Stable Determination of the Electromagnetic Coefficients by Boundary Measurements
Pedro Caro
本文的目的是证明一个稳定的确定的时谐麦克斯韦方程组的系数，在Lipschitz域，边界测量。
The goal of this paper is to prove a stable determination of the coefficients for the time-harmonic Maxwell equations, in a Lipschitz domain, by boundary measurements.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On stable determination of potential by boundary measurements
我们给出了Gel'fand-Calderon逆边值问题的新的稳定性估计
Determination of electromagnetic medium from the Fresnel surface
研究了四维流形上的麦克斯韦方程组，其中电磁介质用反对称的$2\choose 2$ -张量$κ$描述.在这种情况下，Tamm-Rubilar张量密度决定了每个余切空间中的四阶多项式曲面。这个表面被称为菲涅耳表面，并且充当由洛伦兹度规确定的光锥的概括;菲涅耳表面将电磁波速度参数化为方向的函数。Favaro和Bergamin最近证明，如果$κ$只有一个主要部分，并且如果$κ$的菲涅耳表面与洛伦兹度规$g$的光锥重合，则$κ$与$g$的霍奇星算子成比例。也就是说，在附加的假设下，$κ$的菲涅耳表面确定$κ$的共形类。本文件有两个目的。首先，我们提供了一个新的证明这一结果使用Gröbner基地。其次，我们描述了一些情况下，菲涅耳表面不确定的共形类的原始$2\choose 2$ -张量$κ$。例如，如果$κ$是可逆的，我们表明，$κ$和$κ^{-1}$有相同的菲涅耳表面。
Boundary determination of electromagnetic parameters from local data
该研究拓展简化已有方法，证明仅利用基本解的局部柯西数据，通过局部导纳映射可唯一确定含未知障碍物时Maxwell方程电磁参数在边界处的无穷阶信息，证明基于对奇异解的精细奇性分析。
Boundary determination of electromagnetic and Lamé parameters with corrupted data
我们研究了一个与时谐麦克斯韦方程组相关的反问题和另一个与各向同性弹性系统相关的反问题的边界确定。我们确定了这两个系统的电磁参数和Lamé模量从相应的边界测量。在第一步中，我们重建Lipschitz磁导率，介电常数和电导率的表面从理想的边界测量。然后，我们研究了麦克斯韦方程组和各向同性弹性系统的反问题，假设数据包含测量误差。对于这两个系统，我们提供了明确的公式来重建的边界上的参数，以及其收敛速率公式。
Determination of non-compactly supported electromagnetic potentials in unbounded closed waveguide
研究了由边界测量确定无界封闭波导中磁薛定谔算子的逆问题。我们认为这个问题与一般的封闭波导的意义上，我们只需要我们的无界域包含在一个无限的圆柱。在这方面，我们证明了唯一的恢复磁场和电位与一般有界和非紧支撑的电磁势。通过假设电磁势在紧集外的边界邻域上是已知的，我们甚至证明了从限制于无限边界的有界子集的测量中对磁场和电势的唯一确定。最后，在波导的情况下，采取的形式的一个无限的圆柱形域，我们证明了恢复的磁场和电势从部分数据对应的限制纽曼边界测量略多于一半的边界。我们建立了所有这些结果通过合适的复几何光学解决方案和Carleman估计适当地设计为我们的问题，在一个无界的域和有界的电磁势。
Stable determination of an anisotropic inclusion in the Schrödinger equation from local Cauchy data
本文研究利用局部柯西数据反演非均匀各向异性介质中薛定谔方程夹杂物的问题，建立了对数稳定性估计，并给出了基于失配泛函的稳定性结果。
Stable Determination of Time-Dependent Scalar Potential From Boundary Measurements in a Periodic Quantum Waveguide
本文从动态薛定谔方程解的边界测量出发，证明了在确定单周期量子圆柱波导中的不定常标量势时的对数稳定性.
Stable determination of an inclusion by boundary measurements
我们处理的问题，确定一个夹杂物内的电导体从电边界测量。在温和的先验假设下，我们建立了一个最优的稳定性估计。
Stable determination by a single measurement, scattering bound and regularity of transmission eigenfunction
本文研究了由横向电磁散射测量确定无限长圆柱状物质结构截面的反问题。我们建立了一个尖锐的对数稳定性的结果，确定多边形散射体由一个单一的远场测量。在建立稳定性结果的论点是本地化的一个角落，也可以用来产生两个非常有趣的影响，在波散射理论的不可见性和传输共振。事实上，我们表明，如果一个通用的介质散射体具有一个允许的角落，其支持，那么存在一个积极的下界的$L^2$范数的相关远场图案。对于透射共振，我们发现了透射本征函数在拐角处的规律性与其解析或傅立叶扩展之间的定量联系。
Stable determination of the surface impedance of an obstacle by far field measurements
我们处理的逆散射问题确定的表面阻抗的部分涂覆的障碍。通过远场测量证明了阻抗项的对数型稳定性估计。
Determination of vacuum space-times from the Einstein-Maxwell equations
我们研究了爱因斯坦-麦克斯韦方程组的反问题。我们证明了由电磁波的非线性相互作用产生引力波是可能的。通过从一个自由下落的观察者附近发射电磁波，并测量同一附近的引力摄动，人们可以确定真空时空结构，直到这些波可以从观察者传播并返回的最大区域中的复同态。
Stable determination of generic simple metrics from the hyperbolic Dirichlet-to-Neumann map
我们证明了从Laplace-Beltrami算子波动方程相关的Dirichlet到Neumann映射恢复此类度量的逆问题的一般简单Riemannian度量附近的Hölder型稳定性估计。
Determination of electromagnetic Bloch modes in a medium with frequency-dependent coefficients
本文提出了一种功能框架和数值算法，用于计算具有频率依赖系数的介质中Maxwell方程的布洛赫集，通过混合格式获得波矢与频率的二次特征值，将其转化为更大的线性特征值问题，并证明需要计算紧算子的特征值，通过有限元方法给出了频率无关和相关的介电常数的初步数值示例。
Stable determination of the initial data in an IBVP for the wave equation outside a non-trapping obstacle
本文研究了非俘获障碍物外波动方程初边值问题中初始数据的确定问题，通过两次局部测量建立了一个双对数稳定性不等式。
Stable determination of the nonlinear term in a quasilinear elliptic equation by boundary measurements
对于用边界测量确定拟线性椭圆型方程中非线性项的问题，建立了一个Lipschitz稳定性不等式.我们给出了一个证明的基础上的线性化过程连同特殊的解决方案构造的基本解的线性化问题。
Hölder stable determination of a quantum scalar potential in unbounded cylindrical domains
本文研究了由边界Neumann观测确定无限圆柱区域中动力学薛定谔方程的与时间无关标量势的反问题。我们通过适当地选择Dirichlet边界条件证明了Hölder稳定性。
Lipschitz stable determination of polygonal conductivity inclusions in a layered medium from the Dirichlet to Neumann map
利用Dirichlet到Neumann映射关于多边形电导率包含体运动的Gateaux导数的分布表示公式[11]，我们推广了[8]中的结果，证明了由Dirichlet到Neumann映射的知识确定嵌入层状介质中的多边形电导率包含体的全局Lipschitz稳定性。
Stable Determination of the Discontinuous Conductivity Coefficient of a Parabolic Equation
我们处理的问题，确定内的热导体随时间变化的夹杂物。特别是，我们研究的连续依赖性的包含从狄利克雷到诺依曼映射。在未知缺陷的先验正则性假设下，我们建立了对数稳定性估计。
Stable determination of an immersed body in a stationary Stokes fluid
我们考虑一个单一的机构，沉浸在一个有界的容器充满了流体，遵守斯托克斯方程，从一个单一的测量力和速度的一部分的边界检测的逆问题。得到了双对数型稳定性的一个估计。
Stable determination of polyhedral interfaces from boundary data for the Helmholtz equation
研究了Helmholtz方程的一个反边值问题，并以Dirichlet-to-Neumann映射为数据.我们考虑分段常数波速在一个未知的四面体分区，并证明了Lipschitz稳定性估计分区之间的Hausdorff距离。
Stable determination of a second order perturbation of the polyharmonic operator by boundary measurements
本文考虑多重调和算子的边值问题反问题。证明了二阶扰动是由相应的Dirichlet到Neumann映射唯一确定的。更确切地说，我们显示在尺寸$n \geq 3$，对数型的稳定性估计的反问题正在考虑中。
Stable determination of a body immersed in a fluid: the nonlinear stationary case
我们考虑一个单一的机构，沉浸在一个有界的容器充满了流体，服从静态Navier-斯托克斯方程，从一个单一的测量力和速度的一部分的边界上的检测的逆问题。得到了双对数型稳定性的一个估计。
Stable determination of coefficients in semilinear parabolic system with dynamic boundary conditions
在这项工作中，我们研究了出现在一个耦合的半线性抛物型方程组的可变扩散矩阵的动态边界条件耦合内边界现象的稳定确定的四个空间相关的系数。我们证明了Lipschitz稳定性结果的内部和边界电位通过只有一个观察组件，本地化在任何任意开子集的物理域。证明主要依赖于表面扩散型动力边界条件的一些新的Carleman估计。
Stable determination of a Lamé coefficient by one internal measurement of displacement
在本文中，我们表明，剪切模量$μ$的各向同性弹性体可以稳定恢复的知识，一个单一的位移场的边界数据可以独立于未知的弹性张量分配。
Lipschitz stable determination of polyhedral conductivity inclusions from local boundary measurements
本文讨论了由边界测量确定均匀各向同性介质中多面导电夹杂的问题。本文证明了局部Dirichlet-to-Neumann映射的多面体包含的全局Lipschitz稳定性，将[18]和[19]中二维情形的结果以高度非平凡的方式推广到三维情形.
Stable determination of a rigid scatterer in elastodynamics
针对时谐情形下刚性散射体形状确定的弹性逆散射问题，证明了单次远场测量下的log log型局部稳定性估计，且散射体接近度的先验条件可由Friedrichs不等式的通用常数估计，为该类逆问题的稳定求解提供理论支撑。
Stable recovery of non-compactly supported electromagnetic potentials in unbounded domain
我们考虑的逆问题，确定出现在一个无限的圆柱形域从边界测量的电磁势。更准确地说，我们证明了稳定恢复的一些一般类的磁场和电势的边界测量。假设一些知识的未知系数接近边界，我们也得到了一些结果的稳定恢复与测量限制在某些部分的边界。我们的方法结合了复杂的几何光学解决方案的建设和Carleman估计适当地设计为我们的稳定性结果在一个无界域。
Stable determination of a time-dependent matrix potential for a wave equation in an infinite waveguide
本文研究无限波导中波动方程含时矩阵势反问题的稳定性，利用几何光学解和光线变换，从输入-输出映射导出了稳定性估计。
Stable determination of a scattered wave from its far-field pattern: the high frequency asymptotics
我们处理的稳定性问题，确定传出的时间谐波声波从他们的远场图案。我们特别感兴趣的是保持尽可能明确的依赖，我们的稳定性估计的波数相应的亥姆霍兹方程和理解高波数，即频率，渐近。应用程序包括从远场数据的直接散射问题的解决方案，声音软障碍和相应的逆障碍问题的不稳定性分析的确定的稳定性结果。关键的工具包括建立精确的估计的行为的汉克尔函数与大的参数或秩序。
Stable determination of the potential for the Helmholtz equation in the high frequency limit from boundary measurements
本文在高频极限下通过边界测量稳定确定Helmholtz方程的势，并展示了内部阻抗问题的三对数稳定性。
Stable determination outside a cloaking region of two time-dependent coefficients in an hyperbolic equation from Dirichlet to Neumann map
本文讨论了由Neumann边界观测值确定耗散波动方程中两个依赖于时间的不定常系数的反问题。我们建立在尺寸$n\geq 2$，稳定性估计相对于狄利克雷到诺依曼映射的这些系数提供的是已知的隐形区域之外。此外，我们证明了它可以稳定地恢复在更大的子集的域通过扩大的数据集
Lipschitz and Hölder stable determination of nonlinear terms for elliptic equations
本文研究了由边界测量确定椭圆型方程中某类非线性项的反问题。更确切地说，我们研究这类反问题的稳定性问题。在适当的假设下，我们证明了Lipschitz和Hölder稳定性估计与确定出现在这类椭圆型方程从测量限制到域的边界的任意部分的拟线性和半线性项。除了他们的数学兴趣，我们的稳定性估计可以用于提高这类非线性项的数值重建。我们的方法结合了线性化技术与应用程序的适当类的奇异解。
Unique Determination of a Planar Screen in Electromagentic Inverse Scattering
该研究针对电磁逆散射问题，证明单个入射平面波对应的散射电磁场远场方向图可唯一确定有界超导平面屏，推广了此前的标量研究结果。
Stable determination of a rigid inclusion in an anisotropic elastic plate
本文研究了在薄板边界上施加耦合场，通过测量薄板边界上的诱导横向位移及其法向导数来确定薄板内刚性夹杂的反问题。该板由属于一般各向异性类的非均匀线性弹性材料制成。对于这个严重不适定的问题，在适当的先验正则性假设的边界上的包含，我们证明了一个稳定性估计的log-log型。
Stable determination of surface impedance on a rough obstacle by far field data
我们处理的稳定性确定边界阻抗的障碍物散射数据，与一个单一的入射场。Sincich（SIAM J. Math. Anal. 38，（2006），434-451）表明，当障碍物的边界被假定为C^{1，1}-光滑时，对数稳定性。我们证明，当障碍边界仅仅是Lipschitz，log-log型稳定性仍然成立。
Stable determination of coefficients in the dynamical Schrödinger equation in a magnetic field
本文研究了用Neumann边界观测的Dirichlet数据确定紧致黎曼流形上薛定谔方程中的电势或磁场的反问题。这些信息包含在与磁薛定谔方程相关的动力学狄利克雷-诺依曼映射中。我们证明了薛定谔方程的Dirichlet-to-Neumann映射的知识唯一地决定了磁场和电势，我们建立了Hölder型稳定性。
Stable determination of time-dependent collision kernel in the nonlinear Boltzmann equation
本文研究了维数 $n\ge 2$ 下非线性Boltzmann方程中时间相关碰撞核的逆问题，通过二阶线性化、多元有限差分和光线变换的稳定性，建立了碰撞核的对数型稳定性结果并导出唯一性。
Stable determination of the first order perturbation of the biharmonic operator from partial data
研究双调和算子在三维及以上领域的一阶扰动的逆边界值问题，通过部分狄利克雷到神经元映射建立对数型稳定性估计。
Stable determination of a vector field in a non-self-adjoint dynamical Schrödinger equation on Riemannian manifolds
研究紧致黎曼流形上非自伴薛定谔方程的反问题.我们的目标是从动力学Dirichlet-to Neumann映射稳定地确定一个实向量场。在n大于2维中，我们建立了所研究的反问题的Hölder型稳定性估计.证明主要是基于一个电磁薛定谔方程的等效问题的减少和使用的Carleman估计设计的椭圆算子。
Cracks with impedance, stable determination from boundary data
本文讨论了n维物体Ω（n > 2）中，当边界上的Dirichlet-to-Neumann映射给定时，判定可能存在（n-1）维裂纹的反问题.结合定量唯一延拓技术，利用奇异解方法证明了最优单对数稳定性估计。当Neumann-to-Dirichlet映射或D-N和N-D映射的局部形式可用时，我们的论证也适用。
Stable determination of coefficients in the dynamical anisotropic Schr{ö}dinger equation from the Dirichlet-to-Neumann map
在本文中，我们感兴趣的是建立稳定性估计的反问题，确定一个紧凑的黎曼流形上的电势或共形因子的薛定谔方程与Dirichlet数据从测量的诺依曼边界观测。这些信息包含在与薛定谔方程相关的动力学狄利克雷-诺依曼映射中。我们证明了在n维大于2的情况下，薛定谔方程的Dirichlet-Neumann映射的知识唯一地决定了电势，并建立了确定电势的Hölder型稳定性估计.我们证明了类似的结果为确定的共形因子接近1。
Stable determination of a simple metric, a covector field and a potential from the hyperbolic Dirichlet-to-Neumann map
设（M，g）是具有非空边界的紧致黎曼流形.考虑二阶双曲初边值问题（δ_t^2 + P（x，D））u = 0 in（0，T）x M，u（0，x）= δ_t u（0，x）= 0 for x in M，u（t，x）= f（t，x）on（0，T）x δM;其中P（x，D）是（M，g）上拉普拉斯-贝尔特拉米算子的一阶扰动。设b和q分别是P（x，D）在M中的余向量场和势。本文证明了从双曲Dirichlet-to-Neumann（DN）映射恢复g，b和q的反问题在一般简单黎曼度量附近的Hölder型稳定性估计，f映射到<ν，u>_g-i <ν，b>_gu|_{δM x [0，T]}其中v是与边界正交的单位，模是一类固定DN映射的变换。
Stable determination of unbounded potential by asymptotic boundary spectral data
本文研究了有界区域$Ω\subset \mathbb{R}^d$，$d \ge 3$中的Dirichlet Laplacian $A_q=-Δ+q$，其中$A_q=-Δ+q$具有实值扰动$q \in L^{\max(2 , 3 d / 5)}(Ω)$ .我们研究的稳定性问题的反问题，确定电位$q$的$A_q$的特征值的渐近行为。假设在$L^2(\partial Ω)$中本征函数的法向导数的边界测量是平方可和序列，我们证明了通过本征值的渐近性知识，可以Hölder稳定地恢复$q$
Stable determination of polygonal inclusions in Calderón's problem by a single partial boundary measurement
我们关心的卡尔德龙问题确定一个未知的电导率的一个机构从相关的边界测量。在凸多边形包含的局部边界测度的支持度问题中，我们利用Hausdorff距离建立了一个对数型稳定性估计。我们还推导出在一个更一般的情况下，电导率是分段常数支持在一个嵌套的多边形几何的唯一性结果。我们的方法在建立稳定性和唯一性的结果有显着的技术创新和强大的潜力，适用于其他反边值问题。
Stable determination of the Winkler subgrade coefficient in a nanoplate
本文研究了边界固定的弹性基础纳米板中Winkler系数的反问题，基于简化应变梯度弹性理论，通过单次内部挠度测量证明了基床系数的全局Hölder稳定性估计。
Stable determination of X-ray transforms of time dependent potentials from the dynamical Dirichlet-to-Neumann map
本文考虑边界维数大于或等于2的紧致光滑黎曼流形。对于含有低阶项$q(t,x)$的波动方程的初边值问题，我们可以从动力学Dirichlet-to-Neumann映射稳定地恢复出不定常势$q(t,x)$的X射线变换.我们推导出不需要在整个边界上进行测量的$q(t,x)$的X射线变换的Hölder稳定性估计。所涉及的基本技术是高斯光束Ancestor，和证明是做了最小的假设的几何Ancestor是明确的。
Hölder Stable Recovery of Time-Dependent Electromagnetic Potentials Appearing in a Dynamical Anisotropic Schrödinger Equation
利用Dirichlet-to-Neumann映射的知识，研究了边界为$n\geq2$的简单黎曼流形上的薛定谔方程的时空相关系数的Höldder稳定确定的反问题.假设磁势的发散是已知的，我们表明，电和磁势可以从这些数据的Hölder稳定恢复。在这里，我们还删除了小的假设，在以前的结果中存在的磁位的螺线管部分。
Stable determination of an inclusion in an inhomogeneous elastic body by boundary measurements
本文研究了由弹性体边界处的位移和拉力测量值确定弹性体中未知夹杂物反问题的稳定性问题。夹杂物和夹杂物均为非均匀线弹性各向同性材料。根据温和的先验假设的光滑性的包容性和规律性的系数，我们证明了对数稳定性估计证明在\cite{ADiCMR14}的情况下，分段常系数继续保持在非齐次的情况下。我们引入新的参数，允许简化一些技术方面的证明\cite{ADiCMR14}。
Simultaneous stable determination of quasilinear terms for parabolic equations
该研究针对抛物方程两类拟线性项的同时恢复反问题，结合线性化、奇异解构造等方法推导了Lipschitz与Hölder稳定性估计，可为数值重构收敛速率分析提供支撑。
Stable determination of damping and potential coefficients in a semilinear wave equation
针对半线性波动方程，通过二阶线性化与几何光学方法，首次建立了从Dirichlet-to-Neumann映射同时稳定恢复阻尼、线性势和非线性势系数的Hölder型估计。
Stable boundary determination of a complex anisotropic admittivity and its derivatives from a local Neumann-to-Dirichlet map
该研究针对椭圆方程div(σ∇u)=0对应的经典各向异性Calderón问题，从局部Neumann-to-Dirichlet映射建立复各向异性电导率及其任意阶导数的边界稳定性估计，推广了2009年的相关研究成果。
Stable determination of coefficients for the nonlinear third-order acoustic equations
本文针对广义Jordan-Moore-Gibson-Thompson方程，利用Dirichlet-to-Neumann映射和有限差分线性化及几何光学方法，同时稳定确定摩擦、阻尼、势和非线性系数，并获Hölder型稳定性估计。
Stable Determination of Coefficients in Nonlinear Dynamical Schrödinger Equations by Carleman Estimates
研究一类含局部解析非线性项的动力学薛定谔方程稳态系数反问题，利用线性薛定谔方程的高阶线性化和卡尔曼估计，在已知边界附近系数及解的诺伊曼数据时，实现系数的稳定唯一确定，还讨论不同边界测量情况。
Stable determination of an inclusion in an elastic body by boundary measurements (unabridged)
本文研究了用Dirichlet-to-Neumann映射识别弹性体中未知夹杂的反问题。本体由线弹性的、均质的、各向同性的材料制成。夹杂物的Lamé模量是恒定的，并且与周围材料的Lamé模量不同。在弱先验正则性假设下，建立了对数稳定性估计。为了证明，我们扩展的方法用于电和热导体在一个新的方式。主要工具是基于三球不等式的Lamé系统解的小性参数的传播和存在包含时Lamé系统基本解的精细局部逼近。
Stable determination of the nonlinear parameter in the non-diffusive Westervelt equation from the Dirichlet-to-Neumann map
该研究针对非扩散Westervelt方程，证明在声速接近参考值且满足几何条件时，可通过Dirichlet-to-Neumann映射稳定恢复非线性参数与声速，并通过数值实验验证，为超声成像等领域的重建方法提供理论支撑。
Stable determination of an elastic medium scatterer by a single far-field measurement and beyond
本文研究均匀各向同性介质中非均匀弹性材料夹杂的时谐弹性散射问题。当弹性散射体的支撑是$\mathbb{R}^n$，$n=2,3$中的凸多面体时，我们建立了一个与其材料含量无关的对数型稳定性估计.我们的论点在建立稳定性的结果是本地化的角落周围的介质散射体。这使我们能够进一步建立一个副产品的结果，证明如果一个通用的介质散射体，不一定是一个多面体形状，拥有一个角落，那么存在一个积极的下界的散射远场图案。后者的结果表明，如果一个弹性材料物体的支撑上有一个角落，那么它会稳定地散射每一个入射波，并且不会出现不可见现象。
Determination of space-time structures from gravitational perturbations
研究了一般形式的源场爱因斯坦方程的反问题。在微局部线性化稳定性条件下，我们表明，通过产生小的引力扰动和测量附近的自由落体观察者的响应，可以唯一地确定背景洛伦兹度规的等距在一个区域中的引力扰动可以旅行和返回。我们把这个结果应用到两个具体的例子中，当源场是标量场（即Einstein-标量场方程）和电磁场（即Einstein-Maxwell方程）时.
Stable Determination and Reconstruction of a Quasilinear Term in an Elliptic Equation
本文研究从边界测量确定椭圆方程中拟线性项的反问题，推导了多维和一维情形下的Hölder稳定性估计，并通过数值重构验证了含噪数据下拟线性项的稳定恢复能力。
Stable determination of sound-hard polyhedral scatterers by a minimal number of scattering measurements
本文的目的是建立最佳的稳定性估计确定健全的硬多面体散射体在$\mathbb{R}^N$，$N \geq 2$，通过最少数量的远场测量。这项工作是一个显着的和高度非平凡的扩展的声音软多面体散射体的远场测量的确定的稳定性估计，证明了作者之一，更具挑战性的声音硬的情况下。容许多面体散射体满足Lipschitz型的最小先验假设，并且可以同时包括固体障碍物和屏幕型组件。在这种情况下，我们得到一个稳定性估计与$N$远场测量。这样的估计的重要特征是，我们有一个明确的依赖于参数$h$代表的最小尺寸的细胞形成的可容许的多面体散射体的边界，和连续性的模量，提供的错误是足够小的相对于$h$，不依赖于$h$。如果我们限制到$N=2,3$和多面体障碍物，即多面体，那么我们得到的稳定性估计与较少的测量，即首先与$N-1$测量，然后与一个单一的测量。在这种情况下，对$h$的依赖性不再明确，连续性模量也依赖于$h$。
Some integral geometry problems for wave equations
考虑Minkowski时空上常双曲型算子的Cauchy问题和源问题，并研究了由它们沿零测地线的积分确定解的问题。对于Cauchy问题，我们给出了Vasy和Wang [12]中稳定判定结果的一个新的证明.对于源问题，我们得到了类空奇点源的稳定判定。我们的证明是基于光线变换的正规算子与严格双曲算子的参变量的微局部分析。
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