A proof of Culter's theorem on the existence of periodic orbits in polygonal outer billiards
Serge Tabachnikov
讨论了C.卡尔特：每一个多边形外台球有一个周期性的轨迹。
We discuss a recent result by C. Culter: every polygonal outer billiard has a periodic trajectory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Polygonal Refractive Outer Billiards
该研究将Gutkin等、Tabachnikov等关于常规外台球的两个经典结果，推广到了凸多边形对应的折射外台球系统中。
Polygonal billiards with one side scattering
研究了正方形台球桌上单面垂直镜面散射的多边形台球。我们将这些台球的轨迹与双旋转相关联，并研究轨道行为和复杂性问题。
Entropy and Complexity of Polygonal Billiards with Spy Mirrors
证明了带单面镜的多边形台球的拓扑熵为零。在某些情况下，我们显示子指数和其他多项式估计的复杂性。
Bridge to Hyperbolic Polygonal Billiards
众所周知，多边形中的台球不可能是混沌的（双曲的）。特别是任何多边形台球的Kolmogorov-Sinai熵为零。我们认为物理多边形台球的运动粒子是一个硬盘，而不是一个点（数学）粒子，并表明，典型的物理多边形台球是双曲线至少在一个子集的积极措施，因此有一个积极的Kolmogorov-西奈熵的任何积极半径的运动粒子（假设粒子是不是那么大，它不能在多边形内移动）。这是因为一个典型的物理多边形台球相当于一个数学（点粒子）半分散台球。我们还推测，在相同条件下，多边形中的典型物理台球实际上是遍历的。
Infinite genus surfaces and irrational polygonal billiards
我们证明了与无理多边形桌子上的台球游戏相关联的自然不变曲面与尼斯湖水怪同胚，即唯一可定向的具有恰好一端的无限亏格拓扑实曲面。
Topologically weakly mixing polygonal billiards
我们表明，在一个典型的多边形的台球地图，以及其相关的子移位通过编码轨道的序列，他们访问的边是拓扑弱混合。
Complexity of piecewise convex transformations in two dimensions, with applications to polygonal billiards
引入了分段凸变换类，并研究了其复杂性。我们将结果应用于多边形台球的复杂性，常曲率的表面。
Does a billiard orbit determine its (polygonal) table?
在多边形台球集合上引入了一个新的等价关系。我们说，两个台球（或多边形）是顺序等价的，如果每个台球有一个轨道，其足点是密集的边界和这些轨道的足点的两个序列具有相同的组合顺序。我们研究这个等价关系与额外的正则性条件的轨道。
Hyperbolic polygonal billiards with finitely many ergodic SRB measures
我们研究多边形台球与反射法收缩的反射角朝向正常。证明了如果一个多边形没有平行边，则相应的台球映射有2个遍历SRB测度，其盆域覆盖一个完整的勒贝格测度集.
SRB measures for hyperbolic polygonal billiards
我们证明了多边形台球与收缩反射法表现出双曲吸引子与可数许多遍历SRB措施。这些措施是强大的反射法的小扰动下，和他们存在的表形成一个脱殊集在所有多边形的空间。具体的多边形表进行了详细研究。
Complexity and growth for polygonal billiards
我们建立了一个多边形台球的字的复杂性和广义对角线的数量之间的关系。我们得出结论，在合理的情况下，复杂性函数有立方的上界和下界。在平铺的情况下，复杂性有立方渐近增长。
Weak-mixing polygonal billiards
我们考虑一组多边形，其所有边都是垂直或水平的固定组合（例如所有的数字“L”）。我们发现，有一个密集的G $δ$这样的多边形子集，使每个多边形在这个G $δ$集的台球流是弱混合在几乎每个方向。
Code & order in polygonal billiards
两个多边形$P,Q$是代码等价的，如果有台球轨道$u,v$击中相同序列的边，使得轨道的投影在边界上是密集的$\partial P, \partial Q$。我们的主要结果表明，当代码等效多边形有相同的角度，分别。相似，分别。亲密相似
Properties of the flow on a polygonal Andreev billiard
给出了多边形Andreev台球的形式化定义，并构造了一个等价关系，该关系描述了Andreev反射的物理玩具模型中的动力学行为.连续流和离散流在各自的相空间上。然后，它表明，连续流保持体积元$dx\wedge dy\wedge dθ$的绝对值和台球（碰撞）地图保持措施$\cos ϕdr dϕ$，分别。然后可以描述一个合理的多边形Andreev台球桌的动力学。最后，讨论了超导介质上矩形纳米线玩具模型的分形扰动效应。
Finiteness in Polygonal Billiards on Hyperbolic Plane
\textsc{J. Hadamard}研究了负曲率曲面上的测地流的几何性质，从而开创了“符号动力学”。在这篇文章中，我们遵循同样的几何方法来研究台球在双曲平面上的“有理多边形”中的测地线轨迹。我们特别表明，台球动力学，从而只是“子移位的有限型”或其密集的子集。我们进一步表明，“Subshifts的有限型”中发挥了核心作用，在subshift动态和讨论的拓扑结构的空间的所有subshift，我们证明，他们近似任何移动动态。
Devil's Staircase -- Rotation Number of Outer Billiard with Polygonal Invariant Curves
本文讨论单参数外台球桌族不变曲线上的旋转数。给定一个凸多边形$η$，我们可以通过从$η$的内部切出一个固定区域来构造一个外部台球桌$T$。$T$是分段双曲的，多边形$η$是$T$在台球映射$ϕ$下的不变曲线。证明了：若$β$是有理旋转数为$τ= p / q$的外台球映射下的周期点，则该台球映射的第$n$次迭代不是$β$上的局部恒等式.这证明了作为面积参数的函数的旋转数$τ$是魔鬼阶梯函数。
How to hear the shape of a billiard table
多边形台球桌的反弹谱是与台球桌上的台球轨迹相对应的边缘标签的所有双无穷序列的集合。我们给出了从多边形台球桌的反弹谱重建其边缘标签的循环排序和其角度的大小的方法。我们还表明，它是不可能的，以重建一个多边形台球桌的确切形状从任何有限的收集有限字从它的反弹谱。
Homotopical rigidity of polygonal billiards
考虑两个$k$ -双$P$和$Q$。我们说$P$和$Q$中的台球流是同伦等价的，如果包含周期台球轨道的$P$的基本群中的共轭类的集合与$Q$的类似集合一致。我们研究了这种等价关系，并将其与\cite{BT1,BT2}中引入的等价关系，顺序等价和代码等价进行了比较。特别是，我们表明，如果$P$是一个合理的多边形，和$Q$是同伦等价的$P$，然后$P$和$Q$是相似的，或affirmative相似，如果所有的边$P$是垂直和水平的。
On the complexity of polygonal billiards
本文研究典型多边形台球的复杂性，证明复杂性三次增长、鞍连接二次增长，并给出收敛速率多项式下界及慢熵上界，还推广到高维和任意不变测度。
Hyperbolic polygonal billiards close to 1-dimensional piecewise expanding maps
我们考虑多边形台球与碰撞收缩的反射角朝向正常的边界表。在以前的工作中，我们证明了这样的台球有有限个遍历SRB测度支持双曲广义吸引子。在这里，我们研究这些措施的关系与遍历绝对连续不变的概率测度（acips）的拍打地图，1维地图从台球地图时，反射角总是等于零。我们的主要结果表明，对于一般多边形，如果反射律的Lipschitz常数足够小，则台球映射的各态历经SRB测度与相应拍击映射的各态历经acip之间存在一一对应，而且每个各态历经SRB测度的Bernoulli分量的个数等于相应各态历经acip的确切分量的个数.详细研究了台球在正多边形和三角形中的情形。
Polygonal symplectic billiards
本文研究多边形辛台球。我们提供了新的结果，其中一些是受到数值研究的启发。特别是，我们提出了几个多边形的所有轨道是周期性的。我们证明了它们的性质，并得出各种使用两个数值实现的apturations。
Deviation of ergodic averages for rational polygonal billiards
我们证明多项式上界的遍历平均值的偏差的直线流在几乎每个方向上的每个平移表面，特别是对那些表面所产生的合理多边形台球。
Growth rates for geometric complexities and counting functions in polygonal billiards
本文介绍一种新的方法来估计动力系统中各种量的增长。我们将我们的方法应用于多边形台球表面的常曲率。例如，我们得到的权力范围的程度2加长度的台球轨道之间的几乎所有对点的平面多边形的数量。
Inhomogeneous Diophantine Approximation and Angular Recurrence for Polygonal Billiards
对于一个给定的旋转数，我们计算的豪斯多夫维数的一组很好的逼近数。我们利用这个结果和Jarnik定理的非齐次形式证明了某些多边形中台球流的强递归性质
$λ$-stability of periodic billiard orbits
我们引入了一个新的概念，在多边形台球周期轨道的稳定性。我们说一个多边形台球的周期轨道是$λ$ -稳定的，如果有一个周期轨道为相应的弹球台球收敛到它作为$λ$ $\rightarrow$ 1。这种稳定性的概念与Galperin、Stepin和Vorobets提出的概念无关。给出了周期轨道是$λ$ -稳定的充必要条件，并证明了具有至多有限个$λ$ -稳定周期轨道的d-空间是稠密的.此外，我们还完全确定了可积多边形中的$λ$ -稳定周期轨道。
Dual billiards, Fagnano orbits and regular polygons
我们研究了对偶多边形台球的Fagnano轨道的概念。我们用它们刻画了正多边形，并研究了展开图的迭代问题。
Uniqueness of Billiard Coding in Polygons
我们考虑多边形台球，我们显示的唯一性的编码的非周期性台球轨迹的多边形的孔具有非零的最小直径，广义定理Galperin，Krüger和Troubetzkoy。
Weakly Mixing Polygonal Billiards
本文证明了存在非有理多边形的剩余集，使得台球流关于Liouville测度弱混合，其核心方法是通过Baire范畴论证及平移曲面方向对流的遍历性与特征值性质。
Veech groups, irrational billiards and stable abelian differentials
我们描述Veech集团的平面所产生的非理性的角度多边形台球或不可约的稳定阿贝尔微分。对于无理多边形台球，我们证明了这些群是SO（2，R）的非离散子群，并计算了它们的秩。
On recurrence and ergodicity for geodesic flows on noncompact periodic polygonal surfaces
研究了非紧多边形曲面上具有自由余紧作用$\Z$或$\Z^2$的台球的常返性和遍历性。在$\Z$ -周期性的情况下，我们建立复发的标准。在更困难的$\Z^2$ -周期的情况下，我们建立了一些一般的结果。对于一个特殊的家庭的$\Z^2$ -周期多边形表面，在物理文献中称为风树模型，假设一定的几何性质的限制，我们得到遍历分解的方向台球动力学的一个密集的，可数的方向。这是一个后果，我们的结果遍历$\ZZ$值上循环的无理旋转。
Outer Billiards and Tilings of the Hyperbolic Plane
在本文中，我们提出了新的结果，关于外部台球的周期性在双曲平面周围的多边形表，这是瓷砖定期两件平铺的双曲平面。
Stability of periodic orbits in no-slip billiards
在一组自然的物理要求下，二维刚体碰撞贴图可以分为两种类型：标准镜面反射贴图和第二种，我们称之为Broomhead和Gutkin之后的无滑移贴图。这导致研究无滑台球-平面台球系统中的移动粒子是一个磁盘（旋转对称的质量分布），其平移和旋转速度都可以改变在每次碰撞的边界的台球域。在本文中，我们大大扩展了以前的结果（Broomhead和Gutkin）的有界性和线性稳定性的Sinai型台球（Wojtkowski）的无滑台球的周期轨道。我们证明了：（i）对于具有分段光滑边界和至少一个内角小于$π$的平面上的台球区域，无滑移台球动力学总是包含椭圆周期- $2$轨道;（ii）多边形无滑移台球总是允许小的不变开集，因此关于正则不变台球测度不能遍历;（三）无滑动版本的西奈台球必须包含线性稳定的周期轨道的周期$2$，更一般地说，我们提供了一个曲率阈值，在此通常发生的周期- $2$轨道从双曲线转移到椭圆形;（四）最后，我们提出了一些意见关于周期轨道在一类多边形台球。
On Chaotic Dynamics in Rational Polygonal Billiards
我们讨论了有理多边形台球中与可积性和混沌特征相关的分段线正则边界效应和顶角奇异边界效应之间的相互作用。多边形中规则和不规则运动的有争议的问题的处理方法是在确定性和随机性的框架内进行的。分析的台球壁碰撞分布和粒子的生存概率，分别在封闭和弱开多边形模拟。在多顶点多边形中，后期的壁碰撞事件导致圆形的规则的周期性轨迹（滑动轨道），这在开放台球的情况下可能被转化为幸存的集体激发（涡）。在弱开多边形中，滑动轨道和涡旋与相应的圆台球中的规则轨道没有拓扑相似性，通过普适和非普适弛豫动力学可以很好地区分滑动轨道和涡旋.
Outer Billiards and the Pinwheel Map
在本文中，我们建立了一种双射之间的轨道的多边形外台球系统和轨道的相关（和更简单的分析）系统称为风车映射。这个结果的一个推论是：外台球系统有无界轨道当且仅当风车映射有无界轨道。由于风车映射更容易直接分析，我们认为这种双射将有助于解决多边形外台球的一些主要问题。
Dissipative outer billiards: a case study
研究耗散多边形外台球，即关于凸多边形的具有压缩反射律的外台球。我们证明了关于任意三角形和正方形的耗散外台球是渐近周期的，即它们有2个全局吸引周期轨道。给出了周期轨道随收缩率变化的分岔的完整描述。对于正方形台球，我们还证明了在顶点和收缩率的小扰动下，渐近周期行为是鲁棒的。最后，我们描述了一些数值实验表明，耗散外台球约正多边形是一般渐近周期。
Outer Billiards, Arithmetic Graphs, and the Octagon
外台球是一个几何启发动力系统的基础上凸形的平面。当形状是多边形时，系统具有组合的味道。在多边形的情况下，有一个自然加速的地图，第一个返回地图的某一条在平面上。算术图是第一个返回映射的符号动力学的几何编码。在我们研究的正八边形的情况下，与周期轨道相关的算术图是R^8中的多边形路径。我们感兴趣的是这些多边形路径的渐近形状，因为周期趋于无穷大。我们表明，这些图的任何序列的基本上重新缩放的限制收敛到一个分形曲线，同时项目的一种方式到一个变种的科赫雪花和另一种方式到一个变种的谢尔宾斯基地毯。在某种意义上，这给出了第一个返回映射的符号动力学的渐近行为的完整描述。使我们所有的证明工作是一个有效的（基本上众所周知的）动力学重整化方案。
Sequences of compatible periodic hybrid orbits of prefractal Koch snowflake billiards
Koch雪花KS是一条无处可微的曲线。具有边界KS的台球桌Omega（KS）先验地没有很好地定义。也就是说，人们不能先验地确定台球在桌子的边界中受到碰撞所经过的最小路径。正是这个问题使得欧米茄（KS）成为一个有趣但难以分析的表。在本文中，我们处理这个问题的近似（从内部）欧米茄（KS）由定义良好的（prefractal）合理多边形台球表欧米茄（KS_n）。首先证明了由有理台球Ω（KS_n）确定的平面S（KS_n）是单穿孔六角环面的分支覆盖。这样的结果，当结合的结果[Gut 2]，使我们能够定义一个序列的兼容轨道的prefractal台球。定义了一个预分形台球Omega（KS_n）的杂化轨道，并证明了预分形台球的每一个稠密轨道都是Omega（KS_n）的稠密杂化轨道.这个结果是关键，在获得一个拓扑二分法的一系列兼容的轨道。此外，我们确定了相容轨道序列是相容周期混合轨道序列的一个充分条件。然后，我们研究相容的周期混合轨道序列的极限行为。我们表明，平凡的限制，特别是（最终）常数序列的兼容混合轨道构成一个轨道的欧米茄（KS）。此外，我们表明，工会的两个适当选择的非平凡的多边形路径连接两个难以捉摸的极限点的科赫雪花。最后，我们将讨论如何可能将我们的结果推广到其他分形台球桌和如何理解的Veech组的prefractal台球的结构可能有助于确定“分形平面”自然与台球流。
A counter-example to the theorem of Hiemer and Snurnikov
如果对于$¶$中的每对点$(O,A)$，存在有限数量的"阻塞“点$B_1, ..., B_n$，使得从$O$到$A$的每个台球轨迹满足其中一个$B_i$，则称平面多边形台球$¶$具有有限阻塞性质。作为一个反例Hiemer和Snurnikov定理，我们构造了一个家庭的理性台球，缺乏有限阻塞属性。
Periodic Orbits of Oval Billiards on Surfaces of Constant Curvature
本文定义并研究常曲率曲面上有界区域上的台球问题。我们证明了，这个问题定义了一个2维保守和可逆的动力系统，定义了一个扭曲的同构，如果该区域的边界是一个椭圆形。使用这些属性和定义良好的扰动台球，我们表明，在这个新的版本中，只有有限数量的非退化周期轨道为每个固定的周期是一个开放的性质，台球表面上的常曲率和密集的欧几里德和双曲平面。对于密度的证明，我们用于欧几里得和双曲情况的技术不适用于球形情况，这是由于一个约束（多边形轨迹的周长是π的倍数）。最后，我们研究了这些非退化轨道的稳定性。
Towards the Koch Snowflake Fractal Billiard: Computer Experiments and Mathematical Conjectures
在本文中，我们试图定义和理解的Koch雪花分形台球$KS$的轨道。这是一个先验的非常困难的问题，因为$\partial(KS)$，即$KS$的雪花曲线边界，在任何地方都是不可微的，使得不可能在台球桌边界的任何点上应用通常的反射定律。因此，我们认为prefractal台球$KS_n$（自然近似$KS$从内部）作为合理的多边形台球，并检查相应的平面$KS_n$，表示为$\mathcal{S}_{KS_n}$。为了更清楚地了解台球$KS$上可能发生的情况，我们在$KS_n$上模拟台球轨迹（首先，对于固定的$n\geq 0$）。这样的计算机实验为我们提供了丰富的问题，并导致我们制定有关$KS$的周期轨道的存在性和几何性质的命题，并详细说明了一个可能的计划，如何证明这种命题。
On the Local Theory of Billiards in Polygons
多边形台球桌上的周期性轨迹是稳定的，如果它在任何足够小的扰动下持续存在。一个标准的结果是，$n$ -边形上的周期轨迹以自然的方式产生$n$ -穿孔球面上的闭路，并且该轨迹是稳定的当且仅当该路径是零同调的。我们提出了一个新的证明，这一结果的语言覆盖空间，它概括到一个多边形的邻域中的稳定轨迹的特征。利用这一点，我们分类的稳定周期轨道附近的30-60-90三角形，给出了一个新的证明施瓦茨的结果，没有邻居的三角形可以覆盖一个有限的联盟的轨道瓦片。推广了Hooper和Schwartz关于等腰Veech三角形$V_n$不允许$n=2^m,m\ge 2$有周期轨道的结果，并检验了他们关于$V_n$的邻域不可能被多个轨道瓦片覆盖的猜想.
Reflective projective billiards in the plane: odd periods, period five, and metric rigidity
本文研究反射律逐边恒定的多边形投影台球，给出显式单参数族覆盖所有至少三的周期（含奇周期），并完整刻画周期五情形，证明度量刚性，指出仅球面支持周期轨道开族。
Impact Hamiltonian systems and polygonal billiards
用可分离的两自由度哈密顿系统描述了由弹簧固定在水平框架上并从台阶上反弹的梁的动力学，该系统在点方向上具有可分性对称性。在每个自由度的能量被保存，并且沿着每个水平集的运动通过作用角坐标被共轭到四维相空间中的平坦二维表面上的测地流。然而，对于一系列的能量，这些表面不是简单的刘维尔-阿诺德环面-这些是亏格2的环面，因此它们上的运动不共轭于简单的旋转。也就是说，即使能量没有在两个自由度之间转移，碰撞系统也是准可积的，并且不是Liouville-Arnold型的。事实上，对于这个范围内的每个水平集，运动与L形台球中的方向运动的充分研究和高度非平凡的动力学共轭，其中台球区域和形状以及运动方向在等能量水平集上连续变化。返回映射到庞加莱部分的流被示出为共轭，在每个水平集上，间隔交换映射计算，直到求积，在一般的非线性情况下，明确的情况下，两个线性振子反弹的步骤。它是建立在任何这样的振荡器步骤系统存在的步骤位置，其中一些水平集表现出的运动，既不是周期性的，也不是遍历。通过引入额外的台阶、阶梯、条带和块来改变粒子被反射的影响表面，导致由属k水平集表面的家族来划分的等能表面，其中属k的家族的数量和顺序取决于能量。
Outer length billiards on polygons
本文研究多边形台面上的外长度台球系统，描述远离台面的轨道行为，并对正方形台面的逃逸轨道提出猜想，补充了处理光滑正曲率台面的相关研究。
Families of Periodic Orbits of the Koch Snowflake Fractal Billiard
我们描述的预分形科赫雪花台球（第n个内部合理的折线逼近的科赫雪花台球）的周期轨道。在有限（prefractal）台球桌的情况下，我们着重于由pi/3的初始角给出的方向，并定义了1）分段Fagnano轨道的相容序列，2）轨道的最终常数相容序列和3）广义分段Fagnano轨道的相容序列.在无限（分形）台球桌的情况下，我们将描述我们所谓的科赫雪花分形台球稳定周期轨道。在某种意义上，我们证明了在康托尔集上定义台球动力学是可能的。此外，我们将表明，逆极限的足迹的轨道的prefractal近似存在于一个特定的情况下，并提供一个可扩展性参数，为什么这样的逆极限的足迹应该构成的足迹的一个定义良好的周期轨道的分形台球。利用有限空间序列的逆极限的已知结果，我们推导出足迹（即，轨道与边界的交点）是拓扑康托尔集和自相似康托尔集。我们提到一个可能的表征轨道的初始方向为π/3。这样的特征将允许人们将Koch雪花台球的初始方向为pi/3的轨道描述为分段Fagnano轨道、稳定轨道或广义分段Fagnano轨道。然后，我们关闭的文件，讨论了几个悬而未决的问题和progratures有关科赫雪花分形台球，相关的“分形平面”，并可能与相关的分形鼓。从长远来看，目前的工作可能有助于奠定基础的分形台球的一般理论。
Escape orbits and Ergodicity in Infinite Step Billiards
在前一篇文章中，我们定义了一类非紧多边形台球，即无限步台球：对于给定的非负数递减序列$\{p_{n}$，有一个对应表$\Bi := \bigcup_{n\in\N} [n,n+1] \times [0,p_{n}]$ .在本文中，首先我们将上一篇论文的主要结果推广到更广泛的例子类别。也就是说，A. S。存在唯一的逃逸轨道，其属于每个其它轨道的α和ω极限。然后，Troubetzkoy最近的工作后，我们证明，一般这些系统是遍历几乎所有的初始速度，和熵相对于广泛的一类遍历措施是零。
The plaid model and outer billiards on kites
本文是第三次在一系列探讨了一种组合的方法，在平面上产生格多边形。我把这种方法称为格子模型。在本文中，我证明了主要的结果，我一直针对从一开始，这是表明，有一个粗糙的同构之间的格子模型和所谓的算术图外台球风筝。该定理的内容是，格子模型预测的符号动力学的外部台球轨道，一个单位的误差。这一结果与其他论文的工作相结合，给出了第二个证明，外台球有无界轨道的每一个不合理的风筝。到目前为止，这些是唯一已知的具有此属性的多边形示例。
Unbounded orbits for the Plaid Model
本文是我的论文《格子模型介绍》的续篇。本文证明了格子模型对任意无理参数都有无界多边形路径。这个结果与我的结论相似，即风筝上的外台球对每个无理参数都有无界轨道
On the finite blocking property
如果对于$¶$中的每对点$(O,A)$，存在有限数量的"阻塞“点$B_1, ..., B_n$，使得从$O$到$A$的每个台球轨迹满足其中一个$B_i$，则称平面多边形台球$¶$具有有限阻塞性质。推广我们的建设一个反例的定理Hiemer和Snurnikov（见\cite{Mo}），我们表明，只有正多边形，具有有限的阻塞性质是正方形，等边三角形和六边形。然后我们将这个结果推广到平移曲面。证明了具有有限块性质的Veech曲面是环面分支覆盖。我们还提供了一个局部的充分条件的平移面失败的有限块性质。这使我们能够给出一个完整的分类的L-型曲面以及获得一个密度结果的空间中的平移曲面在每一个亏格$g\geq 2$。
Is every triangle a trajectory of an elliptical billiard?
本文运用 Marden 定理证明每个三角形、平行四边形及“Darboux butterflies”自交折线均为某唯一椭圆内的台球轨迹，并有效计算出边界椭圆的焦点，揭示了 Marden 定理与 Poncelet Porism 间的联系。
Full rank affine invariant submanifolds
我们发现，每一个GL（2，R）轨道封闭的平移表面是一个连接的组成部分的一个阶层，超椭圆轨迹，或完全由表面的雅可比有额外的自同态。我们使用这个结果给多边形台球相关的应用。例如，我们展示了无穷多个有理三角形，它们的开折具有稠密的GL（2，R）轨道。
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