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关于2F1超几何函数的一个注记

A Note on the 2F1 Hypergeometric Function

Armen Bagdasaryan

备注：
7 pages; accepted by J. Math. Res
发表信息：
J. Math. Res. vol. 2, no. 3, (2010), 71--77
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摘要：

超几何函数$_{2}F_{1}$的特殊情况表示当$|x|<1$时总是收敛的二项式级数$(1+x)^α=\sum_{n=0}^{\infty}(\:αn\:)x^{n}$。级数在端点处的收敛性$x=\pm 1$取决于$α$的值，需要在每个具体情况下进行检查。本文用新的方法重新证明了超几何级数$_{2}F_{1}(α,β;β;x)$对$|x|<1$的收敛性，并得到了它对任何整数$α\neq 0$在点$x=-1$收敛的新结果.证明是在一个新的理论设置的基础上的新方法重组的整数和常规的方法求和的发散系列。

英文摘要：

The special case of the hypergeometric function $_{2}F_{1}$ represents the binomial series $(1+x)^α=\sum_{n=0}^{\infty}(\:αn\:)x^{n}$ that always converges when $|x|<1$. Convergence of the series at the endpoints, $x=\pm 1$, depends on the values of $α$ and needs to be checked in every concrete case. In this note, using new approach, we reprove the convergence of the hypergeometric series $_{2}F_{1}(α,β;β;x)$ for $|x|<1$ and obtain new result on its convergence at point $x=-1$ for every integer $α\neq 0$. The proof is within a new theoretical setting based on the new method for reorganizing the integers and on the regular method for summation of divergent series.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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