Integrability of Billiards Inside Cones as a Discrete-Time Hamiltonian System
研究锥内弹道的可积性，证明其具有n-1个守恒量，从而成为离散时间哈密顿系统中的可积系统。
2026-03-30 math.DS
Projective Dynamics and an Integrable Boltzmann Billiard Model
本文的目的是解释一个可积玻尔兹曼台球模型的可积性，以前由Gallavotti和Jauslin在arXiv：2008.01955中建立，或者通过投影动力学的观点。附加的首次积分被示出为与半球上的相应系统的能量有关。我们表明，这一观点适用于某些其他台球模型在通过开普勒-库仑问题定义的平面。该方法还导致了一个家庭的可积台球模型定义通过球面开普勒-库仑问题的领域。
2021-03-11 math-ph math.DS math.MP
The Birkhoff-Poritsky conjecture for centrally-symmetric billiard tables
本文证明了中心对称$C^2$ -光滑凸平面台球的Birkhoff-Poritsky猜想。我们假设$4$ -周期轨道的不变曲线与相柱边界之间的区域$\mathcal A$由$C^0$ -不变曲线划分。在这个假设下，我们证明了台球曲线是椭圆。对于原来的Birkhoff-Poritsky公式，我们证明了如果台球区域边界的邻域在区间（0; 1/4]内具有旋转数的凸焦散的$C^1$ -光滑叶状，则边界曲线是椭圆。在首次积分的语言中，可以断言{如果中心对称的$C^2$ -光滑凸曲线$γ$内的台球允许$\mathcal A$上具有非零梯度的$C^1$ -光滑第一积分，则曲线$γ$是椭圆。}证明的主要成分是：（1）在\cite{BM}，\cite{B}中发现的凸台球的非标准生成函数;（2）由$4$ -周期轨道组成的不变曲线的显着结构;和（3）在B 0，B1中开始的圆形台球刚性结果的积分几何方法。令人惊讶的是，我们建立了一个霍普夫型刚性的台球在椭圆。
2022-02-28 math.DG math.DS nlin.SI
On rationally integrable planar dual multibilliards and piecewise smooth projective billiards
本文分类了分段C⁴光滑的有理0次齐次可积射影台球，并通过对偶多重台球证明其积分最小次数可为2、4或12。
2023-08-12 math.AG math.DS
A boundary integral formalism for stochastic ray tracing in billiards
确定由力或速度场驱动的射线或粒子的流动是模拟许多物理过程的基础，包括天气预报和分子动力学模拟。高频波能量分布也可以近似使用流动或传输方程。应用出现在水下和室内声学，振动声学，地震学，电磁学，量子力学和产生计算机生成的图像。在许多实际应用中，驱动场并不确切知道，动力学仅在一定程度的不确定性下确定。本文提出了一种边界积分框架，包括不确定性的传播流，这是系统的插值之间的确定性和完全随机的轨迹传播的描述。一个简单而有效的离散化方法是适用于模型不确定台球动态可积矩形域。
2014-11-06 math.DS nlin.CD physics.comp-ph
Integrable Outer billiards and rigidity
本文提出了一种新的平面外台球生成函数，并利用它证明了刚性结果：若正曲率光滑凸曲线邻域由外台球映射不变的连续曲线叶状化，则该曲线必为椭圆，证明中通过寻找合适权重克服相空间非紧性并归约为Blaschke-Santalo不等式。
2023-11-27 math-ph math.DS math.MP
Algebraic Birkhoff conjecture for billiards on Sphere and Hyperbolic plane
本文考虑球面或双曲平面上的凸曲线$γ$。研究了在$γ$有界区域内Birkhoff台球速度积分多项式的存在性问题.我们将结果推广了S. Bolotin（1992）的结果，并利用对偶曲线$Γ$得到了多项式可积性的新障碍。我们遵循S. Tabachnikov外台球在飞机上，并适用于后来在我们最近的文件，以伯克霍夫台球的帮助下，一个新的所谓的角度台球。
2016-02-18 math.DG math.DS nlin.SI
First integrals of dense hard-ball gases
Mathematical Sciences Institute, Australian National University（澳大利亚国立大学数学科学学院）
本文针对Kozlov提出的台球系统动量多项式型首次积分的两个问题展开研究，明确了有界多面体台球积分的位置独立性，以及矩形箱硬球气体在碰撞图连通时首次积分与总动能多项式的关系。
2026-09-01 math.DS
Algebraic non-integrability of magnetic billiards
我们考虑台球在欧氏平面的一个凸区域中的运动，该凸区域由受恒定磁场影响的分段平滑曲线限定。证明了如果磁台球流的速度积分存在多项式，则边界的每一个光滑段$γ$都必须是代数的，并且要么是圆，要么满足很强的限制条件.特别是在椭圆的情况下，它遵循磁台球是代数不可积的所有大小的磁场。我们猜想，圆是唯一的可积磁台球不仅在代数意义上，但更广泛的意义上的可积性。并介绍了外磁台球的模型。作为我们方法的一个应用，我们证明了代数可积外磁台球的类似结果。
2016-05-11 math.DG math.DS nlin.SI
Magnetic billiards: Non-integrability for strong magnetic field; Gutkin type examples
我们考虑一个强恒定磁场下的磁性台球。本文的目的是双重的。研究了台球磁场中多项式积分的存在性问题。我们成功地把这个问题归结为多项式积分存在性的代数几何检验，证明了多项式积分的不可积性。在本文的第二部分中，我们构造了具有所谓的$δ$ -Gutkin性质的磁性台球的例子，这意味着任何以角度$δ$进入域的Larmor圆以相同的角度$δ$离开域。对于平面上的普通Birkhoff台球，E. Gutkin和是非常明确的。我们的Gutkin磁台球的结构依赖于F.Wegner所谓的Zindler曲线的美丽例子，这与平衡中的浮动物体的问题有关，这可以追溯到S. Ulam。我们证明了Gutkin磁台球可以作为一个平行的曲线韦格纳曲线。韦格纳曲线在极坐标下可用椭圆函数表示，因而磁性Gutkin台球的构造比较明确，但要复杂得多。
2020-01-04 math.DS
On exotic rationally integrable planar dual billiards I. Complex geometry and type of dynamics
Higher School of Modern Mathematics MIPT（高等现代数学学校）；MIPT（莫斯科物理技术学院）；HSE University（高等经济大学）；CNRS, UMR 5669 (UMPA, ENS de Lyon)（法国国家科学研究中心，联合研究单位5669（里昂高等师范学院应用数学与物理实验室））
研究外来的有理可积双台球系统的相空间结构，发现其被不变代数曲线纤维化，并确定了通用水平曲线的类型（大多数为有理曲线，两个例子为椭圆曲线）。
2026-05-23 math.AG math.DS
Two-dimensional superintegrable metrics with one linear and one cubic integral
我们描述了所有局部黎曼度量的曲面上的测地线流是超可积的一个积分的动量线性和一个积分的动量立方。我们还表明，这些指标中的一些可以扩展到2球。这给我们提供了新的例子，哈密顿系统的领域与三次积分的动量，和第一个例子的超可积度量的非常曲率的封闭曲面上
2010-10-22 math-ph math.AP math.DG
On algebraic construction of certain integrable and super-integrable systems
我们提出了一个新的构造二维自然双哈密顿系统与一个非常简单的李代数。所提出的结构使我们能够区分三个家庭的超可积单项潜力，其中一个额外的第一个积分是二次的，第二个可以是任意高的程度相对于动量。给出了许多附加动量积分大于2次的可积系统。此外，还找到了动量中具有二阶、四阶和六阶第一积分的超可积系统的一个例子。
2010-11-14 math-ph math.DS math.MP
Real-analyticity of 2-dimensional superintegrable metrics and solution of two Bolsinov-Kozlov-Fomenko conjectures
Institut für Mathematik, Friedrich Schiller Universität Jena（耶拿弗里德里希·席勒大学数学研究所）
本文研究二维Riemannian度量在多项式动量积分类中的超可积性，基于核心定理证明了动量多项式积分的泊松括号为积分和哈密顿的代数函数，进而解决两个猜想并反驳特定度量的超可积性。
2025-06-16 math-ph math.DG math.DS
On rationally integrable planar dual and projective billiards
严格凸平面有界台球的焦散线是一条平滑曲线，其切线从台球边界反射到其切线。著名的伯克霍夫猜想指出，如果台球边界有一个由闭合焦散线构成的内部邻域，那么台球是一个椭圆。它是研究了许多数学家，包括H.Poritsky，M.Bialy，S.Bolotin，A.Mironov，V.Kaloshin，A.Sorrentino等。本文研究了S. Tabachnikov提出的广义对偶形式。考虑一条闭光滑严格凸曲线$γ\subset\mathbb{RP}^2$，它具有一个对偶台球结构：一族作用在其射影切线上并固定切点的非平凡射影对合.假设它的外邻域允许由闭曲线（包括$γ$）形成的叶理，使得每条切线的对合置换它与每个叶的交点。然后$γ$和叶子是形成铅笔的二次曲线。当曲线$γ$是$C^4$ -光滑的且叶理上存在一个有理首次积分时，我们证明了这个问题的肯定答案.为此，我们证明了每个$C^4$ -光滑芽$γ$的平面曲线进行合理可积的对偶台球结构是一个圆锥曲线和分类（穿孔）圆锥曲线上的所有合理可积的对偶台球。它们包括二次曲线束诱导的对偶台球，两个奇异对偶台球的无穷级数和五个更奇异的对偶台球。
2022-12-10 math.AG math.DS
Integrable Birkhoff Billiards inside Cones
本文证明$\mathbb{R}^n$中凸$C^3$锥体内的Birkhoff台球具有二次第一积分且轨迹反射次数有限，并首次给出既非二次曲面也非二次曲面组合的可积台球例子。
2025-01-22 math.DG math.DS
Stäckel problem for non-diagonal Killing tensors: Yano-Patterson lifts, algebra of strong symmetries and quadratic in momenta integrals
School of Mathematics, Loughborough University（拉夫堡大学数学学院）；Institute of Mathematics and Mathematical Modeling, Almaty, Kazakhstan（哈萨克斯坦阿拉木图数学与数学建模研究所）；Faculty of Mechanics and Mathematics and Center for Fundamental and Applied Mathematics, Moscow State University（莫斯科国立大学力学与数学系及基础与应用数学中心）
本文提出了一种非对角化Killing张量的Stäckel问题构造方法，通过Yano-Patterson提升和Nijenhuis几何，生成可积的哈密顿系统，并应用于流体类型PDE的可积性证明。
2025-12-19 math-ph math.DG math.DS
Elliptic curve arithmetic and superintegrable systems
谐振子和开普勒问题都是超可积系统，它们的运动积分比自由度积分多，而且这些积分都是动量多项式。我们提出了超可积变形的振荡器和开普勒问题的代数和有理第一积分。此外，我们还讨论了二维球面上一类具有相似第一积分的超可积度量。
2019-02-14 math-ph math.DS math.MP
A Geometric Characterization of Certain First Integrals for Nonholonomic Systems with Symmetries
研究了具有对称性的非完整系统的首次积分的存在性。首先，我们定义了$\mathcal{M}$的概念-流形$Q$上的向量场的余切提升，以统一工作[Balseiro P.，Arch.定量。机械肛门214（2014），453-501，arXiv：1301.1091]，[Fasskirk F.，拉莫斯·A Sansonetto N.，规则混沌王朝12（2007），579-588]，和[Fasserd F.，贾科布A.，Sansonetto N.，62（2008），345-367]。其次，我们研究了规范对称性和规范动量，在这种情况下，有对称性满足所谓的垂直对称性条件。在此条件下，我们可以预测线性无关的首次积分（即规范动量）的个数。我们用两个例子来说明这个理论。
2016-02-21 math-ph math.DS math.MP
Integrable geodesic flows with simultaneously diagonalisable quadratic integrals
São Paulo State University-UNESP（圣保罗州立大学）；Friedrich Schiller Universität Jena（耶拿弗里德里希·席勒大学）
研究显示，若n维流形上测地流的n个功能独立二次动量积分在每一点的切空间同时对角化，则这些积分源自Stäckel构造，表明度量允许正交分离变量。
2024-03-21 math-ph math.DG math.DS
Differential Galois obstructions for integrability of homogeneous Newton equations
本文给出了牛顿方程组$\ddot \vq=-\vF(\vq)$在Jacobi意义下可积的必要条件，其中$\vq\in\C^n$和$\vF$的所有分支都是多项式的，且是同次齐次的$l$ .这些条件是从分析微分伽罗瓦群的变分方程沿特殊的特殊解决方案的牛顿方程。我们表明，采取所有允许的特殊解决方案，我们大大限制了一套牛顿方程满足必要条件的可积性。此外，我们应用所获得的条件对具有两个自由度的牛顿方程进行详细分析（即，$n=2$）。我们证明了强度与$°F_i =l< 4$分析一般情况下得到的结果。对于$l=3$，我们发现了一个可积的情况下，牛顿方程有两个多项式的第一次积分，他们都是四次的动量$p_1=\dot q_1$，和$p_2=\dot q_2$。此外，对于任意的$k$，我们发现了一族牛顿方程依赖于一个参数$λ$。对于$λ$的任意值，存在动量的二次第一积分。我们区分无穷多个值的$λ$的系统是可积或superintegrable与额外的多项式第一积分，似乎可以是一个任意高的程度相对于动量。
2007-01-29 math-ph math.DS math.MP
Gauge momenta as Casimir functions of nonholonomic systems
IIMAS, UNAM（墨西哥国立自治大学数学与物理研究所）；University of Manchester（曼彻斯特大学）
本文提出通过修改非完整系统的泊松结构，使线性速度的首积分成为Casimir函数，从而实现非完整系统的Hamilton化。
2017-09-21 math.DS
Polynomial integrals of magnetic geodesic flows on the 2-torus on several energy levels
本文研究了非零磁场中2-环面上的测地流。假设该流在$N+2$不同能级上允许一个附加的首次积分$F$，它是任意阶矩多项式，具有解析周期系数$N$.证明了在这种情况下，磁场和度规都是一元函数，在所有能级上都存在一个线性动量内首次积分。
2018-12-04 math.CO math.DS
Integrable magnetic geodesic flows on 2-torus: new example via quasi-linear system of PDEs
已知的唯一一个例子是2-环面上的磁测地流，它具有与哈密顿量无关的动量积分多项式。在这个例子中的积分是线性动量和对应于一个参数组保持拉格朗日函数的磁通。本文考虑了单能级可积性问题。这个问题可以归结为一个显著的拟线性偏微分方程半哈密顿系统和该系统光滑周期解的存在性问题。我们的主要结果是：2-环面上的零磁场Liouville度规对可以解析地变形为小磁场Riemann度规，从而使能级上的磁测地流可以用二次动量积分.从而给出了一类半Hamilton（Rich）拟线性系偏微分方程光滑周期解的一个新例子.
2016-05-13 math.AP math.DS nlin.SI
Integrable magnetic geodesic flows on 2-surfaces
本文研究了具有一个附加的首次积分的2-曲面上的磁测地流，该积分在固定的能级上与哈密顿量无关。考虑了两种情况：存在二次动量积分的情况和有理动量积分的分子和分母均为线性的情况。在这两种情况下，出现了偏微分方程的某些半哈密顿系统。在本文中，我们构造这些系统的精确解（一般来说，本地的）：在第一种情况下，通过广义速端法，在第二种情况下，通过勒让德变换和分离变量的分离变量法。
2022-05-25 math.AP math.DG math.DS
On first integrals of geodesic flows on a two-torus
研究了动量多项式的测地线（或磁测地线）流的附加（与能量无关）首次积分的存在性问题。证明了这个问题与二维孤子方程定常无色散极限的非平凡解的存在性之间的关系。对某些磁测地流，证明了附加二次首次积分的不存在性。
2016-10-16 math.DG math.DS
Local high-degree polynomial integrals of geodesic flows and the generalized hodograph method
针对二维曲面测地流的动量高次多项式第一积分问题，将其转化为半 Hamilton 拟线性偏微分方程组，并利用广义速端曲线法构造了次数3、4、5的局部可积示例。
2025-08-28 math.AP math.DG math.DS
