Algebraic non-integrability of magnetic billiards
我们考虑台球在欧氏平面的一个凸区域中的运动，该凸区域由受恒定磁场影响的分段平滑曲线限定。证明了如果磁台球流的速度积分存在多项式，则边界的每一个光滑段$γ$都必须是代数的，并且要么是圆，要么满足很强的限制条件.特别是在椭圆的情况下，它遵循磁台球是代数不可积的所有大小的磁场。我们猜想，圆是唯一的可积磁台球不仅在代数意义上，但更广泛的意义上的可积性。并介绍了外磁台球的模型。作为我们方法的一个应用，我们证明了代数可积外磁台球的类似结果。
2016-05-11 math.DG math.DS nlin.SI
Integrable lattices of hyperplanes related to billiards within confocal quadrics
我们引入了一个新的离散系统，它源于椭球台球，与双反射网密切相关。该系统被定义在由整流超立方体和交叉多面体组成的均匀蜂窝的晶格上。在$2$维的情况下，格是正规的，它包含了原空间及其对偶空间中的动力学。在$3$维情况下，晶格由四面体和立方八面体组成。
2015-08-05 math.DG math.DS math.MG
A survey on Polynomial in momenta integrals for billiard problems
本文对常曲率曲面上可积台球的Birkhoff猜想的代数形式的最新结果作了一个简短的综述。我们还讨论了可积磁台球。作为代数技巧的一个新应用，我们研究了Kozlov和Polikarpov提出的双边磁台球多项式积分的存在性。
2018-04-05 math-ph math.DS math.MP
A nodal domain theorem for integrable billiards in two dimensions
研究了可积平面台球的本征函数--特别是考虑了本征函数的节点域数$ν$。与时间无关的薛定谔方程（亥姆霍兹方程）是可分的台球允许域的个数的平凡表达式。在这里，我们发现，对于所有的可分和不可分可积台球，$ν$满足一定的差分方程。这是可能的，因为对于一组量子数$m, n$，给定一个特定的$k$，本征函数可以被分类在由相同的$m\mod kn$值标记的族中。进一步，我们观察到一个族中的模式是相似的，并找到了几何节点模式的代数表示，并详细解释了这种表示的几种形式，以理解模式的美。因此本文给出了可积系统与差分方程之间的数学联系。
2014-09-18 nlin.SI quant-ph
Exact eigenfunction amplitude distributions of integrable quantum billiards
精确的概率分布的本征函数，$Ψ(x, y)$，几个可积平面台球的振幅进行了分析计算，并显示具有奇异性在$Ψ= 0$，这种奇异性的性质是形状相关的。特别是，我们证明了矩形量子台球的分布函数是成比例的完整的椭圆积分，${\bf K}(1 - Ψ^2)$，并证明了它的普遍性，模弱依赖于量子数。另一方面，我们研究了不可分的，可积的三角形台球的低位状态，并发现其分布所描述的Meijer G-函数或某些超几何函数。我们的分析捕获了显着偏离高斯分布的混沌台球在其调查的波动的本征函数约$Ψ= 0$。
2018-01-01 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Closed geodesics and billiards on quadrics related to elliptic KdV solutions
我们考虑二次曲面Q上可积台球的代数几何性质，弹性碰撞沿着与Q共焦的另一个二次曲面。这些性质与椭球体Birkhoff台球的性质形成鲜明对比。也就是说，一般的复不变流形不是阿贝尔簇，台球映射不再是代数的。这样的系统的一个类似庞塞莱定理是已知的。给出了Q上闭测地线和周期台球轨道的充分条件，并讨论了它们与椭圆KdV解和椭圆Calogero系统的关系
2004-12-14 math.DS nlin.SI
From Classical Periodic Orbits in Integrable $π$-Rational Billiards to Quantum Energy Spectrum
本文揭示了封闭在一类二维平面台球中的经典粒子的周期轨道长度与被限制在边界上具有无限高势壁的同一区域内运动的量子粒子的能量之间的显著联系。我们观察到，粒子的量子能谱是在精确的一对一的对应关系与一个经典粒子的周期轨道的振幅平方的频谱考虑类的可积台球。我们已经建立了几何结构的结果，并利用反射平铺和折叠的经典轨迹的方法。我们已经进一步扩展的方法，以3维台球，精确的分析结果几乎是可用的-利用几何结构，我们确定了确切的能量谱的两个新的四面体域，我们认为是可积的。我们通过与数值结果的比较来检验我们的结果的准确性。
2018-08-14 math-ph math.MP nlin.SI
A difference-equation formalism for the nodal domains of separable billiards
最近，在[Ann.Phys.351，1-12（2014）]中，显示了具有Dirichlet边界条件的平面可积台球的节点域计数满足某些差分方程。这些方程的精确解明确地给出了域的个数。对于完整的一般性，我们证明了这一新的配方为三个额外的可分离系统，从而扩展到所有可积台球的声明。
2016-04-22 nlin.SI quant-ph
Supergravity Black Holes and Billiards and Liouville integrable structure of dual Borel algebras
在本文中，我们表明，超引力方程描述宇宙台球和一大类黑洞，一般来说，都刘维尔可积的结果，相同的普遍机制。后者由单李代数A_{N-1}的对偶Borel代数B_N上存在的Liouville可积Poissonian结构提供。作为一个副产品，我们得到的显式积分算法与所有对称空间U/H^{*}相关的描述类时和类空p-膜。我们的方法最重要的结果是显式地构造了一个完整的守恒对合哈密顿量h_α集，它负责可积性，并提供了一个新的工具来分类流和轨道。我们相信，这将证明是一个非常重要的新工具，在分析超重力黑洞和台球。
2009-11-01 gr-qc hep-th math-ph
Global Level Number Variance in Integrable Systems
本文研究了一般可积系统的二阶统计量-谱阶梯的关联函数和整体水平数方差。我们发现，全球水平数方差持续振荡周围的饱和谱刚度。不同于其他二阶统计量-包括谱阶梯的关联函数-在比运行谱能量小得多的能量尺度上计算，这些振荡不能在周期轨道理论的对角近似框架内解释。我们使用四个可积系统：矩形台球，修改的开普勒问题，圆形台球和椭圆台球给出详细的数值说明我们的结果。
2012-03-07 nlin.CD nlin.SI quant-ph
The arrow of time and the Weyl group: all supergravity billiards are integrable
本文证明了在任意U/H非紧对称空间上，将超引力紧化到D = 3所得到的σ模型所对应的超引力台球都是完全可积的。建立积分算法的关键点是通过与U/H相关联的可解李代数到SL（N，R）的上三角嵌入来提供。在这种情况下，我们建立了一个显着的时间箭头和Weyl群的性质之间的关系。发展中宇宙的渐近态与外尔群的元素一一对应，外尔群是山雀佐竹普适类的一个属性，而不是它们的单一代表。此外，Weyl群允许根据L（T）的自然排序，关于简单根的反射的数量和时间流的方向总是朝着增加L（T），这起到了熵的意想不到的作用。
2007-10-04 astro-ph hep-th nlin.SI
Angular Billiard and Algebraic Birkhoff conjecture
在本文中，我们介绍了一个新的动力系统，我们称之为角台球。它作用于欧几里得平面上凸曲线的外点。在边界曲线的一个邻域内，这个系统是Birkhoff台球的对偶系统。利用这个系统，我们得到了可积台球上代数Birkhoff猜想的新结果.
2016-01-13 math-ph math.DG math.MP
Virtual billiards in pseudo-Euclidean spaces: discrete Hamiltonian and contact integrability
本文的目的是统一的努力，在研究可积台球内的二次曲面在平坦和弯曲的空间，并进一步探索辛和接触可积性的相互作用。作为在这个方向上的一个起点，我们认为虚拟台球动力学内二次伪欧几里德空间。与通常的台球相反，入射速度和台球反射后的速度可以在反射点处的切平面的相对侧。在对称的情况下，我们证明了非交换可积的系统，并给出一个几何解释的积分，一个模拟的经典Chasles和Poncelet定理，我们表明，虚拟台球动力学提供了一个自然的框架，在研究台球内二次在射影空间，特别是台球内椭球体上的球$\mathbb S^{n-1}$和罗巴切夫斯基空间$\mathbb H^{n-1}$。
2017-05-09 math.SG nlin.SI
Morphology of three-body quantum states from machine learning
环上三个不可穿透粒子的相对运动，在我们的例子中是两个全同的费米子和一个杂质，同构于一个三角形量子台球。根据杂质和费米子质量的比值$κ$，台球可以是可积的或不可积的（在正文中也称为混沌）。为了设置阶段，我们首先调查的台球作为$1/κ\in [0,1]$的函数的能级分布，并发现没有证据的可积的情况下超出了极限值$1/κ=1$和$1/κ=0$。然后，我们使用机器学习工具来分析单个量子态的概率分布特性。我们发现卷积神经网络可以正确地区分可积态和不可积态，波函数的决定性特征是归一化和大量的零元素，对应于节线的存在。该网络实现了97%的典型准确率，这表明机器学习工具可以用于分析和分类理论或实验中获得的概率密度的形态。
2021-08-02 cond-mat.quant-gas nlin.SI nucl-th
On the singular spectrum of the Almost Mathieu operator. Arithmetics and Cantor spectra of integrable models
本文综述了Almathieu方程（A.G. Abanov，J.C. Talstra，P.B. Wiegmann，Nucl.Phys.B525，571，1998），也称为Harper方程或Azbel-Hofstadter问题。这个方程的谱是一个具有丰富层次结构的纯奇异连续统。几年前，人们发现几乎Mathieu算子是可积的。通过对Bethe Answer方程的分析，得到了该算子的渐近解.
1999-09-15 astro-ph cond-mat.str-el hep-th
