About certain prime numbers
Diana Savin
给出了丢番图方程$p=x^{q}+ry^{q},$解存在的一个必要条件，其中$p$，$q$，$r$为不同的奇素数自然数.
We give a necessary condition for the existence of solutions of the Diophantine equation $p=x^{q}+ry^{q},$ with $p$, $q$, $r$ distinct odd prime natural numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Carlitz module analogues of Mersenne primes, Wieferich primes, and certain prime elements in cyclotomic function fields
本文引入了Mersenne素数的Carlitz模类似，并证明了与Mersenne素数有关的几个经典结果的Carlitz模类似。与经典情况相反，我们可以证明存在无限多个合成梅森数。我们还研究了熟人梅森素数，包括Wieferich和非Wieferich素数在Carlitz模的情况下，首先介绍了Dinesh Thakur。
Short interval results for certain prime-independent multiplicative functions
利用平滑曲线上整数点理论的最新结果，给出了一类整数值素无关乘性函数值分布的渐近公式。
The behaviour of a certain additive function in large intervals between consecutive primes
本文研究连续素数之间大区间内特定整数素因子所决定的加性函数的行为，结合素数大间隙相关结果、Erdős–Kac 定理及 Kubilius 模型得到主要结论。
Non-existence of certain CM abelian varieties with prime power torsion
本文研究了Rasmussen和Tamagawa关于带约束素幂挠的阿贝尔簇的同构类集的有限性的一个猜想。我们的结果与定义域上有复乘的阿贝尔簇有关。
Some Conjectures on the Number of Primes in Certain Intervals
本文对素数作了一些比现有文献中更尖锐的分析。首先，我们描述了我们的研究勒让德的猜想，这仍然是未解决的。接下来，我们表明，布罗卡猜想可以证明假设我们的改进版本的勒让德猜想。最后，我们锐化了素数的Bertrand公设。我们的研究结果得到了广泛的实证研究的支持。
A note on prime index of a certain subgroup in $\mathbb{F}_p^*$
在广义黎曼假设下，研究 $\mathbb{F}_p^*$ 中由 $-1$ 和 $2$ 生成的子群具有奇素数指标的素数比例，证明其与指标大于 $2$ 的素数之比趋近 $46\\%$。
On certain sums over primes and the Riesz function
本文通过Gram级数导数与里斯函数的关系，探讨素数求和近似中的Mobius函数级数，推导出一般积分关系。
Dense families of modular curves, prime numbers and uniform symmetric tensor rank of multiplication in certain finite fields
本文得到了任意有限域Fp或Fp 2的有限扩张上乘法的对称张量秩的新的一致界，其中p表示大于或等于5的素数.在这个目标中，我们使用对称Chudnovsky型广义算法上的充分密集的家庭的模曲线定义在Fp 2达到Drinfeld-Vladuts界和下降，这些家庭的定义域Fp。这些族是由于Hoheisel型的素数密度定理而获得的，特别是Dudek（2016）的结果。
Distribution of Non-Wieferich primes in certain algebraic groups under ABC
在ABC下，西尔弗曼证明了关于任何（非平凡的）基$a$有无穷多个非维费里奇素数。最近Srinivas和Subramani证明了具有平凡类群的数域上的一个类似结果。在本文的第一部分中，我们将他们的结果推广到任意数域。其次，我们给出了非Wieferich素理想个数的一个渐近下界。此外，我们证明了一个下界的相同的顺序是可实现的非Wieferich素理想的范数全等$1 \pmod k.$最后，我们推广Silverman的工作椭圆曲线在任意数域以下的治疗Kühn和Müller。
Prime numbers with a certain extremal type property
素数计数函数$x\rightarrow π(x)$的子图的凸包是一个凸集，由某个分段仿射函数$x\rightarrow ε(x)$的图从上到下定界。这个函数的顶点形成了一个无穷的点序列$(e_k,π(e_k))_1^{\infty}$。在本文中，我们提出了一些琐碎的观察序列$(e_k)_1^{\infty}$，我们制定了一些问题，从数值数据。此外，我们证明了一个不那么平凡的结果：如果黎曼假设是真的，那么$\lim\frac{e_{k+1}}{e_k}=1$。
On a product of certain primes
本文研究了素数上的乘积$$\mathfrak{p}_n = \prod_{s_p(n) \, \geq \, p} p \quad (n \geq 1),$$的性质，其中$s_p(n)$表示$n$的基$p$数之和.一个重要的性质是$\mathfrak{p}_n$等于伯努利多项式$B_n(x) - B_n$的分母，我们提供了一个简短的$p$ -adic证明。此外，我们考虑分解$\mathfrak{p}_n = \mathfrak{p}_n^- \cdot \mathfrak{p}_n^+$，其中$\mathfrak{p}_n^+$只包含那些素数$p > \sqrt{n}$。设$ω( \cdot )$表示素因子的个数。我们表明，$ω( \mathfrak{p}_n^+ ) < \sqrt{n}$，而我们提出了明确的猜想，$$ω( \mathfrak{p}_n^+ ) \, \sim \, κ\, \frac{\sqrt{n}}{\log n} \quad \text{as $n \to \infty$}$$与一定的常数$κ> 1$，支持几个计算。
Conjectures about Primes and Cyclic Numbers
本文定义了循环数，回顾并提出了素数与循环数的类比猜想，利用小于$10^8$的循环数进行测试，推翻了Hardy和Littlewood素数第二猜想的循环类比。
Conjectures about discriminants of Hecke algebras at prime level
研究了与素水平尖点形式空间相关联的Hecke代数的判别式的p-可除性。本文对Hecke代数的正规化指标作了一个精确的猜想，这意味着（如果为真）猜想权为2的非共轭新形式与水平Gamma_0（p）之间不存在mod p同余.
An equation about sum of primes with digital sum constraints
我们知道任何形式为$4s+1$的素数都可以写成两个完满平方数的和。作为哥德巴赫弱猜想的结果，任何大于$10$的数都可以表示为四个素数之和。我们的动机是考虑一个方程与一些限制的数字和的四个素数。并得出结论：如果方程有解，则四个素数的数字和的平方根将大于$4$，而不是$3$的倍数.在证明中，我们给出了判断一个数是否是完满平方的方法。
A note on primes in certain residue classes
对于给定的正整数$a_1,\ldots,a_k$，我们证明了使得$p \not\equiv 1 \bmod{a_i}$ for $i=1,\ldots,k$的素数集$p$相对于所有素数集至少有$\prod_{i=1}^k \left(1-\frac{1}{φ(a_i)}\right)$的渐近密度，其中$φ$是欧拉函数.这一结果类似于Heilbronn和Rohrbach的结果，即正整数$n$的集合使得$n \not\equiv 0 \bmod a_i$ for $i=1,\ldots,k$容许至少为$\prod_{i=1}^k \left(1-\frac{1}{a_i}\right)$的渐近密度。
On a conjecture about prime-detecting quasimodular forms
本文证明了Craig等人关于素数检测拟模形式的分类猜想，关键方法是证明拟模尖形式的傅里叶系数有无穷多次符号变化。
Constructing Certain Special Analytic Galois Extensions
对于每个满足类群$\text{Cl}(\mathbb{Q}(μ_p))$上一定条件的素$p\geq 5$，我们构造了无限分圆扩张$\mathbb{Q}(μ_{p^{\infty}})$的$p$ -进解析Galois扩张，并给出了它的一些特殊的分歧性质.更详细地说，这个扩张在$p$以上的素数上是无分歧的，在1000个有理素数上是有分歧的，并且同构于$\text{SL}_2(\mathbb{Z}_p)$的一个包含主同余子群的有限指数子群。对于素数$107,139,271$和$379$，这种扩展首先由Ohtani和Blondeau构造。产生这些特殊的扩展在一个丰富的素数的策略是通过提升二维可约伽罗瓦表示，这是对角时，限制到$p$。
The number of roots of polynomials of large degree in a prime field
我们建立了整系数多项式的零模$p$的个数的渐近上界，其中$p$素数任意大。我们考虑的多项式的次数大小为$p$，并通过截断满足简单微分方程的具有有理系数的幂级数得到。
Consecutive integers free of certain prime factors
本文证明了Erdős猜想：存在无穷多个k，使得最小整数n>2k满足(n-k)...(n-1)不被(k,2k)内任何素数整除，且n_k > e^{log^2 k/(20 log log k)}。
About the Primality of Primorials
素素数是一个$p_n\# \pm 1$形式的素数，其中$p_n\#$表示所有小于或等于$n$的素数$p_{n}$的素数的乘积。我们证明了沿着Mertens定理，$p_n\# -1$或$p_n\# +1$是素数的概率是$O(n^{-1})$，并且对于$n>1$，$p_n\# -1$和$p_n\# +1$都是素数的概率是$O(n^{-2})$。后一个结果提供了证据，证明总共有三个实例，其中$p_n\# -1$和$p_n\# +1$都是素数。我们提供的证明，从$p_n\# \pm 1$的号码有最高的概率是素数。
Eta-quotients and divisibility of certain partition functions by powers of primes
Andrews的$(k, i)$ -奇异过分区函数$\overline{C}_{k, i}(n)$计算$n$的过分区的数量，其中没有部分可被$k$整除，并且只有部分$\equiv \pm i\pmod{k}$可以被上划线。近来，对于$\ell$的某些值，研究了$\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$、$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$和$\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$被$2$和$3$整除的可能性。本文研究了$\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$、$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$和$\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$被素数$p\geq 5$整除的问题。对所有正整数$\ell$和$\ell$的素因子$p\geq 5$，证明了$\overline{C}_{3\ell, \ell}(n)$，$\overline{C}_{4\ell, \ell}(n)$和$\overline{C}_{6\ell, \ell}(n)$几乎都能被$p$的任意幂整除.对于$s\in \{3, 4, 6\}$，我们接下来证明了那些$n$的集合，其中$\overline{C}_{s\cdot\ell, \ell}(n) \not\equiv 0\pmod{p_…
On the Cycle Structure of Repeated Exponentiation Modulo a Prime Power
本文从算术动力系统的观点出发，得到了模素幂重幂运算的一些结果。特别地，我们将模素数情形下关于周期点和尾部的两个渐近公式推广到模素数幂情形。
On the series expansion of the prime zeta function about $s=1$ and its coefficients
本文推导了素数ζ函数在s=1处的级数展开，并证明了其系数的通用公式，类似于黎曼ζ函数的Stieltjes系数。结果可视为对梅特恩斯定理的推广，并通过数值验证计算了高精度公式。
Certain Abelian varieties bad at only one prime
如果原导体$N$的2-分割域$F$是${\mathbb Q}_2$上分歧指数为5的${\mathcal S}_5$ -扩张，则原导体的交换曲面$A_{/{\mathbb Q}}$是有利的.令$A$是有利的，并且令$B$是维数$2d$和导体$N^d$的任何半稳定阿贝尔簇，使得$B[2]$被$A[2]$的拷贝过滤。我们给出了$F$的一个充分类场论判据，以保证$B$与$A^d$同构.正如我们的paramodular猜想，我们得出结论，有一个isoprons类的交换曲面的每个导体在$\{277, 349,461,797,971\}$。我们的标准的普遍适用性在数据部分进行了讨论。
On certain sums involving the largest prime factor over integer sequences
本文研究了整数序列中最大素因子相关的求和问题，推导了两个求和的渐进行为。
A sharp estimate of the discrepancy of a certain numerical sequence
考虑由素数构成的一类等分布的有理数序列。特别地，我们确定了所述序列的星差异的急剧收敛速度。我们的论点是基于众所周知的逆同馀伪随机数的差异估计与渐近公式涉及素数。
Congruence and Uniqueness of Certain Markoff Numbers
利用关于同余的简单事实，我们首先证明了每个偶数Markoff数都同余于2模32，然后推广了Baragar的一个结果，建立了3c - 2和3c + 2中的一个是素数幂、4倍素数幂或8倍素数幂的Markoff数c的唯一性.
On generalized Ramanujan primes
本文建立了关于广义Ramanujan素数的几个结果。对于$n\in\mathbb{N}$和$k \in \mathbb{R}_{> 1}$，我们给出了$n$ th $k$ -Ramanujan素数的估计，从而推广和改进了目前文献中的结果.此外，我们还得到了关于$k$ -Ramanujan素数分布的一些结果.此外，我们还找到了某些$n$ th $k$ -Ramanujan素数的显式公式.作为应用，我们证明了Mitra，Paul和Sarkar关于素数个数的一个猜想对每一个充分大的正整数都成立.
On the ratio of consecutive gaps between primes
在目前的工作中，我们证明了一个共同的推广梅纳德-陶最近的结果连续有界的差距之间的素数和Erdens-Rankin界之间的连续素数的大差距。这项工作的答案在一个强有力的形式60岁的问题埃尔德什，问是否比两个连续primegaps可以无限经常任意小，和任意大，分别。
Asymptotic distribution of integers with certain prime factorizations
设$p_{1}<p_2<... <p_ν<...$为素数序列，$m$为正整数。本文给出了具有$p_{m^{k_1}}p_{m^{k_{2}}...p_{m^{k_{n}}}$ with $k_{1}\le k_{2}\le...\le k_{n}$的素数分解的整数集合的分布的一个强渐近公式。这样的整数起源于各种组合计数问题;当$m=2$时，它们作为某些有根树的Matula数出现。
The distribution of primes and Euler characreristic
我们从拓扑学的角度研究素数的素数分布。引入了一个猜想，并证明了它与黎曼假设是等价的.
Some history about Twin Prime Conjecture
这篇文章是从一些书籍和论文中收集的信息，在大多数情况下保留了关于孪生素数猜想的原始句子。
Modularity of abelian varieties over $\Q$ with bad reduction in one prime only
利用Odlyzko表和类域理论证明了$\Q$上某些仅在一个素数处有坏约化的阿贝尔簇是模的.
On the Frobenius number of certain numerical semigroups
设$0<λ\leq1$，$λ\notin\left\{\frac24, \frac27, \frac2{10}, \frac2{13}, \ldots\right\}$是实数，$p$是素数，其中$[p,p+λp]$至少包含两个素数.用$f_λ(p)$表示不能写成$[p,p+λp]$中素数之和的最大整数。则\[f_λ(p)\sim\left\lfloor2+\frac2λ\right\rfloor\cdot p\text{, as }p\text{ goes to infinity.}\]进一步Wilf关于“货币兑换问题”的一个问题对所有包含来自$[p,2p]$的素数的重数半群$p$都有正解。特别地，这对于由不小于$p$的所有素数生成的半群成立。后一种特殊情况已经在以前的一篇论文中说明过。
Real exponential sums over primes and prime gaps
研究证明在短区间内存在素数，解决了长期存在的问题，并验证了关于素数分布的旧猜想。
On local laws for the number of small prime factors
本文研究Alladi提出的整数小素因子局部分布问题，重点刻画参数特定取值下出现的过渡阶段现象。
Chebyshev's conjecture and the prime number race
我们调查结果的素数种族，即结果的相对大小的素数计数函数$π_{q,a}(x)$，与$q$固定和$a$变化。特别是，我们描述了作者对这些问题最近的工作。
Ordinary primes for $\mathrm{GL}_2$-type abelian varieties and weight $2$ modular forms
本文研究了GL₂型Abel簇和重量为2的模形式的普通素数集的正密度问题，通过数域内射代数的条件证明了其正密度性。
An Equivalent form of Twin Prime Conjecture connected with a sequence of arithmetic progressions
本文提出了一种与算术进展序列对称性质相关的 twin素数猜想等价形式。
On (unitary) perfect polynomials over $\mathbb{F}_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
在$\mathbb{F}_2$上唯一的（酉）完全多项式是$x$，$x+1$和梅森素数的乘积，它们正好是9个（分别是）。九个“知”字。这是由关于$M^{2h+1} +1$的因式分解的一个新结果得出的，对于梅森素数$M$和正整数$h$。这样的因式分解的其他后果是关于奇完全多项式的新结果。
A pair of Goldbach-Linnik equations in unlike powers of primes and powers of two
本文证明满足特定必要条件的大偶数对均可表示为一个素数、一个素数平方、两个素数立方及56个2的幂，解决了一对Goldbach-Linnik方程的表示问题。
Polignac Numbers, Conjectures of Erdös on Gaps between Primes, Arithmetic Progressions in Primes, and the Bounded Gap Conjecture
在本工作中，我们证明了一些令人惊讶的结果之间的差距连续素数和等差数列的广义孪生素数序列，不可能被证明没有最近的神奇成就张一堂连续素数之间存在有界的差距。这些结果中的大多数在十年前都属于科幻小说的范畴。然而，所提出的结果是远远没有直接后果张的著名定理：他们需要各种新的想法，其他重要的性质的应用筛功能和更密切的分析方法的Goldstone-Pintz-Yildirim，绿色陶，和张，分别。
Prime values of a sparse polynomial sequence
在素数理论中，某些难以解决的问题的一个显著特征是底层序列的稀疏性。受稀疏多项式序列中寻找素数的一般问题的启发，我们给出了形状为$x^3 + 2y^3$的素数个数的估计，其中$y$很小。
Generalization of Bertrand's Postulate for Gaussian Primes
本文将伯特兰公设的推广形式化到高斯素数上，从而揭示复平面上素数的分布规律。
A Connection Between the Monogenicity of Certain Power-Compositional Trinomials and $k$-Wall-Sun-Sun Primes
我们说一个次数为$N$的一元多项式$f(x)\in {\mathbb Z}[x]$是单演的，如果$f(x)$在${\mathbb Q}$上不可约，并且\[\{1,θ,θ^2,\ldots, θ^{N-1}\}\]是${\mathbb Q}(θ)$的整数环的基，其中$f(θ)=0$。令$k$是正整数，并且令$U_n:=U_n(k,-1)$是由\[U_0=0,\quad U_1=1\quad \mbox{and} \quad U_n=kU_{n-1}+U_{n-2} \quad \mbox{ for $n\ge 2$}.\]定义的第一类卢卡斯序列$\{U_n\}_{n\ge 0}$。$k$ -Wall-Sun-Sun素数是素数$p$，使得\[U_{π_k(p)}\equiv 0 \pmod{p^2},\]，其中$π_k(p)$是$\{U_n\}_{n\ge 0}$模$p$的周期的长度。设${\mathcal D}=k^2+4$为$k\equiv 1 \pmod{2}$，${\mathcal D}=(k/2)^2+1$为$k\equiv 0 \pmod{2}$。假设$k\not \equiv 0 \pmod{4}$和${\mathcal D}$是无平方数的，并令$h$表示${\mathbb Q}(\sqrt{\mathcal D})$的类号。令$s\ge 1$是整数，使得对于$s$的每个…
Mean Values of Certain Multiplicative Functions and Artin's Conjecture on Primitive Roots
讨论了如何利用Delange定理，通过某些乘性函数及其狄利克雷级数的均值，研究分圆量的渐近性.我们展示了如何这可能提供一个新的方法阿廷猜想的原根。我们专注于是否一个固定的素数有一定的顺序模无穷多个其他素数。我们也给出了一个这样的狄利克雷级数的平均值的估计。
On Maximal Prime Gaps
本文研究了素数间隙的问题，证明了素数与其后继素数之间的间隙不超过2log²p_n，并由此推导出对于足够大的数，存在特定类型的区间内必然存在素数。
Regular ternary polygonal forms
受Dickson对正则三元二次型分类的启发，我们证明了当$m$充分大时，不存在本原正则$m$ -二次型.为了做到这一点，我们构建序列的素数是惰性的在一定的二次域，并表明他们满足一定的不等式约束下一个素数的产品，以前的素数，一个问题的独立利益。
On a certain arithmetic function defined via Bernoulli numbers
研究定义在奇数\(n\geq3\)上、通过伯努利数构造的算术函数，该函数将素数、卡迈克尔数和久加数统一到一个整除性准则中，为相关研究提供新视角。
A combinatorial theorem of Schur implies infinitude of primes
关于Elsholz的论文的评论，费马的最后定理意味着欧几里得的素数无限性，（2021）和简化。
Absolute Primes
这是一篇概述绝对素数的文章。
On Ramanujan's prime counting inequality
本文给出了数$N_{\mathcal{R}}$的一个新的上界，它被定义为最小正整数，使得Ramanujan的一个涉及素数计数函数$π(x)$的不等式对每个$x \geq N_{\mathcal{R}}$成立.
Bounded Gaps Between Products of Distinct Primes
令$r \ge 2$为整数。我们采用Maynard-Tao筛来产生$r$不同素数的乘积之间的渐进最著名的有界间隙。我们的结果适用于正密度子集的素数，满足一定的等分布条件。这改进了索恩和索诺的工作。
Matching coefficients in the series expansions of certain $q$-products and their reciprocals
我们证明了某些$q$-乘积的级数展开式具有\textit{matching coefficients}及其倒数.一些结果与拉马努金的连分数。例如，令$R(q)$表示具有公知的$q$-乘积表示$$R(q)=\dfrac{(q;q^5)_\infty(q^4;q^5)_\infty}{(q^2;q^5)_\infty(q^3;q^5)_\infty}.$$的Rogers-Ramanujan连分数。如果\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}α(n)q^n=\dfrac{1}{R^5\left(q\right)}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}α^{\prime}(n)q^n\right)^{-1},\\ \sum_{n=0}^{\infty}β(n)q^n=\dfrac{R(q)}{R\left(q^{16}\right)}=\left(\sum_{n=0}^{\infty}β^{\prime}(n)q^n\right)^{-1}, \end{align*}，则\begin{align*} α(5n+r)&=-α^{\prime}(5n+r-2) \quad r\in\{3,4\},\\ β(10n+r)&=-β^{\prime}(10n+r-6) \quad r\in\{7,9\}. \end{align*}
On the regularity of primes in arithmetic progressions
本文证明了对于正整数$k$，在某些区间上的素数在模$k$的约化剩余类中不能"均匀“分布.在此，我们证明了Recaman猜想的一个推广，并将我们的结果建立在更一般的情况下，特别是数域中的素理想。
A necessary and sufficient condition for a prime to be an integer group determinant of certain $p$-groups
本研究给出素数为${\ m C}_{p} \ imes H$型阿贝尔$p$-群整群行列式的充要条件，证明有限群素值整群行列式在特定条件下等于其阿贝尔化的整群行列式，并推导$p$-群的对应结论。
Level lowering modulo prime powers and twisted Fermat equations
讨论了权$2$尖点形式的模素幂的一个简洁的水平降低定理.此外，我们说明了如何这可以用来完全解决某些扭曲的费马方程$ax^n+by^n+cz^n=0$。
Nonexistence of permutation binomials of certain shapes
设x^m + c*x^n是GF（p）上的置换多项式，其中p>5是素数，m>n>0，c在GF（p）^* 中。我们证明了gcd（m-n，p-1）不是2或4。在（p-1）/2或（p-1）/4是素数的特殊情况下，这在Masuda，Panario和Wang最近的一篇论文中得到了证明。
Large prime gaps and progressions with few primes
我们表明，存在的等差数列与几个素数，与“几”的定量约束，意味着存在更大的差距之间的素数小于x比目前已知的无条件。特别地，当Dirichlet L-函数存在某些例外零点时，我们得到了这一结论。
Prime Sums
研究了某些涉及素数和的图的性质。它们的结构在很大程度上与质数间隔的分布有关，也可以在Cramér的模型中粗略地看到。我们还讨论了高斯整数的推广。
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