-3SAT到块排序的线性约简。我们还通过一个新的参数化问题k-Block Merging为问题提供了一个新的下界。
2011-10-05 cs.CC cs.DS
On the Approximability of Train Routing and the Min-Max Disjoint Paths Problem
本文研究列车路径规划中最小化完工时间的问题，证明最优解具有车队结构，并将其可近似性归约到最小-最大不相交路径问题，进而给出串并联图上的对数近似算法。
2025-07-04 cs.CC cs.DS
It's Not Easy Being Three: The Approximability of Three-Dimensional Stable Matching Problems
1976年，Knuth提出了稳定婚姻问题（SMP）是否可以推广到由3个性别组成的婚姻。在1988年，Alkan指出，SMP对3种性别的自然推广（$3$ GSM）不需要承认稳定的婚姻。三年后，Ng和Hirschberg证明了确定给定的偏好是否允许稳定的婚姻是NP完全的。进一步证明了$3$ person stable assignment（$3$ PSA）问题的类似结果。根据Ng和Hirschberg关于$3$ GSM和$3$ PSA的NP-困难结果，我们开始了这些问题的近似形式的研究.特别是，我们描述了两个优化变体的$3$ GSM和$3$ PSA：最大稳定婚姻/匹配（MSM）和最大稳定子婚姻/子匹配（MSS）。我们表明，这两种变体是NP-难近似在一些固定的常数因子。相反，我们描述了一个简单的多项式时间算法，计算常数因子近似的最大稳定的婚姻和匹配问题。因此，MSM的两种变体都是APX完全的。
2014-12-02 cs.CC cs.DS
Fixed Parameter Complexity and Approximability of Norm Maximization
在$\R^d$中的半空间表示多面体上极大化$p$范数的$p$次幂问题是一个凸极大化问题，它在计算凸性中起着重要作用. 1986年已经证明，如果周围空间的维数$d$是输入的一部分，则这个问题对于所有值$p \in \mathbb{N}$都是$\NP$ -hard。本文利用参数化复杂性理论分析了范数最大化的难度对参数$d$的依赖程度。更准确地说，我们表明，$p=1$的问题是固定参数易处理的，但所有$p \in \mathbb{N} \setminus \{1\}$范数最大化是W[1]-硬。关于范数最大化的近似算法，我们表明，对于固定的精度，有一个简单的近似算法的范数最大化FPT运行时间，但没有FPT近似算法，其运行时间多项式依赖于精度。与范数最大化的$\NP$ -硬度一样，W[1]-硬度立即延续到计算凸性中的各种半径计算任务。
2013-07-24 cs.CC cs.CG math.MG
Hardness of Graph Pricing through Generalized Max-Dicut
图定价问题是基本问题之一，其近似性还没有得到很好的理解。虽然有一个简单的组合1/4-近似算法，最好的硬度结果保持在1/2假设唯一游戏猜想（UGC）。我们表明，它是NP-难的近似在一个因素优于1/4下的UGC，使简单的组合算法可能是最好的。证明了对任意$ε> 0$，存在$δ> 0$使得图定价的Sherali-Adams线性规划族的$n^δ$ -轮的完整性缺口至多为1/2 + $ε$ .这项工作的基础上，努力查看图定价问题作为一个约束满足问题（CSP）比标准和复杂的制定简单。我们提出的问题称为广义最大双割（$T$），它有一个域大小$T + 1$为每个$T \geq 1$。广义Max-Dicut（1）是著名的Max-Dicut。有向无环图（DAG）上的广义最大二割到图定价有一个近似保持约简，我们的两个结果都是通过这种约简实现的。除了它与图定价的联系之外，广义最大双割的硬度本身也很有趣，因为在文献中研究的大多数arity 2 CSP中，基于SDP的算法比基于LP的算法或组合算法表现得更好-对于这种arity 2 CSP，一个简单的组合算法做得最好。
2014-11-05 cs.CC cs.DS
Near-Optimal UGC-hardness of Approximating Max k-CSP_R
在本文中，我们证明了一个几乎最佳的硬度最大$k$ -CSP $_R$基于Khot的唯一游戏猜想（UGC）。在Max $k$ -CSP $_R$中，我们给出了一组谓词，每个谓词都依赖于$k$变量。每个变量都可以从$1, 2, \dots, R$中取任何值。我们的目标是找到一个分配给变量，最大限度地满足谓词的数量。假设唯一博弈猜想，我们表明，它是NP-困难的近似最大$k$-CSP $_R$内的因素$2^{O(k \log k)}(\log R)^{k/2}/R^{k - 1}$任何$k, R$。据我们所知，这一结果改善了所有已知的硬度近似结果时，$3 \leq k = o(\log R/\log \log R)$。在这种情况下，先前的最佳硬度结果是在Chan的系数$O(k/R^{k-2})$内近似的NP硬度。当$k = 2$时，我们的结果与Khot、Kindler、Mossel和O 'Donnell的最著名的UGC硬度结果相匹配。此外，通过扩展Kindler、Kolla和Trevisan提出的Max 2-CSP $_R$算法，我们提供了Max $k$-CSP $_R$的$Ω(\log R/R^{k - 1})$近似算法。该算法意味着我们的不可逼近性结果紧到$2^{O(k \log k)}(\log R)^{k/2 - 1}$的因子。相比之下，当$3 \leq k$为常数时，先前已知的间…
2015-11-20 cs.CC cs.DS
Smoothed complexity of local Max-Cut and binary Max-CSP
我们表明，平滑的复杂性的FLIP算法的局部最大切割是最多$\smash{ϕn^{O(\sqrt{\log n})}}$，其中$n$是在图中的节点数和$ϕ$是一个参数，测量施加在其边缘权重的扰动的大小。这改进了Etscheid和Röglin的$ϕn^{O(\log n)}$的先前最佳上界。我们的结果是基于对长翻转序列的分析，这表明，对于长序列中的每个翻转，不太可能在切割重量上产生积极但微小的改善。我们还扩展了相同的上界平滑的FLIP的复杂性，所有的二元最大约束满足问题。
2019-11-23 cs.CC cs.DS
On the Approximability of Comparing Genomes with Duplicates
比较基因组学中的一个中心问题在于计算两个基因组之间的（不）相似性度量，例如为了构建同源性。所有现有的措施都是在基因组上定义的，没有重复。然而，我们知道基因可以在同一个基因组中复制。克服这一困难的一种可能的方法是在两个基因组的基因之间建立一对一的对应关系（即匹配），其中选择对应关系以优化所研究的测量。在本文中，我们感兴趣的三个措施（断点的数量，数量的共同区间和数量的保守区间）和三个模型的匹配（范例，中间和最大匹配模型）。我们证明，对于每个模型和每个措施M，计算两个基因组之间的匹配，优化M是APX困难的。我们还研究了以下问题的复杂性：是否有一个范例（分别）。中间/最大匹配），不引起断点？我们证明了这个问题是NP完全的样本模型的一类新的实例，我们表明，这个问题是在P的最大匹配模型。我们还专注于第四个措施：邻接的数量，我们给出了几个近似算法的最大匹配模型，在基因组中包含相同数量的每个基因的重复的情况下。
2008-06-06 cs.CC q-bio.QM
The complexity of conservative finite-valued CSPs
研究了有值约束满足问题（VCSP）的复杂性.一个问题，从VCSP的特点是一个\emph{constraint language}，一个固定的成本函数在有限域。问题的一个实例由语言中的成本函数之和指定，目标是最小化该和。我们考虑的情况下，所谓的\emph{conservative}语言，也就是说，语言包含所有的一元成本函数，从而允许任意限制域的变量。Bulatov [LICS'03]研究了$\{0,\infty\}$值语言（即CSP），Cohen~ \etal \（AIJ'06）研究了布尔域，Deineko等人（JACM'08）研究了$\{0,1\}$值代价函数（即Max-CSP），Takhanov（STACS'10）研究了包含所有有限值一元代价函数的$\{0,\infty\}$值语言（即Min-Cost-Hom）。我们给出了保守有限值语言的一个完全复杂性分类的初等证明：我们证明了每一个保守有限值语言要么是易处理的，要么是NP-难的。这是非布尔域上有限值VCSP的\emph{first}二分法结果。
2010-08-09 cs.CC
Tropically convex constraint satisfaction
一个半线性关系S是极大闭的，如果它通过取分量极大值而保持。最大闭半线性约束的约束满足问题至少和平均支付博弈中的赢家确定一样困难，这是一个臭名昭著的开放计算复杂性问题。平均收益博弈是NP和co-NP的交集，而这对于最大闭半线性约束是未知的。在文献中，在平移下极大闭和附加闭的半线性关系被称为热带凸的。我们的主要结果之一是开热带凸关系的一个新的对偶，它把一般的热带凸半线性约束的CSP问题转化为NP-NP问题。这扩展了与或优先约束下调度的相应复杂性结果，或者等价于最大原子问题。为此，我们提出了一个最大封闭半线性关系的语法限制的一阶逻辑方面的表征，和另一个表征的关系L，允许原始的所有其他关系的定义在类的有限集。我们还提出了一个子类的最大闭约束的CSP是在P;这类推广类的最大闭约束有限域上，和可行性问题的最大闭线性不等式。最后，我们表明，类的最大封闭半线性约束是最大的意义上说，只要一个单一的关系，不是最大封闭的L，CSP成为NP-硬。
2017-03-22 cs.CC
The complexity of finite-valued CSPs
研究了有理数离散函数精确极小化的计算复杂性。设$Γ$是固定有限域上的一组有理值函数，这样的集合称为有限值约束语言。有值约束满足问题，$\operatorname{VCSP}(Γ)$，是最小化作为来自$Γ$的函数之和给出的函数的问题。我们建立了一个关于定义在任意有限大小的域上的所有有限值约束语言的精确可解性的二分法。我们发现，每个约束语言$Γ$要么承认一个二进制对称的分数多态性，在这种情况下，基本的线性规划松弛解决任何实例的$\operatorname{VCSP}(Γ)$准确，或$Γ$满足一个简单的硬度条件，允许多项式时间减少从最大切割到$\operatorname{VCSP}(Γ)$。
2016-09-21 cs.CC
A Structural Investigation of the Approximability of Polynomial-Time Problems
我们开始系统的研究最近推出的多项式时间模拟MaxSNP，其中包括大量的研究问题（包括最近和Furminent邻居在汉明度量，最大内积，优化变种的$k$ -XOR和最大$k$ -覆盖）。具体来说，MaxSP $_k$表示形式为$\max_{x_1,\dots, x_k} \#\{y:ϕ(x_1,\dots,x_k,y)\}$的$O(m^k)$ -时间问题类，其中$ϕ$是无量词的一阶属性，$m$表示关系结构的大小。假设关于超图和MAX 3SAT中的团检测的中心假设，我们证明了对于由无量化器$m$ -边图公式$ϕ$定义的任何MaxSP $_k$问题，在比穷举搜索时间更快的情况下的最佳可能近似保证$O(m^{k-δ})$属于以下四类之一：* 可在时间上优化到精确性$O(m^{k-δ})$，*（低效）近似方案，即，$(1+ε)$ -时间上的近似值$O(m^{k-f(ε)})$，* 时间上的（固定）常数因子近似值$O(m^{k-δ})$，或 * 时间上的$m^ε$ -近似值$O(m^{k-f(ε)})$。我们得到一个几乎完整的表征，这些制度，最大SP $_k$以及类似定义的最小化类MinSP $_k$。作为我们的主要技术贡献，我们排除了一大类问题的近似方案承认常数因子近似，稀疏MAX 3SAT假设（Alman，Vassilevska Williams'20）。作为我们考虑的问题的一般趋势，我们…
2022-04-25 cs.CC cs.DS
Approximability and proof complexity
这项工作是有关证明的证明复杂性，证明优化问题\emph{not}有很好的解决方案。具体来说，我们考虑有界度的“平方和”（SOS）证明，一个强大的代数证明系统在1999年推出的格里戈里耶夫和Vorobjov。Shor、Lasserre和Parrilo的工作表明，这个证明系统可以使用半定规划（SDP）自动化，这意味着任何$n$ -可变度- $d$证明都可以在时间$n^{O(d)}$中找到。此外，SDP是著名的Lasserre SDP层次的对偶，这意味着优化问题的“$d/2$轮Lasserre值”等于使用度- $d$ SOS证明可证明的最佳界。Barak等人在最近的一篇论文中利用了这些想法。(STOC 2012年），这表明，已知的“硬实例”的唯一游戏问题实际上是解决接近最佳的一个恒定水平的拉萨尔SDP层次结构。我们将继续研究SOS证明在困难的优化问题的背景下的力量。特别地，我们证明了Devanur等人提出的平衡分离器完整性缺口实例。可以通过4级SOS证明其最佳值。关键成分是KKL定理的SOS证明。我们还调查了在何种程度上的Khot-Vishnoi最大切割完整性差距的实例可以有其最佳值认证的SOS证明。我们可以证明，他们可以在一个因素.952（$> .878$）使用一个恒定的程度证明。这些调查也提出了一个有趣的数学问题：是否有一个常数度SOS证明的中心极限定理？
2012-11-08 cs.CC
Triplet Reconstruction and all other Phylogenetic CSPs are Approximation Resistant
本文证明了在 Unique Games 假设下，Triplet Reconstruction 及所有层次结构上的 CSP 具有近似抗性，不存在优于随机赋值的多项式时间近似算法，推广了排序 CSP 的近似抗性结论。
2023-04-05 cs.CC cs.DS
Improved (In-)Approximability Bounds for d-Scattered Set
在$d$ -Scattered Set问题中，我们被要求选择给定图的至少$k$个顶点，使得任何对之间的距离至少为$d$。研究了该问题的（不）逼近性，改进和推广了独立集的已知结果，该问题是独立集的推广。具体而言，我们显示：- $Δ^{\lfloor d/2\rfloor-ε}$关于最大度图的任何多项式时间算法的逼近比的下界$Δ$和$O(Δ^{\lfloor d/2\rfloor})$关于该问题的任何贪婪方案的逼近比的改进上界。- 二部图的一个多项式时间$2\sqrt{n}$ -近似和$d$的偶数值，通过考虑唯一剩下的情况，匹配已知的下界。- 任何$ρ$的复杂度的下限-对于偶数$d$（粗略地）$2^{\frac{n^{1-ε}}{ρd}}$和对于奇数$d$（在随机ETH下）的$2^{\frac{n^{1-ε}}{ρ(d+ρ)}}$的近似算法，由$ρ$补充-运行时间（几乎）匹配这些界限的近似算法。
2019-10-12 cs.CC cs.DS
On the Approximability of Time Disjoint Walks
我们介绍了组合优化问题时间不相交行走（TDW），它在离散对象的无冲突路由中有应用（例如，自动驾驶车辆）。该问题将具有正整数弧长的有向图$G$和$k$对顶点作为输入，每个顶点表示从源到目的地的行程需求。我们的目标是为每个需求找到一个步行和延迟，使没有两个行程在同一时间占据同一个顶点，并实现了最小最大或最小和目标的行程持续时间。我们在这里集中在时间不相交行走的最小和变量，虽然我们的大多数结果结转到最小-最大的情况。我们将我们的研究限制在DAG的不同子类上，观察到定向星上的时间不相交行走和中心点被路径取代的定向星上的时间不相交行走之间存在着一个尖锐的复杂性边界，特别地，我们给出了前者上的最小和和最小-最大TDW的多时间算法，但证明了后者上的最小和TDW是NP-难的.我们的主要硬度结果是，对于最大程度$Δ\leq3$的DAG，最小和时间不相交行走是APX困难的。我们提出了一个自然的近似算法为同一类，并提供了一个严密的分析。特别地，我们证明了它在有界度DAG上的逼近比为$Θ(k/\log k)$，在DAG和有界度有向图上的逼近比为$Θ(k)$.
2020-01-07 cs.CC cs.DS
Parameterized Exact and Approximation Algorithms for Maximum $k$-Set Cover and Related Satisfiability Problems
给定一个子集族$\mathcal S$在一组元素~$X$和两个整数~$p$和~$k$上，最大k-集覆盖包括找到基数至多为~$k$的子集族~$\mathcal T \subseteq \mathcal S$，覆盖~$X$的至少~$p$元素。当用~$k$参数化时，该问题是W [2]-困难的;当用$p$参数化时，该问题是FPT的.研究了问题关于参数~$k$和~$p$的参数化逼近性.然后，证明了MaxSat-k，一个推广Maxk-Set Cover的可满足性问题，也是关于参数$p$的FPT.
2016-09-27 cs.CC
Approximation Complexity of Complex-Weighted Degree-Two Counting Constraint Satisfaction Problems
约束满足问题已经在许多领域中被研究，具有实际意义和理论意义。近年来，在计算约束满足问题（或#CSP）的研究中取得了重大突破。特别是，一个计算复杂性分类的有界度#CSP已被发现的所有程度，除了两个，其中的“度”的输入实例是最大的次数，每个输入变量出现在一组给定的约束。尽管最近的研究的努力，但是，度2 #CSP的复杂性分类已经逃避了我们的理解。本文挑战这个开放的问题，并给出其部分解决方案，采用两种新的证明技术- T_{2} -constructibility和参数化对称化-这是专门设计来处理“任意”的约束下随机近似保持减少。我们将整个约束划分为四个集合，并将所有度为2的#CSP的近似复杂性分类为两类：多项式时间可计算的问题或至少像#SAT一样难的问题。我们的证明利用了复加权度2 #CSP和Holant问题之间的密切关系，这是复加权#CSP的自然推广。
2011-09-27 cs.CC
The Complexity of Approximating Bounded-Degree Boolean \sharp CSP
CSP实例的度是任何变量在约束范围中出现的最大次数。我们考虑了约束语言中包含两个一元常数关系{0}和{1}的有界度实例的布尔CSP的近似计数问题。当最大允许度足够大（至少6）时，我们得到了这个问题的复杂性的完整分类。如果约束语言中的每一个关系都是仿射的，则它在多项式时间内是精确可解的。如果每一个关系都可以表示为{0}、{1}和二元蕴涵的合取，则它等价于二部图中独立集的近似计数问题。否则，没有FPRAS，除非NP=RP。对于较低的度界，出现了其他情况，其中的复杂性与近似计数超图中的独立集的复杂性有关。
2011-09-16 cs.CC cs.DM
On sketching approximations for symmetric Boolean CSPs
本文针对对称布尔CSP的草图近似问题，给出了多类对称布尔函数近似比率的闭式表达式，并为所有阈值函数提出最优的基于偏差的近似算法，同时指出已有流式下界对3AND不完备。
2022-07-09 cs.CC cs.DS
New Inapproximability Bounds for TSP
本文研究了度量旅行商问题（TSP）的可逼近性，并证明了该问题新的显式不可逼近界。到目前为止已知的最好的近似边界的硬度是185/184对称的情况下（由于Lampis）和117/116不对称的情况下（由于Papadimitriou和Vempala）。我们在这里构造了两个新的有界发生CSP约简，分别将这些界提高到123/122和75/74。后一个界限是第一次改善，在十多年的情况下，不对称TSP。我们的主要工具之一，这可能是独立的利益，是一个新的建设有界度轮放大器用于证明我们的结果。
2013-06-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Streaming Hardness of Unique Games
我们研究了流模型中唯一游戏实例的近似值问题。一个简单的计数的数量的约束除以$p$，字母大小的唯一游戏，给出了一个平凡的$p$ -近似，可以计算在$O(\log n)$空间。同时，以高概率，$\tilde{O}(n)$约束的样本足以估计$(1+ε)$精度的最优值。我们证明，任何单通流算法，实现$(p-ε)$ -近似需要$Ω_ε(\sqrt{n})$空间。我们的证明是通过减少从下界的通信问题，这是一个$p$ ary变量的布尔隐藏匹配问题的文献中研究。考虑到Unique Games作为简化到其他优化问题的起点的效用，我们对Unique Games近似的强硬度可能会导致其他CSP类问题的流近似性的\emph{stream}硬度结果下降。
2018-11-12 cs.CC cs.DS
On Equivalence of Parameterized Inapproximability of k-Median, k-Max-Coverage, and 2-CSP
本研究通过构建k-最大覆盖到2-CSP、k-中位数到k-最大覆盖的保间隙FPT归约，证明k-最大覆盖的常数因子近似W[1]难性蕴含PIH，揭示三类问题参数化不可近似性的等价关联。
2024-07-12 cs.CC cs.DS
Beyond PCSP (1-in-3,NAE)
承诺约束满足问题（promise constraint satisfaction problem，PCSP）是约束满足问题（constraint satisfaction problem，CSP）的一个推广，它描述了可满足实例的近似性。一个PCSP实例带有两种形式的约束：严格约束和弱约束。假设存在使用严格约束的解，则任务是使用弱约束找到解。虽然现在有几个二分法的PCSP片段的结果，他们都认为（在某种程度上）对称的PCSP。1-in-3-SAT和Not-All-Equal-3-SAT是布尔对称（非承诺）CSP的经典示例。虽然这两个问题都是NP难的，但Brakensiek和Guruswami证明了[SICOMP'21]，给定一个1-in-3-SAT的可满足实例，可以找到相应的（较弱的）不全等于3-SAT的解决方案。换句话说，PCSP模板（1-in-3，NAE）是易处理的。我们专注于非对称的PCSP。特别是，我们研究PCSP模板从布尔模板（t-in-k，NAE）通过添加元组到t-in-k或从NAE删除元组。对于前者，我们将所有模板分类为易于处理的或不可解决的，由目前已知的最强的PCSP算法，结合基本LP和Brakensiek，Guruswami，Wrochna，和Gracivnovik的仿射IP松弛[SICOMP'20]。对于后者，我们将所有模板分类为易处理或NP难。
2022-08-28 cs.CC cs.DM
On Approximating Four Covering and Packing Problems
本文研究了以下四个问题的近似性问题：三角形填充问题、全同胞重构问题、最大利润覆盖问题和2-覆盖问题。所有这些都是广义或专门版本的集覆盖，并在生物学中的应用范围从野生种群的全同胞重建生物分子聚类，但是，如本文所示，它们的近似性的性质有很大的不同。我们的三角形包装问题的不可逼近常数改进了以前的结果;这是通过直接变换Haastad的不可逼近间隙来实现的，该间隙用于最大化GF（2）上的一组方程的满足方程的数量的问题，并且其本身很有趣。我们关于完整兄弟姐妹重建问题的逼近结果回答了最初由Berger-Wolf等人提出的问题，我们关于最大利润覆盖问题的结果提供了几乎匹配的逼近比上界和下界，回答了Hassin和Or提出的问题。
2011-02-04 cs.CC cs.DM cs.DS
Separate, Measure and Conquer: Faster Algorithms for Max 2-CSP and Counting Dominating Sets
我们展示了一种方法，导致几个多项式空间，指数时间算法的改进。问题Max（r，2）-CSP的一个实例，或简称为Max 2-CSP，由域大小r（通常为2），变量的数量n（约束图G中的顶点）和约束的数量m（G中的边）参数化。当G是三次时，为了清楚起见，这里省略了次指数项，我们给出了一个在时间上运行的算法r^（（1/5）n）= r^（（2/15）m）;以前的最佳算法是r^（（1/4）n）= r^（（1/6）m）。根据已知的结果，这种对立方情况的改进导致算法在一般情况下在时间上运行r^（（9/50）m）;以前最好的是r^（（19/100）m）。我们表明，早期算法的分析是紧密的：我们的改进是在算法，而不仅仅是分析。新的算法，像旧的，扩展到多项式和环CSP。我们还给出了#支配集的快速算法，计算每个基数0，.，n为n阶图G。对于三次图，我们的算法运行时间为3^（（1/6）n）;以前最好的是2^（（1/2）n）。对于一般图，我们给出了一个不相关的算法，运行时间为1.5183^n;以前的最佳算法是1.5673^n。以往求解这些问题的最佳算法都是采用局部变换，并采用“测量与征服”的方法进行分析。我们的新算法利用了三次图的小平衡分离器的存在-一个非局部属性-以及定制本地算法总是在分离器的顶点上“枢轴”的能力。新算法的性能与旧算法相当，直到分隔符为空，此时它们会获益，因为剩余的顶点被分成两个独立的问题实例，…
2017-11-17 cs.CC cs.DM cs.DS
