On algebraically integrable outer billiards
S. Tabachnikov
证明了如果平面椭圆的外台球映射在一定非退化意义下代数可积，则该椭圆是椭圆。
We prove that if the outer billiard map around a plane oval is algebraically integrable in a certain non-degenerate sense then the oval is an ellipse.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On polynomially integrable planar outer billiards and curves with symmetry property
证明了所有多项式可积的平面外凸台球都是椭圆的。
On rationally integrable planar dual and projective billiards
严格凸平面有界台球的焦散线是一条平滑曲线，其切线从台球边界反射到其切线。著名的伯克霍夫猜想指出，如果台球边界有一个由闭合焦散线构成的内部邻域，那么台球是一个椭圆。它是研究了许多数学家，包括H.Poritsky，M.Bialy，S.Bolotin，A.Mironov，V.Kaloshin，A.Sorrentino等。本文研究了S. Tabachnikov提出的广义对偶形式。考虑一条闭光滑严格凸曲线$γ\subset\mathbb{RP}^2$，它具有一个对偶台球结构：一族作用在其射影切线上并固定切点的非平凡射影对合.假设它的外邻域允许由闭曲线（包括$γ$）形成的叶理，使得每条切线的对合置换它与每个叶的交点。然后$γ$和叶子是形成铅笔的二次曲线。当曲线$γ$是$C^4$ -光滑的且叶理上存在一个有理首次积分时，我们证明了这个问题的肯定答案.为此，我们证明了每个$C^4$ -光滑芽$γ$的平面曲线进行合理可积的对偶台球结构是一个圆锥曲线和分类（穿孔）圆锥曲线上的所有合理可积的对偶台球。它们包括二次曲线束诱导的对偶台球，两个奇异对偶台球的无穷级数和五个更奇异的对偶台球。
On the finite dimensionality of integrable deformations of strictly convex integrable billiard tables
本文证明了严格凸可积台球桌$Ω_0$在边界附近保持可积性的任何光滑单参数变形都必须与通过$Ω_0$的有限维空间相切。
Totally integrable symplectic billiards are ellipses
本文证明了完全可积且严格凸的辛弹道板，其边界处处具有严格正曲率，必为椭圆。证明方法借鉴了Bialy对Birkhoff弹道板的类似结果，利用了辛弹道映射的仿射等价性。
Projective Integrable Mechanical Billiards
在本文中，我们使用[Zhao，2021]中的可积力学台球的投影动力学方法来建立自然力学台球的可积性，其中Lagrange问题是两个Kepler问题和一个Hooke问题的叠加，Hooke中心位于Kepler中心的中间，作为基础力学系统，以及在平面内、球面上和双曲平面内具有作为反射壁的开普勒中心处的焦点的共焦圆锥曲线的任何组合。这涵盖了许多以前已知的可积力学台球，特别是可积胡克，开普勒和两个中心台球在平面上，作为子情况，已经研究了[竹内-赵，2021]。基于共形对应的[Takeuchi-Zhao，2021]方法也被应用于双曲平面上的可积Kepler台球，以说明它们与半球上和双曲平面上的相应可积Hooke台球的等价性。
Realization of focal singularities of integrable systems using billiard books with a Hooke potential field
本文研究了在由平面圆形球域胶合而成的台球簿上的虎克中心势场中的质点运动系统。一类重要的2自由度可积系统的秩为0的非退化焦点奇点完全由这类台球实现。也就是说，对于每一个半局部焦点奇点的构造台球系统有一个奇点纤维同胚给一个。
Realization of bifurcations of Liouville foliations for integrable billiards in non-convex domains
台球是一个动力系统，其中粒子在直线运动和边界的镜面反射之间交替。研究了由共焦二次曲面的线段围成的非凸区域中的台球问题。本文描述了Liouville叶理三维分支的拓扑结构。
Billiard algebra, integrable line congruences, and double reflection nets
二次曲面内的台球系统，扮演椭球上测地线的离散模拟的角色，被纳入可积四图理论。初步的观察是六角星定理，作为台球代数的运算相容性，等价于线同余的可积性条件。本文提出了二次曲面束对偶达布网的一个子类--双反射网的概念，给出了它的基本性质和几个例子。定义并讨论了与二次曲面束相关的相应的杨-巴克斯特映射。
Quadratic integrals of geodesic flow, webs, and integrable billiards
本文利用网理论给出了测地流的二次积分可积性的几何解释，并在允许二次积分的曲面上构造了可积台球。
Integrable Billiards and Related Topics
本文综述了可积台球的多种模型（Birkhoff、外、磁、Minkowski、线及锥形），并讨论了凸平面台球的Mather β函数等周型不等式，最后提出开放问题。
Conformal Transformations and Integrable Mechanical Billiards
在这篇文章中，我们解释了几个可积的机械台球在平面上通过保角变换连接。我们首先指出，在平面上的自由台球共形等价于无穷多台球系统定义在一个特定的固定的能量水平上的中心力问题。然后，我们解释说，经典的胡克-开普勒对应可以结转到可积胡克-开普勒台球之间的对应。作为结论的一部分，我们表明，任何集中的圆锥曲线引起可积开普勒台球，这带来了推广到以前的工作Gallavotti-Jauslin。我们讨论几个推广的可积斯塔克台球。我们还表明，任何共焦圆锥曲线引起可积台球系统的欧拉两中心问题。
On rationally integrable planar dual multibilliards and piecewise smooth projective billiards
本文分类了分段C⁴光滑的有理0次齐次可积射影台球，并通过对偶多重台球证明其积分最小次数可为2、4或12。
Realization of Integrable Hamiltonian Systems by Billiard Books
本文讨论了光滑实解析可积哈密顿系统的Liouville叶的拓扑实现的Fomenko猜想。本文用$f$ -图的形式对台球书中三原子实现的Vedyushkina-Kharcheva算法进行了清晰的描述。注意，在整个等能面上任意类型的刘维叶理基底也是由V. Vedyushkina和I. Kharcheva算法本文将该算法直观地应用于一个著名的Zhukovskii可积系统（带陀螺体的Euler系统）在一定能区的实现。事实证明，刘维叶理也实现了使用这种结构，不仅是它的基地类。因此，刘维等效这些台球和机械系统。然后讨论了V. Kibkalo和V. Vedyushkina关于构造具有任意数值不变量的台球的结果。证明了一类无位势台球簿的Fomenko-Zieschang不变量的存在性。同时证明了这类系统是拓扑稳定的。最后证明了在一定的势场中，平面台球系统可以存在不满足不分裂条件的非退化秩1 4奇异性。保留字：数学台球，台球书，可积哈密顿系统，刚体动力学，Liouville叶理，Fomenko-Zieschang不变量，奇异性。
On Totally integrable magnetic billiards on constant curvature surface
研究了常曲率曲面上受恒定磁场影响的凸区域内台球运动。证明了如果台球映射是完全可积的，则其边界曲线必然是圆。这一结果是一个表现的所谓的霍普夫刚性现象，这是最近获得的经典台球常曲率表面。
Flop between algebraically integrable foliations on potentially klt varieties
该研究证明潜在klt簇上lc代数可积叶状三元组的极小模型可经翻转变换连接，还探讨了三维非代数可积叶状结构极小模型的联系。
ACC for lc thresholds for algebraically integrable foliations
本文研究代数可积叶状结构的 lc 阈值，证明其满足 ACC 及全局 ACC，并给出相关应用。
On differential equations of integrable billiard tables
我们介绍了一种方法来找到微分方程的功能，定义表，使相关的台球系统承认一个本地首次积分。我们说明这种方法在三种情况下：（局部）可积线台球的情况下，寻找表面在${\mathbb R}^3$与首次积分度1的速度，并找到一个分段光滑的表面在${\mathbb R}^3$同胚的环面，是一个表的可积台球。
Integrable Birkhoff Billiards inside Cones
本文证明$\mathbb{R}^n$中凸$C^3$锥体内的Birkhoff台球具有二次第一积分且轨迹反射次数有限，并首次给出既非二次曲面也非二次曲面组合的可积台球例子。
Minimal model program for algebraically integrable adjoint foliated structures
本文针对代数可积伴随叶状结构证明了锥定理、收缩定理与flip存在性，推导出极小模型纲领，并证明了基点自由定理及准dlt修改的存在性。
Projective Dynamics and an Integrable Boltzmann Billiard Model
本文的目的是解释一个可积玻尔兹曼台球模型的可积性，以前由Gallavotti和Jauslin在arXiv：2008.01955中建立，或者通过投影动力学的观点。附加的首次积分被示出为与半球上的相应系统的能量有关。我们表明，这一观点适用于某些其他台球模型在通过开普勒-库仑问题定义的平面。该方法还导致了一个家庭的可积台球模型定义通过球面开普勒-库仑问题的领域。
Minimal model program for algebraically integrable foliations on klt varieties
本文研究了klt变种上的lc代数积分可积foliation的最简模型程序，证明了基点自由定理、收缩定理和翻转的存在性，展示了Q-因子理klt变种的Mori梦空间性质。
Integrable Mechanical Billiards in Higher Dimensional Space Forms
在这篇文章中，我们考虑的机械台球系统定义与拉格朗日的可积扩展的欧拉的两个中心的问题，在欧几里得空间，在球，和在双曲空间的任意维$n \ge 3$。在三维欧几里得空间中，我们证明了具有两个焦点在开普勒中心的二次曲面的任意有限组合的台球系统是可积的。这同样适用于这些系统在三维球面和双曲空间上的中心投影。用同样的方法，我们也将这些结果推广到$n$维的情况。
Variation of algebraically integrable adjoint foliated structures
该研究针对klt射影簇上的典范代数可积叶状结构，分析伴随叶状结构丰富模型随参数的变化，证明了不同一般型条件下的丰富模型有限性，核心依据是极小模型存在性与带标度MMP终止性的等价性。
On the characterization of algebraically integrable plane foliations
本文给出了具有有理首次积分的次数不等于1的非退化平面叶理的一个特征定理。此外，我们证明了程度$r$的一个非退化的叶理，如上所述，提供了最小数量，$r+1$，点的射影平面，通过无限多的代数叶的叶理去。
On exotic rationally integrable planar dual billiards I. Complex geometry and type of dynamics
研究外来的有理可积双台球系统的相空间结构，发现其被不变代数曲线纤维化，并确定了通用水平曲线的类型（大多数为有理曲线，两个例子为椭圆曲线）。
Kustaanheimo-Stiefel Transformation, Birkhoff-Waldvogel Transformation and Integrable Mechanical Billiards
本文研究Kustaanheimo-Stiefel变换与Birkhoff-Waldvogel变换在三维开普勒台球中的应用，揭示可积反射壁的旋转不变性，并建立Levi-Civita平面理论证明双中心台球的可积性。
Algebraic non-integrability of magnetic billiards
我们考虑台球在欧氏平面的一个凸区域中的运动，该凸区域由受恒定磁场影响的分段平滑曲线限定。证明了如果磁台球流的速度积分存在多项式，则边界的每一个光滑段$γ$都必须是代数的，并且要么是圆，要么满足很强的限制条件.特别是在椭圆的情况下，它遵循磁台球是代数不可积的所有大小的磁场。我们猜想，圆是唯一的可积磁台球不仅在代数意义上，但更广泛的意义上的可积性。并介绍了外磁台球的模型。作为我们方法的一个应用，我们证明了代数可积外磁台球的类似结果。
Integrable Billiards on a Minkowski Hyperboloid: Extremal Polynomials and Topology
研究Minkowski空间中单叶双曲面上共焦二次曲线约束的紧区域内的台球系统。我们推导出椭圆周期性的条件，这样的台球。我们描述的拓扑结构的台球系统的Fomenko不变量。然后，我们提供周期性条件的功能佩尔方程和相关的极值多项式。几个例子计算的椭圆函数和经典的Chebyshev和Zolotarev多项式，极值多项式在一个或两个间隔。这些结果进行了对比的情况下，台球在闵可夫斯基和欧几里德平面。
Poncelet property of planar elliptic integrable Kepler billiards
本文研究了平面椭圆可积开普勒弹奏板的庞加莱性质，通过分析非零能量轨道的连续第二轨道焦点线，发现其均与固定圆相切，并探讨了椭圆反射壁内外的可积动力学，识别了线性化椭圆曲线及相应的位移，并讨论了使用凯莱准则的n-周期性条件。
Integrability of Billiards Inside Cones as a Discrete-Time Hamiltonian System
研究锥内弹道的可积性，证明其具有n-1个守恒量，从而成为离散时间哈密顿系统中的可积系统。
A locally integrable multi-dimensional billiard system
考虑（n+1）维欧几里得空间中的多维台球系统，其“水平”超平面与“垂直”直线的直积.假设确定系统的超曲面在所有坐标超平面中是光滑和对称的。因此，存在周期为2的周期轨道$γ$，其沿着“垂直”坐标轴运动。我们提出的问题如下。有没有可能选择这样一个系统，使其动力学在局部（接近$γ$）与线性映射的动力学共轭？由于问题是局部的，台球超曲面可以被确定为函数$\pm f$的图形，其中$f$是偶数并且定义在“水平”坐标超平面上的原点的邻域中。我们证明了$f$在非共振情形下作为形式泰勒级数存在，并给出了级数收敛的数值证据。
Minimal model program for algebraically integrable foliations and generalized pairs
利用叶状结构理论，建立了一般lc广义对的锥定理与收缩定理，并发展了Q-因子叶状dlt代数可积叶状结构的最小模型纲领，从而完全得到了广义对的典范丛公式，并回答了Cascini与Spicer的一个问题。
Volume of algebraically integrable foliations and locally stable families
本文研究代数可积叶状结构的体积与局部稳定族，证明典范代数可积叶状结构的体积属于仅依赖秩和一般叶体积的离散集，一般型时有正下界，并推导了稳定族相对体积的离散性及对数版本结果。
Integrable lattices of hyperplanes related to billiards within confocal quadrics
我们引入了一个新的离散系统，它源于椭球台球，与双反射网密切相关。该系统被定义在由整流超立方体和交叉多面体组成的均匀蜂窝的晶格上。在$2$维的情况下，格是正规的，它包含了原空间及其对偶空间中的动力学。在$3$维情况下，晶格由四面体和立方八面体组成。
On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature
给出了可积台球上Birkhoff猜想的代数形式的一个解。即证明了每一个多项式可积的实有界凸平面光滑台球都是椭圆。我们将这一结果推广到台球与分段光滑，不一定凸边界上的任意二维常曲率表面：平面，球，罗巴切夫斯基（双曲）平面，他们每个人都被建模为一个平面或（伪）领域的$\mathbb R^3$配备适当的二次型。也就是说，我们证明了台球是多项式可积的，当且仅当它的边界是共焦圆锥弧和适当的测地线段的联合。我们还提出了这些结果的复杂化。这些是Mikhail Bialy、Andrey Mironov和作者的共同成果。证明分为两部分。第一部分是由Bialy和Mironov在他们的两个联合文件。他们考虑了边界到$\mathbb{RP}^2$的重言式投影，并通过S.V.Bolotin定理研究了它的正交极线对偶曲线，这是分段代数的。通过他们的论证和另一个Bolotin定理，足以证明对偶曲线的每个非线性复不可约分量是圆锥曲线。他们证明了它的所有奇点和拐点（如果有的话）都位于$\mathbb C^3$上相应二次型的投影零轨迹中。本文给出了证明的第二部分：证明了上述每一不可约分支都是二次曲线，并完成了代数Birkhoff猜想在常曲率下的求解。
Pseudo-integrable billiards and arithmetic dynamics
我们引入了一类新的平面台球系统，其边界由许多共焦二次曲线的弧形成，使得它们包含一些反射角。基本动力学，拓扑，几何和算术性质的台球进行了研究。由边界反射角所引起的新现象，导致了与Liouville-Arnold定理不同的高等属的不变叶和动力学行为。它的类似物来自于测量叶理的迈尔定理。给出了Poncelet定理的局部形式，并给出了周期性的代数几何条件。与区间交换变换的联系与Keane型极小性条件一起建立。证明了该动力学只依赖于旋转数的算术运算，而不依赖于给定的共焦二次曲线束的几何形状。
A common first integral from three-body secular theory and Kepler billiards
本文揭示了三体 secular 理论与开普勒弹道中的共同第一积分的联系，并定义了常曲率面上的可积弹道系统。
Integrable Outer billiards and rigidity
本文提出了一种新的平面外台球生成函数，并利用它证明了刚性结果：若正曲率光滑凸曲线邻域由外台球映射不变的连续曲线叶状化，则该曲线必为椭圆，证明中通过寻找合适权重克服相空间非紧性并归约为Blaschke-Santalo不等式。
Non-integrability of n-centre billiards
本文研究受n-中心势影响的力学台球系统，证明了在至少两个中心且墙壁足够远时系统必然不可积并产生混沌，并在经典双中心问题中给出了保证混沌的墙壁几何条件。
A survey on Polynomial in momenta integrals for billiard problems
本文对常曲率曲面上可积台球的Birkhoff猜想的代数形式的最新结果作了一个简短的综述。我们还讨论了可积磁台球。作为代数技巧的一个新应用，我们研究了Kozlov和Polikarpov提出的双边磁台球多项式积分的存在性。
Bifurcations of Liouville Tori in Elliptical Billiards
对可积台球系统的拓扑作了详细的描述。对于椭圆台球和椭球上的测地线台球，构造了相应的Fomenko图。
Asymptotic predictions using short-time data in oscillating billiards
粒子在光滑振荡的不可积台球中的运动会导致无限的能量增长。虽然已知振荡混沌台球中粒子系综的渐近能量增长率是二次的，但对于光滑振荡的伪可积台球没有可用的估计。在这样的系统中的能量增长率是如此之慢，它是很难预测的渐近速率从有限的时间计算。本文提出了一种利用短时数据估计系统渐近能量增长率的方法。这一思想被应用到振荡的伪可积系统的情况下，它表明，在这样的系统中的渐近能量增长率可以是指数。
Dynamics of planar integrable Kepler billiards with a focused hyperbolic branch
本文研究以聚焦双曲分支为边界的平面开普勒台球的可积动力学，利用焦点-焦散圆识别椭圆曲线并线性化动力学，分析周期轨道的凯莱条件，并推广至抛物弧和直线边界情况。
Rotor interaction in the annulus billiard
在环形台球的可积系统中引入转子相互作用，产生了从可积性到遍历性的各种动力学现象。
Geometric properties of integrable Kepler and Hooke billiards with conic section boundaries
本文研究了在圆锥曲线边界上反射质点的几何性质，质点受到开普勒或霍克势的中央力作用。通过分析弹道轨道的焦点，发现开普勒情况下轨道的第二个焦点总在圆上，霍克情况下轨道的焦点总在卡西尼卵形线上。
Local rigidity for symplectic billiards
本文研究辛弹子球的可积性刚性，证明接近椭圆且辛弹子球映射有理可积的区域必为椭圆，将 Birkhoff 弹子球的相关刚性结果推广到辛弹子球。
On the Local Birkhoff Conjecture for Convex Billiards
经典的Birkhoff猜想认为严格凸可积台球桌的边界必然是椭圆（或圆作为特例）。在这篇文章中，我们证明了这个猜想的一个完整的本地版本：一个小的可积扰动的椭圆必须是一个椭圆。这推广并完善了文[3]中的结果，文[3]中考虑了近似圆形域。证明中的一个关键思想是将椭圆台球的作用角坐标扩展到复域（关于角度），并彻底分析其复奇点的性质。作为应用，我们证明了椭圆域的谱刚性结果。
On near integrability of some impact systems
提出了一类具有光滑近可积行为的Hamilton碰撞系统。研究的未扰动模型是一个可积、可分、2自由度的机械碰撞系统，具有有效有界的能级集和一个保持可分结构的直壁。系统中的奇点要么表现为具有切线碰撞的轨迹，要么表现为底层哈密顿结构（例如分离面）中的奇点。结果表明，远离这些奇异性，一个小的扰动，从可积结构的结果在光滑的近可积行为。这种扰动可能是由于壁的微小变形或倾斜（在撞击时破坏可分性）、对系统添加微小的规则扰动或两者的组合而发生的。在某些简单情形下，导出了近可积返回映射首阶项的显式表达式。近可积性也被证明是持久的硬台球边界时，被替换为一个奇异的，光滑的，陡峭的潜力，从而扩大了近可积性的结果超出了经常扰动的范围。这些系统构成了另一类近可积碰撞系统的例子，超越了传统的一维振荡台球，近椭圆台球，以及有或无磁场的凸光滑台球边界附近的近可积行为。
Algebraic billiards in the Fermat hyperbola
本文研究了度数 $d \geq 2$ 的一般代数曲线中台球的代数动力学，证明了动力学度数随 $d$ 呈二次增长且复周期点集测度为0（蕴含Ivrii猜想），其核心是通过引入Fermat双曲线作为新台球桌，并利用迭代吹胀构造代数稳定模型以证明相关性质。
Pseudo-Euclidean Billiards within Confocal Curves on the Hyperboloid of One Sheet
考虑Minkowski空间中单叶双曲面上共焦二次曲线所围紧区域的台球问题。我们发现，有两种类型的共焦家庭在这样的设置。利用代数几何积分技巧，我们证明了每种类型的广义椭圆内的台球是可积的刘维尔意义。此外，我们证明了一个推广的Poncelet定理，并推导出周期轨迹的凯莱型条件，并探讨几何后果。
Algebraically integrable quadratic dynamical systems
我们考虑C^n中的对称齐次二次动力系统。我们引入了代数可积性的概念。本文给出了一类对称二次动力系统，它们可由函数h_1（t），.，其中h_1（t）是n阶常微分方程的任意解，h_k（t）是h_1（t）中的微分多项式，k = 2，.，n.我们描述了一种构造这个常微分方程的方法。本文给出对称二次动力系统的一种分类，并描述了作用于该系统的GL（n，C）中的极大子群.我们将所得结果应用于Lotka-Volterra型经典系统和Darboux-Hézen系统的分析及其现代推广。
Genericity on curves and applications: pseudo-integrable billiards, Eaton lenses and gap distributions
本文证明了仿射格空间和平移曲面的模空间中Birkhoff和Oseledets沿某些曲线的一般性。我们还证明了这些结果的应用，动力台球，数学物理和数论。在仿射格空间$ASL_2(\mathbb{R})/ASL_2( \mathbb{Z})$中，我们证明了在某些非退化假设下，曲线上的几乎每一点对于测地流都是Birkhoff通有的.这意味着几乎处处不在的一些曲线的轨迹的分支覆盖层内的环面$\mathcal{H}(1,1)$的翻译表面。对于这些曲线（以及更一般的曲线是很好地近似的horocycle弧和满足几乎处处Birkhoff genericity），我们还证明了几乎每一个点是Oseledets通用的Kontsevitch-Zorich cocycle，推广最近的结果由Chaika和Eskin。作为应用，我们首先考虑Dragovic和Radnovic最近研究的一类伪可积台球，即带障碍物的椭圆上的台球，并证明了对于几乎每个参数，台球流在其被捕获的相空间区域内是唯一遍历的.然后，我们考虑任何周期性阵列的伊顿后向反射器透镜，放置在顶点的晶格，并证明，在几乎每个方向的光线都被限制在一个带的有限宽度。这推广了Fraczek和Schmoll最近发现的一种现象，这种现象迄今为止只能证明为随机周期性配置。最后，得到了关于正整数的平方根序列的小数部分的间隙分布的一个结果，推广了Elkies和McMulle…
Starting the study of outer length billiards
本文开创外长度台球研究，证明椭圆情形完全可积，并给出Mather β-函数一阶项及4阶Lazutkin坐标的显式表示。
The dynamical degree of billiards in an algebraic curve
本研究拓展复台球理论提出代数闭域上平面曲线的代数台球表述，证明其动力学次数的显式上界，推导实代数曲线经典台球映射的拓扑熵上界，验证奇点约束与2-形式保持性质，并通过双有理模型完成证明。
Four equivalent properties of integrable billiards
根据达布的一个经典结果，黎曼曲面的叶理具有格雷夫斯性质（也称为强演化性质）当且仅当叶理来自刘维尔网。Blaschke的一个类似的结果说，一对正交叶理具有象牙性质，当且仅当它们形成一个刘维尔网。假设黎曼曲面上的测地凸曲线具有Poritsky性质，如果它可以参数化，使得它的所有弦同态都是关于这个参数的移位。1950年，波里茨基证明了具有这种性质的封闭平面曲线只有椭圆。本文证明了黎曼曲面上的曲线具有Poritsky性质当且仅当它是Liouville网的坐标曲线。我们还记得Blaschke从Ivory性质推导出的刘维尔性质和他对Weihnacht定理的证明：平面上唯一的刘维尔网是共焦二次曲线网及其退化。这表明伯克霍夫猜想的以下推广：如果黎曼曲面上一条闭合测地凸曲线的内部邻域由台球焦散线构成，则该邻域的度量是刘维，并且该曲线是其中一条坐标线。
On the Integral Geometry of Liouville Billiard Tables
Radon变换的概念被引入完全可积台球桌。在三维的刘维台球桌的情况下，我们证明了Radon变换是一对一的连续函数$K$的边界上的空间是不变的关于相应的对称群。我们还证明了一类Liouville台球桌的频率图是非退化的。这使我们能够获得相应的Laplace-Beltrami算子与罗宾边界条件的谱刚性。
Closed geodesics and billiards on quadrics related to elliptic KdV solutions
我们考虑二次曲面Q上可积台球的代数几何性质，弹性碰撞沿着与Q共焦的另一个二次曲面。这些性质与椭球体Birkhoff台球的性质形成鲜明对比。也就是说，一般的复不变流形不是阿贝尔簇，台球映射不再是代数的。这样的系统的一个类似庞塞莱定理是已知的。给出了Q上闭测地线和周期台球轨道的充分条件，并讨论了它们与椭圆KdV解和椭圆Calogero系统的关系
Outer Contact Billiards
该研究提出外接触台球作为外辛台球的奇维对应物，证明其可生成接触同胚，实射影三维空间中二次曲面对应完全可积且无3周期轨道，仅一个二次表有4周期轨道。
Billiards in polyhedra: a method to convert 2-dimensional uniformity to 3-dimensional uniformity
本文通过将正则八边形曲面与单位环面作笛卡尔积，利用算术级数转移定理，把二维均匀性推广到三维均匀性。
Periodic Trajectories and Topology of the Integrable Boltzmann System
本文研究引力场中线性边界台球的玻尔兹曼系统，推导了轨迹周期性的Cayley型解析条件，描述焦散线，并用Fomenko图分析相空间拓扑。
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