本文研究了有界度 Max 2-CSP 和 k-claw-free 图上 Maximum Independent Set 的近似难度，在 UGC 假设和随机化归约下证明了多项式时间内的近似下界。
摘要：
我们考虑近似 Max 2-CSP 的问题，其中每个变量最多出现在 $d$ 个约束中（但字母表可能任意大）。该问题存在一个简单的 $(\frac{d+1}{2})$-近似算法。对于任意足够大的 $d$，我们证明了以下结果：\n - 假设 Unique Games Conjecture (UGC)，在随机化归约下，将该问题近似到 $\left(\frac{d}{2} - o(d)\right)$ 因子以内是 NP-hard 的。\n - 在随机化归约下，将该问题近似到 $\left(\frac{d}{3} - o(d)\right)$ 因子以内是 NP-hard 的。\n 得益于一个已知的联系 [Dvorak et al., Algorithmica 2023]，我们为 k-claw-free 图上的 Maximum Independent Set 近似问题确立了以下硬度结果：\n - 假设 Unique Games Conjecture (UGC)，在随机化归约下，将该问题近似到 $\left(\frac{k}{4} - o(k)\right)$ 因子以内是 NP-hard 的。\n - 在随机化归约下，将该问题近似到 $\left(\frac{k}{3 + 2\sqrt{2}} - o(k)\right) \geq \left(\frac{k}{5.829} - o(k)\right)$ 因子以内是 NP-hard 的。\n 作为对比，已知的近似算法能在多项式时间内实现 $\left(\frac{k}{2} - o(k)\right)$-近似 [Neuwohner, STACS 2021; Thiery and Ward, SODA 2023]，并在准多项式时间内实现 $(\frac{k}{3} + o(k))$-近似 [Cygan et al., SODA 2013]。
英文摘要：
We consider the question of approximating Max 2-CSP where each variable appears in at most $d$ constraints (but with possibly arbitrarily large alphabet). There is a simple $(\frac{d+1}{2})$-approximation algorithm for the problem. We prove the following results for any sufficiently large $d$:
- Assuming the Unique Games Conjecture (UGC), it is NP-hard (under randomized reduction) to approximate this problem to within a factor of $\left(\frac{d}{2} - o(d)\right)$.
- It is NP-hard (under randomized reduction) to approximate the problem to within a factor of $\left(\frac{d}{3} - o(d)\right)$.
Thanks to a known connection [Dvorak et al., Algorithmica 2023], we establish the following hardness results for approximating Maximum Independent Set on $k$-claw-free graphs:
- Assuming the Unique Games Conjecture (UGC), it is NP-hard (under randomized reduction) to approximate this problem to within a factor of $\left(\frac{k}{4} - o(k)\right)$.
- It is NP-hard (under randomized reduction) to approximate the problem to within a factor of $\left(\frac{k}{3 + 2\sqrt{2}} - o(k)\right) \geq \left(\frac{k}{5.829} - o(k)\right)$.
In comparison, known approximation algorithms achieve $\left(\frac{k}{2} - o(k)\right)$-approximation in polynomial time [Neuwohner, STACS 2021; Thiery and Ward, SODA 2023] and $(\frac{k}{3} + o(k))$-approximation in quasi-polynomial time [Cygan et al., SODA 2013].
Linear Space Streaming Lower Bounds for Approximating CSPs
Flatiron Institute（平顿研究所）；Georgetown University（乔治城大学）；Harvard University（哈佛大学）；Google Research（谷歌研究院）；Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田技术研究所）
研究在流模型下近似约束满足问题的可行性，证明改进近似因子需线性空间，针对Max k-LIN mod q问题提出最优近似下界。
A Variant of the Maximum Weight Independent Set Problem
我们研究了最大权独立集问题（MWIS）的一个自然扩展，MWIS是图论中研究最多的优化问题之一。我们给出一个图$G=(V,E)$，一个权函数$w: V \rightarrow \mathbb{R^+}$，一个预算函数$b: V \rightarrow \mathbb{Z^+}$，和一个正整数$B$。重量（Resp.）budget）是顶点子集的权重（分别为预算）。$G$中的$k$预算独立集是顶点的子集，使得该子集中没有顶点对是相邻的，并且该子集的预算至多是$k$。目标是在$G$中找到一个$B$预算的独立集，使得它的权重在$G$中的所有$B$预算的独立集中是最大的。我们把这个问题称为MWBIS。作为MWIS的推广，MWBIS在调度、无线网络等方面也有着广泛的应用。我们为树、森林、循环图和区间图设计精确算法。在未赋权的情况下，我们设计了一个$d+1$ -无爪图的逼近算法，它的逼近比（$d$）与MWIS（未赋权）的逼近比（$\frac{d}{2}$）是竞争的.此外，我们将Baker的方法\cite{Baker83}推广到平面图上，得到了MWBIS的PTAS.
