Outer billiard outside regular polygons
Nicolas Bedaride, Julien Cassaigne
我们考虑规则凸多边形外的外台球。我们处理的情况下，正多边形与$\{3,4,5,6,10\}$双方，我们描述的符号动力学的地图和计算语言的复杂性。
We consider outer billiard outside regular convex polygons. We deal with the case of regular polygons with $\{3,4,5,6,10\}$ sides, and we describe the symbolic dynamics of the map and compute the complexity of the language.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Bridge to Hyperbolic Polygonal Billiards
众所周知，多边形中的台球不可能是混沌的（双曲的）。特别是任何多边形台球的Kolmogorov-Sinai熵为零。我们认为物理多边形台球的运动粒子是一个硬盘，而不是一个点（数学）粒子，并表明，典型的物理多边形台球是双曲线至少在一个子集的积极措施，因此有一个积极的Kolmogorov-西奈熵的任何积极半径的运动粒子（假设粒子是不是那么大，它不能在多边形内移动）。这是因为一个典型的物理多边形台球相当于一个数学（点粒子）半分散台球。我们还推测，在相同条件下，多边形中的典型物理台球实际上是遍历的。
A proof of Culter's theorem on the existence of periodic orbits in polygonal outer billiards
讨论了C.卡尔特：每一个多边形外台球有一个周期性的轨迹。
Polygonal Refractive Outer Billiards
该研究将Gutkin等、Tabachnikov等关于常规外台球的两个经典结果，推广到了凸多边形对应的折射外台球系统中。
Uniqueness of Billiard Coding in Polygons
我们考虑多边形台球，我们显示的唯一性的编码的非周期性台球轨迹的多边形的孔具有非零的最小直径，广义定理Galperin，Krüger和Troubetzkoy。
Dual billiards, Fagnano orbits and regular polygons
我们研究了对偶多边形台球的Fagnano轨道的概念。我们用它们刻画了正多边形，并研究了展开图的迭代问题。
Topologically weakly mixing polygonal billiards
我们表明，在一个典型的多边形的台球地图，以及其相关的子移位通过编码轨道的序列，他们访问的边是拓扑弱混合。
Weak-mixing polygonal billiards
我们考虑一组多边形，其所有边都是垂直或水平的固定组合（例如所有的数字“L”）。我们发现，有一个密集的G $δ$这样的多边形子集，使每个多边形在这个G $δ$集的台球流是弱混合在几乎每个方向。
Complexity of piecewise convex transformations in two dimensions, with applications to polygonal billiards
引入了分段凸变换类，并研究了其复杂性。我们将结果应用于多边形台球的复杂性，常曲率的表面。
Minimizing length of billiard trajectories in hyperbolic polygons
在双曲平面中的多边形中的闭合台球轨迹可以通过它们击中多边形的边的顺序来编码。本文考虑了理想双曲多边形中循环相关闭台球轨线的平均长度，证明了对于正双曲多边形，此平均长度最小的猜想。证明使用了Teichmüller空间中测地线长度函数关于Weil-Petersson度量的严格凸性，这是Wolpert建立的一个基本结果。
Code & order in polygonal billiards
两个多边形$P,Q$是代码等价的，如果有台球轨道$u,v$击中相同序列的边，使得轨道的投影在边界上是密集的$\partial P, \partial Q$。我们的主要结果表明，当代码等效多边形有相同的角度，分别。相似，分别。亲密相似
A challenger to elliptic billiards fails: String construction over convex polygons and the Birkhoff--Poritsky conjecture
本文证明一个据称是Birkhoff-Poritsky猜想反例的台球并非反例，并证明任意凸多边形弦构造球台中该多边形是动力学核心。
Super-fast spreading of billiard orbits in rational polygons and geodesics on translation surfaces
本文证明有理多边形台球轨道与平移曲面测地线具有超快扩散特性，该最佳时间定量多数性质意味着几乎所有方向上的一致性。
Some remarks on periodic billiard orbits in rational polygons
一个多边形被称为有理的，如果每对边之间的角度是$π.$的有理倍数。我们要证明的主要定理是定理1：对于有理多边形，台球流的周期点在台球流的相空间中是稠密的。这是对Masur定理的加强，Masur定理证明了任何有理多边形都有“许多”周期性台球轨迹;更确切地说，周期性轨迹的方向集在速度方向集$§^1.$中是稠密的。我们还将证明定理1的一些改进：周期轨道在多边形中的"良好分布“和点$q \in Q$具有稠密周期方向集的剩余性。
Devil's Staircase -- Rotation Number of Outer Billiard with Polygonal Invariant Curves
本文讨论单参数外台球桌族不变曲线上的旋转数。给定一个凸多边形$η$，我们可以通过从$η$的内部切出一个固定区域来构造一个外部台球桌$T$。$T$是分段双曲的，多边形$η$是$T$在台球映射$ϕ$下的不变曲线。证明了：若$β$是有理旋转数为$τ= p / q$的外台球映射下的周期点，则该台球映射的第$n$次迭代不是$β$上的局部恒等式.这证明了作为面积参数的函数的旋转数$τ$是魔鬼阶梯函数。
Outer Billiards with Contraction: Regular Polygons
我们研究了在正多边形外具有收缩的外台球。对于正则的具有$n = 3, 4, 5, 6, 8$和$12$的$n$ -图，我们证明了当收缩率接近$1$时，系统的动力学在一定意义上收敛于通常的外台球图的动力学。这些正是$n \geq 3$和$[\mathbb{Q}(e^{2πi/n}):\mathbb{Q}] \leq 2$的值。然后，我们讨论如何收敛可能失败的情况下，$n=7$。
Existence of a Periodic Orbit for Billiards in Polygons
通过反证法，结合Galperin等人关于台球流动力学的基本结果、单位切丛上黎曼度量的单参数缩放几何以及缩放度量的骨架或割迹拓扑，证明任意有限多边形中台球流至少存在一条周期轨道。
Persistence of periodic billiard orbits under domain deformation
研究证明，若多边形存在满足特定组合准则的周期弹道轨道，则参数空间中存在路径，使路径上每个多边形都存在相同类型的周期弹道轨道。
Deviations for generalized tiling billiards in cyclic polygons
本文研究循环多边形中的广义铺砖台球，发现当边数N>4时存在轨迹以次线性速率偏离渐近方向的开集，与N=3或4时有界距离行为显著不同，并给出了偏离速率的估计。
Homotopical rigidity of polygonal billiards
考虑两个$k$ -双$P$和$Q$。我们说$P$和$Q$中的台球流是同伦等价的，如果包含周期台球轨道的$P$的基本群中的共轭类的集合与$Q$的类似集合一致。我们研究了这种等价关系，并将其与\cite{BT1,BT2}中引入的等价关系，顺序等价和代码等价进行了比较。特别是，我们表明，如果$P$是一个合理的多边形，和$Q$是同伦等价的$P$，然后$P$和$Q$是相似的，或affirmative相似，如果所有的边$P$是垂直和水平的。
On configuration spaces of plane polygons, sub-Riemannian geometry and periodic orbits of outer billiards
根据Baryshnikov和Zharnitskii最近的一篇论文，我们考虑了平面上具有由周期轨道组成的不变曲线的外台球。我们证明了存在和丰富的这样的表使用工具，从次黎曼几何。我们还证明了3-周期台球外轨道集有零测度。
Dissipative outer billiards: a case study
研究耗散多边形外台球，即关于凸多边形的具有压缩反射律的外台球。我们证明了关于任意三角形和正方形的耗散外台球是渐近周期的，即它们有2个全局吸引周期轨道。给出了周期轨道随收缩率变化的分岔的完整描述。对于正方形台球，我们还证明了在顶点和收缩率的小扰动下，渐近周期行为是鲁棒的。最后，我们描述了一些数值实验表明，耗散外台球约正多边形是一般渐近周期。
On Chaotic Dynamics in Rational Polygonal Billiards
我们讨论了有理多边形台球中与可积性和混沌特征相关的分段线正则边界效应和顶角奇异边界效应之间的相互作用。多边形中规则和不规则运动的有争议的问题的处理方法是在确定性和随机性的框架内进行的。分析的台球壁碰撞分布和粒子的生存概率，分别在封闭和弱开多边形模拟。在多顶点多边形中，后期的壁碰撞事件导致圆形的规则的周期性轨迹（滑动轨道），这在开放台球的情况下可能被转化为幸存的集体激发（涡）。在弱开多边形中，滑动轨道和涡旋与相应的圆台球中的规则轨道没有拓扑相似性，通过普适和非普适弛豫动力学可以很好地区分滑动轨道和涡旋.
Symplectic billiards for pairs of polygons
研究多边形对的辛台球，给出使其映射完全周期的准则以构造新例，还展示了有任意大周期轨道、有孤立周期轨道及无周期轨道的例子，最后证明光滑严格凸曲线代替多边形时有无限多周期轨道。
Outer length billiards on polygons
本文研究多边形台面上的外长度台球系统，描述远离台面的轨道行为，并对正方形台面的逃逸轨道提出猜想，补充了处理光滑正曲率台面的相关研究。
On the Local Theory of Billiards in Polygons
多边形台球桌上的周期性轨迹是稳定的，如果它在任何足够小的扰动下持续存在。一个标准的结果是，$n$ -边形上的周期轨迹以自然的方式产生$n$ -穿孔球面上的闭路，并且该轨迹是稳定的当且仅当该路径是零同调的。我们提出了一个新的证明，这一结果的语言覆盖空间，它概括到一个多边形的邻域中的稳定轨迹的特征。利用这一点，我们分类的稳定周期轨道附近的30-60-90三角形，给出了一个新的证明施瓦茨的结果，没有邻居的三角形可以覆盖一个有限的联盟的轨道瓦片。推广了Hooper和Schwartz关于等腰Veech三角形$V_n$不允许$n=2^m,m\ge 2$有周期轨道的结果，并检验了他们关于$V_n$的邻域不可能被多个轨道瓦片覆盖的猜想.
Complexity of Billiards in Polygons Associated to Hyperbolic $(p,q)$-Tilings
本文研究双曲平面中正多边形弹道语言的复杂性，计算当q为偶数时的指数增长速率，并在q为奇数时给出界。还为q偶数情况提供完整的语法规则，确定由p个字母组成的词是否由弹道路径实现。
Outer Billiards on Regular Polygons
1973年，J. Moser提出他的扭曲定理可以用来证明一条足够光滑的闭曲线上的外台球映射的轨道总是有界的。五年后莫泽问同样的问题，一个凸多边形。1987年F. Vivaldi和A. Shaubeko表明，所有轨道的正多边形必须有界。R.施瓦茨最近表明，四边形称为彭罗斯风筝有无界轨道，他提出，“大多数”凸多边形支持无界轨道。除了少数特殊情况外，人们对正多边形上外台球映射的动力学知之甚少。在本文中，我们提出了一个统一的方法来分析的正多边形-使用正则的共振，这是共享的所有规则的N-π。在正五边形和正八边形的情况下，这些共振存在于所有尺度上，分形结构也有很好的记录，但这些是唯一被分析过的非平凡情况。我们提出了一个部分分析的规则七边形，但限制结构知之甚少，这并不预示着好的其余正多边形。正则N边形顶点的极小多项式的次数为Phi（N）/2，其中Phi是欧拉函数，因此N = 5、7和11分别是二次、三次和五次多项式。用R. Schwartz说：“像N = 11这样的情况似乎超出了当前技术的范围。“有些图形已经嵌入了高分辨率版本，所以这个文件的大小约为39 Mb。这个文件和一个较小的版本可以在dynamicsofpolygons. org下载。只需点击PDF。本文旨在纪念尤金·古特金（Eugene Gutkin，1946-2013），他对内外台球都做出了重要贡献。
Outer billiards outside regular decagon: periodicity of almost all orbits and existence of an aperiodic point
证明了在正八边形外的外台球存在非周期轨道。此外，几乎所有的轨道，这样的外台球被证明是周期的。所有可能的时期都明确列出。
Veech surfaces associated with rational billiards
研究有理多边形中的台球流的一个好技巧是沿着轨迹展开多边形。这会产生由原始多边形平铺的平移或半平移表面，或者等效地阿贝尔或二次微分。Veech曲面是一类特殊的平移曲面，具有大量的仿射自同构和有趣的动力学性质。维奇曲面的第一个例子来自有理台球。我们首先介绍了数学对象，并确定了一些词汇和符号。然后，我们回顾已知的结果Veech表面所产生的理性台球。感兴趣的读者可在作者的网页上找到附件表格。
The plaid model and outer billiards on kites
本文是第三次在一系列探讨了一种组合的方法，在平面上产生格多边形。我把这种方法称为格子模型。在本文中，我证明了主要的结果，我一直针对从一开始，这是表明，有一个粗糙的同构之间的格子模型和所谓的算术图外台球风筝。该定理的内容是，格子模型预测的符号动力学的外部台球轨道，一个单位的误差。这一结果与其他论文的工作相结合，给出了第二个证明，外台球有无界轨道的每一个不合理的风筝。到目前为止，这些是唯一已知的具有此属性的多边形示例。
Outer billiards outside regular octagon: set of full measure and an aperiodic point
本文对正八边形外台球进行了详细的研究。我们描述了所有的周期点及其周期，证明了这些周期点构成八边形外的一个满测度集，并找到了一个非周期点。
Billiards in ellipses revisited
我们证明了D.关于椭圆中的周期台球轨道。例如，一个周期性的台球多边形的角的余弦和在这种多边形的单参数族中保持不变（由于庞斯莱多孔性而存在）。在我们的证明中，我们使用几何和复分析方法。
Inverse-Magnetic Billiards on a Square
我们考虑二维平面中的多边形，其均匀恒定磁场与该平面正交，但在多边形内部，磁场为零。我们研究了在这种情况下具有初速度的电子的动力学。问题的出现是因为我们有一个带角的边界。在平方的情况下，我们推广速度与合理的斜率，并显示数值证据的混沌行为与其他初始条件。
Looking for a Billiard Table which is not a Lattice Polygon but Satisfies Veech's Dichotomy
在研究台球动力学的过程中，提出了几个问题。其中一个问题是，哪些表面满足以下属性（这是所谓的维奇的二分法）：任何方向是完全周期或唯一遍历。在一个重要的文件维奇了充分条件这二分法。他表明，如果稳定的翻译表面是一个晶格中的$SL_2(\R)$，然后表面满足维奇的二分法。后来，Smillie和Weiss证明了这个条件是不必要的。他们构造了一个平移表面，满足维奇的二分法，但不是一个晶格表面。他们的构造是基于休伯特和施密特以前的工作，通过在晶格表面上取一个分支覆盖，其中分支轨迹是一个单一的非周期连接点。在这项工作中，我们试图回答以下问题：是否有一个平坦的结构，从台球桌，满足维奇的二分法，但其维奇组不是一个格？我们证明，在整个列表中的可能的候选人这样的建设，一个例子不存在。
Chaotic properties for billiards in circular polygons
本文研究圆多边形台球，证明相空间中通用滑动轨迹的返回动力学半共轭于无限符号传递子移位且具无限拓扑熵，并给出周期轨迹指数级下界与长度谱异常性质。
Outer billiards outside regular dodecagon: computer proof of periodicity of almost all orbits and existence of an aperiodic point
证明了正十二边形外台球非周期点的存在性。此外，几乎所有的轨道这样的外台球被证明是周期的，所有可能的周期被明确列出。证明是基于事实建立的计算机程序由作者实现。程序的所有计算都是绝对精确的;这些计算可以“手工”完成，但在这种情况下，计算量太大。
Examples of reflective projective billiards and outer ghost billiards
在类的投影台球，其中包含通常的台球，我们展示反例Ivrii的猜想，其中指出，在任何平面台球光滑边界的周期轨道集有零措施。反例是允许$n$ -周期轨道的$2$ -参数族的多边形，其中$n$是$3$或比$4$更大的任何偶数。
A characterization of quasi-rational polygons
本文的目的是研究与外台球有关的拟有理多边形。我们比较不同的概念介绍，并作出综合。
Asymptotic periodicity in outer billiards with contraction
我们证明了对于几乎每一个$(P,λ)$，其中$P$是凸多边形，并且$λ\in(0,1)$，相应的关于$P$且收缩为$λ$的外台球是渐近周期的，即，有有限个周期轨道，每个轨道都被其中一个吸引。
New Invariants of Poncelet-Jacobi Bicentric Polygons
在两个圆之间相交的庞斯莱多边形的一维族被称为双中心族。利用椭圆函数和Liouville定理，我们证明了（i）这个族具有不变的内角余弦和和（ii）关于族的极限点的踏板多边形具有不变的周长.有趣的是，（i）和（ii）也是椭圆台球N-S的性质。此外，由于踏板多边形在（ii）是相同的椭圆台球N-π的反转相对于一个焦点为中心的圆，一个重要的推论是，（iii）椭圆台球焦点反转N-π有恒定的周长。有趣的是，这些也保存了它们的余弦之和（除了N=4的情况）。
Periodic Orbits on Obtuse Edge Tessellating Polygons
无摩擦台球桌上的周期轨道是台球的分段线性路径，其开始和结束于具有相同入射角的相同点。原始周期轨道的周期是球在其轨道上恰好经过一次时撞击桌子一侧的次数。在本文中，我们发现和分类的周期轨道的形状为120-等腰三角形，60-菱形，60-90-120-风筝，和30-直角三角形的台球桌。在每一种情况下，我们使用图形生成的平面的边缘镶嵌（也称为平铺）将周期轨道展开为直线段，并导出其周期的公式，以初始角度和初始位置表示。
Outer Billiards and Tilings of the Hyperbolic Plane
在本文中，我们提出了新的结果，关于外部台球的周期性在双曲平面周围的多边形表，这是瓷砖定期两件平铺的双曲平面。
Outer Billiards, Arithmetic Graphs, and the Octagon
外台球是一个几何启发动力系统的基础上凸形的平面。当形状是多边形时，系统具有组合的味道。在多边形的情况下，有一个自然加速的地图，第一个返回地图的某一条在平面上。算术图是第一个返回映射的符号动力学的几何编码。在我们研究的正八边形的情况下，与周期轨道相关的算术图是R^8中的多边形路径。我们感兴趣的是这些多边形路径的渐近形状，因为周期趋于无穷大。我们表明，这些图的任何序列的基本上重新缩放的限制收敛到一个分形曲线，同时项目的一种方式到一个变种的科赫雪花和另一种方式到一个变种的谢尔宾斯基地毯。在某种意义上，这给出了第一个返回映射的符号动力学的渐近行为的完整描述。使我们所有的证明工作是一个有效的（基本上众所周知的）动力学重整化方案。
Outer billiards
本文研究了正多边形外的外台球，特别是讨论了严格凸“表”和n = 3，4，6，8，12的正n边形的周期点。本文的主要结果是：1）证明了正八边形和十二边形外的台球存在周期点; 2）证明了正八边形的周期点集是满测度的; 3）列出了正八边形的所有可能周期.
Outer Billiards and the Pinwheel Map
在本文中，我们建立了一种双射之间的轨道的多边形外台球系统和轨道的相关（和更简单的分析）系统称为风车映射。这个结果的一个推论是：外台球系统有无界轨道当且仅当风车映射有无界轨道。由于风车映射更容易直接分析，我们认为这种双射将有助于解决多边形外台球的一些主要问题。
Aperiodic points for outer billiards
本文证明非三角形、正方形或六边形的正多边形上的欧几里得外弹球座存在非周期点，解决了R. Schwartz在ICM 2022提出的问题。
The current state of fractal billiards
如果D是一个有理多边形，则相关的有理台球桌由Ω（D）给出。这样的台球桌很好理解。若F是一条由有理多边形序列逼近的闭分形曲线，则相应的分形台球桌记为Ω（F）。本文综述了文献[LapNie1 - 3]中关于Koch雪花分形台球桌Ω（KS）的许多结果，并宣布了关于另外两个分形台球桌的新结果，即T-分形台球桌Ω（T）（见[LapNie6]）和自相似Sierpinski地毯台球桌Ω（S_a）（见[CheNie]）.我们建立了一个通用的框架内，我们称之为一系列的兼容轨道进行分析。讨论了每个预分形台球Ω（KS_n），Ω（T_n）和Ω（S_a，n）的特殊相容轨道序列的性质，其中n = 0，1，2. .在每一种情况下，我们能够确定一个特定的限制行为的适当制定的序列的兼容轨道。这样的极限或者构成分形台球桌Ω（F）的非平凡路径，或者构成Ω（F）的有限周期周期轨道。在我们的例子中，F将是KS，T或S_a。本文中讨论的几个结果和例子是第一次。然后，我们关闭一个简短的讨论开放的问题和进一步研究的方向，在新兴领域的分形台球。
Higher order terms of Mather's $β$-function for symplectic and outer billiards
本文利用仿射微分几何工具，显式计算了严格凸平面区域中辛台球与外部台球的Mather β-函数泰勒展开的高阶项，并确定了最佳逼近多边形距离渐近展开的第三项。
Mathematical Billiards
本文针对平面数学弹子球问题，证明了凸光滑焦散面外任意一点对应唯一弹子球桌，还构造了以肾形线为焦散面的弹子球桌，丰富了数学弹子球的相关研究。
An analogue of the Blaschke-Santaló inequality for billiard dynamics
Blaschke-Santaló不等式是凸几何中关于凸体及其对偶体体积的一个经典不等式。在这项工作中，我们研究了类似的台球动力系统的背景下，这个不等式：我们取代体积的最短封闭台球轨迹的长度。我们定义了一个称为凸体K的“台球积”的量，它类似于在Blaschke-Santaló不等式中研究的体积积。在平面的情况下，我们推导出一个明确的表达式台球产品的直径的机构。我们还调查了这个数量的上界在类的多边形与一个固定的顶点数。
Parking garages with optimal dynamics
我们构造广义多边形（“停车场”），其中台球流满足维奇二分法，虽然相关的翻译表面从Zemlyakov-Katok展开得到的不是一个晶格表面。我们还解释了在构建一个真正的多边形与这些属性的困难。
Billiards and Hofer's Geometry
本文建立凸平面台球与辛拓扑中Hofer几何的联系，证明光滑严格凸台球桌的台球球映射间Hofer距离可由台球桌间简单几何距离上界控制，并由此证明凸多边形台球球映射属于圆环光滑保面积映射群在Hofer度量下的完备化。
First Families of Regular Polygons
每一个正多边形都可以被看作是相关的正多边形的一个定义明确的“家族”的成员。这些家庭自然出现在分段旋转的研究，如外部台球。在某些情况下，它们存在于所有尺度上，可以用来定义“奇点集”的分形维数。这对于规则的N-边形（例如五边形、八边形和十二边形）是有据可查的，它们的代数复杂度是“二次”（EulerPhi[N]/2 = 2）。最近的证据表明，这些家庭的几何形状是固有的“父”多边形，可以独立于任何映射。这是本文的目的，以显示如何第一家庭的任何正多边形自然产生的几何形状的“星多边形”第一次研究托马斯布拉德沃丁（1290年至1349年）。第一家庭的核心是S[k]“瓷砖”。每个S[k]图块具有对应的“星点”sk = tan（kPi/N）和匹配尺度。基于C.Siegel和S.Chowla在1949年的一个结果，gcd（k，N）= 1的本原标度构成N的分圆域的最大实子域的单位基.传统上，这个子字段一直是仿射分段有理旋转的缩放和旋转参数的来源，我们的研究结果表明，第一家庭缩放可以作为一个“自然”的基础，这样的调查-其中包括外部台球地图。
Outer Billiards with Contraction: Attracting Cantor Sets
考虑多边形外具有收缩的外台球映射。我们构造了一个单参数系统族，使得每个系统都有一个开集，其中的动态被减少到区间上的分段收缩。利用旋转数理论，我们推导出开集内的每一点都渐近于一个周期轨道（有理情形）或一个康托尔集（无理情形）.特别是，我们推导出对于某些参数值存在吸引的康托尔集。此外，对于一个不同的选择的1-参数家庭，我们证明了该系统是唯一遍历，特别是，整个域是渐近的一个单一的吸引子。
Unbounded Orbits for Outer Billiards
外台球是一个基本的动力系统，定义相对于一个平面凸形。该系统由B.H.诺依曼和后来在20世纪70年代由J.莫泽推广。一直以来，一个中心问题是：是否存在一个具有无限轨道的外台球系统。我们回答这个问题，证明外台球定义相对于彭罗斯风筝有一个无界轨道。彭罗斯风筝是出现在著名的彭罗斯平铺中的四边形。我们还分析了彭罗斯风筝外层台球的一些更精细的轨道结构。该分析表明存在不可数的无界轨道集。我们的证明方法涉及的问题，自相似平铺，多边形交换地图，算术动力学。
Isoperimetric-type inequalities for Mather's $β$-function of convex billiards
本文通过研究弹奏系统的β函数，证明了圆弹奏可通过单一值确定，同时揭示了等周不等式在不同弹奏系统中的应用与限制。
Caustics of Poncelet polygons and classical extremal polynomials
全面分析了台球在欧氏平面内的椭圆的周期性轨迹。该方法的新颖性是基于作者最近建立的关系之间的周期性台球轨迹和极值多项式的系统上的$d$间隔的实线和椭球台球在$d$维空间。即使在平面的情况下，系统地研究在本文中，它导致新的结果在表征$n$周期性的轨迹与所谓的$n$椭圆周期性的轨迹，这是$n$ -周期性的椭圆坐标。的特征都是在底层的椭圆曲线和它的除数和多项式函数方程，如佩尔方程。这种新的方法也揭示了一些经典的结果。特别是，我们连接搜索焦散线产生的周期性轨迹与三个经典类的极值多项式的两个间隔，介绍了Zolotarev和Akhiezer。主要的分类工具是卷绕数，我们提供了几种解释，包括极值多项式交替点的数量。后者暗示了卷绕数之间的重要不等式，从而提供了旋转数单调性的另一个证明。一个完整的目录台球轨迹与小周期提供了$n=3, 4, 5, 6$随着一个有效的搜索焦散。作为一个副产品，一个有趣的连接之间的凯莱型条件和判别可分多项式已被观察到所有这些小周期。
Complexity for billiards in regular N-gons
本文计算正N边形等有理格点多边形的台球语言复杂度，通过按组合长度计数格点曲面上的鞍点连接，回答了Cassaigne-Hubert-Troubetzkoy提出的问题。
Shortest closed billiard orbits on convex tables
给定平面紧凸台球桌$T$，给出了求$T$上最短广义闭台球轨道的算法.（如果$T$具有光滑边界，则广义台球轨道是通常台球轨道。）如果$T$是多边形，则该算法是有限的，并且提供了一般的近似方案。作为一个例子，我们证明了正则$n$ -gon $R_n$中的最短广义闭台球轨道是$n \ge 4$的2-bounce，其长度是$R_n$宽度的两倍.作为应用，我们得到了在标准辛向量空间$\mathbb{R}^4$中计算四维域$T \times B^2$的Ekeland-Hohnder-Zehnder容量的算法.我们的方法是基于Bezdek-Bezdek的工作和Fagnano三角形在锐角三角形中的唯一性。它的作品，更一般地说，平面闵可夫斯基台球。
You can hear the shape of a billiard table: Symbolic dynamics and rigidity for flat surfaces
我们给出了一个完整的刻画之间的关系的欧氏多边形的形状和符号动力学的台球流。我们证明，只有对表，可以有相同的反弹频谱是直角表，不同的仿射映射。主要工具是一个新的定理，建立了一个平坦的锥度量是完全由其刘维尔流的支持。
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