Devil's Staircase -- Rotation Number of Outer Billiard with Polygonal Invariant Curves
本文讨论单参数外台球桌族不变曲线上的旋转数。给定一个凸多边形$η$，我们可以通过从$η$的内部切出一个固定区域来构造一个外部台球桌$T$。$T$是分段双曲的，多边形$η$是$T$在台球映射$ϕ$下的不变曲线。证明了：若$β$是有理旋转数为$τ= p / q$的外台球映射下的周期点，则该台球映射的第$n$次迭代不是$β$上的局部恒等式.这证明了作为面积参数的函数的旋转数$τ$是魔鬼阶梯函数。
2014-02-10 math.DS
Outer billiards outside regular octagon: set of full measure and an aperiodic point
本文对正八边形外台球进行了详细的研究。我们描述了所有的周期点及其周期，证明了这些周期点构成八边形外的一个满测度集，并找到了一个非周期点。
2017-12-04 math.DS
Asymptotic periodicity in outer billiards with contraction
我们证明了对于几乎每一个$(P,λ)$，其中$P$是凸多边形，并且$λ\in(0,1)$，相应的关于$P$且收缩为$λ$的外台球是渐近周期的，即，有有限个周期轨道，每个轨道都被其中一个吸引。
2017-07-04 math.DS
Outer Billiards with Contraction: Regular Polygons
我们研究了在正多边形外具有收缩的外台球。对于正则的具有$n = 3, 4, 5, 6, 8$和$12$的$n$ -图，我们证明了当收缩率接近$1$时，系统的动力学在一定意义上收敛于通常的外台球图的动力学。这些正是$n \geq 3$和$[\mathbb{Q}(e^{2πi/n}):\mathbb{Q}] \leq 2$的值。然后，我们讨论如何收敛可能失败的情况下，$n=7$。
2015-02-09 math.DS
Scarcity of periodic orbits in outer billiards
我们给出了一个简单的证明，我们以前的结果与V.Zharnitsky，周期4轨道集的平面外台球分段光滑凸边界有空的内部，如果没有四个角落的边界形成一个圆。我们还得到了周期5和6的轨道。
2017-12-25 math.DS
Outer billiards
本文研究了正多边形外的外台球，特别是讨论了严格凸“表”和n = 3，4，6，8，12的正n边形的周期点。本文的主要结果是：1）证明了正八边形和十二边形外的台球存在周期点; 2）证明了正八边形的周期点集是满测度的; 3）列出了正八边形的所有可能周期.
2017-11-24 math.DS
Outer Billiards and Tilings of the Hyperbolic Plane
在本文中，我们提出了新的结果，关于外部台球的周期性在双曲平面周围的多边形表，这是瓷砖定期两件平铺的双曲平面。
2014-06-24 math.DS
Elliptic islands and zero measure escaping orbits in a class of outer billiards
本文研究一类圆形扇区外台球系统，证明半圆盘存在正比例椭圆岛（稳定性），并构造可数族扇区使逃逸轨道测度为零，展示稳定性与扩散共存。
2025-06-23 math.DS
Outer Billiards on Kites
外台球是一个简单的动力系统的基础上凸平面形状。莫泽-诺依曼问题，首先由B.H.诺依曼在1960年左右，问是否存在一个平面形状，其中外部台球有一个无界轨道。这本专著的前半部分证明了外台球有一个相对于任何无理风筝定义的无界轨道。下半年的专着给出了一个非常尖锐的描述一套无界轨道，无论是在动力学和豪斯多夫维数。两半的分析揭示了风筝上的外部台球和模群之间的密切联系，以及与自相似镶嵌、多面体交换映射、丢番图逼近和里程计的联系。
2008-07-29 math.DS
Remarks on the outer length billiards
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Penn State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文研究外长度弹奏，证明了Ivrii猜想的3和4周期版本，并给出了构造具有n周期点的弹奏桌的方法。
2026-03-06 math.DS
Outer billiards outside regular dodecagon: computer proof of periodicity of almost all orbits and existence of an aperiodic point
证明了正十二边形外台球非周期点的存在性。此外，几乎所有的轨道这样的外台球被证明是周期的，所有可能的周期被明确列出。证明是基于事实建立的计算机程序由作者实现。程序的所有计算都是绝对精确的;这些计算可以“手工”完成，但在这种情况下，计算量太大。
2018-09-11 math.DS
Unbounded Orbits for Outer Billiards
外台球是一个基本的动力系统，定义相对于一个平面凸形。该系统由B.H.诺依曼和后来在20世纪70年代由J.莫泽推广。一直以来，一个中心问题是：是否存在一个具有无限轨道的外台球系统。我们回答这个问题，证明外台球定义相对于彭罗斯风筝有一个无界轨道。彭罗斯风筝是出现在著名的彭罗斯平铺中的四边形。我们还分析了彭罗斯风筝外层台球的一些更精细的轨道结构。该分析表明存在不可数的无界轨道集。我们的证明方法涉及的问题，自相似平铺，多边形交换地图，算术动力学。
2007-02-24 math.DS
Outer length billiards on a large scale
Department of Mathematics, Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学数学系）
本文研究外长度台球系统，给出生成函数与不变面积形式，揭示远离台球桌时轨道趋近于以原点为中心的圆，并阐明辅助圆圆心在无穷远处的轨道与台球桌对称化极对偶曲线的关系。
2025-10-09 math.DS
Outer billiards with the dynamics of a standard shift on a finite number of invariant curves
我们给出了一个漂亮的明确的例子，凸平面曲线，使外部台球有一个给定的有限数量的不变曲线。此外，这些曲线上的动态变化是一种标准的变化。这个例子可以被认为是所谓的古特金台球桌的外部模拟。我们测试总的可积性，这些台球，在两个不变曲线之间的区域。接下来，我们提供计算机模拟在这个区域的动态。乍一看，动力学看起来很规则，但通过放大图片，我们可以看到双曲周期轨道附近的混沌行为。我们相信这是一个有用的几何例子扭曲映射的规则和混沌行为的共存。
2018-11-12 math.DS
Starting the study of outer length billiards
本文开创外长度台球研究，证明椭圆情形完全可积，并给出Mather β-函数一阶项及4阶Lazutkin坐标的显式表示。
2025-04-16 math.DS
Outer billiards of symplectically self-polar convex bodies
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文研究了辛自极凸体的外Billiards映射，证明其存在由4周期轨道组成的不变超曲面，为更高维Birkhoff Billiards提供了非平凡不变结构。
2025-10-13 math.DS
Higher order terms of Mather's $β$-function for symplectic and outer billiards
本文利用仿射微分几何工具，显式计算了严格凸平面区域中辛台球与外部台球的Mather β-函数泰勒展开的高阶项，并确定了最佳逼近多边形距离渐近展开的第三项。
2023-11-02 math.DS
Outer Billiards with Contraction: Attracting Cantor Sets
考虑多边形外具有收缩的外台球映射。我们构造了一个单参数系统族，使得每个系统都有一个开集，其中的动态被减少到区间上的分段收缩。利用旋转数理论，我们推导出开集内的每一点都渐近于一个周期轨道（有理情形）或一个康托尔集（无理情形）.特别是，我们推导出对于某些参数值存在吸引的康托尔集。此外，对于一个不同的选择的1-参数家庭，我们证明了该系统是唯一遍历，特别是，整个域是渐近的一个单一的吸引子。
2015-01-23 math.DS
On algebraically integrable outer billiards
证明了如果平面椭圆的外台球映射在一定非退化意义下代数可积，则该椭圆是椭圆。
2007-08-02 math.AG math.DS
On polynomially integrable planar outer billiards and curves with symmetry property
证明了所有多项式可积的平面外凸台球都是椭圆的。
2018-06-21 math.AG math.DS
Outer Contact Billiards
Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学数学研究所）；Department of Mathematics, Instituto Tecnológico Autónomo de México（墨西哥自治理工学院数学系）
该研究提出外接触台球作为外辛台球的奇维对应物，证明其可生成接触同胚，实射影三维空间中二次曲面对应完全可积且无3周期轨道，仅一个二次表有4周期轨道。
2026-08-21 math.DS math.SG
On configuration spaces of plane polygons, sub-Riemannian geometry and periodic orbits of outer billiards
根据Baryshnikov和Zharnitskii最近的一篇论文，我们考虑了平面上具有由周期轨道组成的不变曲线的外台球。我们证明了存在和丰富的这样的表使用工具，从次黎曼几何。我们还证明了3-周期台球外轨道集有零测度。
2006-04-18 math.DG math.DS
Ivrii's conjecture for some cases in outer and symplectic billiards
本文证明平面外台球两类周期 Ivrii 猜想，并以新几何论证统一处理外台球与辛台球的 3、4 周期情形，且推广辛台球至高维。
2024-10-29 math.DS math.SG
Aperiodic points for outer billiards
Bar--Ilan University（巴伊兰大学）；Moscow Center for Advanced Studies（莫斯科高等研究中心）；HSE University（俄罗斯国立高等经济大学）
本文证明非三角形、正方形或六边形的正多边形上的欧几里得外弹球座存在非周期点，解决了R. Schwartz在ICM 2022提出的问题。
2026-10-26 math.DS math.MG
Outer Billiards on the Penrose Kite: Compactification and Renormalizaiton
在这篇长论文中，我们给出了一个相当完整的分析外台球的彭罗斯风筝。我们的分析表明，这个二维非紧系统有一个三维紧化，一定的多面体交换映射，这种紧化有一个重整化方案。这两个特征使我们能够对轨道的分布、大尺度几何、细尺度几何和隐藏的代数对称性作出一些尖锐的陈述。例如，我们的一个结果是无界轨道的并集具有豪斯多夫维数1。给出了紧化和重整化结果的计算机辅助证明。这个证明涉及到用精确的整数运算进行的大量计算。
2011-02-22 math.DS
Hyperbolic outer billiards : a first example
我们提出了双曲外台球的第一个例子。更确切地说，我们构建了一个参数家庭的例子，在某种意义上对应于Bunimovich台球。
2006-04-13 math-ph math.DS math.MP
Outer billiard outside regular polygons
我们考虑规则凸多边形外的外台球。我们处理的情况下，正多边形与$\{3,4,5,6,10\}$双方，我们描述的符号动力学的地图和计算语言的复杂性。
2011-02-07 math.CO math.DS
Periodic orbits in outer billiards
证明了具有分段光滑凸边界的外台球中的四周期轨道集的内部是空的，只要边界的四个角不构成一个球面。
2006-09-28 math-ph math.DS math.MP
Outer billiards in the complex hyperbolic plane
本文研究复双曲平面中二次凸超曲面诱导的外台球映射，证明其外部具有双重测地叶状结构，且该映射为辛同胚，推广了双曲平面和复欧氏空间中的已知几何性质。
2025-03-10 math.DG math.DS
Unbounded orbits in $C^1$-generic centrally symmetric strictly convex outer billiards
University of Rome Tor Vergata（罗马托尔维加塔大学）；Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文证明在$C^1$-generic中心对称严格凸外弹子球中，存在无界轨道，肯定回答了Moser和Neumann的著名问题，关键利用刚性定理和Mather扩散机制。
2026-10-06 math.DS
Outer Billiards on Regular Polygons
1973年，J. Moser提出他的扭曲定理可以用来证明一条足够光滑的闭曲线上的外台球映射的轨道总是有界的。五年后莫泽问同样的问题，一个凸多边形。1987年F. Vivaldi和A. Shaubeko表明，所有轨道的正多边形必须有界。R.施瓦茨最近表明，四边形称为彭罗斯风筝有无界轨道，他提出，“大多数”凸多边形支持无界轨道。除了少数特殊情况外，人们对正多边形上外台球映射的动力学知之甚少。在本文中，我们提出了一个统一的方法来分析的正多边形-使用正则的共振，这是共享的所有规则的N-π。在正五边形和正八边形的情况下，这些共振存在于所有尺度上，分形结构也有很好的记录，但这些是唯一被分析过的非平凡情况。我们提出了一个部分分析的规则七边形，但限制结构知之甚少，这并不预示着好的其余正多边形。正则N边形顶点的极小多项式的次数为Phi（N）/2，其中Phi是欧拉函数，因此N = 5、7和11分别是二次、三次和五次多项式。用R. Schwartz说：“像N = 11这样的情况似乎超出了当前技术的范围。“有些图形已经嵌入了高分辨率版本，所以这个文件的大小约为39 Mb。这个文件和一个较小的版本可以在dynamicsofpolygons. org下载。只需点击PDF。本文旨在纪念尤金·古特金（Eugene Gutkin，1946-2013），他对内外台球都做出了重要贡献。
2014-10-07 math.DS
Outer length billiards on polygons
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文研究多边形台面上的外长度台球系统，描述远离台面的轨道行为，并对正方形台面的逃逸轨道提出猜想，补充了处理光滑正曲率台面的相关研究。
2025-10-13 math.DS math.MG
The plaid model and outer billiards on kites
本文是第三次在一系列探讨了一种组合的方法，在平面上产生格多边形。我把这种方法称为格子模型。在本文中，我证明了主要的结果，我一直针对从一开始，这是表明，有一个粗糙的同构之间的格子模型和所谓的算术图外台球风筝。该定理的内容是，格子模型预测的符号动力学的外部台球轨道，一个单位的误差。这一结果与其他论文的工作相结合，给出了第二个证明，外台球有无界轨道的每一个不合理的风筝。到目前为止，这些是唯一已知的具有此属性的多边形示例。
2015-11-29 math.CO math.DS
Integrable Outer billiards and rigidity
本文提出了一种新的平面外台球生成函数，并利用它证明了刚性结果：若正曲率光滑凸曲线邻域由外台球映射不变的连续曲线叶状化，则该曲线必为椭圆，证明中通过寻找合适权重克服相空间非紧性并归约为Blaschke-Santalo不等式。
2023-11-27 math-ph math.DS math.MP
Tangent ray foliations and their associated outer billiards
令$v$是空间形式中完备脐点（但不是全测地线）超曲面$N$上的单位向量场;例如单位球面$S^{2k-1} \subset \mathbb{R}^{2k}$上，或双曲空间中的时球面上。给出了以$v$（和$-v$）为初速度的射线在$v$上使$N$的外$U$成叶的充要条件.我们发现和探索这些向量场，测地线向量场，接触结构之间的关系$N$。当对应于每个$\pm v$的射线使$U$分层时，$v$诱导出其台球桌为$U$的外部台球图。我们描述了$N$上的单位向量场，其相关的外部台球映射是体积保持的。本文还详细研究了一个特例，即当$N \simeq \mathbb{R}^3$是四维双曲空间的时球，$v$是由一个Hopf向量场在$S^{3}$上的球极平面投影归一化得到的$N$上的单位向量场.在相应的外台球映射中，我们发现了显式的周期轨道，无界轨道和有界非周期轨道。最后，我们与几个问题的拓扑结构和几何形状的bifoliating向量场和动力学的相关外台球。
2022-05-09 math.DG math.DS math.GT
Outer Billiards, Digital Filters and Kicked Hamiltonians
1978年，Jurgen Moser提出了外台球映射（切线映射）作为哈密顿动力学的不连续模型。十年前，J. B。杰克逊和他在贝尔实验室的同事们试图了解数字滤波器中自持振荡的来源。一些离散映射用来描述这些过滤器显示了显着的能力，'阴影'的切线地图时，多边形的问题是定期的。在本文中，我们描述了一个特定的数字滤波器地图（Df），似乎有动力学是共轭的切线映射的一个规则的N-边形与N偶。当N是奇数时，有证据表明N的切线映射动力学和匹配的2N边形之间存在另一个共轭性，因此可以在N = 14的上下文中用Df映射研究N = 7的情况。这提供了效率的数倍提高，并且还允许我们概括切线映射以获得“step-k”版本-其具有未探索的动态。我们还介绍了一些相关的地图，包括Chua和Lin的三维版本的Df，Orla Feely的模数转换器，Peter Ashwin的标准地图和各种踢谐波振荡器。所有这些似乎都以某种形式影响了切线贴图。Mathematica代码在这里和DynamicsOfPolyphony.org上提供了所有映射。
2015-04-08 math.DS
Outer Billiards, Arithmetic Graphs, and the Octagon
外台球是一个几何启发动力系统的基础上凸形的平面。当形状是多边形时，系统具有组合的味道。在多边形的情况下，有一个自然加速的地图，第一个返回地图的某一条在平面上。算术图是第一个返回映射的符号动力学的几何编码。在我们研究的正八边形的情况下，与周期轨道相关的算术图是R^8中的多边形路径。我们感兴趣的是这些多边形路径的渐近形状，因为周期趋于无穷大。我们表明，这些图的任何序列的基本上重新缩放的限制收敛到一个分形曲线，同时项目的一种方式到一个变种的科赫雪花和另一种方式到一个变种的谢尔宾斯基地毯。在某种意义上，这给出了第一个返回映射的符号动力学的渐近行为的完整描述。使我们所有的证明工作是一个有效的（基本上众所周知的）动力学重整化方案。
2010-07-19 math.DS
Billiard tables with rotational symmetry
我们推广了以下简单的几何事实：唯一的中心对称的等宽凸曲线是圆。台球对等宽条件的解释是：一条平面曲线有等宽，当且仅当，平面曲线内的Birkhoff台球映射有一条旋转不变曲线的$2$ -周期轨道。我们将这一陈述推广到旋转角度为$\frac{2π}{k}$不变的曲线，其中台球映射具有$k$ -周期轨道的旋转不变曲线。类似的结果也适用于外台球和辛台球。最后，我们考虑单位圆盘内的Minkowski台球的Minkowski（不一定是对称的）规范下的线性映射顺序$k\ge 3$不变。我们找到了$k$ -周期轨道不变曲线存在的一个判据。作为一个应用程序，我们得到了所有这些台球的刚度结果。
2021-10-04 math.DS
Star-shaped trajectories of certain billiards around a triangle
本研究在Beltrami-Klein模型框架下，基于已有研究考察双曲平面中三角形外台球映射旋转数为2/5的情况，给出充分条件并证明其对大等腰三角形的必要性，最后提出相关猜想。
2024-10-09 math.DS
Outer billiards in the spaces of oriented geodesics of the three dimensional space forms
本文在三维常曲率空间形式的有向测地线空间中定义外台球映射，证明其在二次凸曲面下为微分同胚，并在曲率±1情形下证明其为辛同胚，同时引入周期点和乐概念以开展双曲情形的动力学研究。
2025-03-10 math.DG math.DS
Outer symplectic billiard map at infinity
本文研究辛向量空间中凸域的外辛台球映射在无穷远处的渐近行为，证明其二次迭代可由显式哈密顿流以 c/|x| 误差逼近，并给出逃逸轨道距离增长上界 √k 及周期轨道靠近凸域的结论。
2025-08-21 math.DS math.SG
A characterization of quasi-rational polygons
本文的目的是研究与外台球有关的拟有理多边形。我们比较不同的概念介绍，并作出综合。
2012-03-27 math.DS
Unbounded orbits for the Plaid Model
本文是我的论文《格子模型介绍》的续篇。本文证明了格子模型对任意无理参数都有无界多边形路径。这个结果与我的结论相似，即风筝上的外台球对每个无理参数都有无界轨道
2015-07-14 math.DS
