Diameter of reduced words
Victor Reiner, Yuval Roichman
对于A型和B型有限反射群，我们确定了顶点为最长元的约化字且边为辫关系的图的直径。这是从适用于超可解超平面排列的更一般的定理推导出来的。
For finite reflection groups of types A and B, we determine the diameter of the graph whose vertices are reduced words for the longest element and whose edges are braid relations. This is deduced from a more general theorem that applies to supersolvable hyperplane arrangements.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Diameters of graphs of reduced words and rank-two root subsystems
研究了Coxeter群$W$中元素$w$的约化字图$G(w)$的直径，其边对应于Coxeter关系的应用.当$W=S_n$是对称群时，我们证明了这个直径的一个紧下界，并刻画了等式的情形，从而解决了Reiner-Roichman和Dahlberg-Kim的问题.我们也给出了部分结果，在其他经典类型，说明目前的技术的限制。
On Word and Gómez Graphs and Their Automorphism Groups in the Degree Diameter Problem
在图论中的一个突出的研究领域是度直径问题，在这个问题中，我们试图确定当被约束到给定的度和直径时，一个图可以有多少个顶点。这个问题的不同变体是通过考虑对图的进一步限制而获得的，例如它是否是有向的、无向的、混合的、顶点传递的等。由于Gómez图类似于Faber-Moore-Chen图，我们给出了它们的定义的自然概括，我们称之为词图。然后，我们证明了Gómez图是尽可能大的字图给定的度和直径。此外，我们提供了一个测试，以确定一个字图的全自同构群，并将其应用到极值有向Gómez图，以解决以前开放的问题时，Gómez图也凯莱图。最后，我们总结了一个有趣的相关开放问题的简短列表。
Diameters of Graphs on Reduced Words of 12 and 21-Inflations
对称群中的任意置换都可以由相邻的置换序列生成，这是一个经典的结果。最小长度的序列被称为约化字，在本文中，我们研究这些约化字的图，其边由基础Coxeter群中的关系确定。最近，Reiner和Roichman以及Assaf计算了最长排列$n\ldots 21$的直径。本文给出了12-膨胀图和多个21-膨胀图的直径的归纳公式。这些结果扩展到相关的图交换和长辫子类。这些结果也给出了最长置换直径的一个递推公式，与Reiner，Roichman和Assaf的结果一致.最后，我们进一步研究了Reiner和Roichman基于超平面排列的直径的约束界，并找到了满足猜想的上界和下界的置换族.特别地，避免312或231的置换具有实现上界的图。
Girth, words and diameter
研究了有限典型群G在随机生成元集上的Cayley图的围长。我们的主要工具是一个基本上最好的可能的界限，我们获得的概率，一个给定的字w采取的价值1时，在G中评估的长度w，这有额外的应用。我们还研究了对称群的随机有向Cayley图的围长，以及有限单群的随机Cayley图的围长与直径之间的关系。
Sorting and generating reduced words
我们在给定置换$ω$的所有约简字的集合上引入一个偏序，称为$ω$的\emph{directed-braid poset}.这个偏序集使我们能够产生两个算法：一个是应用于$ω$的任何约简词的排序算法，目的是获得自然词（词典上最大的约简词）;另一个是应用于自然词的生成算法，目的是获得$ω$的所有约简词的集合。
Diameter Perfect Lee Codes
Lee码已经被深入研究了40多年。Golomb-Welch猜想关于完美纠错Lee码的存在性引起了人们对这些码的兴趣。本文讨论了直径完全Lee码的存在性和计数问题。作为主要结果，我们确定了所有$q$，对它存在$Z_{q},$上的字长为$n$的线性直径为4的完美Lee码，并证明了对于每个$n\geq 3$，存在可数个$Z.$上的字长为$n$的直径为4的完美Lee码。这与$Z\,$上的字长为$n$的完美纠错Lee码形成了严格的对比。因为对于$n=3,$存在唯一的这样的代码，并且必须说明的是，当$2n+1$是素数时总是这种情况。我们通过一个基于群同态的代数构造产生直径完美Lee码。这将使我们能够设计一个有效的算法，他们的解码。我们希望，这一解释的作用将远远超出本文件的范围。
The maximum independent sets of de Bruijn graphs of diameter 3
德布鲁因图B（d，3）的节点由所有长度为3的字符串组成，这些字符串取自大小为d的字母表，单词之间的边是长度为4的单词的不同子串。本文给出了任意字母长度的de Bruijn图B（d，3）的最大独立集的一个归纳刻画，并对直径为3且去掉环的de Bruijn图B（d，3）给出了最大独立集的一个归纳刻画.我们得到了一个递推关系和一个指数母函数的数目。这个递归允许我们以指数方式构造许多长度为3且具有最大基数的无逗号码。
Expanders are order diameter non-hyperbolic
我们证明了膨胀图必须具有Gromov双曲性至少与其直径成比例，且其比例比例常数仅取决于膨胀常数和最大度。换句话说，扩展器包含$Ω(\mathop{\rm diam} Γ)$厚的测地线三角形。
Constructing Directed Cayley Graphs of Small Diameter: A Potent Solovay-Kitaev Procedure
设$Γ$是群，$(Γ_n)_{n=1} ^{\infty}$是有限指数正规子群的降序序列.在对$Γ$中的幂和换位子字的行为的一些自然假设下，我们建立了$Γ/Γ_n$的有向Cayley图的直径的上界.我们得到的边界不依赖于生成集的选择。此外，在合理的条件下，我们的方法提供了一个快速的算法来构造直径满足我们的界限的有向凯莱图。这个证明非常类似于Solovay-Kitaev过程，它只使用交换子字，但也只构造小直径无向Cayley图。作为一个应用，我们给出了两个不同群：$SL_2 (\mathbb{F}_q [[t]])$（对于$q$偶群）和Fabrykowski和Gupta引入的三元有根树的自同构自同构群的有限直径界.
A Markov growth process for Macdonald's distribution on reduced words
在置换占优的特殊情况下，给出了Schubert多项式理论中Macdonald约化字恒等式的算法-双射证明。我们的双射使用了David Little的广义碰撞算法的新应用。我们还描述了一个马尔可夫增长过程的相关概率分布减少的话。我们的增长过程可以在计算机上有效地实现，并允许快速采样减少的话。我们还讨论了各种部分概括和链接小的RSK算法的工作。
On the expected number of commutations in reduced words
我们计算了对称群中最长元素的约化字中出现的交换的期望个数。这个值的渐近行为进行了分析，并接近置换的长度，这意味着几乎所有的位置在减少字预计支持交换。最后，我们计算了交换，连续非交换对，和长辫子移动的渐近频率。
An inversion metric for reduced words
本文研究了对称群上由Coxeter关系给出边的约化字上的图。我们定义了一个度量减少字为一个给定的置换，类似于Coxeter长度的置换，图成为排名与唯一的极大元。我们表明，这个度量自然扩展到平衡tableaux，并用它来恢复枚举结果的埃德尔曼和格林和雷纳和Roichman。
Avoiding Square-Free Words on Free Groups
我们考虑的因素，可以避免在两个生成器的自由群的平方自由的话。该组的元素以0、1、2、3表示，使得0和2（分别为，1和3）是彼此的逆，因此02，20，13和31不会出现在简化字中。Dean字是一个简化字，它不包含任何非空$u$的$uu$的出现。Dean在1965年证明了存在无限个无平方约化词。我们表明，如果$w$是一个迪恩字的长度至少为59，然后有最多6个减少字的长度为3避免$w$。我们构造了一个无限的迪恩字，避免了6个长度约为3的缩减字。我们还构造了具有低临界指数的无限Dean字，并避免了长度为3的较少的缩减字。最后，我们表明，一个字母在迪恩字的最小频率是$8/59$和增长率接近1.45818。
Words with intervening neighbours in infinite Coxeter groups are reduced
考虑一个顶点集为S的图。字母表S中的一个词具有居间邻点性质，如果同一个字母的任何两次出现被它的所有图邻点分隔开。对于Coxeter图，单词表示组元素。Speyer最近证明了，如果群是无限且不可约的，则具有居间邻居属性的词是不可约的。我们提出了一个新的和更短的证明使用根自动机识别不可约的话。
Reduced words for clans
族是组合对象，用于在$\mathbb{C}^{p+q}$中的各种标志上索引$GL(\mathbb{C}^p) \times GL(\mathbb{C}^q)$的轨道。这种几何导致一个偏序的集合上的氏族类似于弱Bruhat秩序的对称群，我们研究了饱和链在这个顺序。我们证明了一个类似的Matsumoto-Tits定理减少的话在Coxeter群。我们还获得了枚举的减少字集为特定的氏族在标准的舞台和转移标准舞台。
Careful synchronisation and the diameter of transformation semigroups with few generators
本研究改进了小字母表下n状态部分DFA最短精细同步单词的长度下界，还证明常数阶大字母表的部分DFA直径渐近匹配任意字母表的上界，推广了相关构造并给出应用方向。
A bijective proof of Macdonald's reduced word formula
我们给出了一个双射证明麦克唐纳的减少字的身份使用白日梦和小碰撞算法。这个证明延伸到一个主要的专业化由于福明和斯坦利。20多年来一直在寻找这样的证据。我们的双射工具也使我们能够解决一个问题所提出的福明和基里洛夫从1997年使用工作的瓦克斯，Lenart，塞拉诺和树桩。这些结果扩展了第三作者关于最长排列的简化字的马尔可夫过程的早期工作。
312-Avoiding Reduced Valid Hook Configurations and Duck Words
有效的钩子配置是用来理解West的堆栈排序图以及非交换概率论中的累积量的组合对象。我们显示了一个双射之间减少有效的钩配置312-避免排列的最大允许的点数和3D-Dyck字，证明了一个猜想的桑卡尔的。我们扩展到一个双射之间的所有312-避免减少有效的钩子配置和3D-戴克字指定的修改。我们展示了如何这些可以被计算在长度为3 k的3D-Dyck字的数量，其中正好是i Y的没有一个X紧接在他们之前，（k，i）-鸭子的话，并使用这种关系来证明几个属性的总和312-避免减少有效的钩子配置，包括两个以上的桑卡尔的代数。我们还表明，（k，1）-鸭子字的数量是由一个变体的网球号码。
Reduced word manipulation: patterns and enumeration
我们开发的技术，减少字的操作，给一系列的结果，减少字和排列更普遍。我们证明了一个广泛的连接模式的包容性和减少的话，专门为我们以前的工作vexillary排列。我们还分析了一般平铺Elnitsky的多边形，并表明，这些是密切相关的模式排列。建立在以前的工作交换类，我们表明，减少字枚举是单调增加的模式遏制。最后，我们给出了这项工作的几个应用。我们证明了一个置换和一个模式有相同数量的约简字当且仅当它们有相同的长度（等价地，相同数量的21-模式），并且它们有相同数量的交换类当且仅当它们有相同数量的321-模式。我们还将我们的技术，以计数问题的模式避免，并给出一个双射之间的132避免排列的给定长度和分区的相同大小，以及此数据的改进和连接到加泰罗尼亚数字。
Disarray, reduced words, and 321-avoidance in George groups
该研究针对（仿射）（带号）置换的紊乱界问题，从约化字性质和全局321-模式规避两个角度，刻画了使Coxeter长度界定取等的置换特征。
Infinite reduced words and the Tits boundary of a Coxeter group
设（W，S）是有限秩Coxeter系统，且W为无穷大.我们证明了W的无限约化字块上的极限弱序是由W的Davis复形X的Tits边界的拓扑编码的。我们考虑许多特殊情况，包括W字双曲，和X与孤立单位。证明了当W是双曲群时，极限弱阶是有限Coxeter群的弱阶的不交并。我们还建立了，对于每个边界点，一个自然序保持对应之间的无限减少的字“指向”，和元素的反射子群的W，固定。
On Graphs of Sets of Reduced Words
本文研究了有限对称群中既约字集合的图结构，提出了子图结构的新研究及计算辫边与交换边数量的新公式，并探讨了辫类和交换类数量的界限。
$\mathfrak{q}$-crystal structure on primed tableaux and on signed unimodal factorizations of reduced words of type $B$
奇异李超代数的晶体基理论是由Grantcharov等人发展起来的，并且证明了半标准分解表承认奇异李超代数的晶体结构或简单的$\mathfrak{q}$ -晶体结构。在本文中，我们探讨了$\mathfrak{q}$ -晶体结构的启动表（半标准标记移位表）和签署单峰分解的约简字类型$B$。给出了素表上奇Kashiwara算子的显式表达式和最高、最低权向量的形式。我们还给出了奇Kashiwara算子在$B$型约化字的符号单峰分解上的显式算法。
Enumeration of Gelfand-Cetlin type reduced words
约化字与对易类的组合在几何表示论中起着重要的作用。串多面体是与对称群中最长元素$w_0$的每个约化字相关联的格多面体，其编码$A$型李群的某个不可约表示的特征标。本文给出了$w_0$的约化字数的一个递归公式，使得相应的弦多面体组合等价于Gelfand-Cetlin多面体.递归公式涉及到移位形状的标准Young tableaux的数量。我们还表明，每个交换类是完全由一个列表中的数量称为指数。
Cyclic sieving for longest reduced words in the hyperoctahedral group
我们证明超八面体群中最长元素的约化表达式集合R（w_0）表现出循环筛选现象。更具体地说，R（w_0）具有一个自然的循环行动，通过移动一个字的第一个字母到末尾，我们表明，这个行动的轨道结构是由生成函数的主要指标R（w_0）编码。
Graphs of Reduced Words and Some Connections
针对对称群并集中钩循环型为 $(n-2,1,1)$ 且含连续不动点的排列，研究其约化词图，给出顶点计数闭式公式、度多项式与生成级数，并揭示其与组合对象的同构联系。
Bumpless Pipedreams, Reduced Word Tableaux and Stanley Symmetric Functions
Lam、Lee和Shimozono在他们对后稳定舒伯特微积分的研究中引入了无颠簸白日梦的结构。他们发现，一个特定的无颠簸管道梦家族（称为EG-pipedreams）可用于解释在舒尔函数的基础上斯坦利对称函数展开式中出现的埃德尔曼-格林系数。众所周知，Edelman-Greene系数也可以解释为减少字tableaux排列。Lam，Lee和Shimozono提出了在置换$w$的约简词表和$w$的EG-pipedreams之间寻找保形双射的问题。在本文中，我们构造了这样一个双射。关键成分是与$w$相关的两个新开发的同构树结构：$w$的修改的Lascoux-Schützenberger树和$w$的Edelman-Greene树。利用Little映射，我们证明了$w$的修正Lascoux-Schützenberger中的叶子与$w$的简化词表是双射的.另一方面，应用Lam，Lee和Shimozono提出的无扰动管道梦的droop运算，证明了$w$的Edelman-Greene树的叶子与$w$的EG-管道梦是双射的.这使得我们能够在$w$的简化单词表和$w$的EG-pipedreams之间建立形状保持一一对应。
On The Toric Ideals of the Coloured Graphs of Reduced Words
本文研究由阶梯分拆索引的伪多部图，给出其一般色多项式，并利用分拆恒等式构造与顶点正常着色相关的仿射环面理想，证明其射影版本可由卡通图实现。
Bounds on the diameter of Cayley graphs of the symmetric group
本文研究了一个猜想：对于n次对称群的任意生成元集S，每个置换的关于S的字长由一个n的多项式上界.我们证明了这一猜想的发电机组包含一个置换固定至少37%的点。
Diameters of Cayley graphs of SL_n(Z/kZ)
本文证明了对于整数k > 1和n > 2，SL_n（Z/kZ）的Cayley图的直径至多为一个常数乘以n^2lnk.这回答了A的一个问题。Lubotzky关于SL_n（F_p）的一个新的Cayley图，并且由于这些Cayley图不构成扩张图族，所以是出乎意料的.我们的证明相当于一个快速算法，寻找短的字表示SL_n（Z/kZ）的元素。
Commutation classes of reduced words and higher Bruhat orders for affine permutations
本文研究了仿射排列中交换类的简化解和更高布里哈特序的结构，提出了一种推广弱序区间[ id, w ]的通用方法，揭示了交换类与布里哈特序之间的关系。
Reduced word enumeration, complexity, and randomization
置换$w$的简化字是$w$作为简单置换的乘积的最小长度表达式。我们研究的计算复杂性，公式和（随机）算法，其枚举。特别地，我们证明了S.比利湾Pawlowski，通常是指数级的。这意味着B的一个结果。Pawlowski，它有指数增长的期望。我们的结果是通过对A.拉斯科-M P. Schützenberger的转换算法。更一般的问题Hecke字计数，其密切相关的问题，计数集值标准杨tableaux，也进行了研究。后一个计数问题是由M.陈Pflueger和D.安德森湖陈N塔拉斯卡
Reduced words for reflections in Weyl groups
研究Coxeter群中反射的回文既约表达式问题，为任意有限Weyl群中的每个反射给出了提供回文既约表达式的闭公式，填补了特殊情形之外缺乏明确公式的空白。
A new general family of deterministic hierarchical networks
众所周知，许多模拟现实生活中复杂系统的网络都是小词（大的局部聚类和小直径）和无标度（度分布的幂律）的，而且它们通常也是分层的。虽然大多数的模型是基于随机方法，最近已经提出了一些确定性的建设，因为这允许更好地计算其属性。这里提出了一种新的确定性的分层网络，它概括了大多数以前的建议，如所谓的二叉树。所获得的图可以被看作是字母表上的图（其中顶点用给定字母表的单词标记，并且边由与不同单词相关的特定规则定义）。这使我们能够表征它们的主要距离相关参数，如半径和直径。此外，作为副产品，一个有效的最短路径的本地算法。
Coxeter-Knuth graphs and a signed Little map for type B reduced words
我们定义了一个类似的大卫利特尔的算法减少的B型字，并调查其主要性质。特别是，我们证明了我们的算法保留了Krakenkiewicz插入的记录画面，并且它提供了Schubert微积分中B型过渡方程的双射实现。A型人格理论的许多其他方面也适用于这种新的环境。我们的主要工具是转移版本的对偶等价图定义的阿萨夫和罗伯茨进一步发展。给出了移位对偶等价图的一个公理化刻画，并利用它证明了B型Coxeter-Knuth关系图的一个结构定理。
Soliton cellular automata associated with infinite reduced words
本文考虑一类与仿射对称群$\hat S_n$上的无穷约化元相关联的元胞自动机$Φ(n,k)$，它是两位作者提出的有理映射的热带化.我们研究了$Φ(n,k)$的孤子解，并探讨了与$\mathfrak{sl}_n$ -box-ball系统的“对偶性”。
Infinite Reduced Words, Lattice Property And Braid Graph of Affine Weyl Groups
本文建立了仿射外尔群的无限约化字与其正系的某些双闭集之间的一个双射，并确定了仿射外尔群的正系中的所有双生成双闭集.利用这些结果，我们首先证明了秩为3的仿射外尔群的标准正系统中的双闭集在按包含序排列时形成一个完全的代数正交格，其次证明了这些Coxeter群的（广义）辫图是连通的，这可以被认为是Tit对字问题的解决方案的一个无限版本.
Poset edge densities, nearly reduced words, and barely set-valued tableaux
在某些有限偏序集中，无论是按均匀分布还是按通过它的最大链数加权的分布计算，其元素的期望下度都是相同的.我们证明了这种期望下度的重合对链的笛卡儿积、连通极小偏序集、有限Coxeter群上的弱Bruhat阶、Young格上的某些下区间、在弱Bruhat序中，某些较低的区间低于主导排列。我们的工具包括计算0-Hecke代数中近似约化因子分解的公式，即比Coxeter群长度长一个字母的因子分解。
Word posets, complexity, and Coxeter groups
由符号的集合$S$生成的幺半群$M$可以被描述为在某些关系下$S$中有限字的等价类的集合，这些关系指定了符号的某个连续序列何时可以被另一个符号序列替换。如果是$a,b\in S$，则形式为$ab=ba$的关系称为\emph{commutation relation}。仅使用一系列对易关系而等价的字被称为在相同的\emph{commutation class}中。我们引入某些偏序集，我们称之为\emph{word posets}，捕获的结构，在幺半群的交换类。词偏序集的同构类与交换类是双射对应的，并且我们证明了词偏序集的线性扩张与交换类中的词是双射对应的，从而证明了在幺半群的交换类中枚举词是P-完全的.然后，我们将单词偏序集应用于Coxeter群。证明了Coxeter群元素约化字的计数问题是P-完全的。我们还演示了一种方法，找到一个元素的约化字的交换类的字偏序集，然后使用这个找到约化字的交换类的数量的递归公式。
Large Girth and Small Oriented Diameter Graphs
在2015年，Dankelmann和Bau证明了对于每一个阶为$n$且度为$δ$的无桥图$G$，存在直径至多为$11\frac{n}{δ+1}+9$的定向。在2016年，Surmacs将此界减少到$7\frac{n}{δ+1}.$在本文中，我们考虑图$g$的围长，并证明对于任何$\varepsilon>0$，都存在$(2g+\varepsilon)\frac{n}{h(δ,g)}+O(1)$形式的界，其中$h(δ,g)$是多项式。引入$g=3$和$\varepsilon<1$，改进了Surmacs的结果.
A $q$-deformation of an algebra of Klyachko and Macdonald's reduced word formula
有一个惊人的相似性之间的麦克唐纳约化字公式和形象的舒伯特类的上同调环的permutahedral品种$\mathrm{Perm}_n$计算Klyachko。为了更好地理解这一点，我们进行了深入的研究的$q$ -变形的$\mathbb{S}_n$ -不变的一部分的有理上同调环的$\mathrm{Perm}_n$，我们称之为$q$ -Klyachko代数。我们发现在这个代数和代数组合学中的各种概念的平方自由单项式的基础上的扩展之间的密切联系，从而通过找到一个共同点来研究它们来连接看似无关的结果。我们的主要结果如下。1)在Hecke代数中使用Yang-Baxter元素的划分对称化（$q$ -DS）的$q$ -模拟。它是一种线性型，在无平方基中提取系数。2)$q$ -DS与包含Aval-Bergeron-Bergeron功的拟对称多项式理想之间的关系. 3)$q$中的一族多项式，具有非负整系数，当$q=1$。我们把这些新的多项式称为混合欧拉数。对于$q>0$，它们的归一化版本作为内扩散限制聚集（IDLA）随机过程中的概率出现。4)在$q$ -Klyachko代数中Macdonald约化字恒等式的提升. 5)当$q$是素数幂时，$A$型标准分裂Deligne-Lusztig簇的Chow类的Schubert展开式.
Properties of the Edelman-Greene bijection
Edelman和Greene在逆排列的简化词和标准Young tableaux之间建立了对应关系。我们证明，对于任何减少字的形状的区域的插入表包含最小的可能的条目的演变完全作为左上角的组成部分的排列的（Rothe）图。给出了限制于132-避免和2143-避免置换的Edelman-Greene双射的性质。我们还考虑了适用于非约化词的Edelman-Greene双射。
A word property for twisted involutions in Coxeter groups
给定Coxeter系统$(W,S)$的一个对合自同构$θ$，令$\mathfrak{I}(θ) \subseteq W$表示扭对合集。我们提供了一个可以添加到辫子移动的最小移动集，以便连接任何给定$w \in \mathfrak{I}(θ)$的所有简化的$\underline{S}$ -表达式（也称为可接受序列，简化的$I_θ$ -表达式或对合词）。这可以被看作是一个类似的著名的字性质的考克斯特群。它改善了结果的Hamaker，Marberg和Pawlowski，并概括了类似的声明有效的某些类型，由于胡，张，吴，和Marberg。
The Lie bialgebra structure of the vector space of cyclic words
本文给出了约化循环词向量空间中李双代数结构的一个组合证明。这种结构是由M. Chas在Combinatorial Lie Bialgebras of Curves on Surfaces中的应用，其中证明这种Lie Bialgebras结构的存在是基于约化循环词空间与曲面上曲线空间之间同构的存在。
Automata, reduced words, and Garside shadows in Coxeter groups
在这篇文章中，我们引入并研究了一类有限确定自动机，它们都能识别一个由Coxeter系统（W，S）生成的约简词的语言。这些自动机的定义很简单，因为它只需要（W，S）上弱序的概念和（W，S）中Garside阴影的相关概念，这是Garside族概念的一个模拟。然后讨论了这类自动机与由Brink和Howlett的小根构造的规范自动机之间的关系。最后，我们对两个命题给出了部分肯定的答案：（1）与最小Garside阴影相关联的自动机是最小的;（2）规范自动机是最小的当且仅当所有小根的支撑是球形的，即，相应的根系是有限的。
Discrete solitons in infinite reduced words
我们考虑一个离散动力系统，其中状态和载流子的作用是由$A$型仿射外尔群中的平移所扮演的。Coxeter发生器的参数丰富，并实现与载体的相互作用，使用Lusztig的辫子移动$(a,b,c) \mapsto (bc/(a+c), a+c, ab/(a+c))$。我们使用接线图上的一个缸解释室变量为$τ$ -功能。这使我们能够实现我们的系统作为减少广田双线性差分方程，从而获得$N$ -孤子解决方案。
Twisted Bracelets for Sorting by Transpositions: the Transposition Diameter of $S_{16}$
本文通过扭转手镯与扩展环面等价类对应，结合不动点收缩和结构归约及穷举验证，证明了 $S_{16}$ 的转位直径为 9，解决了 25 年未决问题。
Upper bound on the block transposition diameter of the symmetric group
给定对称群${\rm{Sym}}_n$的生成元集$S$，每个置换$π\in {\rm{Sym}_n}$是$S$的字（元素的乘积）。正整数$d(π)$与每个$π\in{\rm{Sym}_n}$相关联，每个$π\in{\rm{Sym}_n}$取最短的这种字的长度，并且$S$直径$d(S)$是$d(π)$的最大值，其中$π$在${\rm{Sym_n}}$范围内。由$d(ν^{-1}\circπ)$定义的两个置换$π,ν$的距离$d(π,ν)$满足度量空间的公理。本文考虑$S$由${\rm{Sym_n}}$的所有块转置组成的情况，称$d(π)$为$π$的块转置距离。对这种特殊情况的研究的强烈动机来自于对基因组大规模突变的调查，其中确定$d(π)$被称为通过块转置对排列$π$进行排序。在有关这一主题的论文中，当$π$和$ν$在环面上等价时，环面等价类自$d(π)=d(ν)$起常常起着至关重要的作用。这个结果的证明可以在（未发表的）豪森博士论文中找到;参见\cite{Ha}。我们的主要贡献是获得一个双射映射${\rm{Sym}_n}$从环面等价，使距离不变。使用这个地图的属性，我们给另一种证明豪森的结果，实际上填补了一个空白的证明的上界$d(S)$由于埃里克森和他的同事;见\cite{EE}。我们还重新审视了关键引理\cite [引理5，1]{EE}的证明，给出了更多细节并填补了一些空白。
Stanley symmetric functions for signed involutions
一个Coxeter群中的对合有一组相关的对合词，这是约化词的一个变体。这些词是饱和链的偏序首先考虑理查森和施普林格在他们的研究对称品种。在对称群中，对合词可以使用斯坦利引入的对称函数的适当类似物来枚举，以完成简化词的相同任务。我们适应这种方法的签署置换组。我们表明，对合字的最长元素的考克斯特组$C_n$是双射减少的话，最长的元素$A_n = S_{n+1}$，这是已知的双射与标准的表格的形状$(n, n-1, \ldots, 2, 1)$。
Repeatable patterns and the maximum multiplicity of a generator in a reduced word
本文将最长排列约化词中简单换位的最大重数问题转化为单调弱分离路径问题，证明其对充分大的 $n$ 呈线性加周期项形式，并引入可重复模式计算斜率常数 $c_k$ 的界与精确值。
Geometric group theory and arithmetic diameter
设X是具有单位元e的群，A是X的生成元的无限集，（X，d_A）是由A诱导的具有词度量d_A的度量空间.如果空间的直径是无限的，则对每一个正整数h，X中有无限多个元素x，使得d_A（e，x）=h.证明了：若P是非空的有限素数集，A是素数因子都属于P的正整数集，则度量空间（\Z，d_A）的直径是无穷大的.设λ_A（h）表示最小正整数x，其中d_A（e，x）=h.计算λ_A（h）并估计其增长率是一个公开问题。
On the diameter of Engel graphs
本文研究有限群 Engel 有向图在强连通情形下的直径，并给出一个不依赖具体群的绝对上界。
On the diameter of permutation groups
给定一个有限群$G$和一个生成元集合$A$，Cayley图$Γ(G,A)$的直径$(Γ(G,A))$是使$G$的每个元素都能表示为$A \cup A^{-1}$中长度至多为$\ell$的字的最小$\ell$.我们关心的是有界diam（G）：= $\max_A$ diam $(Γ(G,A))$。长期以来，人们一直认为$n$次对称群的直径在$n$中是多项式有界的，但在$\sqrt{n \log n}$中已知的最好的上界是指数的.我们给出了一个拟多项式上界，即当G = Sym（n）或G = \Alt（n）时的\[\text{diam}(G) = \exp(O((\log n)^4 \log\log n)) = \exp((\log \log |G|)^{O(1)})\]，其中隐含常数是绝对的.这解决了一个关键的公开案件的Babai猜想直径的简单群体。通过标准结果，我们的界也意味着一个拟多项式上界的直径的所有传递置换群的程度PDMATHAMT。
Tableaux on k+1-cores, reduced words for affine permutations, and k-Schur expansions
$k$ -Young格$Y^k$是在没有部分大于$k$的划分上的偏序。这种弱子集的年轻格起源于研究的$k$ -舒尔功能（原子）$s_λ^{(k)}$，对称功能，形成一个自然基础的空间所跨越的齐次函数索引的$k$ -有界分区。$k$ -Young晶格中的链由实验上满足的Pieri型规则诱导，该规则由$k$ -Schur函数满足.利用$k$ -有界划分与$k+1$ -核之间的自然双射，我们建立了一个在$k+1$-核上具有特定表的$k$ -Young格中识别链的算法.该算法揭示了$k$ -Young格同构于仿射对称群$\tilde S_{k+1}$的极大抛物子群的商的弱序.由此，修正的$k$规则意味着连接齐次基$\{h_\la\}_{\la\in\CY^k}$和$\{s_\la^{(k)}\}_{\la\in\CY^k}$的$k$矩阵现在可以通过对$k+1$ -核上的适当的表类计数来获得。这表明麦克唐纳多项式的正$k$-Schur展开系数（对于大的$k$，简化为$q,t$ -Kostka多项式）可以用这些表格上的$q,t$ -统计量来描述，或者等价地用仿射置换的简化字来描述.
Uniform poly-log diameter bounds for some families of finite groups
用$p> m \geq 2$修复素数$p$和整数$m$。为$n=1,2,... $定义有限群族\[ G_n :=SL_m (\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}) \]。我们将证明存在两个正常数$C$和$d$使得对于任何$n$和任何生成集$S\subseteq G_{n}$，当$diam (G,S)$是有限群$G$关于生成元集$S$的直径时，有\[ diam(G_n,S) \leq C \cdot log^d (|G_n|)\].它被定义为表示$g$的$S \cup S^{-1}$中最短字的长度在$g \in G$上的最大值。这一结果表明，这些有限群族的直径关于生成元的\emph{any}集有一个多对数界。这个结果的证明也提供了一个有效的算法，找到这样的多对数表示的任何元素。此外，它表明，在$log$界的功率$d$可以是任意接近3的$m=2$和任意接近4的$m>2$。
Maximum number of one-element commutation classes of a permutation
本文研究了排列的单元素交换类的最大数目，并通过上界证明了缩减词数目与交换类数目的关系猜想。
Listing Words in Free Groups
在旋转或旋转加反转下的词的等价类列表（即，项链和手镯）具有许多用途，并且存在用于生成这些列表的有效算法。在组合群论中，一个群的元素通常被写为生成元及其逆中的字，项链和手镯分别对应于共轭类和关系子。我们提出了算法来生成列表的自由和循环减少项链和手镯在自由群。实验证据表明，这些算法是CAT --也就是说，它们在恒定的摊销时间内运行。
An improved upper bound for oriented diameter of graphs with diameter $4$
本文提出序贯定向框架与势函数分析，将直径为4的无桥图的有向直径上界从18改进至16，方法可推广至更大直径情形。
Graph diameter in long-range percolation
本文研究了在$\Z^d$中的正方形盒上增加稀疏“长”边所得到的图的直径的渐近增长性。我们关注的情况下，当$x$和$y$之间的边缘添加概率衰减的欧几里德距离为$|x-y|^{-s+o(1)}$时，$|x-y|\to\infty$。对于$s\in(d,2d)$，我们表明，图直径的图减少到一个盒子的侧$L$规模像$(\log L)^{Δ+o(1)}$其中$Δ^{-1}:=\log_2(2d/s)$。特别地，直径增长大约与距离为$L$的两个顶点之间的典型图距离一样快。我们还表明，球的半径$r$的内在度量的（无限）图将大致符合球的半径$\exp\{r^{1/Δ+o(1)}\}$的欧几里德度量。
From one generator to loop order on the three-cube
本文研究三维立方体上闭游走的幺半群，证明交换聚合无法确定约化圈词，给出最小长度14的例证，并区分有限与无界内存，提出非交换商与四元数时钟等识别方法。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。