A Summary of the asymptotic analysis for the EPRL amplitude
John W. Barrett, Richard J. Dowdall, Winston J. Fairbairn, Henrique Gomes, Frank Hellmann
我们回顾了建立新的自旋泡沫模型的欧几里得扇区的渐近分析的基本步骤，使用相干态，Immirzi参数小于1。我们专注于概念问题，这样做省略外围的证明和原来的讨论自旋结构。
We review the basic steps in building the asymptotic analysis of the Euclidean sector of new spin foam models using coherent states, for Immirzi parameter less than one. We focus on conceptual issues and by so doing omit peripheral proofs and the original discussion on spin structures.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The intricated combinatorial structure and the non-compactness of the Lorentz group have always made the computation of $SL(2,\mathbb{C})$ EPRL spin foam transition amplitudes a very hard and resource demanding task. With \texttt{sl2cfoam} we provide a C-coded library for the evaluation of the Lorentzian EPRL vertex amplitude. We provide a tool to compute the Lorentzian EPRL 4-simplex vertex amplitude in the intertwiner basis and some utilities to evaluate SU(2) invariants, booster functions and $SL(2,\mathbb{C})$ Clebsch-Gordan coefficients. We discuss the data storage, parallelizations, time…
We present $\mathtt{\text{sl2cfoam-next}}$, a high-performance software library for computing Lorentzian EPRL spin foam amplitudes. The library improves on previous codes by many orders of magnitude in single-core performance, can be parallelized on a large number of CPUs and on the GPU, and can be used interactively. We describe the techniques used in the code and provide many usage examples. As first applications, we use $\mathtt{\text{sl2cfoam-next}}$ to complete the numerical test of the Lorentzian single-vertex asymptotics and to confirm the presence of the "flatness problem" of spin foam…
FALSE: The EPRL amplitude is supported on flat connections
该论文指出先前预印本中存在错误，修正后表明EPRL幅度在特定拓扑区域上支持于平坦连接，并讨论了其物理意义。
Asymptotic analysis of the EPRL four-simplex amplitude
研究了带Immirzi参数的自旋泡沫量子引力模型的4单形振幅的半经典极限。如果边界状态表示非退化的4-单形几何，渐近公式包含广义相对论的Regge作用量。一个典型的选择相的边界状态被引入，并示出是必要的，以获得结果。
Spin foam theory is a concrete framework for quantum gravity where numerical calculations of transition amplitudes are possible. Recently, the field became very active, but the entry barrier is steep, mainly because of its unusual language and notions scattered around the literature. This paper is a pedagogical guide to spin foam transition amplitude calculations. We show how to write an EPRL-FK transition amplitude, from the definition of the 2-complex to its numerical implementation using \texttt{sl2cfoam-next}. We guide the reader using an explicit example balancing mathematical rigor with …
Parity and reality properties of the EPRL spinfoam
研究了洛伦兹EPRL自旋泡沫模型的宇称行为。我们证明了顶点振幅不依赖于的Immirzi参数的符号。本文给出了在大自旋4-单形近似下跃迁振幅和引力子传播子的数值结果。结果表明，两个宇称相关的临界点的贡献之间的简单关系。最后，我们观察到引力子传播子在等价节点的奇偶奇排列下不是不变的。因此，洛伦兹模型与欧几里得模型具有相同的手征性问题。
We numerically estimate the divergence of several two-vertex diagrams that contribute to the radiative corrections for the Lorentzian EPRL spin foam propagator. We compute the amplitudes as functions of a homogeneous cutoff over the bulk quantum numbers, fixed boundary data, and different Immirzi parameters, and find that for a class of two-vertex diagrams, those with fewer than six internal faces are convergent. The calculations are done with the numerical framework sl2cfoam-next.
Quantum Corrections in the Group Field Theory Formulation of the EPRL/FK Models
我们研究了EPRL/FK自旋泡沫模型的群场论公式。这些模型的目标是一个动力学的，即非拓扑的四维量子引力公式。我们介绍了一个鞍点方法的一般群场论振幅和比较它与现有的结果，特别是二阶修正的EPRL/FK传播子。
A proposed proper EPRL vertex amplitude
正如在作者先前的工作中所建立的，在所谓的“新”自旋泡沫模型的构造中使用的线性简单性约束混合了Plebanski理论的五个部分中的三个以及两个动力学方向，这就是Barrett等人计算的EPRL顶点振幅的渐近中的多个项的原因。等于$i$乘以Regge作用的通常指数的项对应于具有正取向的扇区（II+）或具有负取向的扇区（II-）中的配置。当考虑多个4-单形时，由于不同的4-单形的不同项混合在半经典极限中，因此存在超出此范围的其他项会导致自旋泡沫模型的半经典极限中的问题，通常导致非Regge作用量，因此非Regge和非引力配置持续在半经典极限中。为了纠正这个问题，我们建议修改顶点，使其渐近只包括一项的形式$e^{iS_{\Regge}}$。要做到这一点，一个明确的经典的离散条件，隔离所需的引力部门对应于这一项。这个条件被量化并用于修改顶点幅度，产生我们称之为“适当的EPRL顶点幅度”。这个顶点仍然只依赖于边界上的标准SU（2）自旋网络数据，是SU（2）规范不变的，并且在边界状态下是线性的。此外，渐近性现在由$e^{iS_{\Regge}}$形式的单个所需项组成，并且所有简并配置都被指数抑制。一个自然的推广洛伦兹签名。
A Wick rotation for EPRL spin foam models
本文通过将实Immirzi参数Wick旋转到纯虚数值，并同时对Spin(4)和SL(2,C)的代数、群元素及酉不可约表示进行解析延拓，建立了协变圈量子引力中欧几里得与洛伦兹EPRL顶点振幅之间的联系。
We perform the stationary phase analysis of the vertex amplitude for the EPRL spin foam model extended to include timelike tetrahedra. We analyse both, tetrahedra of signature $---$ (standard EPRL), as well as of signature $+--$ (Hnybida-Conrady extension), in a unified fashion. However, we assume all faces to be of signature $--$. The stationary points of the extended model are described again by $4$-simplices and the phase of the amplitude is equal to the Regge action. Interestingly, in addition to the Lorentzian and Euclidean sectors there appear also split signature $4$-simplices.
On knottings in the physical Hilbert space of LQG as given by the EPRL model
我们考虑任意嵌入两个复合物的EPRL自旋泡沫振幅。选择的定义的脸和边缘的振幅，导致自旋泡沫振幅不变下平凡的细分，我们调查一致的变形下的振幅的不变性，这是嵌入式的两个复杂的变形，其中面被允许通过彼此在一个控制的方式。利用这种令人惊讶的不变性，我们能够证明，在物理希尔伯特空间中，由所有自旋泡沫的总和定义的图形不再包含打结类。
Summing bulk quantum numbers with Monte Carlo in spin foam theories
本文提出用均匀采样蒙特卡洛方法高效近似EPRL自旋泡沫振幅中的内部量子数求和，显著降低计算成本，并发现EPRL顶点重整化振幅有限而非发散。
Corrigendum: The Plebanski sectors of the EPRL vertex
我们纠正了部分（i）证明中的符号错误。在Class.Quant.Grav.28 225003（arXiv：1107.0709）中的定理3。由线性简单性约束隔离的Plebanski扇区不会改变-它们仍然是三个扇区（deg），（II+）和（II-）。什么变化是表征的连续Plebanski两种形式对应的前两个条款中的渐近的EPRL顶点振幅Regge样的边界数据。这两个项不对应于普列班斯基扇区（II+）和（II-），而是对应于扇区的符号与由$B^{IJ}$确定的方向$ε_{IJKL}B^{IJ} \wedge B^{KL}$的符号的乘积的两个可能的符号--（II+）为+1，（II-）为-1。这与人们所期望的是一致的，因为这正是在普列班斯基扇区（II+）和（II-）中将BF作用量经典地与爱因斯坦-希尔伯特作用量联系起来的符号，爱因斯坦-希尔伯特作用量的离散化是出现在渐近中的雷吉作用量。
I present some recent progresses in the study of the EPRL self-energy amplitude. New numerical methods allow to analyze how the divergence scales, for which previous works provided very different lower and upper bounds. I show the role that the Immirzi parameter plays in the asymptotic behavior, and I discuss the dynamical expectation value of the dihedral angle boundary observable.
A finiteness bound for the EPRL/FK spin foam model
证明了当顶点振幅除以顶点自旋维数乘积的适当幂$p$时，量子引力的EPRL/FK自旋泡沫模型具有绝对收敛的配分函数.这个权力是独立的自旋泡沫2-复杂的，我们发现，$p>2$确保状态和的收敛。确定值$0 \le p \le 2$的状态和的收敛性需要知道当一些顶点自旋大而其他顶点自旋小时顶点振幅的大自旋渐近性。
The Lorentzian proper vertex amplitude: Asymptotics
在以前的工作中，导出了量子引力自旋泡沫模型的洛仑兹本征顶点振幅。在目前的工作中，这个振幅的渐近性研究的半经典极限。分析的出发点是一个表达式的振幅作为一个行动的行动积分与行动不同，在EPRL的情况下，由一个额外的“投影仪”长期的比例线性与自旋只在渐近极限，是不连续的积分域的子流形。引入了新的工具来将固定相方法推广到这种情况。对于边界数据的情况下，它可以被粘到一个非退化的洛伦兹4-单纯形，振幅的渐近极限被证明等于单个费曼项，表明额外的项在EPRL振幅的渐近已被消除。
Infrared divergences in the EPRL-FK Spin Foam model
本文提出一种估计洛伦兹EPRL-FK自旋泡沫振幅发散度的算法，重点分析自能与顶点重整化图，发现自能图发散度高于文献下界，并通过3股振幅数值验证及对简化EPRLs模型和BF理论的应用证实了算法的有效性。
Effective action for EPRL/FK spin foam models
我们表明，一个自然的修改EPRL/FK顶点振幅给出了一个有限的自旋泡沫模型，其有效的行动给予爱因斯坦-希尔伯特行动的限制大自旋和任意精细的时空三角形。一阶量子修正可以很容易地计算，我们展示了如何计算高阶修正。
q-Deformation of Lorentzian spin foam models
我们构造并分析了洛伦兹EPRL模型的量子形变。该模型基于具有实形变参数的量子洛伦兹群的表示理论。给出了量子EPRL纠缠子的定义，研究了它的收敛性和编织性质，并构造了四个单形的振幅。我们发现所得到的模型是有限的。
Self-Energy of the Lorentzian EPRL-FK Spin Foam Model of Quantum Gravity
在量子引力的洛伦兹EPRL-FK自旋泡沫模型的背景下，我们计算了对自能（或“melonic”）图的非简并扇区的最发散贡献。我们发现，当我们选择保证泡沫面分裂不变性的面振幅时，这种贡献在SU（2）表象自旋的截止上是几何发散的，并且这种贡献对边界数据的依赖性不同于裸传播子。这一事实的根源在于EPRL-FK Y-映射与SL（2，C）不变态上的投影器的非交换性。在本文中，我们详细讨论了计算过程中使用的近似，其几何解释以及我们的结果的物理后果。
All 3-edge-connected relativistic BC and EPRL spin-networks are integrable
本文证明了[Baez and Barrett：2001]中的命题：每一个具有某类不变量的3-边连通SL（2，C）自旋网络是可积的。这意味着这种自旋网络的正则化求值（由适当的积分定义）是有限的。我们的证明是相当一般的。它适用于Barrett和Crane的相对论自旋网络，也适用于具有Engle-Pereira-Rovelli-Livine缠结的自旋网络，以及两者的某些推广。从组表示的角度来看，有趣的结果也打开了一个可能性，定义顶点振幅的自旋泡沫模型的基础上非单纯分解。
We show that, when an approximation used in this prior work is removed, the resulting improved calculation yields an alternative derivation, in the particular case studied, of the accidental curvature constraint of Hellmann and Kaminski. The result is at the same time extended to apply to almost all non-degenerate Regge-like boundary data and a broad class of face amplitudes. This resolves a tension in the literature.
We numerically study the next-to-leading order corrections of the Lorentzian Engle-Pereira-Rovelli-Livine (EPRL) 4-simplex amplitude in the large-$j$ expansions. We perform large-$j$ expansions of Lorentzian EPRL 4-simplex amplitudes with two different types of boundary states, the coherent intertwiners and the coherent spin-network, and numerically compute the leading-order and the next-to-leading order $O(1/j)$ contributions of these amplitudes. We also study the dependences of these $O(1/j)$ corrections on the Barbero-Immirzi parameter $γ$. We show that they, as functions of $γ$, stabilize …
We fill one of the remaining gaps in the asymptotic analysis of the vertex amplitudes of the Engle-Pereira-Rovelli-Livine (EPRL) spin foam models: We show that the hessian is nondegenerate for the stationary points that corresponds to geometric nondegenerate $4$ simplices. Our analysis covers the case when all faces are spacelike.
A spin-foam vertex amplitude with the correct semiclassical limit
自旋泡沫模型被希望为圈量子引力提供动力学。这些从普列班斯基公式的重力，其中重力是从拓扑场论，BF理论，通过约束，其中，然而，选择一个以上的引力部门，以及一个非物理退化部门。我们表明，这就是为什么超出所需的费曼规定的一个出现在EPRL自旋泡沫振幅的半经典极限的条款。通过量子力学隔离一个单一的引力扇区，我们修改了这个振幅，得到了具有正确半经典极限的圈量子引力的自旋泡沫振幅。
We compute transition amplitudes between two spin networks with dipole graphs, using the Lorentzian EPRL model with up to two (non-simplicial) vertices. We find power-law decreasing amplitudes in the large spin limit, decreasing faster as the complexity of the foam increases. There are no oscillations nor asymptotic Regge actions at the order considered, nonetheless the amplitudes still induce non-trivial correlations. Spin correlations between the two dipoles appear only when one internal face is present in the foam. We compute them within a mini-superspace description, finding positive corre…
Hessian and graviton propagator of the proper vertex
为了获得正确的半经典行为，从EPRL顶点通过投影出除了单个引力扇区之外的所有引力扇区来获得适当的自旋泡沫顶点振幅。本文计算了在顶点展开中，由自旋泡沫顶点到最低阶所预言的引力两点函数。我们发现在EPRL的情况下，在“连续谱”的限制相同的答案，使该理论是一致的小曲率的政权的线性化重力的预测。计算两点函数的方法与以前的工作中使用的方法类似：我们将其转换为作用积分并使用固定相方法。因此，Hessian矩阵的计算起着关键作用。一旦计算出Hessian，它不仅用于计算两点函数，而且还用于计算出现在固有顶点振幅本身的半经典极限中的系数。该系数是自旋泡沫模型中编码的有效离散“测量因子”。通过对不同因子的非平凡消去，我们发现该系数与所选引力扇区对应的EPRL顶点渐近项前的系数相同。
Spinfoams and high performance computing
本文回顾了自旋泡沫理论中的主要数值计算框架，包括基于booster分解的sl2cfoam-next库，以及基于积分表示的复临界点计算和Lefschetz thimble与MCMC方法，展现了其在解决平坦性问题与计算可观测期望值中的应用。
The Lorentzian EPRL spin foam amplitude for loop quantum gravity is a multi-dimensional non-compact integral of highly oscillating functions. Using a method based on the decomposition of Clebsch-Gordan coefficients for the unitary infinite-dimensional representations of SL(2,C) in terms of those of SU(2), we are able to provide for the first time numerical evaluations of the vertex amplitude. The values obtained support the asymptotic formula obtained by Barrett and collaborators with a saddle point approximation, showing, in particular, a power-law decay and oscillations related to the Regge …
Searching for classical geometries in spin foam amplitudes: a numerical method
本文提出一种数值方法研究多顶点自旋泡沫振幅的半经典极限，利用Ponzano-Regge模型识别出对应经典几何的稳定相点，并探讨向四维EPRL模型的推广。
Quantum deformation of two four-dimensional spin foam models
我们构建了两个四维自旋泡沫模型的q变形版本，Euclidean和Lorentzian版本的EPRL模型。q变形模型是基于U_q（su（2））在单位根上的两个副本的表示理论和具有实变形参数的量子Lorentz群。对于这两种模型，我们给出了量子EPRL缠结的定义，研究了它们的收敛性和编织性质，并构造了四个单形的振幅。我们发现，这两个模型是收敛的。
Asymptotics of 4d spin foam models
研究了各种四维自旋泡沫模型的四单形振幅的渐近性质。我们使用相干态的边界数据研究了Ooguri，Euclidean和Lorentzian EPRL模型的半经典极限。对于某些类型的几何边界数据，在所有三种情况下，由简单的函数的Regge作用的四个单纯形几何给出的渐近公式。
Cosmological Constant in LQG Vertex Amplitude
利用嵌入3-球面的4-单形图（与量子SU（2）群在不同单位根上的两个副本有关）的Vassiliev不变量的计算，提出了Euclidean EPRL/FK顶点振幅的一种新的q-变形.我们证明了q变形顶点振幅的大j渐近性给出了具有宇宙学常数的Regge作用量。最后讨论了它与4-单形边界上的Chern-Simons理论的关系。
Asymptotic analysis of the Ponzano-Regge model for handlebodies
利用为分析EPRL模型而发展起来的相干态技术，我们给出了在大边界自旋极限下，非Tardis三角剖分的双旋体的Ponzano-Regge模型振幅的渐近公式。该公式对边界三角剖分的所有可能浸入求和，其值由在这些浸入上评估的Regge作用的余弦给出。此外，渐近缩放寄存器的存在下，灵活的浸入。我们数值验证，这个公式近似的6 j符号为大自旋。
Spin-Foams for All Loop Quantum Gravity
将Engle-Pereira-Rovelli-Livine自旋泡沫模型的单纯框架推广到圈量子引力的非同态不变框架.将单纯自旋泡沫推广到任意线性二胞自旋泡沫。由此产生的框架承认回路量子引力的所有自旋网络状态，而不仅仅是那些由三角测量（或立方体测量）定义的状态。特别是我们使用的嵌入式自旋泡沫的概念允许考虑打结或链接自旋泡沫历史。另外，顶点结构和顶点振幅等主要工具也被自然地推广到任意原子价的情形。在Barbero-Immirzi参数$|γ|\ge 1$的情况下，证明了所有SU（2）交织器与SU（2）$\times$ SU（2）EPRL交织器的对应关系为1-1，除非EPRL映射的上定义域是平凡的，而定义域是非平凡的.
The Lorentzian proper vertex amplitude: Classical analysis and quantum derivation
自旋泡沫模型是一种定义圈量子引力动力学的方法，它利用了引力的普列班斯基公式，其中引力通过称为简单性约束的某些约束从拓扑场论中恢复。然而，通常形式的简单性约束选择的不仅仅是一个引力扇区和一个简并扇区。这表明，在以前的工作中，是原因的“额外”的条款出现在半经典极限的欧几里德EPRL振幅。在以前的工作中，开发了一种消除额外扇区的方法，从而产生了所谓的欧几里得固有顶点振幅。在目前的工作中，这些结果扩展到洛伦兹签名，建立所谓的洛伦兹固有顶点振幅。这种扩展是不平凡的，并且涉及到一些新元素，因为对于洛伦兹双向量，欧几里得推导所基于的分裂成自对偶和反自对偶部分不再可用。事实上，本推导的经典部分不仅提供了对洛伦兹情况的扩展，而且，经过微小的修改，为欧几里得情况提供了一个新的，更四维的协变推导。在推导的量子部分的新元素是由于洛伦兹群的酉表示的不同结构。
Asymptotic of Lorentzian Polyhedra Propagator
在各种洛伦兹EPRL计算中可以找到特定的算子$\T=\int_{\SL}\dd g\, Y^{\dagger}gY$。在大$j$极限下研究了该算子的性质. $\T$的前导阶与恒等算子成比例。已知算子$\T$，可以通过计算随着顶点和气泡数目的增加的一系列边缘的和的振幅来重新归一化自旋泡沫的边缘自能。这个幅度的计算，并被证明是收敛的。此外，还开发了一些用于洛伦兹自旋泡沫计算的技术工具。
Spinfoam cosmology with the proper vertex amplitude
适当的顶点振幅是从EPRL顶点通过限制到一个单一的引力扇区，以实现正确的半经典行为。我们应用适当的顶点来计算宇宙学跃迁振幅，它可以被看作是Hartle-Hawking波函数。为了进行这种计算，我们推导出适当的顶点的积分形式，并使用扩展的固定相方法来估计大体积的限制。我们表明，由此产生的振幅满足一个运营商的约束，其经典的模拟是哈密顿约束的Friedmann-Robertson-Walker宇宙学。我们发现，约束动态选择相关的家庭的相干态，并证明了类似的动态选择在标准量子力学。我们研究了动态选择对长程关联的影响。
Spinfoam amplitudes with small spins can have interesting semiclassical behavior and relate to semiclassical gravity and geometry in 4 dimensions. We study the generalized spinfoam model (Spinfoams for all loop quantum gravity (LQG)) with small spins $j$ but a large number of spin degrees of freedom (DOFs), and find that it relates to the simplicial Engle-Pereira-Rovelli-Livine-Freidel-Krasnov (EPRL-FK) model with large spins and Regge calculus by coarse-graining spin DOFs. Small-$j$ generalized spinfoam amplitudes can be employed to define semiclassical states in the LQG kinematical Hilbert s…
Testing the imposition of the Spin Foam Simplicity Constraints
我们在SO（4）规范群中引入了一个三维Plebanski作用量。在这个模型中，$B$场满足类似于四维普列班斯基理论的二次简单性约束，但不同的是$B$场现在是一种形式。我们展示了一个自然的概念，“简单的一种形式”，并确定引力部门，拓扑部门和退化部门的简单性约束的解决方案的空间。经典地，在引力扇区中，作用量被证明是等价于三维一阶黎曼引力的作用量。这使我们能够执行完整的自旋泡沫量子化的理论，一旦简单的约束解决了在经典的水平，并比较这个结果与各种模型，已提出的实施量化后的约束。特别是，我们施加的简单性约束的处方后，所谓的BC和EPRL模型。我们观察到，BC处方不能导致适当的顶点振幅。EPRL处方允许恢复预期的结果时，在这个三维模型中，它补充了额外的二级第二类约束。
Local flatness is a property shared by all the spin foam models. It ensures that the theory's fundamental building blocks are flat by requiring locally trivial parallel transport. In the context of simplicial Lorentzian spin foam theory, we show that local flatness is the main responsible for the emergence of geometry independently of the details of the spin foam model. We discuss the asymptotic analysis of the EPRL spin foam amplitudes in the large quantum number regime, highlighting the interplay with local flatness.
In this article we consider non-convex $4d$ polytopes in $\mathbb{R}^4$. The paper consist of two parts: Firstly, we extend the proof of the formula for the $4d$ volume in terms of $2d$ face bivectors and boundary graph crossings from convex to non-convex polytopes. Secondly, we consider the EPRL-FK spin foam model, and demonstrate that there exists boundary data which leads to non-convex $4d$ polytopes in the asymptotic analysis of the vertex amplitude.
Operator Spin Foam Models
本文的目的是介绍一个系统的方法来纺泡沫。我们定义的运营商自旋泡沫，即泡沫标记的群表示和运营商，作为主要工具。一个等价关系，我们强加在一组运营商自旋泡沫允许分裂的面和边缘的泡沫。与该关系的一致性需要引入（熟悉BF理论）面振幅。操作员自旋泡沫模型的定义相当普遍。强加一个最大的对称性导致一个家庭，我们称之为自然运营商自旋泡沫模型。这种对称性，再加上分裂边缘的要求一致性，决定了一般自然模型的完整表征。它可以通过对任意BF自旋泡沫模型施加任意（量子）约束来获得。特别地，对Spin（4）BF自旋泡沫模型施加适当的约束正是我们倾向于看待4d量子引力的方式，从BC模型开始，继续到EPRL或FK模型。这使得我们的框架直接适用于这些模型。具体来说，我们的运营商自旋泡沫框架可以被翻译成自旋泡沫和配分函数的语言。我们讨论的例子：BF自旋泡沫模型，BC模型，并通过我们的框架的应用程序获得的模型EPRL交织器。
Quasicrystalline Spin Foam with Matter: Definitions and Examples
本文在圈量子引力中定义准晶自旋网络，并提出 EPRL 模型的准晶自旋泡沫振幅变体，用于描述非周期量子几何及费米子耦合，且给出三维与 600-cell 示例。
Feynman diagrammatic approach to spin foams
“没有3D/4D想象力的人的旋转泡沫”可以作为我们工作的另一个标题。我们从我们介绍的算子自旋网络图导出自旋泡沫。我们的图是费曼图的自旋网络类比。它们的框架与圈量子引力的框架是相容的。对于每一个算子自旋网络图，我们构造一个相应的算子自旋泡沫。承认所有的自旋网络的LQG和所有可能的图表导致一个明确定义的一大类运营商自旋泡沫。在这种方式中，我们的框架提供了一个建议，一类2-细胞复合物，应该使用的自旋泡沫理论的LQG。在这个类中，我们的图只是等价于自旋泡沫。然而，在图框架中的优点是，它是自包含的，所有的振幅可以直接从图中计算，而无需显式可视化相应的自旋泡沫。自旋网络图算子和振幅是一致地根据它们自己定义的。每个图都对所有的组合信息进行了编码。我们说明我们的图表的应用：我们介绍了一个图定义的Rovelli的表面振幅以及规范过渡振幅。重要的是，我们的算符自旋网络图是以足够一般的方式定义的，以适应EPRL或FK模型的所有版本，以及其他可能的模型。这些图也与LQG哈密顿算子的结构兼容，这是一个额外的优点。最后，一个完整的定义的自旋泡沫理论的计划，通过宣布一组相互作用的顶点出现在文件的最后提出的例子。
Asymptotics of Spinfoam Amplitude on Simplicial Manifold: Euclidean Theory
本文研究了具有任意数目单形的四维单纯复形上Euclidean EPRL/FK自旋泡沫振幅的大j渐近性质。我们证明了对于临界组态（j_f，g_{ve}，n_{ef}），单纯复形一般存在三个区域的划分：非退化区域，A型退化区域和B型退化区域.在非退化区域和A型退化区域上，临界构型都意味着非退化的欧几里得几何，而在B型退化区域上，临界构型意味着矢量几何。此外，我们还可以根据欧氏定向4-单形体积的符号将非退化区域和A型区域分解为子复形。在每个子复形上，临界组态处的自旋泡沫振幅给出一个Regge作用量，该作用量包含一个定向4-单形体积的符号因子sgn（V_4（v））。因此，这里再现的Regge作用量可以被看作是具有壳上连接的离散化Palatini作用量。自旋泡沫振幅的渐近公式由在所有可能的临界构型下评估的振幅之和给出，这些振幅是与不同类型的几何形状相关联的振幅的乘积。
Efficient Tensor Network Algorithms for Spin Foam Models
本文提出基于张量网络的高效算法，将自旋泡沫顶点振幅重构为矩阵收缩序列，显著降低计算复杂度与内存占用，并在 SU(2) BF 和洛伦兹 EPRL 模型中验证了其可扩展性和对大表示标签的高效计算能力。
Boosting Wigner's nj-symbols
本文研究了圈量子引力下洛伦兹EPRL自旋泡沫振幅中的SL（2，C）Clebsch-Gordan系数。我们展示了振幅如何在顶点分解为SU（2）nj-符号，在边缘分解为积分。积分定义的边缘振幅，可以评估分析使用和适应文献中的结果，导致一个纯状态和模型制定。这个过程引入虚拟表示，在某种程度上让人联想到费曼振幅中的虚拟动量，是理论中存在的简单性约束的壳外，但具有在壳上值处达到峰值的被积函数。我们指出的边缘振幅的一些属性，这是有助于数值和分析评估的自旋泡沫振幅，并建议除其他事项外，一个更简单的模型，用于计算某些最低阶振幅。作为一个应用，我们估计了一个简单的模型的大自旋标度行为，在一个封闭的泡沫与所有4-价的边缘和欧拉特征线X，为N^（X - 5E + V/2）。本文对SL（2，C）Clebsch-Gordan系数在主级数的酉表示中的结果进行了回顾和扩展，这些结果可以应用于量子引力之外。
The Lorentzian Engle-Pereira-Rovelli-Livine/Freidel-Krasnov (EPRL/FK) spinfoam model and the Conrady-Hnybida (CH) timelike-surface extension can be expressed in the integral form $\int e^S$. This work studies the analytic continuation of the spinfoam action $S$ to the complexification of the integration domain. Our work extends our knowledge from the real critical points well-studied in the spinfoam large-$j$ asymptotics to general complex critical points of $S$ analytic continued to the complexified domain. The complex critical points satisfying critical equations of the analytic continued $S…
Asymptotics of Spinfoam Amplitude on Simplicial Manifold: Lorentzian Theory
本文研究了具有任意数目单形的四维单形复形上洛伦兹EPRL自旋泡沫振幅的大j渐近性质。自旋泡沫振幅的渐近性由临界构型决定。在这里，我们表明，在一般情况下，给定的临界配置，存在一个分区的单纯复杂成三种类型的区域R_{Nondeg}，R_{Deg-A}，R_{Deg-B}，其中三个区域是单纯子复合物的边界。在不同类型的区域中，临界组态意味着不同类型的几何，即（1）限制在R_{Nondeg} $ implies a nondegenerate discrete Lorentzian geometry, (2) the critical configuration restricted into R_{Deg-A}$中的临界组态是退化的A型几何，但意味着R_{Deg-A}上的非退化离散欧几里得几何;（3）限制在R_{Deg-B}中的临界组态是退化的B型几何，意味着R_{Deg-B}上的向量几何.利用临界构型，我们进一步将区域R_{Nondeg}和R_{Deg-A}根据它们的洛伦兹/欧几里德定向的4-单形体积V_4（v）细分为子复形（有边界），使得sgn（V_4（v））在每个子复形上是常数符号。然后在每个子复合体中，临界组态处的自旋泡沫振幅分别在R_{Nondeg}或R_{Deg-A}上给出洛伦兹或欧几里得签名的Regge作用量。这里再现的Regge作用包含定向4-单形体积的符号因子sgn（V…
We study the renormalization group flow of the Euclidean Engle-Pereira-Rovelli-Livine and Freidel-Krasnov (EPRL-FK) spin foam model in the large-$j$-limit. The vertex amplitude is deformed to include a cosmological constant term. The state sum is reduced to describe a foliated spacetime whose spatial slices are flat, isotropic and homogeneous. The model admits a non-vanishing extrinsic curvature whereas the scale factor can expand or contract at successive time steps. The reduction of degrees of freedom allows a numerical evaluation of certain geometric observables on coarser and finer discret…
Path Integral Representation of Lorentzian Spinfoam Model, Asymptotics, and Simplicial Geometries
本文推导洛伦兹EPRL自旋泡沫模型的新路径积分表示，通过大自旋渐近展开证明其临界构型与经典洛伦兹单纯几何等价，仅整体定向且时间定向的临界构型的主导阶渐近给出广义相对论洛伦兹Regge作用量的指数。
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